DasMutual-Exclusion-Problembei n Prozessen Prinzipien,Modelle&AlgorithmenderNebenl¨auﬁgenProgrammierung

(1)

Prinzipien, Modelle & Algorithmen der Nebenl¨aufigen Programmierung Wintersemester 2020/21

Das Mutual-Exclusion-Problem bei n Prozessen

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

Letzte ¨Anderung der Folien: 30. Dezember 2020

(2)

Ubersicht: Algorithmen f¨ ¨ ur n Prozesse

1 Tournament-Algorithmen

2 Lamports Algorithmus

3 Bakery-Algorithmus

TCS | 04 Mutual-Exclusion beinProzessen | WS 2020/21 2/37 Tournament-Algorithmen Lamports Algorithmus Bakery-Algorithmus

(3)

Mutual-Exclusion f¨ ur n Prozesse

Gesucht: Algorithmen die f¨ ur n Prozesse funktionieren.

Annahme: n ist bekannt und bleibt konstant.

Einfache Idee:

Benutze die Algorithmen f¨ ur 2 Prozesse “Baum-artig”

(4)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

wantl=×^turn=d.c.| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

wantl=×|^turn=d.c.| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

turn: 2 = linkes Kind darf durch, 1 = rechtes Kind darf durch wantl =wantdes linken Kindes, wantr =wantdes rechten Kindes

(5)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

wantl=×|^turn=d.c.| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(6)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

wantl=×|^turn=2| wantr=X

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(7)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

wantl=X^turn=1| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(8)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(9)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=1 wantl=X| wantr=×|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(10)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

wantl=X|^turn=2| wantr=X

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(11)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(12)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.) Kritischer Abschnitt P2 im Kritischen Abschnitt

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(13)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

turn=1 wantl=×| wantr=×|

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(14)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

Level 3

Level 2

wantl=×^turn=2| wantr=X|

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(15)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

wantl=×|^turn=2| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(16)

Idee des Tournament-Algorithmus (basierend auf Peterson-Alg.)

Kritischer Abschnitt

Level 3

Level 2

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

Level 1

wantl=×|^turn=2| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×|| wantr=×

turn=d.c.

wantl=×| wantr=×|

Prozess 1 2 3 4 5 6 7 8

(17)

Eigenschaften der Tournament-Algorithmen

Einfach zu implementieren

Wechselseitiger Ausschluss, Deadlock-Freiheit und Starvation-Freiheit, wenn Algorithmus f¨ ur 2 Prozesse diese Eigenschaften hat.

Nachteil: dlog

₂

ne-maliges Ausf¨ uhren des Initialisierungs- und Ausgangscodes Auch dann, wenn nur ein einzelner Prozess in den kritischen Abschnitt will!

(18)

Lamports Algorithmus

Leslie Lamport (US-amerikanischer Informatiker, Turing Award 2013) Algorithmus ver¨ offentlicht 1987

Schneller Algorithmus f¨ ur N Prozesse

schnell = Wenn nur ein Prozess in den kritischen Abschnitt will, dann nur konstante Laufzeit

(19)

Lamports Algorithmus: Programm des i. Prozesses

Initial:y=0, f¨uri= 1, . . . , n:want[i]=False, Wert vonxegal loop forever

(1) restlicher Code (2) want[i] := True;

(3) x:=i;

(4) ify6= 0then (5) want[i] := False;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(9) ifx6=ithen (10) want[i] := False;

(11) forj:=1tondo await¬want[j];

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

(15) Kritischer Abschnitt (16) y:= 0;

(17) want[i] := False;

end loop

(2), (3) setze want[i]=True undx=i

(4)y6=0? schon ein anderer Prozess

zwischen (9)-(15)?

(5)-(7) gib Versuch auf, warte auf y=0, dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i? noch ein anderer Prozess

(nach mir) durch (3)?

(10),(11) Warte, dass keiner mehry

setzen kann

(15) Kritischer Abschnitt

(12) War ich der letzte dery

gesetzt hat?

(13), (14) Warte, dass

kritischer Abschnitt verlassen wird, dann Neustart (16),(17) setze y=0, want[i]=False

Nein Ja

Ja

Nein

(20)

Lamports Algorithmus: Programm des i. Prozesses

(3) x:=i;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

end loop

(4)y6=0?

schon ein anderer Prozess

zwischen (9)-(15)?

(8) setzey=i

(9)x6=i?

noch ein anderer Prozess

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(21)

Lamports Algorithmus: Programm des i. Prozesses

(3) x:=i;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

end loop

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

α β

Zwei M¨ oglichkeiten, den

Kritischen Abschnitt zu

erreichen!

