Arithmetik und AlgebraGrundlagen

(1)

3 MATHEMATIK

1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN

Kapitel 3

Mathematik

Kapitel 3.1

Arithmetik und Algebra Grundlagen

Verfasser:

Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn

055 - 654 12 87

Ausgabe:

Februar 2009

(2)

Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik

3 Mathematik

3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.1.1 Vorwort

3.1.2 Grundlagen der Zahlen 3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade 3.1.4 Massvorsätze

3.1.5 Das griechische Alphabet 3.1.6 Prozente und Promille 3.1.7 Mathematische Zeichen 3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen 3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum

3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse 3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen

3.1.12 Zahlengrössen 3.1.13 Symbole für Zahlen 3.1.14 Grafische Darstellungen 3.1.15 Mittelwerte

3.1.16 Proportionen und Verhältnisse 3.1.17 Absoluter Betrag

3.1.18 Zahlenbereiche

3.1.19 Rechnen mit dem Taschenrechner 3.1.20 Umrechnung Dezimal- in Dualsystem 3.1.21 Römische Ziffern

BiVo

Probleme umfassend bearbeiten Verstehen und anwenden Erinnern

TD Technische Dokumentation

BET Bearbeitungstechnik

TG Technologische Grundlagen 3.1 Mathematik

3.1.1 Arithmetische Operationen

- Operationen mit bestimmten und allgemeinen Zahlen

- Berechnungen mit Zehnerpotenzen - Umrechnungen von Grössenordnungen mit

Massvorsätzen

3.1.1 Logische Operationen - Duales Zahlensystem - Wahrheitstabelle - Grundoperationen der Logik:

- AND, OR, NOT

3.1.1 Algebraische Gleichungen

- Gleichungen 1. Grades und rein quadratische Gleichungen

- Gleichungen 2. Grades mit Bezug zu den Fächern dieses Lehrplans

3.1.2 Geometrische Grössen - Länge, Fläche, Volumen - Seiten im rechtwinkligen Dreieck - (Pythagoras)

- Trigonometrische Funktionen:

- Sinus, Cosinus, Tangens (0-90°) - Darstellung der Sinus-, Cosinus- und

Tangensfunktion im Einheitskreis und als Liniendiagramm

3.1.2 Grafische Darstellungen - Diagrammarten

- Darstellungen im rechtwinkligen Koordinatensystem mit linearen und nichtlinearen Massstäben 3.1.2 Grafische Darstellungen

- Strecke, Pfeil als Mass einer Grösse (Vektor) - Addition und Subtraktion mit zwei Grössen - Addition und Subtraktion mit mehreren

Grössen

EST Elektrische Systemtechnik

KOM Kommunikationstechnik

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3 MATHEMATIK

3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen

3.1.1 Vorwort

Die Mathematik besteht aus Teilgebieten. Die drei wichtigsten sind:

1. Arithmetik (Lehre von den Zahlengrössen) 2. Algebra (Lehre von den Gleichungen) 3. Geometrie (Lehre von den Raumgrössen)

Unser heutiges technisches Zeitalter wäre ohne die Mathematik nicht denkbar, deshalb ist sie die Grundlage für alle technischen Berufe. Die Lehre von den Zahlengrössen (Arithmetik) gliedert sich in:

1. das Rechnen mit bestimmten Zahlen, die im allgemeinen durch die arabischen Ziffern dargestellt werden (1; 2; 3; 4; ....)

2. das Rechnen mit Variablen, die üblicherweise durch Buchstaben dargestellt werden (a; b; c; ...) Die Lehre von den Raumgrössen gliedert sich in:

1. Die Lehre von den ebenen Flächen (Planimetrie) 2. Die Lehre von den Körpern (Stereometrie)

3. Die Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken (Trigonometrie)

Die Grundlage dieses Gebäudes ist die menschliche Vernunft; das heisst, die Mathematik baut auf Grundsätzen (Axiome) auf, die beweislos vorausgesetzt werden. Einige lauten:

1. Jede Grösse ist sich selbst gleich.

2. Werden gleiche Grössen gleich behandelt, so ergeben sich gleiche Grössen.

3. Sind zwei Grössen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich.

Alle anderen mathematischen Aussagen (Lehrsätze) müssen bewiesen werden, d.h. man muss sie auf bekannte Lehrsätze oder Grundsätze zurückführen.

