zum Unterrichtspraktikum im Fach Mathematik Bericht

Bericht

zum Unterrichtspraktikum im Fach Mathematik

vom 06.09.2010 bis 01.10.2010

Name: xxxxx Vorname: xxxxx geboren am: 99.99.9999

Immatrikulationsnummer: 00000

Studienziel: Amt des Lehrers

Fachkombination: Französisch/ Mathematik

Schule: xxxxx - Gymnasium Berlin

Bezirk: Berlin Mitte

Klasse: 10c (Klassen 7 - 13)

Mentorin: Frau xxxxx

Betreuende Fachdidaktikerin: Frau Swetlana Nordheimer

Inhaltsverzeichnis

1. Klassensituation/ Sozialisationserscheinungen ... 2

2. Unterrichteter Stoffabschnitt „Funktionen mit Gleichungen der Form ࢌሺ࢞ሻ = ࢇ ܛܑܖሺ࢈࢞ + ࢉሻ“ ... 2

3. Sachanalyse ... 4

4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt ... 6

5. Planung der Unterrichtsreihe ... 8

6. Die Unterrichtsreihe ... 9

6.a. Auflistung der Themen der unterrichteten Stunden ... 9

6.b. Stundenentwurf ... 9

6.b.1. Thema ... 9

6.b.2. Lernziele ... 9

6.b.3. Einbettung der Stunde ... 9

6.b.4. Vorkenntnisse der Schüler ... 10

6.b.5. Methodische Vorbesinnung ... 10

6.b.6. Verlaufsplanung ... 12

6.b.7. Auswertung der Stunde... 14

7.a. Auflistung der hospitierten Stunden ... 15

7.b. Hospitationsprotokolle mit Reflexion ... 16

7.b.1. Hospitationsprotokoll I ... 16

7.b.1.1. Verlaufsprotokoll I ... 16

7.b.1.2. Reflexion ... 16

7.b.2. Hospitationsprotokoll II ... 17

7.b.2.1. Verlaufsprotokoll II ... 17

7.b.2.2. Reflexion ... 17

8. Leistungstest ... 18

9. Zusammenfassung ... 20

Anhang: Lehrbuchseiten ... 22

Materialien zum Stundenentwurf ... 26

Verlaufsprotokoll I ... 40

Verlaufsprotokoll II ... 44

Leistungstest ... 49

Themen der weiteren unterrichteten Stunden ... 51 GeoGebra - Dateien

2 1. Klassensituation/ Sozialisationserscheinungen

Die Klasse 10c besteht aus 30 Schülern: 17 Mädchen und 13 Jungen. Der Mathematikunter- richt dieser Klasse ist nach dem Teilungsunterrichtprinzip aufgebaut. Daher erhalten die Schüler im Rhythmus von zwei Wochen drei bzw. fünf Unterrichtsstunden in Mathematik.

Insgesamt ist die Klasse als recht unruhig einzuschätzen, so dass es während des Mathematik- unterrichts aufgrund von Ermahnungen häufiger zu Unterbrechungen kommt. Dieses Verhal- ten ist meiner Ansicht nach bei der überwiegenden Mehrheit der Schüler jedoch nicht auf Desinteresse am Fach Mathematik zurückzuführen. Im Gegenteil: ich schätze die meisten Lernenden hinsichtlich des Unterrichtsstoffes als sehr wissbegierig ein. Der große Lerneifer vieler Schüler dieser Klasse äußert sich vor allem in einer Vielzahl an Nachfragen, die stets zu der jeweiligen Unterrichtsthematik gestellt werden. Da diese jedoch nicht nur an den Lehrer, sondern auch an Mitschüler gerichtet sind, kommt es des Öfteren zu der beschriebenen Unru- he. Dass sich die Lernenden dabei in vielen Fällen gegenseitig helfen und versuchen, die Fra- gen ihrer Mitschüler zu beantworten, verweist auf ein in meinen Augen sehr starkes Zusammengehörigkeitsgefühl der Klasse 10c.

In einem Gespräch mit der Mathematiklehrerin dieser Klasse kam zum Ausdruck, dass sie der Unruhe der SchülerInnen mit einer strikten Klassenführung und starker lehrerseitiger Steue- rung begegnet. Dennoch fiele es ihr schwer, die Aufmerksamkeit der Lernenden für einen längeren Zeitraum aufrecht zu erhalten. Des Weiteren schätzt sie das Leistungsniveau der meisten Schüler als gering ein. Einzelne Lernende würden indes über sehr gute Mathematik- kenntnisse verfügen. Ich habe überdies den Eindruck gewonnen, dass das Leistungsgefälle in dieser Klasse sehr groß ist. So wurden in einer Lernerfolgskontrolle, die im Vorfeld meiner eigenen Unterrichtsreihe geschrieben wurde, ausschließlich sehr gute bzw. gute oder aber mangelhafte bzw. ungenügende Leistungen erzielt. Im mittleren Notenbereich lag hingegen keiner der Schülerinnen und Schüler. Ich persönlich würde fünf der SchülerInnen als sehr leistungsstark charakterisieren. Sie finden zumeist selbstständig Lösungsansätze für Aufgaben und bearbeiten diese in der Regel viel schneller als ihre Mitschüler. Außerdem beteiligen sich diese Schüler sehr häufig mündlich am Unterrichtsgeschehen.