(22)

Lamports Algorithmus: Einfache Eigenschaften

Satz

F¨ ur Lamports Algorithmus gilt:

Wenn ein einzelner Prozess in den Kritischen Abschnitt m¨ ochte, dann f¨ uhrt er nur konstant viele Operationen durch.

Lamports Algorithmus ist nicht Starvation frei.

Beweis: Folgt direkt aus dem Algorithmus / Flussdiagramm.

(23)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (1)

Satz

Lamports Algorithmus garantiert wechselseitigen Ausschluss.

Beweis durch Widerspruch:

Annahme: Prozess i und Prozess j sind gleichzeitig im kritischen Abschnitt, wobei i zuerst im kritischen Abschnitt war.

Fallunterscheidung:

Prozess i erreicht den kritischen Abschnitt entlang Pfad α.

Prozess i erreicht den kritischen Abschnitt entlang Pfad β.

(24)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

i: erster Prozess (entlangα)

j: zweiter Prozess (entlangαoderβ)

Wennidurch (9) l¨auft gilt:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

(1)jnoch nicht durch (3), oder (2)jdurch (3) bevoridurch (3) Fall (1): Dajvor (4):

–jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j. D.h. kein Eingang entlangα.

Entlangβ: an derfor-Schleife wirdjwarten bis want[i]=False gilt (geht erst nachdemiKA verl¨asst)

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

(5)-(7) gib Versuch auf, warte auf y=0,

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(25)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

j: zweiter Prozess (entlangαoderβ) Wennidurch (9) l¨auft gilt:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

–jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j. D.h. kein Eingang entlangα.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(26)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

(1)jnoch nicht durch (3), oder (2)jdurch (3) bevoridurch (3)

Fall (1): Dajvor (4): –jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j. D.h. kein Eingang entlangα.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(27)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

–jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA

Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j. D.h. kein Eingang entlangα.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(28)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

–jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j.

D.h. kein Eingang entlangα.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(29)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (2)

Fall 1: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang α:

x=iundy6= 0.

Impliziert:

–jwird in (5)-(7) geschickt – und wartet bisy= 0, D.h.jkann nicht mehr in KA Fall (2): Wennjdurch (9), giltx6=j.

D.h. kein Eingang entlangα.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

Unm¨ oglich!

(30)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (3)

Fall 2: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang β:

i: erster Prozess (entlangβ)

j: zweiter Prozess (entlangαoderβ)

Wennidie for-Schleife durchlaufen hat:

ykann erst ver¨andert werden nachdemiKA verl¨asst:

ihatte darauf gewartet, dass alle want-Eintr¨age falsch sind: Jeder andere Prozess liest entwedery6= 0in (4) und bleibt am await in (6) h¨angen, oder (wenn er y=0 gelesen hatte) setzt er seinen want-Eintrag erst auf False, nachdemerybeschrieben hat.

Deshalb: jkannynicht ver¨andern, undy=igilt, bisiKA verl¨asst

D.h.jnicht entlangβ.

jnicht entlangα: Day=iundykann nicht ge¨andert werden: Alle andere Prozesse werden bei Zeile (4) zum Warten gelenkt.

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(31)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (3)

Fall 2: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang β:

j: zweiter Prozess (entlangαoderβ) Wennidie for-Schleife durchlaufen hat:

Deshalb: jkannynicht ver¨andern, undy=igilt, bisiKA verl¨asst

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(32)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (3)

Fall 2: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang β:

Deshalb:j kannynicht ver¨andern, undy=igilt, bisiKA verl¨asst

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(33)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (3)

Fall 2: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang β:

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

(34)

Lamports Algorithmus garantiert Mutual-Exclusion (3)

Fall 2: 2 Prozesse betreten den kritischen Abschnitt, erster entlang β:

(4)y6=0?

zwischen (9)-(15)?

dann Neustart

(8) setzey=i

(9)x6=i?

setzen kann

gesetzt hat?

Nein Ja

Ja

Nein

Unm¨ oglich!

(35)

Lamports Algorithmus ist Deadlock-frei (1)

Satz

Lamports Algorithmus ist Deadlock-frei.

Beweis: N¨ achste Folien.

