Aufgabe 1
In einer Lotterie gewinnen 5 % der Lose 15 €, 10 % der Lose 10 € und 15 % der Lose 1 €. Ein Los kostet 2,50 €.
a)Berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn!
b)Der Veranstalter betreibt seine Lotterie ohne Gewinn und Verlust. Wie viel muss das Los kosten?
Aufgabe 2
Bei der Produktion eines Schnellkochtopfes treten prozentual erfahrungsgemäß kleine Material- und Farbfehler auf.
Material- und
Farbfehler nur Materialfehler nur Farbfehler kein Fehler
1 % 2 % 6 % 90,5 %
0,5 % aller Schnellkochtöpfe hat einen Fehler, der die Betriebssicherheit beeinträchtigt, sie werden als Ausschuss entsorgt. Liegen eine Materialfehler und ein Farbfehler vor, so kann das Modell mit einem Preisnachlass von 40 % dennoch verkauft werden. Liegt nur ein Materialfehler vor, beträgt der Preisnachlass 30 %. Liegt nur ein Farbfehler vor, wird ein Preisnachlass von 20
% gewährt. Der Verkaufspreis beträgt 90 €.
a) Ermitteln Sie den durchschnittlich zu erwartenden Erlös je produzierten Kochtopf!
b) Bestimmen Sie den Verkaufspreis des Kochtopfs, wenn der durchschnittliche Erlös je produzierten Kochtopf bei 90 € liegen soll!
Aufgabe 3
An einem Schulkiosk sollen zukünftig zusätzlich vier kleine warme Snacks angeboten werden.
Die Schülerinnen und Schüler sollen dann zwischen Frikadellen, Pizzen aus Blätterteig und Curry- oder Bockwurst wählen können. Der Kioskbetreiber möchte wissen, wie hoch die Einnahmen pro Jahr aus dem Snackverkauf ausfallen werden. Während einer einmonatigen Testphase hat er diese Mengen verkauft.
Frikadelle Pizza aus
Blätterteig Currywurst Bockwurst Preis/Stück in
EUR/Stück 1,50 1,80 2,70 2,40
Menge in Stück 120 200 180 100
Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und interpretieren Sie Ihr Ergebnis!
Aufgabe 4
Zur Abfüllung von Sahne in Gläsern kauft eine Molkerei eine neue Abfüllmaschine, die auf eine Abfüllmenge von 250 g eingestellt ist. Dies wird überprüft, indem der laufenden Produktion rein zufällig 600 Gläser entnommen werden. Die Abfüllmengen werden einem der folgenden
Intervallmittelwerte zugeordnet.
Abfüllmenge x in g 235 240 245 250 255 260 265
Anzahl der Gläser 8 48 158 179 140 63 4
Die angegebene Häufigkeitsverteilung beschreibe näherungsweise die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: „Abfüllmenge eines Glases in g“.
4.1 Die relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten, die Intervallmittelwerte als Werte der Zufallsgröße X angesehen. Geben Sie eine tabellarische
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X an und zeichnen Sie ein Stabdiagramm!
4.2 Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X), die Varianz Var(X) und die Standardabweichung
(X)!
Aufgabe 5
Auf dem Schulhof eines Berufskollegs findet trotz Verbotes hin und wieder ein interessantes Glücksspiel statt. Spielregeln:
Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 €.
Der Spieler setzt zuerst eine der Zahlen 1, 2, 3, ... , 6.
Anschließend wirft er dreimal mit einem Würfel.
Fällt die gesetzte Zahl nicht, ist der Einsatz verloren.
Fällt die gesetzte Zahl einmal, so erhält er seinen Einsatz zurück.
Fällt die gesetzte Zahl zweimal, so erhält er den doppelten Einsatz.
Fällt die gesetzte Zahl dreimal, so erhält er den dreifachen Einsatz.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe eines dreistufigen Baumdiagramms und der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bzw. einen Verlust!
b) Multiplizieren Sie die Werte der Zufallsvariablen (X = Höhe des Gewinns bzw. Verlustes für den Spieler) mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und addieren Sie die Ergebnisse!
c) Interpretieren Sie das Ergebnis!
Aufgabe 1
Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn für den Spieler. Der Einsatz wird vorher abgezogen.
Gewinn xi 12,5 7,5 -1,5 -2,5 P(X=xi) 0,05 0,1 0,15 0,7
Erwartungswert für den Gewinn: E(X) = 12,5 . 0,05 + 7,5 . 0,1 - 1,5 . 0,15 - 2,5. 0,7 = -0,6
Auf lange Sicht erzielt der Spieler einen Verlust von 0,60 € pro Spiel. Die Lotterie ist fair, falls der Einsatz 1,90 € beträgt.
