Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨at

Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨at

D¨usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

WS 2006/07 28. November 06 Blatt 7

Ubungen zu Analysis III ¨

26. Sei f eine messbare nicht-negative numerische Funktion auf R

. Wie in der Vorle- sung sei

M

: = {(x, t) ∈ R

× R | 0 ≤ t < f (x)}.

Ferner sei

M ¯

: = {(x, t) ∈ R

× R | 0 ≤ t ≤ f (x)}.

(a) Zeigen Sie detailliert, dass M

und ¯ M

Borel-Mengen sind.

(b) Zeigen Sie, dass λ

( ¯ M

) = R

Rⁿ

f d λ

.

(c) Zeigen Sie, dass λ

({(x, f (x)) | x ∈ R

}) = 0.

(d) Ist ¯ M

der Abschluss der Teilmenge M

von R

?

27. Sei f : R

→ R gegeben durch f (x, y): = x

+ y

. Berechnen Sie R

B

fdλ

f¨ur die folgenden Teilmengen B von R

:

(a) B = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0 und x + y ≤ 1}.

(b) B = {(x, y) | x

+ y

≤ 1}.

(c) B = {(x, y) | x

+ y

< 1}.

28. (a) F¨uhren Sie die in der Vorlesung skizzierte Berechnung des Volumens λ

(B

) der Kugel

B

= (

(x

, . . . , x

) ∈ R

n

X

i=1

x

≤ r

)

detailliert aus und zeigen Sie, dass lim

n→∞

λ

(B

) = 0.

(b) Seien a

, . . . , a

> 0 und sei S: R

→ R

die lineare Abbildung mit S(e

) = a

e

f¨ur i = 1, . . . , n, wobei e

, . . . , e

die Standardbasis von R

ist. Das Bild E von B

unter S ist ein Ellipsoid mit den Halbachsen a

, . . . , a

. Was ist λ

( E )?

29. Ist A eine Teilmenge von R

und h > 0, so sei

C

(A): = {((1 − t)x, th) ∈ R

× R | x ∈ A, 0 ≤ t ≤ 1}.

C

(A) heißt der Kegel mit Basis A und der H¨ohe h. Zeigen Sie:

Ist A ∈ B

, so ist C

(A) ∈ B

und

λ

(C

(A)) = h

n λ

(A).

Abgabe: Dienstag, den 5. Dezember 06, 11.15 Uhr