(36)

Lamports Algorithmus ist Deadlock-frei (2)

loop forever (1) restlicher Code (2) want[i] := True;

(3) x:=i;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

end loop

SeiP = (i₁, j₁),(i₂, j₂), . . .eine Berechnungsequenz, wobei ik: Nummer des Prozesses, der einen Schritt macht jk: Programmzeile, die Prozessik ausf¨uhrt

Zu jedem(ik, jk)gibt es einen festen Zustand (Variablenbelegung + Codezeiger der Prozesse)

(37)

Lamports Algorithmus ist Deadlock-frei (3)

(3) x:=i;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

end loop

Nehme an:P widerlegt die Deadlock-Freiheit

D.h. es gibt einen Schritt nach dem kein Prozess mehr den kritischen Abschnitt erreicht: ⇒Es gibtk sodass f¨ur alle k⁰≥k:jk⁰ 6= 15.

Aber mindestens einer will in den kritischen Abschnitt (ist im Initialisierungscode):

⇒Es gibtl≥k⁰ so dassjl∈ {2, . . . ,14}

Nach weiteren Schritten kann kein anderer Prozess mehr im Abschlusscode sein:

⇒Es gibtk₂≥l, so dass f¨ur allek₂⁰ ≥kgilt:

j_k⁰

2 ∈ {1−14}

Nach weiteren Schritten muss irgendein Prozessy setzen und danach kann keiner y auf 0 setzen:

⇒Es gibtk3≥k2, so dassy6= 0f¨ur alle Zust¨ande abk3

(38)

Lamports Algorithmus ist Deadlock-frei (4)

(3) x:=i;

(6) awaity= 0;

(7) goto(2);

(8) y:=i;

(12) ify6=ithen

(13) awaity= 0;

(14) goto(2);

end loop

F¨ur alle Schritte nachk3 gilt:

Wenn Prozessinicht Zeile 8 als nächstes ausführen will, dann wird Prozessinie Zeile8ausführen.

(Day6= 0wird er am await h¨angen bleiben).

Nachdem alle Prozesse, die noch Zeile8ausf¨uhren k¨onnen, dies getan haben,

wird also kein weiterer mehryumsetzen k¨onnen.

Seim≥k3, wobei Schritt(im,8)das letzte Mal ist, dass Zeile 8 ausgef¨uhrt wird.

Dann gilt danach: Alle Prozesse ungleichim werden ihren want-Eintrag nach endlichen vielen Schritten auf False setzen undyverbleibt aufim.

D.h. Prozessimkann an keinem await h¨angen bleiben und muss somit den kritischen Abschnitt erreichen.

(39)

Eigenschaften von Lamports Algorithmus

Zusammenfassend:

Erf¨ ullt wechselseitigen Ausschluss Erf¨ ullt Deadlock-Freiheit

Konstante Anzahl an Operationen, wenn nur ein Prozess den kritischen Abschnitt betreten m¨ ochte

Erf¨ ullt keine Starvation-Freiheit

(40)

Bounded Waiting

R¨ uckblick:

Starvation-Freiheit: Wenn ein Prozess seinen kritischen Abschnitt betreten m¨ ochte, dann muss er ihn nach endlich vielen Berechnungsschritten betreten.

Sagt nichts dar¨ uber aus, wie lange eine Prozess warten muss

Wartender Prozess: Prozess wartet aktiv solange, bis ein anderer Prozess das Warten beendet

Beispiel: Warten an einem await, bis anderer Prozess Wert ¨ andert, sodass Bedingung war wird.

Aufteilung des Initialisierungscode in: Doorway und Waiting

(41)

Bounded Waiting (2)

Restlicher Code

Doorway

Initialisierungscode Waiting

Kritischer Abschnitt

Ausgangscode

(42)

Bounded Waiting (3)

Definition

Ein Mutual-Exclusion-Algorithmus erf¨ ullt

r-bounded waiting, wenn f¨ ur jeden Prozess i gilt: Wenn Prozess i den Doorway verl¨ asst, bevor Prozess j (mit j 6= i) den Doorway betritt, dann betritt Prozess j den kritischen Abschnitt h¨ ochstens r Mal, bevor Prozess i den kritischen Abschnitt betritt.

bounded waiting, wenn es ein r ∈ IN gibt, so dass der Algorithmus r-bounded waiting erf¨ ullt.

die FIFO-Eigenschaft, wenn er 0-bounded waiting erf¨ ullt. (FIFO = first-in-first-out)

(43)

Bemerkungen

Bounded Waiting impliziert nicht Deadlock-Freiheit!

Lamports Algorithmus erf¨ ullt kein Bounded-Waiting!

FIFO-Eigenschaft informell: Erster Prozess, der den Doorway ¨ uberschritten hat ist als erster im kritischen Abschnitt

(44)