Aufgabe 2
Ausschuss Material- und Farbfehler Nur Materialfehler Nur Farbfehler Kein Fehler
Erlös xi 0 54 63 72 90
P(X=xi) 0,005 0,01 0,02 0,06 0,905
Erwartungswert für den Erlös:
E(X) = 0,005 . 0 + 0,01 . 54 + 0,02 . 63 + 0,06 . 72 + 0,905 . 90 = 87,57
Der zu erwartende durchschnittliche Erlös je produzierten Kochtopf beträgt 87,57 €.
Bedingung für den Verkaufspreis p:
Aus E(X) = 90 folgt:
90 = 0,005 . 0 + (0,01 . 0,6 + 0,02 . 0,7 + 0,06 . 0,8 + 0,905) p p = 92,497 Der Verkaufspreis muss 92,50 € betragen.
Aufgabe 3
Zunächst muss die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X:“Verkaufspreis eines Snacks“
bestimmt werden.
Frikadelle Pizza aus
Blätterteig Currywurst Bockwurst
Verkaufspreis xi 1,50 1,80 2,70 2,40
ni 120 200 180 100
P(X=xi) 120:600 =0,2 200:600 = 0, 3 0,3 0 1 6,
Anschließend kann der Erwartungswert berechnet werden:
E (=1 5 0 3 1 8 0 3 2 7 0 3 2 4 0 1 6 2 1 1X� ) +, �, , + , � , +, ,� , =,
Der Erwartungswert E(X) entspricht den zu erwartenden durchschnittlichen Einnahmen aus einem Snackverkauf. In diesem Fall betragen die durchschnittlichen Einnahmen, die aus dem Verkauf eines der vier Snacks entstehen 2,11 EUR. Man sagt: Der Erwartungswert der Stichprobe ist 2,11.
Setzt man voraus, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Testphase auch zukünftig gilt, so lassen sich die vermutlichen jährlichen Einnahmen der einfach berechnen.
Während der einmonatigen Testphase wurden insgesamt 600 Snacks zu einem Durchschnittspreis von 2,11 EUR verkauft. Daher betragen die zu erwartenden Einnahmen pro Jahr in EUR:
600.2,11.12=15.192,00
Aufgabe 4 4.1
Die relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten, die Intervallmittelwerte als Werte der Zufallsgröße X angesehen. Daraus ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
xi 235 240 245 250 255 260 265
P(X = xi) 8
6 0 0
4 8 6 0 0
1 5 8 6 0 0
1 7 9 6 0 0
1 4 0 6 0 0
6 3 6 0 0
4 6 0 0 1,33 % 8,00 % 26,33 % 29,83 % 23,33 % 10,50 % 0,67 % Stabdiagramm:
4.2
i i
i
E ( X ) x P ( X x )
1 ( 2 3 5 8 2 4 0 4 8 2 4 5 1 5 8 2 5 0 1 7 9 2 5 5 1 4 0 2 6 0 6 3 2 6 5 4 ) 2 5 0 6 0 0
= � ==
= � � + � + � + � + � + � + � =
￥
Die Abfüllmenge hat eine „erwartungstreue“ Einstellung.
Die Varianz kann alternativ auch wie folgt berechnet werden:
2 2
1
2 2 2V a r ( X ) E ( X ) [ E ( X ) ] ( 2 3 5 8 . . . 2 6 5 4 ) 2 5 0 3 5 , 4 1 6 7 6 0 0
( X ) V a r ( X ) 5 , 9 5
= - = � ++ � - =
s ==
2 2
V a r ( X ) ( ( 2 3 5 2 5 0 ) 8 . . . ( 2 6 5 2 5 0 ) 4 ) 3 5 , 4 1 6 7 1 6 0 0
( X ) V a r ( X ) 5 , 9 5
= - � ++ - � =
s ==
Mit Hilfe des dreistufigen Baumdiagramms und der Pfadregel errechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bzw. einen Verlust. Es gilt: G = Gewinn, V = Verlust.
Zur Berechnung der Gewinnaussichten multipliziert man die Werte der Zufallsvariablen mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und addiert die Ergebnisse:
Die errechnete Zahl von -1 sagt aus, dass langfristig, also bei vielen Wiederholungen des Spiels ein Verlust von 1 Euro pro Spiel für den Spieler zu erwarten ist.
Diesen Betrag kassiert natürlich die Bank.
Man bezeichnet das Spiel aus diesem Grund auch als unfair, da langfristig Gewinn und Verlust nicht ausgeglichen werden.
Gewinn und Verlust wären bei einem
Erwartungswert von 0 ausgeglichen. Das wäre dann ein faires Spiel. Das könnte man z. B. durch eine Gewinnerhöhung erreichen.
