Mathematik mündliche Fragen Seite 1 von 5

Geg: x²2x0

 Was liegt hier vor?

 Wieviele Lösungen hat diese Gleichung?

 Welche Lösungswege kennen Sie?

Für zwei Funktionen f(x) und g(x) gelte f '(x)g'(x) für alle x. Was können Sie über die beiden Funktionen sagen?

Ich verrate Ihnen die Näherungen lg20.301 und lg30.477.

Welche weiteren Zahlen können Sie daraus berechnen? Welche Gesetze haben Sie angewendet?

 

 

a ; b

3 4

   .

 Wie gross ist das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren? Was folgern Sie daraus?

 Welchen Betrag hat a?

 Was ist ein Vektorprodukt? Definition?

Eigenschaften?

 Was gibt 1 3

2 1

3 4

   

   

   

   

? Probe?

Unbestimmtes Integral: Was bedeutet f(x)dx





1 3

3x c)

Warum muss hier " + c " stehen?

Zeichnen Sie das Bild von

| y || x | Zeichnen Sie den

Graphen der Funktion f(x)e^x .

Welche praktische

Bedeutung hat diese Funktion?

(Antwort: Zerfallsfunktion) Für welche spitzen Winkel  , gilt

sin sin sin(  )?

(Antw:  0 oder  0, denn sonst ist die linke Seite grösser als die rechte.

yx2. Wie sieht der Graph aus?

Ändern Sie die Funktion so, dass der Graph um 3 Einheiten nach rechts / nach rechts / nach oben / nach unten verschoben ist.

Ableitung von f(x)sin(x²5x) ? 36 Spielkarten, 4 davon DAMEN.

Sie ziehen nacheinander 3 Karten, ohne die jeweils gezogene zurückzulegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehen Sie 3 DAMEN?

Welche Symmetrieeigneschaft hat der Graph von yx²? Zeigen Sie noch andere

Funktionen, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist (nicht lauter

Potenzfunktionen).

Geg: Kreis k : (x2)²(y 1) ² 1.

 Tangenten von P(5 | 0) aus an k.

 Parabel yax² suchen, die den Kreis berührt.

In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, nummeriert von 1 bis 20.

Man zieht gleichzeitig zwei Kugeln.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der gezogenen Nummern gerade?

f(x)ln(2x3)

 Bild, Definitionsbereich, Nullstelle, Schnittwinkel bei der Nullstelle.

 Tangente von (0 | 0) aus an den Graphen legen (gesucht Berührpunkt, Steigung, Gleichung).

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 6 Personen zwei an

 an einem Sonntag

 am gleichen Wochentag Geburtstag haben?

 Diskutieren Sie

2

| 2x | y

x 4

 

 Diskutieren Sie

2

| 2x | y

x 4

 

Sie würfeln mit einem guten Würfel 3 mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der ersten beiden Würfe gleich viel wie die Augenzahl des dritten Wurfes?

3 Punkte A(1| 2) ; B(5 | 3); C(2 | 6) Gesucht: Normale zu AB durch C.

Aufgabe unabhängig voneinander in 3 Varianten lösen:

– mit Koordinatenform ax+by+c=0 – mit Parameterform r u tv – mit expliziter Form y mx q  . Durch den Punkt

(6|7) die Gerade legen, die im ersten Quadranten ein Dreieck mit der Fläche 84

ausschneidet. Geradengleichung?

(6 | 7) 84

x y

0

x y

0

x y

0

x y

0

u Erklären Sie das skalarprodukt: Definition?

Wichtigste Eigenschaften? Berechnung aus den Koordinaten? Wozu kann man es brau- chen?

Gebrochen rationale Funktion zeichnen, erklären, ableiten.

"Ein-Minuten-Problem": Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln zwei gleiche Zahlen zu werfen.

Kreis k : x²y²4x3y0.

 Mittelpunkt, Radius (quadratisch ergänzen).

 Tangente an k, die parallel

Sie würfeln 3 Zahlen a, b und c mit einem Spielwürfel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Gleichung ax²b x c 0 genau eine Lösung? (b² 4ac).

x

f (x)1 e^ und f (x)₂ e^{x 1} zeichnen.

