1) Metrische Räume (X, d)

Kap 0 : Wiederholung

1) Metrische Räume (X, d)

X ... Menge ,

d X : × → X R

^mit

(a)

d x y ( , ) 0 ≥

∀ x y X , ∈

(b)

d y x ( , ) = d y x ( , )

∀ x y X , ∈

(c)

d x z ( , ) ≤ d x y ( , ) + d y z ( , ) ∀ x y z X , , ∈

Beispiele :

(i)

X = R , d x y ( , ) = − x y , ( , )

X = C d z w = − z w

(Betrag komplexer Zahlen)

(ii) (Euklidische Metrik)

1 1

, ( ,..., ) , ( ,..., ) ,

n

n n i i

X = R x = x x y = y y x y ∈ R

2 1

( , ) ( )

n

i i

i

d x y x y

=

= ∑ −

1 1

, ( ,..., ) , ( ,..., ) ,

n

n n i i

X = C z = z z w = w w z w ∈ C ( , )

2

n

i i

d z w = ∑ z − w

(offene)

ε

– Kugel um

x

₀

∈ X

^:

0 0

( , ) { : ( , ) }

K x ε = ∈ x X d x x <ε

x0 ^ε

O ⊆ X

heißt offene Menge , wenn

0 : ( , )

x x

x O K x O

∀ ∈ ∃ ε > ε ⊆

F ⊆ X

heißt abgeschlossene Menge , wenn

X − F

eine offene Menge ist, bzw.

0 : ( , )

x x

x F K x F

∀ ∉ ∃ ε > ε ∩ =∅

Sei

A ⊆ X

^:

{ : ( , ) , 0}

A = ∈ x X K x ε ∩ ≠∅ ∀ε> A

abg. Hülle von A

int A = ∈ { x X : ∃ ε> 0 mit K x ( , ) ε ⊆ A }

Inneres von A

C ⊆ X

heißt kompakte Teilmenge , wenn jede offene

Überdeckung von C eine endliche Teilüberdeckung enthält, d.h.

{

_i

: } ,

_i

... , C ⊆

U

O i ∈ I O offen ⇒

1 2

1

,

2

,..., ...

k i i ik

i i i I mit C O O O

∃ ∈ ⊆ ∪ ∪ ∪

Satz von HEINE-BOREL :

( . )

n n

X = R bzw C + euklidischeMetrik

C ⊆ X

... kompakt ⇔

C

ist abgeschlossen und beschränkt

( x

_n

)

heißt Cauchy – Folge, wenn

0 N n m N , : d x x ( ,

_{n m}

)

∀ε> ∃ ∈ N ∀ ≥ < ε

( , ) X d

heißt vollständig , wenn jede Cauchy – Folge konvergiert.

Seien

( , ) , ( , ) X d Y ρ

metrische Räume.

:

f X → Y

heißt stetig in

x

₀

∈ X

^{, wenn}

0 0

0 0 sodaß : d x x ( , ) ( ( ), ( ) ) f x f x

∀ ε> ∃ δ> < δ ⇒ ρ < ε

d.h.

f K x ( (

₀

, ) ) δ ⊆ K f x ( ( ), )

₀

ε

:

f X → Y

heißt stetig , wenn

f

stetig in jedem

x

₀

∈ X

^ist.

Es gilt :

f X : → Y

ist stetig

⇔

Urbilder offener Mengen sind offen, d.h.

:

1

( )

V Y offen f

⁻

V X offen

∀ ⊆ ⊆

^,

⇔

Urbilder abg. Mengen sind abg. , d.h.

. :

1

( ) .