Die restlichen Lernenden sind zurückhaltender und leisten mündliche Beiträge zum Unterricht zumeist erst nach Aufforderung durch die Lehrkraft. Im Klassenverband befinden sich zudem einige sehr leistungsschwache Schüler. Sie haben große Schwierigkeiten, selbsttätig zu arbei- ten. Diese Probleme wirken sich ebenfalls auf die Motivation dieser Lernenden aus: bei ihnen ist eine gewisse Resignation zu beobachten, die sie nicht selten durch Störungen während des Unterrichts zum Ausdruck bringen. Dies trägt in einigen Fällen ebenfalls zu der bereits be- schriebenen unruhigen Arbeitsatmosphäre bei.

Im Hinblick auf die Arbeitsbedingungen an dieser Schule ist festzustellen, dass alle Räum- lichkeiten über die notwendige Grundausstattung für den Mathematikunterricht (Tafel, Zei- chengeräte, OH - Projektor) verfügen. In einigen Klassenräumen befinden ich zudem Compu- terarbeitsplätze und ein Beamer. Die Computer sind jeweils mit einem Internetanschluss und mehreren Computeralgebrasystemen (GeoGebra, Turboplot, Anegra) ausgestattet.

2. Unterrichteter Stoffabschnitt „Funktionen mit Gleichungen der Form

ࢌሺ࢞ሻ = ࢇ ܛܑܖሺ࢈࢞ + ࢉሻ“

In der behandelten Unterrichtseinheit geht es um die Einführung von Funktionen mit Glei- chungen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ und deren Eigenschaften. Die Unterrichtsreihe ist thematisch in das Pflichtthema „Mit Winkeln und Längen rechnen“ aus der Jahrgangsstufe 9/10 einzuordnen. Den Schwerpunkt dieses Moduls bilden das Anwenden trigonometrischer Funktionen zur Bearbeitung von Problemen, die Verwendung der Sinusfunktion zur Be- schreibung periodischer Vorgänge und die Berechnung von Streckenlängen und Winkel-

3 größen unter Nutzung trigonometrischer Beziehungen. Zum Erreichen dieser Kompetenzen sollen die SchülerInnen unter anderem den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion ݂ሺݔሻ =

ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ zeichnen können, wobei sie die geometrische Wirkung der Parameter ܽ, ܾ und

ܿ beschreiben und interpretieren (vgl. RLP Sek. I, S. 50f.).

Eine notwendige Voraussetzung für den behandelten Stoffabschnitt bildet die Beschäftigung mit funktionalen Zusammenhängen aus den vorausgegangenen Schuljahren. In der Jahrgangs- stufe 7 wurden Funktionen als eindeutige Zuordnung eingeführt. Die Schüler lernten hierbei, Beziehungen zwischen Größen anhand von Funktionsgraphen zu beschreiben und funktionale Zusammenhänge graphisch darzustellen. Vor diesem Hintergrund wurden sowohl grundle- gende Arbeitstechniken (z. B. Anlegen einer Wertetabelle, Zeichnen eines Funktionsgraphen) als auch wesentliche Begrifflichkeiten (z. B. „Nullstelle“, „Definitions- und Wertebereich“) für die Arbeit mit Funktionen angeeignet (siehe RLP Sek. I, S. 29f.). Durch die Behandlung der quadratischen Funktionen und der Potenzfunktionen in der 9. Klasse wurden diese Kennt- nisse auf eine spezielle Funktionsklasse übertragen. Am Beispiel der quadratischen Funktio- nen wurde bereits die geometrische Bedeutung von Parametern in Form von Verschiebung und Streckung bzw. Stauchung behandelt (vgl. RLP Sek. I, S.48f.).

Eine weitere unverzichtbare Grundlage für die Unterrichtsreihe sind die geometrischen Bezü- ge. Aus der Klassenstufe 7 können die Schüler Dreiecke nach Winkelgrößen klassifizieren und Messungen an Dreiecken vornehmen (vgl. RLP Sek. I, S. 32f.). In der Klasse 9 wird mit den Strahlensätzen und der Ähnlichkeit von Dreiecken ein weiterer wichtiger Ausgangspunkt für die nun behandelten trigonometrischen Beziehungen behandelt. Ein spezielles Augenmerk wird in dieser Jahrgangsstufe auf rechtwinklige Dreiecke und die an ihnen geltenden Sätze (Satz des Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz) gelegt (siehe RLP Sek. I, S. 45f.).

Eine essentielle Verständnisgrundlage für den behandelten Themenkomplex bildet zudem die Erfahrungswelt der SchülerInnen. So dürften ihnen periodische Vorgänge bereits aus ihrem Alltagsleben bekannt sein (z. B. Pendelbewegung von Standuhren, Schaukeln; Schwingungen in der Akustik).

