Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen für einen Spannbaum T eines zu- sammenhängenden Graphens G = (V, E).

1. Übungsblatt

Kombinatorische Optimierung WS 2016/17

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: Optimalitätsbedingungen

Beweisen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen für einen Spannbaum T eines zu- sammenhängenden Graphens G = (V, E).

i) T ist ein minimaler Spannbaum.

ii) (Kreisbedingung) Für jede Kante vw

E

E(T ) gilt, dass alle Kanten des v -w-Pfades in T höchstens das Gewicht c(vw) haben.

iii) (Schnittbedingung) Für jede Kante e

T und Knotenmenge S einer Zusam- menhangskomponente von T

e ist e minimal in δ(S).

Aufgabe 2: Kruskal und Prim

13 8

4 7

15

12 9

6 10

11

5

b

f

c e

d

a

g

i) Führen Sie den Algorithmus von Kruskal an obigem Graphen aus.

ii) Führen Sie den Algorithmus von Prim an obigem Graphen aus, beginnend mit dem Knoten a.

iii) Eine Kontraktion einer Kante e = vw löscht e und identifiziert die Knoten v und w; hierbei können neue Mehrfachkanten auftreten. Rekapitulieren Sie die aus Graphen und Algorithmen bekannte Inzidenzlisten-Repräsentation von Graphen und überlegen Sie sich, in jeweils welcher Laufzeit

Kanten gelöscht, eingefügt und kontrahiert werden können.

1Genauer benutzen wir hierbei die Anzahl Rechenschritte auf der sogenanntenunit-cost RAM. Diese erlaubt folgende grundlegende Funktionen auf Registern und Hauptspeicher in jeweilseinemRechenschritt (daher der Name unit-cost): Eingabe-Ausgabe-Operationen, Speicher-Register Transfers, indirektes Ad- dressieren, Verzweigungen, fundamentale arithmetische Operationen und Vergleiche. Ebenso wird als Ein- gabelänge nicht die Bitlänge der Eingabe, sondern die Anzahl der Zahlen in der Eingabe gemessen (also Eingabelängen+mfür Graphen). Wir machen zudem die Annahme, dass die Bitlänge aller Operanden der Anweisungen polynomiell in der Eingabebitlänge sind, da die unit-cost RAM andernfalls nicht mehr polynomiell äquivalent zu anderen grundlegenden Maschinenmodellen ist.

iv) Erklären Sie in so viel Detail wie nötig, welche Schritte des Algorithmus von Prim wieviel Laufzeit benötigen (bei Inzidenzlisten-Repräsentation der Einga- be). Für welche Schritte ist es sinnvoll, eine weiterführende Datenstruktur (wie z.B. Fibonacci-Heaps) zu benutzen?

Aufgabe 3: Starke Austauscheigenschaft

Seien E und F die Kantenmengen zweier Spannbäume eines Graphen G. Beweisen Sie, dass für jede Kante e

E

F eine Kante f

F

E existiert, so dass sowohl E + f

e als auch F + e

f Spannbäume von G sind.

Aufgabe 4: Vizemeister

Ein zweitbester MST ist ein Spannbaum mit minimalem Gewicht, das größer als das Gewicht eines MST ist.

i) Geben Sie möglichst große Graphklassen an, für deren Graphen kein zweitbester MST existiert. Bonusaufgabe: Sind das die einzigen?

ii) Durch minimal wie viele Kantenvertauschungen unterscheidet sich ein gegebe- ner MST T von einem (beliebigen) zweitbesten MST?

iii) Finden Sie einen Algorithmus mit Laufzeit O(mn) oder besser, der einen zweit-

besten MST effizient berechnet.