Gemeinsame Fläche zwischen den Graphen und der x-Achse berechnen (von  bis

).

x

f (x)1 e^ und f (x)₂ e^{x 1} zeichnen.

Schnittwinkel der beiden Funktionsgraphen berechnen.

f(x) 3x33x

 Graph zeichnen

 Tangente im Wendepunkt

 Kurvennormale im Wendepunkt

 Fläche zwischen der Kurvennormalen und der Kurve berechnen

Gleichungssystem

2 2

2 2

x y 0

(x a) y 1

  

    ^lösen.

Zeichnerisch die Anzahl Lösungen in Abhängigkeit von a diskutieren:

Gegeben:

1 2

a 3 ; b 1

2 1

   

   

 

   

   

Finden Sie einen Vektor c, der auf a und b senkrecht steht und den Betrag 5 hat.

Wie berechnet man generell den Schnittwinkel  zwischen zwei Funktionskurven? Antwort:

1. f(x)g(x) lösen x_i 2. m_f f '(x )_i , m_gg'(x )_i . 3. Via Tangens Steigungswinkel,

dann Differenz. Oder

mit Formel ^{f g}

f g

m m

tan 1 m m

  



 Warum Betrag?

 Kennen Sie (zufällig) die Trigo-Formel, von der obige Formel stammt?

tan tan

tan( )

1 tan tan

  

   

  

Vergleichen Sie die beiden Kurven ylg x und ylog₁₀₀x.

Wie unterscheiden sie sich?

Ein Quadrat und ein gleichseitiges Dreieck haben beide denselben Umfang u. Welche Fläche ist grösser? Berechnen Sie das Verhältnis der beiden Flächen.

Ein Würfel wird 6 mal geworfen.

 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten drei Würfen mindestens einmal die Sechs fällt?

 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten drei Würfen keine Sechs fällt?

Gegeben der Vektor ^r

 

Gesucht ein zu r paralleler Vektor s mit der Länge 2.

Viereck mit den Ecken A(0 | 0), B(5.2 | 3.9), C(7.7 | 9.9) und D(2.5 | 6) aufzeichnen. Was könnte es für eine Figur sein? (Es war ein Rhombus.) Beweis:

 Zeigen, dass ABDC

 Zeigen, dass ACBD Skizzieren Sie grob

f(x) 1 x2.

Wie ist u zu wählen, damit die beiden Flächenstücke ober- und unterhalb der x-Achse gleich gross sind?

yx

y x y

x

x y

0

x y

0

x) 6 2x2

 Stammfunktion?

 Alg. Definition des bestimmten und des unbestimmten Integrals?

 Obige Funktion von 0 bis 3 inte- grieren. (Gab null)

 Warum gibt dieses Integral null? (An der Zeichnung erklären: gleiche Flächen über und unter x-Achse.)

Gegeben Kreis k : x²y²16 und Punkt A(6 | 4).

 Zeigen, dass A ausserhalb k liegt.

 Mittelpunkt und Radius von k?

 Von A aus Tangenten an k. Was für Methoden gibt es?

– mit Polarisieren

– mit Thaleskreis (über MA)

– mit Punkt-Steigungsform (y = m(x - 6) + 4 und fordern, dass

Schnittgleichung nur 1 Lösung hat)

 Lösung mit Thaleskreis zeigen.

ysin x und ycos x im gleichen Koordinatensystem zeichnen.

 Cosinuskurve nach oben verschieben, bis sie die Sinuskurve berührt.

(ycos xq, q?)

x y

0

x y

0

 Ein Flächenstück zwischen den Kurven berechnen.

Zeichnen Sie yln x . Wie gross ist die Fläche zwischen den Koordinatenachsen und der Kurve? (Antw:

1

0

A



Nun kennen Sie ja vermutlich keine Stammfunktion vonln x.

Berechnen Sie daher die Fläche via Umkehrfunktion.

Antwort: ye^x.

0 x x 0

A e dx [e ]_







0 1

e e^ 1 e_ 1 0 1

      

10 Personen. Wieviele verschiedene

Dreiergruppen lassen sich auswählen?