Durch die Einführung von Funktionen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ wird nun eine weitere Funktionsklasse behandelt. Die Betrachtungen zu den Funktionseigenschaften (insbesondere Monotonie, Nullstellen, Definitions- und Wertebereich) werden in den kommenden Schuljah- ren auf andere Funktionstypen (z. B. Logarithmus- und Exponentialfunktionen - Klasse 10, Wurzelfunktionen - Klasse 10 [vgl. RLP Sek. I, S.48ff.], gebrochenrationale Funktionen - Sekundarstufe II [vgl. RLP Sek. II, S. 34f.]) übertragen. Auch für die Einführung von Funk- tionen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ cos൫ܾሺݔ − ܿሻ൯ + ݀ in der Jahrgangsstufe 11 bildet die Unterrichts- reihe eine wesentliche Grundlage (vgl. RLP Sek. II, S. 7ff.). Schließlich werden die trigono- metrischen Funktionen und ihre Eigenschaften in der Kursstufe aufgegriffen, wobei die Ablei- tungen der Sinus- und Kosinusfunktion durch graphisches Differenzieren ermittelt und Mo- dellierungen mit trigonometrischen Funktionen vorgenommen werden (siehe RLP Sek. II, S.

30ff.).¹

In den kommenden Schulwochen werden sich die Schüler im Physikunterricht ebenfalls mit periodischen Vorgängen beschäftigen. Im Themenbereich „Schwingungen, die man hört“

müssen unter anderem graphische Darstellungen von Schwingungen interpretiert werden.

1 Der Rahmenlehrplan des Landes Berlin für Mathematik in der Sekundarstufe I ist auf der Homepage des Lan- des Berlin zu finden. URL: http://www.berlin.de/imperia/md/content/senbildung/schulorganisation/ lehr- plaene/sek1_mathematik.pdf?start&ts=1245159489&file=sek1_mathematik.pdf

Der Rahmenlehrplan des Landes Berlin für Mathematik in der gymnasialen Oberstufe befindet sich ebenfalls auf der Homepage des Landes Berlin. URL: http://www.berlin.de/imperia/md/content/senbildung/ schulorganisati- on/lehrplaene/sek2_mathematik.pdf?start&ts=1245159490&file=sek2_mathematik.pdf

4 Hierbei werden auch die Begriffe „Amplitude“, „Phasenverschiebung“ und „Frequenz“ auf- gegriffen.²

3. Sachanalyse

Die Trigonometrie (griech. trígonon „Dreieck“ und griech. métron „Maß“) bezeichnet ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Berechnung von Winkel- und Seitenmaßen in ebenen (ebene Trigonometrie) oder sphärischen (hyperbolische Trigonometrie) Dreiecken beschäftigt.³ Da sich die Inhalte meiner Unterrichtsreihe auf die Beziehungen in der Planimet- rie beschränken, sollen sich die folgenden Ausführungen auf die ebene Trigonometrie bezie- hen. Um fehlende Winkelgrößen oder Seitenlängen ebener Dreiecke zu bestimmen, sind die trigonometrischen Funktionen sin (Sinus), cos (Kosinus) und tan (Tangens) sowie deren Kehrwertfunktionen csc (Kosecans), sec (Sekans) und cot (Kotangens) ein wichtiges Hilfs- mittel. Diese auch als Kreis-, Winkel- oder goniometrische Funktionen bezeichneten Funktio- nen werden in einem rechtwinkligen Dreieck (mit den in Abbildung 3.1. angegebenen Be- zeichnungen) wie folgt definiert⁴:

sinሺߙሻ = ܩ݁݃݁݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁

ܪݕ݌݋ݐ݁݊ݑݏ݁ = ܽ

ܿ cosሺߙሻ = ܣ݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁

ܪݕ݌݋ݐ݁݊ݑݏ݁ = ܾ

ܿ tanሺߙሻ = ܩ݁݃݁݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁

ܣ݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁ = ܽ

ܾ cscሺߙሻ = ܪݕ݌݋ݐ݁݊ݑݏ݁

ܩ݁݃݁݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁ = ܿ

ܽ secሺߙሻ = ܪݕ݌݋ݐ݁݊ݑݏ݁

ܣ݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁ = ܿ

ܾ cotሺߙሻ = ܣ݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁

ܩ݁݃݁݊݇ܽݐℎ݁ݐ݁ = ܾ

ܽ

In obiger Definition werden Sinus und Kosinus lediglich für Winkel ߙ ∈ ሾ0; 90°ሿ bestimmt.

Diese Tatsache lässt sich auf den Innenwinkelsatz für Dreiecke zurückführen: da die Innen- winkelsumme eines Dreiecks stets 180° beträgt, muss der von Hypotenuse und Kathete einge- schlossene Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck stets ein spitzer Winkel sein.

Um die Definition des Sinus und Kosinus auf Winkel ߙ außerhalb dieses Intervalls erweitern, wird die Begriffsbestimmung mit dem Einheitskreis genutzt. Dabei sei der Einheitskreis ܭ mit dem Zentrum ܼ und dem Radius ݎ die Punktmenge ܭሺܼ, ݎሻ = {ܵ ∈ ℰ^ଶ: ݀ሺܲ, ܼሻ = 1}. Man betrachte einen Punkt ܲ ∈ ܭ mit ܲሺݔ_௉, ݕ_௉ሻ, der sich ausgehend vom Punkt ܳሺ1/0ሻ im mathematisch positiven Drehsinn auf dem Einheitskreis bewegt. Die Funktion ݏ݅݊: ℝ ⟶ ℝ mit ߙ ⟼ sinሺߙሻ, die dem Drehwinkel ߙ die Ordinate des Punktes ܲ zuordnet, wird als Sinus- funktion bezeichnet (vgl. Abbildung 3.2.). Die Kosinusfunktion ܿ݋ݏ: ℝ ⟶ ℝ mit ߙ ⟼ cosሺαሻ ordnet dem Drehwinkel ߙ die Abzissenkoordinate des Punktes ܲ zu (vgl. Abbildung 3.3.). Häufig wird der Winkel ߙ mit der Längenmaßzahl ݔ des zugehörigen Kreisbogens, dem

