TU Bergakademie Freiberg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Stochastik
Matrikel-Nr.
Modulprüfung
Prüfungsfach: Statistik I für Betriebswirte
Prüfer: PD Dr. Frank Heyde
Tag: 4. August 2014
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7
erreichbare Punkte 4 4 5 4 4 3 6
erreichte Punkte
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Geben Sie zu allen Aufgaben einen nachvollziehbaren Lösungsweg an!
Beantworten Sie die Fragen möglichst kurz und mit eigenen Worten!
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1. Aufgabe:
a) Zeichnen Sie für folgende Daten den Box-Plot.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 0,25 0,4 0,55 0,7 0,95 1,6 2,25 3,3 6,7 8 b) Ist die Verteilung symmetrisch, rechtsschief oder linksschief?
2. Aufgabe: Bei einem Teeladen sind 70% der Kunden weiblich und 30% männlich.
Der Inhaber des Ladens weiß aus langer Erfahrung, welcher Kunde lieber Früch- tetee und welcher lieber schwarzen Tee trinkt. Bei den weiblichen Kunden trinken 40% lieber Früchtetee und 60% lieber schwarzen Tee. Bei den männlichen Kunden bevorzugen 55% Früchtetee und 45% schwarzen Tee.
Ein Kunde des Ladens serviert seinen Gästen Früchtetee, weil er diesen selbst be- vorzugt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Kunde weiblich ist? Formu- lieren Sie vor der Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit relevante Ereignisse und geben Sie dafür die aus dem Text folgenden Wahrscheinlichkeiten an.
3. Aufgabe: Es ist bekannt, dass 40% aller Menschen die Blutgruppe Null besit- zen. Nach einem Aufruf zur Blutspende melden sich unabhängig voneinander 10 Studenten im Kreiskrankenhaus zur Spende.
a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Studenten mit Blutgruppe Null verteilt?
(Parameter nicht vergessen!)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Student die Blutgruppe Null besitzt?
c) 120 Euro ist der Wert einer Blutspende bei der Blutgruppe Null, bei allen anderen Blutgruppen sind es 10 Euro weniger. Wie groß ist der erwartete Wert der Blutspenden der 10 Studenten?
4. Aufgabe: Die Firma Schoko stellt Schokoladentafeln her. Auf der Verpackung wird das Gewicht mit 100g angegeben. Durch zufällige Schwankungen im Produktions- prozess bedingt, wiegt nicht jede Tafel exakt 100g. Das Füllgewicht ist normalver- teilt mit Erwartungswert 101g und Standardabweichung 0,8g.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tafel weniger als 100g wiegt?
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tafel mehr als 100g wiegt soll 99,5% sein.
Wie groß muss bei einer Standardabweichung von 0,8g der Erwartungswert sein, damit diese Forderung erfüllt wird.
5. Aufgabe: Ein Student geht davon aus, dass die Dauer X seiner Handygespräche exponentialverteilt ist mit Erwartungswert 50 s.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handygespräch mehr als 2 Minu- ten dauert?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert ein Gespräch weniger als 30s?
c) Die jeweilige Dauer seiner letzten 5 Gespräche ergibt die folgende Stichprobe:
x1 = 100s, x2 = 18s, x3 = 36s, x4 = 142s und x5 = 27s Schätzen Sie daraus den Parameter λ der Exponentialverteilung.
6. Aufgabe: Für eine Stichprobe stehen maximal 510 e zur Verfügung. Die Grund- gesamtheit wurde in 3 Schichten aufgeteilt. Für diese Schichten sind die folgenden Werte bekannt:
Schicht i Anteilpi Standardabweichung σi Kosten ci
1 0,5 7 9
2 0,2 3 16
3 0,3 5 4
Bestimmen Sie die Stichprobenumfänge für eine kostenoptimal geschichtete Stich- probe.
7. Aufgabe:
a) Aus den Bilanzsummen einer Bank über 5 Jahre ergeben sich wie folgt die Wachstumsfaktoren:
Jahr Nr. i 0 1 2 3 4
Bilanzsumme xi in Mrd e 15 18 24 20 24 Wachstumsfaktor qi 1,2 1,333 0,833 1,2 Bestimmen Sie einen geeigneten Mittelwert der Wachstumsfaktoren.
b) Für die ZufallsvariableX gilt P(0≤X ≤4) = 1. Welche der folgenden beiden Funktionen F1 und F2 kann die Verteilungsfunktion von X sein und welche nicht? (Beide oder keine von beiden oder die eine und die andere nicht?) (Kurze Begründung!)
c) Man benötigt dringend eine Blutspende der Blutgruppe Null. Es ist bekannt, dass 40% aller Menschen die Blutgruppe Null besitzen. Alle Blutspender sind neu und deren Blutgruppen unbekannt. Man testet solange nach und nach die neuen Blutspender auf ihre Blutgruppe, bis man den ersten Spender mit Blutgruppe Null hat (um die dringend benötigte Spende zu erhalten). Wie ist die zufällige Anzahl X der Tests verteilt? (Parameter nicht vergessen!)
d) Der Erwartungswert einer Zufallsvariable soll geschätzt werden.
i. Unter welcher Voraussetzung ist der Stichprobenmedian ein erwartungs- treuer Schätzer für den Erwartungswert ?
ii. Die Schätzung mit dem Stichprobenmedian hat Vor- und Nachteile gegen- über der Schätzung mit dem Stichprobenmittelwert. Welchen Vorteil hat die Schätzung mit dem Stichprobenmedian gegenüber der Schätzung mit dem Stichprobenmittelwert?