(Antwort:

 

    

 ⁾

Geg. 2 Vektoren a und b. Vektor b auf a

projizieren.

Erklären Sie das Skalarprodukt genau.

Welches ist die Menge aller Punkte, die vom Punkt (4 | 1) den Abstand 2 haben?

Schreiben Sie die Gleichung an. Legen Sie nun vom Punkt (0 | 3) die Tangenten an den Kreis.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 4 zufällig gewählten Personen genau 2 weiblichen und 2 männlichen Geschlechts sind?

(Annahme: P( )o P(o )¹₂) 2 Funktionen: ye^{x 2} , ye^x Schnittpunkt? Schnittwinkel?

Urne mit 5 schwarzen, 6 weissen, 7 roten Kugeln. Man zieht zwei.

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (2 schwarz) oder (weiss und rot) ?

Einmal mit und einmal ohne Zurücklegen lösen.

(Ich musste selber auf die Idee kommen, zu fragen, ob mit oder ohne Zurücklegen.)

Einen Würfel 2 mal werfen.

 Mit welcher Wahrscheinlicheit ist die zweite der geworfenen Augenzahlen grösser als die erste?

 Mit welcher Wahrscheinlicheit ist die Summe der geworfenen Augenzahlen <7 ? f(x)ln(x2).

 Steigung des Graphen bei x=3 ?

 Graph zeichnen.

 Allgemeine quadratische Funktion aufzeichnen.

 Ableitung davon.

 Definition und Bedeutung der Ableitung.

Differenzen- und Differentialquotient an der Zeichnung aufzeigen und erklären.

Was bedeutet e?

Was bedeutet ?

Schätzen Sie im Kopf e^ ab.

a b

x y

0

x y

0

x y

0 x y

0 x y

0 x y

0

Satz von Vieta? Was kann man mit diesem Satz anfangen? Daraufhin musste ich mit einem Zahlenbeispiel rechnen:

2

1 2

Geg : 0 x 4x u , x 7 Ges : x ?

   



ycos x, ycos(2x), y2cos x

aufzeichnen und von jeder dieser Funktionen die Ableitung bilden.

Wie lautet der Satz von Vieta?

x217 x 10 0. Wie gross ist die Summe der Kehrwerte der Lösungen? (Mit Vieta ausrechnen.)

 ycos x aufzeichnen.

Periode? Definitions- und Wertebereich?

Ableitung?

 ycos2x: Wie verändert sich die Kurve?

Wie die Ableitung?

(x 4)(x 5)(x 2)

f(x) x 5

  

 

zeichnen, diskutieren, integrieren.

Zeichnen Sie die Kurve yx² . Wie heisst sie? Zeichnen Sie noch den Punkt P(1| 0) ein. Legen Sie durch P die Tangenten an die Parabel und bestimmen Sie deren

Gleichungen.

Gegeben sind die zwei Gleichungen 2x 3y 7 0

2x 3y 1 0

  

   ^.

Was fällt auf? Interpretation? (Parallele Geraden)

 Abstand der beiden Geraden?

 Gleichung der Mittelparallelen?

Herr Merz verlangte klare Antworten, viele Details und genaue Namen (z.B. yx² ist die "quadratische Normalparabel". Ich konnte neben ihm Platz nehmen und musste nicht an die Wandtafel.

 

p   12 Was stellt das dar?

(Parameterform der Ursprungsgeraden mit Richtungsvektor

 

 Spiegeln Sie den Punkt P(0 | 13) an der Geraden.

yx22x2. Was ist das? Legen Sie die Tangenten von P(1| 7) an die Parabel (Berührpunkte und Gleichungen).

Analytische Geometrie: Der Kreis (selber erzählen).

Die Funktion f(x)¹₄(4x) x im Intervall [0;4] erklären.

 Wie kann man in der analytischen Geometrie eine Gerade beschreiben?

 Wie lautet die Gerade durch die Punkte (3|1) und ((6|2)

– in Koordinaten form?

– in Parameterform?

 Zahlenmengen , , und be- schreiben.

 Zeigen, dass 2 .

Die Graphen der 4 Funktionen y2^x, y2x 3^ , y2^x, y2x^3

zeichnen (auf ein Blatt Papier).

f(x)x3 zeichnen.