B Y abg f

⁻

B X abg

∀ ⊆ ⊆

:

f X → Y

heißt gleichmäßig stetig , wenn

0 0 sodaß : d x y ( , ) ( ( ), ( ) ) f x f y

∀ ε> ∃ δ> < δ ⇒ ρ < ε

2) Normierte Räume

X ... Vektorraum über Körper

K

⁽

K R =

^oder

K C =

⁾

: X → R

heißt Norm auf X , wenn

(a)

x ≥ 0 , x = ⇔ = 0 x 0

(Nullvektor in X )

(b)

λ = λ . x . x λ∈ K , x X ∈

(c)

x + ≤ y x + y ∀ x y , ∈ X

Beispiele :

1)

X = R

ⁿ ist Vektorraum über

K R =

2 1 n

i i

x x

=

= ∑

euklidische Norm

1

max

_i

i n

x x

=

≤ ≤ Maximumsnorm

2)

X = C

ⁿ ist Vektorraum über

K C =

2 1 n

i i

z z

=

= ∑

euklidische Norm

1

max

_i

i n

z z

=

≤ ≤ Maximumsnorm

3)

C X ( ) = { f X : → R : f ist stetig }

^,

wobei X ein kompakter metrischer Raum ist.

( )

C X

ist Vektorraum über

K R =

, mittels

( f + g ) ( ): x = f x ( ) + g x ( ) ( . ) ( ): λ f x =λ . ( ) , f x λ∈ R

: max ( ) f

x X

f x

=

∈ Maximumsnorm

Analoges gilt auch für den

C

-Vektorraum

( , ) { : : }

C X C = f X → C f ist stetig

Jeder normierte Raum

( , X )

wird zu metrischen Raum durch

d x y ( , ) = − x y

^.

Vollständige normierte Räume heißen Banachräume .

, , ( ) ( , )

n n

C X und C X

R C C

sind Beispiele für

3) Maßräume

(

K R =

^oder

K C =

⁾

( X , Ω µ , )

Maßraum + Lebesgue Integral

Für eine messbare Funktion

f X : → K

^und

p ≥ 1

^heißt

1/

:

p p

p

X

f  f d 

=  µ 

 ∫ 

die p – Norm von f . Höldersche Ungleichung :

p q , > 1

^{, 1 1 1}

p + =q

. .

p q

X

f g d µ ≤ f g

∫

Minkowski Ungleichung :

p ≥ 1

p p p

f + g ≤ f + g

( ) { : : ,

^p

}

p

X

L X = f X → ^K f ist meßbar und ∫ f d µ < ∞

^,

wobei Funktionen identifiziert werden, die fast überall gleich sind.

Damit :

L X

^p

( )

ist

K

- Vektorraum

f

p ist Norm auf

L X

^p

( )

p

( )

L X

ist Banachraum .

( ) { : : ... , }

L X

^∞

= f X → K f meßbar fast überall beschränkt

(wiederum werden Funktionen identifiziert, die fast überall gleich sind)

( )

L X

^∞ ist

K

- Vektorraum

, ( ) 0

: sup inf sup ( )

A X A x X A

f

_∞

ess f f x

⊆ µ = ∈ −

= =

ist Norm

( )

L X

^∞ ist Banachraum .

Bemerkung : Genaugenommen erhält man also die Banachräume

4) Spezialfall von 3)

, ( ) , ...

X = N Ω = P N µ Zählmaß

:

f N K →

ist also eine Folge

( ) ^ξ

^k von reellen (komplexen) Zahlen (wobei

f k ( ) =ξ

_k ^{) .}

Es gilt :

1

p p

k X k

f d

∞

=

µ = ∑ ξ

∫

Statt

L X

^p

( )

bzw.

L X

^∞

( )

schreibt man hier

l

^p bzw.

l

^∞ .

( )

1

{ :

^p

}

p

k k

k

l x

∞

=

= = ξ ∑ ξ < ∞

( ) ( )

{

_k

:

_k

}

l

^∞

= x = ξ ξ ist beschränkt

^{, (}

1

sup

_k

k

x

=

≥

ξ

⁾

Hölder – Ungleichung :

p q , > 1

^{, 1 1 1}

p + =q

1/ 1/

1 1 1

.

p q

p q

k k k k

k k k

∞ ∞ ∞

= = =

   

ξ η ≤  ξ   η 

   

∑ ∑ ∑

^,

Minkowski – Ungleichung :

1/p 1/p 1/p

p p p

k k k k

∞ ∞ ∞

= = =

     

ξ +η ≤ ξ + η

     

 ∑   ∑   ∑ 