2 In diesem Sinne: Rahmenlehrplan des Landes Berlin für das Fach Physik in der Sekundarstufe I, zu finden auf der Homepage des Landes Berlin. URL: http://www.berlin.de/imperia/md/content/senbildung/schulorganisation /lehrplaene/sek1_physik.pdf?start&ts=1245159489&file=sek1_physik.pdf

3 Vgl.: Grillmayer, Im Reich der Geometrie, 2009, S. 69

4 Da sich die Inhalte meiner Unterrichtsreihe auf die Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion beziehen, werde ich mich im weiteren Verlauf auf die Betrachtung dieser beiden Winkelfunktionen beschränken. Die De- finition der restlichen goniometrischen Funktionen sei an dieser Stelle der Vollständigkeit halber aufgeführt.

Abbildung 3.1.

b B

C

c Hypotenuse Gegenkathete (von α)

a

α A Ankathete (von α)

·

5 so genannten Bogenmaß, identifiziert.⁵ Bei den weiteren Betrachtungen soll diese Zuordnung ebenfalls zugrunde gelegt werden.

Für den Definitionsbereich der Funktionen ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ und ݃ሺݔሻ = cosሺݔሻ gilt ܦ_௙ = ℝ bzw. ܦ_௚ = ℝ, da bei der beschriebenen Bewegung des Punktes ܲ auf dem Einheitskreis - et- wa durch mehrere Umläufe oder die Drehung im mathematisch negativen Sinn - jedes belie- bige Bogenmaß angenommen werden kann. Indem die Funktionswerte beider Funktionen den Maximal- bzw. Minimalwert bei 1 bzw. −1 annehmen, stimmen auch ihre Wertebereiche überein: ܹ_௙= ሾ−1; 1ሿ und ܹ_௚ = ሾ−1; 1ሿ.

Die Sinus- und Kosinusfunktion gehören den periodischen Funktionen an. Eine Funktion

݂: ℝ → ℝ heißt ݌- periodisch für eine Zahl ݌ ∈ ℝ; ݌ > 0, falls ݂ሺݔ + ݌ሻ = ݂ሺݔሻ für alle ݔ ∈ ℝ gilt. Die kleinste positive Zahl ݌ mit dieser Eigenschaft wird als kleinste Periode von ݂ bezeichnet. Bei der Sinus- und Kosinusfunktion entspricht die kleinste Periode dem Umfang des Einheitskreises; beide Funktionen sind im Bogenmaßsomit 2ߨ-periodisch.⁶ Die Sinus- funktion ist eine ungerade Funktion, d.h. es gilt sinሺ−ݔሻ = − sinሺݔሻ für alle ݔ ∈ ℝ. Ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funk- tion. Da für alle ݔ ∈ ℝ die Beziehung cosሺݔሻ = cosሺ−ݔሻ besteht, weist diese Funktion eine Achsensymmetrie zur ݕ- Achse auf.

Die allgemeine Form der Sinusfunktion lautet ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ + ݀. Durch Veränderun- gen der Parameter ܽ, ܾ, ܿ und ݀ sind vielfältige Variationen im Verlauf des Graphen der Si- nusfunktion darstellbar. Im Folgenden soll auf die Bedeutung der einzelnen Parameter einge- gangen werden.

Der Faktor ܽ in ݂_௔ሺݔሻ = ܽ sinሺݔሻ; ܽ ≠ 0, bewirkt eine Stauchung (im Fall |ܽ| < 1) oder eine Streckung (im Fall |ܽ| > 1) des Graphen der Sinusfunktion in Richtung der ݕ- Achse.

Für ܽ < 0 kommt es zusätzlich zu einer Spiegelung an der ݔ-Achse. Der maximale Funk- tionswert |ܽ| wird als Amplitude bezeichnet; mit ܹ_௙ೌ = ሾ−ܽ; ܽሿ bestimmt die Amplitude den Wertebereich der Funktion ݂_௔.

Durch den Faktor ܾ in ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ; ܾ ≠ 0 wird die kleinste Periode gegenüber der Sinus- funktion verändert. Für |ܾ| > 1 wird der Graph der Sinusfunktion in Richtung der ݔ-Achse um den Faktorgestaucht, im Fall |ܾ| < 1 kommt es zu einer Streckung in ݔ-Richtung. Eine Spiegelung an der ݕ-Achse erfolgt, falls ܾ < 0 gilt.

Die kleinste positive Periode ݌ der Funktion ݂_௕ beträgt ݌ =^ଶగ_|௕|.