(4)

3.1.2 Grundlagen der Zahlen

Zahlen werden in der Mathematik folgendermassen eingeteilt.

1



j z  2  3 j

1 4 2 1 2  ,

4 4 2 1

3 3  ,

1 4 2 3,



 7 1 8 2 , e 

1



j z 2 3 j

B r u c h G a n z e Z a h l e n

Z a h l e n

I m a g i n ä r e Z a h l e n R e e l l e Z a h l e n R e i n k o m p l e x e Z a h l e n

R a t i o n a l e Z a h l e n I r r a t i o n a l e Z a h l e n

U n e c h t e r B r u c h D e z i m a l b r u c h

T r a n s z e n d e n t i r r a t i o n a l e Z a h l e n I r r a t i o n a l e Z a h l e n

E c h t e r B r u c h S t a m m b r u c h

1 4 2 1 2  ,

4 4 2 1

3 3  ,

1 4 2 3,

7 1 8 2 , e

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3 MATHEMATIK

3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade

Unter Zahlengerade versteht man in der Mathematik die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden.

Im Bild wurden die Orte der Punkte der ganzen Zahlen durch senkrechte Striche hervorgehoben.

Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung des eindimensionalen euklidischen Vektorraums . Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen  eine geordnete Menge ist. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

Ganze Zahlen

Die Summe der ganzen Zahlen ist nachfolgend dargestellt.

(6)

3.1.4 Massvorsätze

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz-

zeichen Zehner-

potenz Vorsatz Vorsatz-

zeichen Zehner- potenz

Tera Dezi

Giga Zenti

Mega Milli

Kilo Mikro

Hekto Nano

Deka Piko

Femto

3.1.4.1

Abgeänderte Basis-Einheiten

Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte - Einheiten gesetzlich erlaubt.

Längen m m, mm, cm, dm, km

Zeit s ms, min., Std=h, Tg=d, Jahr=a Strom A A, mA, kA

Gewicht kg g, mg, t

(7)

3 MATHEMATIK

3.1.5 Das griechische Alphabet

Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben.

Grossbuch-

staben Kleinbuch-

staben Translite-

ration Name

1. 

^

a

^Alpha

2. 

^

b

^Beta

3. 

^

g

^Gamma

4. 

^

d

^Delta

5. 

^

e

^Epsilon

6.   z Zeta

7. 

^

ë (gespr. Ä)

^Eta

8.



th

^Theta

9.   i Iota

10.   k Kappa

11. 

^

l

^Lambda

12. 

^

m

^My

13.   n Ny

14.   x Xi

15.   o Omikron

16. 

^

p

^Pi

17. 

^

r

^Rho

18.



s

^Sigma

19. 

^

t

^Tau

20.   y (gespr. ü) Ypsilon

21.



ph (gespr. f)

^Phi

22.   ch Chi

23.   ps Psi

24.



õ

^Omega

Geschichte unserer Buchstaben

Das lateinische Alphabet wurde, über Vermittlung der Etrusker, aus dem westgriechischen Alphabet entlehnt.

Das archaische lateinische Alphabet bestand aus 21 Buchstaben: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X. Im deutschen Alphabet kommen noch die Buchstaben Ä ä, Ö ö und Ü ü sowie – außer in der Schweiz und Liechtenstein – der Kleinbuchstabe ß hinzu.

In zahlreichen Sprachen wurde das lateinische Alphabet um diakritische Zeichen ergänzt (z. B. å, é, ï, ò, û), um weitere sprachspezifische Laute darstellen zu können.

Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des Alphabets. Bei den Griechen hieß dieser Buchstabe “Alpha”. Der zweite Buchstabe des Alphabets hieß

“Beta”. Aus diesen beiden Buchstabennamen ist das Wort “Alphabet”

zusammengesetzt.

Das moderne lateinische Alphabet enthält 26 Zeichen. Diese sind (in Großbuchstaben): A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; Und in Kleinbuchstaben: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n,

o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;

(8)

3.1.6 Prozente und Promille

Prozentwert

Der Prozentwert wird immer als Faktor vom Ganzen (100%) berechnet.

% 100

w%

G W  

%

%  100 G w W

Differenzwert

G G w W 





%

%  100



 G

G w W

Achtung

Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegenüber dem Grundwert.

Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme des Grundwertes (Beispiele: Leistungszunahme, Spannungszunahme und Temperaturzunahme).

G ^Grundwert

G ist der angenommene 100%-Wert

W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird.

Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert

w%Prozentsatz [%]

P‰ Promillsatz [‰]

w Differenzwert

Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert

w%

 Prozentsatz der

Differenz [%]

Praxisbeispiele

Beispiel 1

„Wirkungsgrad - Motorleistung“

2

1 P

P P_V   P1

P 2

P1

P 2

M



%

%  100

Auf Ab

P

 P

„Differenzwert -Leistung“

% 100

1 1 2

%  



 P

P P P

Beispiel 2

„Differenzwert - Spannungsabfall“

RL

U1

B il d 1 . 7 . 1

RV

RL

U2

V^L UL

V^L U^L

V1 V2

I

U % U u_% U 100

1 2

1 

 

Beispiel 3

„Differenzwert -Temperatur“

% 100%

20 20 

 



 



C



 20





B i ld 1 . 2 .1

2  

 

R

R

R2 0

R

 

R

 

P1 Anfangsleistung

] W [

P2 Endleistung

] W [

PV Leistungsverluste

] W [

U1 Anfangsspannung

] V [

U2 Endspannung

] V [

(9)

3 MATHEMATIK

1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 6 PROZENTRECHNEN

u Spannungsabfall

] V [

1 Anfangstemperatur

] C [

2 Endtemperatur

] C [



 Temperaturdifferenz

] C [

(10)

3.1.7 Mathematische Zeichen

(nach DIN 1302)

Beschreibung Beispiel

+ plus, und 347

- minus, weniger 532

x 

mal, multipliziert 2612

: geteilt durch, dividiert 4

3 12 

= gleich 1138



identisch gleich 55

 ungleich, nicht gleich 57



nahezu gleich, rund, etwa 0,333

3 1 

 unendlich 

0 1

< kleiner als 58

 kleiner als oder gleich ab

> grösser als 71

absoluter Betrag ⁷

 ˆ

^entspricht ¹^cm ^^ˆ ⁵⁰⁰^N (z.B. in einer

Zeichnung)

Wurzel aus 9 3

 Summe ⁴ ₁ ₂ ₃ ₄

1

a a a a a

i i    



(11)

3 MATHEMATIK

3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen

3.1.8.1 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 1 Kopfrechnen

Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen.