 1. und 2. Ableitung berechnen.

 Was zeigen uns die beiden Ableitungen?

 2. Ableitung ins gleiche Koordinatensystem zeichnen. Bedeutung des Wendepunktes?

 Skalarprodukt: Definition. Kommutativ?

Distributiv?

   

 Vektorprodukt: Definition. Kommutativ?

Distributiv?

2 1

3 4 ?

1 1

   

    

   

   

Probe?

Ungleichung 2 x 3 1

 ^lösen.

Gebrochen rationale Funktion x2 3x 2

f(x) x 4

 

  diskutieren:

Wie könnte sie aussehen? Definiti- onsbereich? Pole? Nullstellen? Verhalten weit aussen?

Gegeben Gerade g: y3x2.

 Normalenvektorzu g?

 Abstand des Punktes P(2 | 1) von g? (Mit HNF)

Wir betrachten die Zahl x2¹⁰⁰⁰

 Wieviele Stellen hat die Zahl x ? Gemeint war dies:

0.30103...

301.03... 0.03... 301

lg x 1000 lg2 301.03...

x 10 10 10

  

  

Also 302 Stellen.

 Wie heisst die letzte Stelle von x?

Gemeint war dies: ^{21000 }

 

Weil 6 6 36ist, haben natürliche

Potenzen von 16 immer eine 6 am Schluss, auch 2¹⁰⁰⁰

Referieren Sie über die Zahlen 8,2727272727... und 8,27227222722227222227... . f(x)x100 und g(x)x¹⁰⁵ zeichnen.

 Beweisen, dass f(x) bei x=0 ein relatives Minimum hat.

 Zeigen, dass g(x) bei x=0 einen Terrassenpunkt hat.

Zwei Würfel gleichzeitig werfen.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Doppelsechs ist ¹

36. Wie erklären Sie das einem Laien?

 Der Laie habe 360 mal gewürfelt und 4 Doppelsechser erzielt. Wieviele wären zu erwarten gewesen? Wie erklären Sie dem Laien die Diskrepanz?

Viertelskreis mit Radius r entlang der geraden Kanten zusammenkleben.

Wie heisst der entstehende Kör- per? Wie gross ist sein

Volumen?

Diskutieren Sie den Verlauf der Funktionen yxnfür die Exponenten n = 3, 2, 1, 0, -1, und –2.

20 Personen. Wie gross ist die

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?

(Tip: Gegenereignis betrachten) ysin x und ycos x zeichnen.

Flächenstück zwischen den beiden Kurven berechnen.

Funktion yx³ erklären.

Funktion yx²bx erklären.

Wie muss man b wählen, wenn sich die Graphen berühren sollen?

Zwei Würfel 2 mal werfen.

Gewonnen, wenn

1. Wurf Augensumme 8 und

2. Wurf Augensumme 8 oder eine der Kombinationen 3/4, 4/5, 5/6.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit P gewinnt man?

Die Eingabe 2¹⁰⁰⁰ gibt "ERROR" auf dem Taschenrechner. Wieso?

 Wie kann man 2¹⁰⁰⁰ trotzdem mit dem Taschenrechner berechnen?

 Schätzen Sie 2¹⁰⁰⁰ von Hand ab.

Dose mit 1 Liter Inhalt soll minimale Oberfläche haben. Ich musste die Idee

2 2

V r h h ...

S(h) ...

S 2 r 2 rh

dann S'(h) 0 h ...

      

     

  

erläutern, aber nicht zu Ende führen.

 sinx aufzeichnen und Definition am Einheitskreis.

 cosx dazu zeichnen.

 Fläche unter sinx-Buckel?

 ²

0

sin xdx



 Wie sehen folgende Graphen aus?

y2sin x, sin2x, sin(x2^)

 Über Kreis referieren

 Trapezfläche A m h beweisen.

 Gleichschenkliges Trapez rotiert um seine Symmetrieachse. Volumen?

Verbindet man in einem beliebigen Viereck die Seiten- mitten, entsteht ein Parallelogramm.

Beweisen Sie das mit Vektorrechnung.

4 2

x 1

f(x) x

  diskutieren.

r

x y

0