Algebra, Fonktionalanalysis oDd Codierong
Eine Einfuhrung fur Ingenieure
Von Dr. rer. nat. Harro Heuser
o. Professor an der UniversiHit Karlsruhe und Dr.-Ing. Hellmuth Wolf
o. Professor an der Universitat Karlsruhe Mit 48 Figuren und 205 Beispielen
B. G. Teubner Stuttgart 1986
Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser
Geboren 1927 in Nastiittenffaunus. Studium der Mathematik und Physik an der Universitiit Tiibingen von 1948 bis 1954. Staatsexamen 1954, Promotion 1957 in Tiibingen. Habilitation 1962 in Karlsruhe. Von 1955 bis 1968 Tiitig- keit an verschiedenen Hochschulen und in der Praxis. 1968 Berufung auf den ordentlichen Lehrstuhl fiir Mathematik V der Universitiit Karlsruhe (TH). Gastprofessuren in USA, Kanada, Kolumbien und Itallen.
Prof. Dr.-Ing. Hellmuth Wolf
Geboren 1926 in SiebenbiirgenJRumiinien. Studium der Elektrotechnik an der Technischen Hochschule Stuttgart von 1946 bis 1952. Wissenschaftli- cher Assistent an der Technischen Hochschule Aachen von 1952 bis 1959, Promotion 1955. Industrietiitigkeit von 1959 bis 1967, Habilitation 1966 in Stuttgart. Seit 1968 ordentlicher Professor und Leiter des Institutes fiir Nachrichtensysteme der Universitiit Karlsruhe (TH).
CIP-KurztiteIaufnahme der Deutschen Bibliothek Heuser, Harm:
Algebra, Funktionalanalysis und Codierung : e. Einf. fUr Ingenieure / von Harro Heuser u. Hellmuth Wolf. - Stuttgart: Teubner, 1986.
ISBN-13: 978-3-511).()2954-{) e-ISBN-13: 978-3-322-82979-5 DOl: 10.10071978-3-322-82979-5
NE: Wolf, Hellmuth:
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© B. G. Teubner, Stuttgart 1986
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Vorwort
Dieses Buch verdankt seine Entstehung der wohlbekannten Tatsache, daB der Student der Ingenieurwissenschaften in zunehmendem MaBe mathematisch iiber- fordert wird. Die Mathematik ergreift Besitz von den Ingenieurwissenschaften auch auf Gebieten, die in der klassischen Ingenieurmathematik kaum behandelt werden: Mengen und Ordnungsstrukturen, topologische und algebraische Struktu- ren und deren Weiterentwieklung zu normierten Vektorriiumen, insbesondere zu den Hilbertriiumen und deren Transformationen. Auf diese mathematischen Grundlagen stiitzen sieh die Systemtheorie, die Nachriehtentechnik und zahlreiehe andere Gebiete. Die "Mathematisierung" der Ingenieurwissenschaften schreitet unaufhorlich voran.
Der Student der Ingenieurwissenschaften sieht sieh dabei dem Dilemma ausge- setzt, daB der Mathematiker eben Mathematik und der Techniker Technik lehrt, wobei ihm die Zusammenhiinge verlorengehen oder gar nieht erst erkennbar wer- den. Aus diesem Grunde greifen die Techniker oft zur Selbsthilfe, indem sie fUr die wichtigsten mathematischen Ergiinzungsgebiete selbst Vorlesungen anbieten. Dies kann zwar im pragmatischen Sinne hilfreieh sein, jedoch auch zu mathematischen Unkorrektheiten oder gar Irrtiimern fiihren. Hier kann nur durch enge Zusam- menarbeit Abhilfe geschaffen werden.
Die Autoren dieses Buches sind ein Mathematiker (Heuser) und ein Techniker (Wolf), die sieh zusammengefunden haben, urn dieses Problem zwar nieht zu losen, aber auf einigen wiehtigen Teilgebieten zu mildern. Der Mathematiker soUte dabei fiir Korrektheit, der Techniker fUr Anwendbarkeit sorgen. Beide haben bei diesem Versuch viel gelernt.
Behandelt werden, wie schon angedeutet, die wiehtigsten Grundlagen der"Men- genlehre mit Aquivalenz- und Ordnungsstrukturen, die metrischen und algebrai- schen Strukturen, einschlieBlich der linearen Riiume (Vektorriiume), der Homo- morphismen und linearen Operatoren. 1m Begriff des normierten Raumes werden linearalgebraische und metrische Strukturen miteinander verschmolzen. Nach Ein- fUhrung des Innenproduktes erhiilt man dann die fiir die Technik besonders wichti- gen Hilbertriiume. Ein Kapitel iiber Polynome, besonders auch Polynome iiber endlichen Korpern, fUhrt auf die Grundlagen der Codierungstheorie.