15

8 418 66 ^560:7 ^9125

10

6 221 12:12 ^320:40 ^8125

125

7 322 1212 ^480:60 ^7125

18

4 323 ^88:11 ^180:3 ^3125

325 422 ^923 ^720:90 ^324

30

7 911 ^28:4 ^450:9 ^915

20

4 512 ^788 ^240:40 ^162

125

6 711 ^560:8 ^240:8 ^1902

18

9 413 ^806 ^420:6 ^3502

18

7 720 ^480:6 ^540:90 ^3602

12

8 724 ^509 ^630:7 ^3702

12

9 815 ^390:3 ^180:9 ^4702

9

9 717 ^1107 ^210:3 ^70100

7

4 980 ^480:12 ^480:80 1000:10

5

5 930 ^156 ^280:4 ^9090

15

6 302 ^150:5 ^560:80 ^7070

17

5 625 ^58 ^320:8 ^300:2

19

4 406 ^40:10 ^210:7 ^320:2

16

8 706 ^44:11 ^720:8 ^2125

16

7 806 ^475 ^240:60 ^480:2

19

5 9060 ^300:5 ^63:9 ^560:2

12

4 703 ^911 ^280:7 ^2225

15

4 47 ^180:3 ^350:5 ^2335

17

6 670 ^720 ^360:4 ^2499

13

8 707 ^250:5 ^99:11 ^780:2

6

6 87 ^4002 ^100:10 ^58:2

6

8 780 ^240:2 ^49:7 ^925

6

2 907 ^129 ^25:5 ^980:2

125

8 880 ^1510 ^36:6 ^3110

6

7 9125 ^336:3 ^16:4 ^700:2

125

3 8125 ^222 ^126:3 ^758

25

4 300:3 ^179 ^648:8 ^1313

24

6 400:5 ^50:2 ^153:3 ^1414

10

10 624 ^352 ^819:9 ^1212

3

2 10010 ^716 ^486:6 ^913

13

2 203 ^224 ^36:6 ^5125

10

5 2130 ^66 ^240:3 ^333:3

18

3 5100 ^990:11 ^90:30 ^222:2

18

7 308 ^10011 ^140:20 ^190:2

14

6 1258

(12)

87 48 26 560:7 1111

68 211 12:4 320:40 816

76 312 612 480:60 718

48 313 88:11 180:3 319

39 412 93 720:90 320

73 911 28:4 450:9 415

49 512 78 240:40 162

69 711 56:8 240:8 192

96 413 86 420:6 352

78 720 48:6 540:90 362

88 719 59 630:7 372

98 815 39:3 180:9 472

99 717 117 210:3 7100

47 980 48:12 480:80 1000:10

55 930 56 280:4 890

65 302 15:5 560:80 705

57 630 58 320:8 300:2

48 406 40:10 210:7 320:2

86 706 44:11 720:8 295

76 806 47 240:60 480:2

59 960 30:5 63:9 560:2

46 703 911 28:7 2225

38 47 18:3 35:5 2335

69 670 79 36:4 2499

89 707 25:5 99:11 780:2

66 87 42 100:10 58:2

86 780 240:2 49:7 325

26 907 29 25:5 980:2

83 880 510 66:6 3110

76 98 36:3 16:4 700:2

33 86 22 12:3 708

45 30:3 172 64:8 613

64 400:5 50:2 15:3 714

1010 64 352 81:9 1012

23 10010 76 48:6 913

213 203 24 36:6 570

510 2130 36 240:3 333:3

38 5100 99:11 90:30 222:2

78 308 1011 140:20 190:2

69 78 1111 60:5 1212

(13)

3 MATHEMATIK

1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 8 EINMALEINS DER ZAHLEN

1215 418 616 560:7 9125

1210 1221 12:12 320:40 8125

8125 322 1212 480:60 7125

1118 323 88:11 180:3 3125

1525 422 920 720:90 1224

730 1111 284:4 450:9 1115

1820 512 788 240:40 162

6125 711 560:8 240:8 1902

918 413 806 420:6 3502

718 720 480:6 540:90 3602

812 724 509 630:7 3702

912 815 390:13 180:9 4702

199 717 1107 210:3 70100

147 980 480:12 480:80 1000:10

155 930 1515 280:4 9090

1515 302 150:5 560:80 7070

517 625 518 320:8 3000:2

418 406 40:10 210:7 3200:2

816 706 400:10 720:8 20125

716 806 475 240:60 480:2

1519 960 300:5 63:9 560:2

1212 703 911 280:7 2225

1515 417 180:30 350:5 2335

615 670 7020 360:4 2499

812 7070 250:5 990:11 780:2

66 807 4002 100:10 580:2

88 780 240:2 490:7 1925

22 907 1209 250:5 980:2

9125 8080 1510 360:6 11110

716 9125 336:3 160:4 700:2

3125 8125 2220 126:3 758

425 300:3 179 648:8 1313

624 400:5 500:2 153:3 1414

1010 624 3502 819:9 1212

23 10010 716 486:6 913

1313 2020 224 360:6 5125

1510 2130 2024 240:30 333:3

318 5100 990:11 90:30 222:2

718 3008 10011 140:20 190:2

614 1258 1111 600:5 1212

(14)