Beweis: Sei ݌ die kleinste positive Periode der Funktion ݂_௕ mit ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ; ܾ ≠ 0. Dann muss aufgrund der Periodizität von ݂_௕ gelten:

sinሾܾሺݔ + ݌ሻሿ = sinሺܾݔሻ

⇔ sinሺܾݔ + ܾ݌ሻ = sin ሺܾݔሻ

5 Zwischen der Winkelgröße ߙ im Gradmaß und ݔ im Bogenmaß besteht der Zusammenhang ^ఈ

ଷ଺଴°=_ଶగ^௫.

6 Vgl.: Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn, 2010i, S. 179 ܛܑܖሺࢻሻ

ܳ

ܲ 1

α

Abbildung 3.2.

ܳ

ܲ 1

α

܋ܗܛሺࢻሻ 1

Abbildung 3.3.

6 Da die Sinusfunktion 2ߨ-periodisch ist, muss ܾ݌ = 2ߨ gelten. Die gesuchte Formel folgt durch Umstellen dieser Gleichung.⁷

Der Kehrwert ^ଵ

௣ der Periode ݌ wird in der Physik als Frequenz bezeichnet.

Die Konstante ܿ in der Funktion ݂_௖ mit ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ wird auch Phasenverschiebung genannt. Sie bewirkt im Fall ܿ < 0 eine Verschiebung des Graphen der Sinusfunktion um ܿ in die positive ݔ-Richtung. Gilt ܿ > 0, so wird die Sinuskurve um ܿ in Richtung der negativen ݔ-Achse verschoben. Die Lage der Nullstellen der Sinusfunktion unterliegt ebenfalls der be- schriebenen Verschiebung um ܿ: während die Sinusfunktion die Nullstellen ݔ_௞ = ݇ ∙ ߨ mit

݇ ∈ ℤ besitzt, schneidet der Graph der Funktion ݂_௖ mit ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ die Abzissenachse an den Stellen ݔ_௞ = ݇ ∙ ߨ − ܿ; ݇ ∈ ℤ.

Die Phasenverschiebung ܿ verändert sich durch den Parameter ܾ. Sei dazu ݂_௖^´ mit ݂_௖^´= sinሺܾݔ + ܿሻ ; ܾ, ܿ ≠ 0 gegeben. Der Graph der Funktion ݂_௖^´ geht aus dem Graphen der Sinus- funktion durch eine Verschiebung um |_௕^௖| in negative ݔ- Richtung (für |_௕^௖| > 0) bzw. in posi- tive ݔ- Richtung (für |^௖_௕| < 0) hervor.

Die Konstante ݀ in ݂_ௗሺݔሻ = sinሺݔሻ + ݀ bewirkt eine Verschiebung des Graphen der Sinus- funktion um ݀ Einheiten entlang der ݕ-Achse.⁸

4. Mathematikdidaktische Aussagen zum Stoffabschnitt

Bei der Strukturierung des Lernstoffes habe ich mich dazu entschieden, dass die Parameter

ܽ, ܾ und ܿ zunächst getrennt betrachtet werden sollen.⁹ Ich habe mich bei dieser Vorgehens- weise an dem von der Klasse verwendeten Lehrbuch¹⁰ orientiert. Da das Lehrwerk für die Schüler die wahrscheinlich am häufigsten genutzte Quelle zur Vor- und Nachbereitung des Unterrichts darstellt, sehe ich diese Orientierung als sinnvoll an. Außerdem bringt eine derar- tige Aufgliederung des Stoffes den Vorteil mit sich, dass die mit der Betrachtung von drei Parametern recht hohe Komplexität des Unterrichtsinhalts reduziert werden kann. Die Schüler haben somit die Möglichkeit, sich zunächst vollständig auf den Einfluss der einzelnen Para- meter zu konzentrieren. Mit dieser Aufteilung des Lernstoffes möchte ich gewährleisten, dass sich auch die leistungsschwächeren Schüler solide Grundkenntnisse zum Stoffgebiet erarbei- ten können, ohne sich überfordert zu fühlen oder gar vor dem neuen Inhalt zu resignieren. Ich erhoffe mir somit, dass auch die vornehmlich demotivierten Schüler der Klasse eine positive Arbeitseinstellung zu dem Themenabschnitt entwickeln. Ein weiterer Vorteil an dieser Vor- gehensweise besteht in meinen Augen darin, dass den Schülern die sich anschließende ge- meinsame Betrachtung der Parameter als wiederholende Vertiefung ihres bereits vorhandenen Wissens erscheint. Durch die Anwendung des Spiralprinzips erhoffe ich mir somit, dass die Schüler den Lernstoff tiefgründiger verarbeiten. Vor dem Hintergrund, dass sich die Parame- ter in der Funktion ݂ mit ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ zum Teil gegenseitig beeinflussen, kann die getrennte Behandlung aber auch Verständnisschwierigkeiten mit sich bringen. Diese Prob- lemstellung soll im späteren Verlauf dieses Kapitels aufgegriffen werden.