Der Text wurde nach Moglichkeit mit technischen Beispielen angereiehert. Diese Beispiele stammen - autorenbedingt - aus dem Bereieh der Systemtheorie und Nachrichtentechnik. Es gibt sieherlich ebenso gute Beispiele aus anderen inge- nieurwissenschaftlichen Gebieten. Die Beispiele sind dabei als "exemplarisch"
anzusehen. Sie taugen damit weniger als "Anleitung zu praktischem Handeln", sondern vielmehr als "Briicke" fUr das Verstiindnis des Zusammenhanges zwischen
4 Vorwort
Mathematik und Technik. Weiteres Eindringen in die technischen Probleme ist anhand der umfangreichen Spezialliteratur moglich. Auch die Codierungstheorie im letzten Kapitel ist in diesem Sinne zu verstehen. Dabei wird auf die Frage, ob die Codierungstheorie Teil der linearen Algebra ist, nicht eingegangen: Die Codie- rungstheorie wird hier, mit Einschriinkungen, als Beispiel fUr die Anwendbarkeit der Mathematik dargestellt. Auf Literaturangaben im Text haben wir verzichtet.
Am Ende des Buches befindet sich jedoch ein Literaturverzeichnis, auf das der Leser ausdriicklich hinge wiesen sei.
Die Autoren danken, zuniichst im mathematischen Bereich, Herm Dipl.-Math.
Christoph Schmoeger, der das Manuskript durchgesehen und uns vor manchem Fehler bewahrt hat. 1m technischen Bereich ist vorerst Herrn Priv.-Dozent Dr.- Ing. Gunter Dieterich zu danken, der seinerzeit als wissenschaftlicher Assistent am Institut fUr Nachrichtensysteme immer wieder auf die Wichtigkeit dieser Gebiete hingewiesen hat. Weiterhin danken wir Herm Dipl.-Ing. Hans-Eckard Miiller, wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fUr Nachrichtensysteme, fUr die sorgfiil- tige Durchsicht und Korrektur des Manuskriptes. Herzlich danken wir schlieBlich Frau Kiithe Zeder fUr die Herstellung des Maschinenskriptes und dem Teubner- Verlag fUr die stets erfreuliche Zusammenarbeit.
Karlsruhe, im April 1985 Harro Heuser
Hellmuth Wolf
Inhalt
1
2
3
4
Mengen
1.1 Mengen und ihre Teilmengen 1.2 Verkniipfungen von Mengen 1.3 Relationen ...
1.4 Aquivalenzrelationen 1.5 Ordnungsrelationen 1.6 Funktionen . ...
Metrische Raume
2.1 Begriff des metrischen Raumes . 2.2 Topologische Grundbegriffe 2.3 Konvergenz
2.4 Stetigkeit . . . . Algebraische Strukturen
3.1 Gruppoide und Halbgruppen . 3.2 Gruppen
3.3 Ringe ...
3.4 Korper ..
3.5 Verbande . 3.6 Vektorraume 3.7 Algebren ..
3.8 Homomorphismen 3.9 Lineare Operatoren 3. 10 Homomorphe Systeme Normierte Raume
4.1 Begriff des normierten Raumes . . . . 4.2 Das Lebesguesche Integral und die Banachraume U(a, b) . 4.3 Stetige lineare Operatoren . . . .
4.4 Stetige lineare Funktionale. Der Dualraum 4.5 Innenproduktraume . .
4.6 Hilbertraume . . . . 4.7 Adjungierte Operatoren 5 Nullstellen von Polynomen
5.1 Nullstellen und Reduzibilitat
10 7 15 17 19 21
27 31 33 38
40 42 46 51 53 59 68 69 74 83
87 91 101 96 106 113 126
135
6 Inhalt
5.2 Quotientenringe und Nullstellenbestimmung . 5.3 Minimalpolynome . . . . 6 Codierung
6.1 Begriffe und Prinzipien . 6.2 Lineare Block-Codes 6.3 Fehlererkennung 6.4 Fehlerkorrektur ..
6.5 Zyklische Codes . .
6.6 Decodierung zyklischer Codes 6.7 BCH- und Hamming-Codes Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis Sachverzeichnis .
136 142
144 148 150 152 154 158 159
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