3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum

) 1 (

)

( ₁ ₂









 

n

a b n a x l

) 1 (

) ( ₁ ₂





  n

a a x l

l

a1 b

x

^b

x

^b

x

^b a₂

B il d 2 2 . 0 5 . 0 6

l

a1 b b b b a₂

2

1 n b (n 1) x a

a

l      

l

a1 a₂

b

x x x

B il d 2 2 . 0 5 . 0 7

l

a1 a₂

b

2

1 (n 1) x a

a

l    

l

a1 x x x a₂

B il d 2 2 . 0 5 . 0 8

l

a1 a₂

Bei allen eingesetzten Einheiten ist auf die Gleichheit zu achten.

] [m

] [dm

] [cm

] [mm

Einheitenumrechnung siehe Seite 304.

x

Lampenabstand [m]

b Lampenlänge [m]

a1 Wandabstand

links [m]

a1 Wandabstand

rechts [m]

n

Anzahl Lampen []

(15)

3 MATHEMATIK

3.1.1 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse

Länge



^Fläche



^Volumen



Exponent 1 2 3

* mm

101 10² 10³

* cm

101 10² 10³

* dm

101 10² 10³

* m

103 10⁶ 10⁹

* km

:

Rechnet man von einem kleineren Mass zu einem grösseren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle dividiert werden.

.

Rechnet man von einem grösseren Mass zu einem kleineren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle multipliziert werden.

mm

100 = ?

m

Teiler mm

100 =

1000 100mm

= ⁰^,¹^m

Dies entspricht einem Teiler von 1000

10³ .

1dm3 = ?cm³

Faktor dm³

1 = 1dm³1000 = 1000cm³

Dies entspricht dem Faktor 1000.

(16)

3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen

Geschichte unserer Ziffern

Der deutsche Gelehrte Gerbert de Aurillac (945 geboren) rechnet als erster mit arabischen Ziffern, die er in der spanischen Grenzmark kennengelernt hat – also mit den Zahlen „Westarabiens“. Diese fanden sehr schnell Eingang in die europäischen

Gelehrtenstuben – die Null wurde erst im 12.

Jahrhundert in die westliche Mathematik eingeführt („Null“ oder „leer“ ist die arabische Übersetzung des (indischen) Sanskritwortes sunya , welches die gleiche Bedeutung hat).

Kurz nach der Übernahme durch Gerbert „starb“ die westarabische Schreibweise der Ziffer aus und wir sind auf der ostarabischen Schreibweise der Ziffern

„sitzengeblieben“ .

Die Synthese griechischer und indischer Wissenschaft (mit babylonischen Erkenntnissen gewürzt) legte den Grundstein der arabischen Gelehrsamkeit

und Wissenschaft, die in der Zeit vom 8. bis zum 12. Jahrhundert die glänzenste Periode erlebte.

Das arabische Reich teilte sich im 13. Jahrhundert in zwei Teile – der ostarabische Teil mit seinem Zentrum Bagdad und Damaskus und der

westarabische Teil mit seinem kulturellem Zentrum in Cordova.

So nahmen auch die Zahlen zwei unterschiedliche Entwicklungen. Die westarabische Ausprägung und die ostarabische Ausprägung.