Ein wichtiges Ziel, das ich mit meiner Unterrichtsreihe verfolge, besteht darin, dass sich die SchülerInnen den Einfluss der Parameter ܽ, ܾ und ܿ selbstständig erarbeiten. Diese Absicht lässt sich in erster Linie auf die Klassenzusammensetzung zurückführen. Wie bereits in Kapi- tel 2 beschrieben, habe ich den Eindruck, dass sich der Großteil der Schüler im Mathematik- unterricht zurückzieht und die aktive Mitarbeit nur von wenigen Lernenden geleistet wird. In

7 In diesem Sinne: Weltner (et al.), Mathematik für Physiker 1, 2008n, S. 70

8 Siehe hierzu vertiefend: Westermann, Mathematik für Ingenieure, 2008e, 177ff.

9 Dem Aufbau des Lehrbuchs gemäß werde ich auf die Behandlung des Parameters ݀ verzichten.

10 Hierbei handelt es sich das Lehrbuch Mathematik plus - Gymnasium Berlin. 10. Schuljahr. Die entsprechenden Lehrbuchseiten sind dem Anhang dieser Arbeit ab Seite 22 beigefügt.

7 meiner Unterrichtsreihe möchte ich die Schüler nun für eine stärkere Beteiligung am Unter- richtsgeschehen motivieren. Überdies soll die Eigentätigkeit eine intensive Beschäftigung mit dem Lerngegenstand bewirken. Um möglichst alle Lernenden bei der Erarbeitung der Thema- tik zu aktivieren, werde ich ein Gruppenpuzzle¹¹ durchführen. Indem die Lernenden dabei in ihren Expertengruppen über den Inhalt diskutieren und diesen ihren Mitschülern anschließend in den Stammgruppen erklären, übernimmt jeder Schüler einen gewissen Sprechanteil in der Unterrichtsstunde. Da die jeweiligen Experten die Verantwortung dafür übernehmen müssen, ihren „unwissenden“ Klassenkameraden den Unterrichtsstoff zu erklären, sind sie zur aktiven Mitarbeit angehalten. Ich sehe diese Vorgehensweise auch unter zeitökonomischen Gesichts- punkten als effektiv an, da die Lernenden den mit drei Parametern recht komplexen Lernstoff innerhalb einer Doppelstunde erarbeiten. Eine Gefahr bei der Durchführung dieser Methode besteht darin, dass leistungsschwache oder demotivierte Schüler den Lernerfolg ihrer Stamm- gruppen- Mitglieder hemmen. Alternativ habe ich es daher zunächst in Erwägung gezogen, die Schüler in einer reinen Gruppenarbeit Plakate zum Einfluss der einzelnen Parameter er- stellen und anschließend präsentieren zu lassen. Hierbei würde es sich als günstig erweisen, dass durch eine gezielte Gruppenzusammensetzung ein sichtbares Arbeitsergebnis (in Form des Plakats) gewährleistet werden würde, das zudem als Lern- und Orientierungshilfe für die nächsten Unterrichtsstunden dienen könnte. Gerade dadurch kann es aber erneut dazu kom- men, dass nur wenige Schüler aktiv mitarbeiten, während sich andere zurückziehen. Die in- tensive Auseinandersetzung mit dem Lernstoff durch alle Lernenden wäre somit nicht gege- ben. Weiterhin muss beachtet werden, dass jeder Schüler den Einfluss lediglich eines Parame- ters selbstständig erarbeiten und die weiteren Inhalte nur durch einen Vortrag erfahren würde.

Auch dies könnte einer tiefgründigen Verarbeitung des Unterrichtsinhalts entgegenwirken.

Betrachtet man die inhaltlichen Aspekte der Stoffeinheit, so kann es zu einigen Verständnis- schwierigkeiten bei den Schülern kommen. Ich denke, dass beispielsweise die Formel für die kleinste positive Periode ݌ der Funktion ݂_௕mit ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ relativ schwer einzusehen ist.

Mit dem Ziel, dass die Schüler die Formel inhaltlich verstehen, werde ich sowohl auf den Beweis aus Kapitel 3 als auch größtenteils auf die mathematisch korrekte Sprechweise ver- zichten und die folgende vereinfachte Herleitung vornehmen: die Schüler wissen bereits, dass die Sinusfunktion die kleinste positive Periode von 2ߨ besitzt. Sie sollen nun entscheiden, wann die Funktion ݂_ଵmit ݂_ଵሺݔሻ = sinሺ2ݔሻ an der Stelle ݔ = 2ߨ „ankommt“ und erkennen, dass der entsprechende Funktionswert bereits bei ݔ = ߨ angenommen wird. Die Periode be- trägt somit ݌ = ߨ. Dieselben Überlegungen werden anschließend für die Funktion ݂_ଶሺݔሻ = sin ቀ^ଵ_ଶݔቁ durchgeführt und sollen von den Schülern bis zum Finden der Formel verallgemei- nert werden.

Eine weitere Schwierigkeit, die sich den Lernenden stellen könnte, sehe ich in den Betrach- tungen zur Verschiebung des Graphen auf der ݔ- Achse. Einerseits ist es verwirrend, dass ein positives ܿ in der Funktion ݂_௖ mit ݂_௖ = sin ሺݔ + ܿሻ eine Verschiebung in die negative ݔ- Rich- tung bewirkt, während ein negatives ܿ eine Verschiebung in die positive ݔ- Richtung zur Fol- ge hat. An dieser Stelle besteht die Möglichkeit, an das Vorwissen der Schüler anzuknüpfen:

mit den quadratischen Funktionen haben sie bereits eine Funktionsklasse kennengelernt, bei der die Addition einer Konstante zu dem Argument eine äquivalente Verschiebung bewirkt.