3.1.12 Zahlengrössen

3 Kilogramm

3 kg 3 kg

Masszahl + Masseinheit = Zahlengrösse

3.1.13 Symbole für Zahlen

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, werden immer Länge und Breite miteinander

multipliziert. Diese Gesetzmässigkeit kann man auch durch Symbole, z.B. Buchstaben, ausdrücken:

Fläche ^Länge^Breite Berechnung in Worten.

a ^Länge [m]

b ^Breite ^[^m^]

A ^Fläche ^[^m²^]

b a A  Formelgleichung

(17)

3 MATHEMATIK

3.1.14 Grafische Darstellungen

Die Basis aller grafischen Darstellungen ist die Wertetabelle. Aus der Wertetabelle wird anschliessend ein Diagramm erstellt. Die drei wichtigsten Diagrammtypen sind nachfolgend anhand je eines

Beispiels dargestellt.

Liniendiagramm

t v  s

[ h ] t 0

S [ k m ]

1 2 3

4 8 1 2 1 6 2 0

t v  s

Durch Liniendiagramme können Funktionen und Messungen veranschaulicht werden.

Balken- / Säulendiagramm

Ein Säulendiagramm (vertikal) oder ein Balkendiagramm (horizontal) wird meistens für einfache Vergleiche verwendet.

Tortendiagramm

Tortendiagramme dienen zum Aufzeigen der prozentualen Verteilung ausgehend vom Grundwert (100%).

Sankey-Diagramm

Ein Sankey-Diagramm ist eine graphische Darstellung von Mengenflüssen. Anders als beim Flussdiagramm werden die

Mengen durch mengenproportional dicke Pfeile dargestellt.

Sankey-Diagramme sind wichtige Hilfsmittel zur Visualisierung von Energie- und Materialflüssen sowie von Ineffizienzen und

Einsparpotenzialen im Umgang mit Ressourcen.

Energiekonzept für ein Gebäude

(18)

3.1.15 Mittelwerte

3.1.15.1

Arithmetische Mittelwert

Merke:

Arith- metrisches Mittel

Praktische Anwendung

Mittlerer Durchmesser einer Spule

di

da

dm

3.1.15.2

Geometrische Mittelwert

Merke:

Geo- metrisches Mittel

Nr.

1

H z

f1 3 0 0 f₂  3'3 0 0 H z

H z f0  9 9 5

H z

f1 3 0 0 f₂  3'3 0 0 H z

H z f0  9 9 5

Telefonübertragungsbereich in logarithmischer Einteilung. Die Mittenfrequenz ist 995 Hz.

Der Abstand von 300 Hz bis 995 Hz ist gleich dem Abstand von 995 Hz bis 3300 kHz.

Der Frequenzbereich 300 Hz bis 3,3 kHz ist die Bandbreite der Übertragung von 3 kHz.

Manchmal geht der Telefonbereich sogar bis 3,4 kHz.

Nr.

2

H z

f₁ 2 0H z f₀ 6 3 2,5H z f₂ 2 0'0 0 0H z

f₁ 2 0 f₀ 6 3 2,5H z f₂ 2 0'0 0 0H z

Hörbereich in logarithmischer Einteilung. Der Abstand von 20 Hz bis 632 Hz ist gleich dem Abstand von 632 Hz bis 20 kHz. Siehe die angegebenen Punkte.

Nr. 1 Als Beispiel wurden hier die

Grenzfrequenzen einer Telefonübertragung vorgegeben: f1 =

300 Hz und f2= 3300 Hz, wobei die richtige Mittenfrequenz f0 = 995 Hz als geometrisches Mittel ist und nicht

die 1800 Hz der Berechnung des arithmetischen Mittels. Was für ein

Unterschied!

Nr. 2

Der Hi-Fi-Hörbereich ist von f1 = 20 Hz und f2 = 20000 Hz angegeben, wobei die richtige Mittenfrequenz f0=632,5 Hz - als geometrisches Mittel ist und nicht die 10,010 kHz

aus der Berechnung des arithmetischen Mittels. Dieses ist

häufig nicht klar!

(19)

3 MATHEMATIK

3.1.15.3

Quadratische Mittelwert

Merke:

Quadratisches Mittel

Nr. 1

Da in der Elektrotechnik bzw. Elektronik die Spannungsverläufe häufig stark vom Sinusverlauf abweichen, können hiermit erheblich falsche Messwerte entstehen.

Messgeräte, die den Effektivwert tatsächlich gemäß seiner Definition bstimmen, werden Echteffektivwert- Messgeräte genannt und mit der Bezeichnung True RMS bzw. TRMS ausgewiesen (RMS = root mean square = Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats)

Elektronische Schaltung zur Echt-Effektivwertbildung

Nr. 2 Elektromechanische Dreheisenmessgeräte arbeiten „TRMS“- bildend und zeigen daher unabhängig vom

zeitlichen Verlauf den Effektivwert an.

Auch sie sind nur für einen begrenzten Frequenzbereich geeignet..

3.1.15.4

Harmonische Mittelwert

Merke:

Harmonisches Mittel Kehrwert des arithmetischen Mittel

Nr. 1

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke die Zeit (also Durchschnittsgeschwindigkeit ) und für die Teilstrecke die Zeit (also Durchschnittsgeschwindigkeit ),

so gilt für die

Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete

harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

(20)

3.1.16 Proportionen und Verhältnisse

Grössenvergleiche können durch Verhältnisse beschrieben werden. Das Verhätnis von

a

zu b ist der Quotient a:b. Man liesst „a verhält sich zu b“ oder „a zu b“.

Verhältnissgleichung

Wenn die Verhätnisse a:b und c:d den gleichen Wert haben, können sie gleichgesetzt werden.

Verhältnisse  Verhältnissgleichung

a : b = c : d

i n n e r e G l i e d e r

ä u s s e r e G l i e d e r 8 : 4 2 : 1 

Produktegleichung

Das Produkt der äusseren Glieder einer Proportion ist gleich dem Produkt der innenren Glieder.

Proportion  Produktegleichnung

a . d = b . c

4 : 2 8 : 1 

Das Verhältnis a:b werden wir meist als Bruch b

a schreiben und durch Erweitern und/oder Kürzen vereinfachen. Verhältnisse, die aus mehreren Zahlen oder Grössen gebildet werden, kann man eben

falls vereinfachen.

Bein Vergleich von Grössen können folgende Aussagen gemacht werden:

a

Die Strecke

a

ist 20mm lang.

b

Die Strecke b ist 30mm lang.

a

ist um 10mm kürzer als b. b ist um 10mm länger als

a

.

a

ist um ein Drittel kürzer als b. b ist um die Hälfte länger als

a

.

a

ist 3

2 -mal so gross wie b. b ist 2

11 -mal so gross wie

a

.

a

verhält sich zu b wie 2:3. b verhält sich zu

a

wie 3:2.

(21)

3 MATHEMATIK

3.1.17 Absoluter Betrag

Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a versteht man ihren Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, geschrieben ^a .

3.1.17.1

Rechenregeln a)

^a^^b ^ ^a ^ ^b

b)

^a^^b ^ ^a ^ ^b

c)

â ^ ^b ^ â ^ ^b â ^ ^b ^ â^^b â^^b ^ â ^ ^b

d)

^{a b}^ ^ ^{a b}^

e)

^a_b ^ ^a_b

(22)

3.1.18 Zahlenbereiche

(23)

3 MATHEMATIK

3.1.19 Rechnen mit dem Taschenrechner

In der Technik müssen viele Berechnungen durchgeführt werden. Meistens verwenden wir dazu einen technischen Taschenrechner. Einige der gebräuchlichsten Tasten sind nachfolgend kurz beschrieben.

(24)

3.1.2 Umrechnung Dezimal- in Dualsystem

Umrechnung Dual-in das Dezimalsystem

Die Umrechnung vom Dualsystem in das Dezimalsystem wird wie folgt gehandhabt.

(25)

3 MATHEMATIK

3.1.21 Römische Ziffern

Die Zuordnung der Rämischen Ziffern in das römische System ist nachfolgend dargestellt.

Umrechnung Römisch in das Dezimalsystem

Die Umrechnung vom Römischen System in das Dezimalsystem wird wie folgt gehandhabt.