Weiterhin kann der Einfluss von ܿ unter Verwendung der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra veranschaulicht werden.¹² Alternativ wäre es denkbar, die Verschiebung anhand anschaulicher Überlegungen zu begründen. Äquivalent zur obigen Herleitung der Perioden-

11 Bei einem Gruppenpuzzle wird der jeweilige Lernstoff in verschiedene Aspekte aufgeteilt. Zunächst werden Expertengruppen gebildet, die jeweils einen speziellen Gesichtspunkt bearbeiten. Anschließend finden sich die Schüler in so genannten Stammgruppen zusammen, in denen sie ihr in den Expertengruppen erarbeitetes Wissen ihren Mitschülern vortragen.

12 Die entsprechenden GeoGebra-Dateien zur Veranschaulichung des Parametereinflusses auf den Verlauf der Sinusfunktion sind dem Anhang dieser Arbeit beigefügt.

8 formel könnte man dabei erneut einen Punkt auf der Sinuskurve fixieren und untersuchen, wo sich dieser bei einer Funktion der Form ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ befindet.

Auf der anderen Seite beinhaltet auch die Verschiebung des Graphen der Funktion ݂ mit

݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ Probleme. In diesem Zusammenhang kommt der eingangs angespro- chene Nachteil der getrennten Behandlung der einzelnen Parameter zum Tragen. Zuvor hatten die Schüler verinnerlicht, dass die Konstante ܿ eine Verschiebung auf der ݔ- Achse bewirkt.

Nun müssen sie verstehen, dass erst das Ausklammern des Parameters ܾ in der Funktion

݂ሺݔሻ = ܽ sinሾܾሺݔ +_௕^௖ሻሿ zur korrekten Verschiebung von nunmehr ^௖

௕Einheiten auf der Abzissenachse führt. Der Rahmenlehrplan und andere als das von mir verwendete Lehrwerk versuchen, diese Verständnisschwierigkeit zu umgehen, indem sie die allgemeine Sinusfunk- tion in der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሾܾሺݔ − ܿሻሿ angeben. Dadurch kann die Verschiebung um ܿ bei- behalten werden. Zudem werden durch das Minuszeichen vor dem Parameter ܿ die beschrie- benen Verständnisprobleme zur Richtung der Verschiebung umgangen: für ܿ < 0 wird der Graph um ܿ in die negative und für ܿ > 0 in die positive ݔ- Richtung verschoben. Da mit dem von der Klasse verwendeten Lehrbuch und dem Tafelwerk allerdings zwei wichtige Hilfsmit- tel der Schüler die Funktionsgleichung ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ zugrundelegen, werde ich die- ser Vorgehensweise folgen.

Dabei möchte ich den Schülern in einem Lehrervortrag präsentieren, wie sie durch das Aus- klammern des Parameters ܾ die korrekte Verschiebung des Graphen der Sinusfunktion ermit- teln können. Die starke lehrerseitige Steuerung empfinde ich als zweckmäßig, da ich diesen Gesichtspunkt als den kompliziertesten der Unterrichtseinheit betrachte. Alternativ wäre es denkbar, die Klasse selbsttätig den Graphen einer Funktion der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ zeichnen und anschließend mit einer Musterlösung (z. B. bei GeoGebra) vergleichen zu las- sen. Indem die Lernenden voraussichtlich die falsche Verschiebung um ܿ Einheiten vorneh- men, wäre der Ausgangspunkt für eine Diskussion und die Suche nach dem Fehler gegeben.

Diese Methode hätte den Vorteil, dass die Schüler die fehlerhafte Verschiebung und somit die Motivation für die Umformung des Funktionsterms selbsttätig erfahren würden. Allerdings wäre damit auch ein erheblich höherer Zeitaufwand verbunden.

5. Planung der Unterrichtsreihe

In den ersten beiden Unterrichtsstunden der Reihe sollen die Schüler das Gruppenpuzzle durchführen. Dabei erarbeiten sie sich den Einfluss der Parameter ܽ, ܾ und ܿ durch das Lösen von Arbeitsaufträgen in ihren Expertengruppen, bevor sie ihre Ergebnisse den Mitgliedern ihrer so genannten Stammgruppen erklären. Zu Beginn der Doppelstunde sollen in einem ge- lenkten Unterrichtsgespräch zunächst die Eigenschaften der Sinusfunktion wiederholt und denen der Kosinusfunktion vergleichend gegenübergestellt werden. Diese Vorgehensweise ist meiner Meinung nach sinnvoll, da die Betrachtungen zu den Parametern auf den Eigenschaf- ten der Sinusfunktion aufbauen.

Die folgende Unterrichtsstunde dient dem Zusammentragen der Ergebnisse und somit einer Wiederholung und Festigung der Inhalte aus dem vorhergehenden Unterrichtsabschnitt. Dabei sollen offene Fragen der Schüler geklärt werden. Zudem werden wesentliche und komplizier- te Aspekte des Stoffinhalts vertiefend thematisiert. Hierzu zählen unter anderem die Herlei- tung der Formel für die kleinste positive Periode und die korrekte Verwendung wichtiger Be- grifflichkeiten („Stauchung“, „Streckung“, „Spiegelung“). In diesem Zusammenhang soll es auch zu ersten Anwendungen des neu Erlernten kommen, indem die Schüler beispielsweise aus gegebenen Funktionsgleichungen auf den Verlauf des Graphen schließen sollen.

In den folgenden beiden Unterrichtsstunden soll der gemeinsame Einfluss der Parameter ܽ, ܾ und ܿ betrachtet werden. Einen Hauptgegenstand wird dabei die bereits angesprochene Ver- schiebung um ^௖

௕ Einheiten bilden. Außerdem wird eine Übungsphase durchgeführt, in der die

9 bisherigen Inhalte der Unterrichtsreihe wiederholend gefestigt werden sollen. Dies dient zu- gleich als Vorbereitung auf die Lernerfolgskontrolle, die in der kommenden und damit letzten Unterrichtsstunde der Reihe geschrieben wird.

6. Die Unterrichtsreihe

6.a. Auflistung der Themen der unterrichteten Stunden¹³ Stunde

Nr.

Datum Unterrichts- stunde

Thema

1 Di., 14.09.2010 3 - Einführung „Einfluss des Parameter ܽ in

݂_௔ሺݔሻ = ܽ sinሺݔሻ, ܾ in ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ und ܿ in ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ“

2 Di., 14.09.2010 4

3 Mi., 15.09.2010 6 - Wiederholung, Vertiefung, Übung

4 Fr., 17.09.2010 1 - der gemeinsame Einfluss der Parameter ܽ, ܾ, ܿ in Funktionen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ - Wiederholung, Anwendung, Übung, Testvorbe-

reitung 5 Fr., 17.09.2010 2

6 Do., 23.09.2010 1 - Test zum Thema „Funktionen mit Gleichungen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ“

6.b. Stundenentwurf Unterrichtende: xxxxx

Datum: Dienstag, 14.09.2010 Zeit: 3. und 4. Unterrichtsstunde;

Klasse: 10c 9:50 - 11:20 Uhr

6.b.1. Thema: Einführung „Einfluss des Parameters ܽ in ݂_௔ሺݔሻ = ܽ sinሺݔሻ, ܾ in

݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ und ܿ in ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ“ 6.b.2. Lernziele

Grobziel:

Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich den Einfluss der Parameter ܽ, ܾ bzw. ܿ auf den Verlauf der Graphen der Funktionen mit Gleichungen der Form ݂_௔ሺݔሻ = ܽ sinሺݔሻ , ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ bzw. ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ.

Feinziele:

Die Schülerinnen und Schüler

1) können die Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion vergleichend gegenüber- stellen und interpretieren.

2) erarbeiten sich die Eigenschaften von Funktionen mit Gleichungen der Form ݂_௔ሺݔሻ =

ܽ sinሺݔሻ , ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ und ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ und vergleichen diese mit den Funktionseigenschaften von ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ.

3) können den Einfluss der Parameter ܽ, ܾ und ܿ auf den Verlauf der Funktionen ݂_௔, ݂_௕ und ݂_௖ unter Verwendung der dafür notwendigen Begriffe („Amplitude“, „Streckung“,

„Stauchung“, „Periode“) beschreiben.

6.b.3. Einbettung der Stunde

In den Stunden zuvor wurden die trigonometrischen Beziehungen des Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck definiert. Auf dieser Grundlage stellten die Schüler die Graphen der Funktionen ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ und ݃ሺݔሻ = cosሺݔሻ am Einheitskreis dar und erarbei-

13 Die Themen der weiteren Unterrichtsstunden, die ich während des Praktikums gehalten habe, sind im Anhang dieser Arbeit auf Seite 51 aufgelistet.

10 teten sich die Eigenschaften dieser trigonometrischen Funktionen. Außerdem wurden die Zu- sammenhänge zwischen dem Bogen- und Gradmaß eines Winkels behandelt.

In den auf die Stoffeinheit folgenden Stunden soll zunächst die Arbeit mit dem Taschenrech- ner geübt werden: hierbei lernen die Schüler, wie sie Funktionswerte von trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit von verschiedenen Winkelmaßen bestimmen können und wie sie umgekehrt vorgehen müssen, um deren Argumente zu entsprechenden Funktionswerten zu ermitteln. Außerdem sollen die Tangensfunktion und ihre Eigenschaften eingeführt werden.

Im weiteren Verlauf werden die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen behandelt. Als Abschluss des Moduls „Mit Winkel und Längen rechnen“ sollen sowohl Summen und Produkte von Winkelfunktionen als auch der Sinus- und Kosinussatz themati- siert werden.

6.b.4. Vorkenntnisse der Schüler

In der Klassenstufe 9 wurde die Funktionsklasse der quadratischen Funktionen behandelt. In diesem Zusammenhang wurde auch der Einfluss von Parametern auf den Verlauf der Nor- malparabel thematisiert. Die Lernenden dieser Klasse haben allerdings große Probleme bei der Beschreibung von Funktionseigenschaften, wobei vor allem die dafür notwendigen Be- griffe (z. B. „Nullstelle“, „Definitions- und Wertebereich“) nicht definiert und korrekt ver- wendet werden können.

Wie bereits erwähnt, haben die SchülerInnen in den vorausgegangenen Stunden die Eigen- schaften der trigonometrischen Funktionen ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ und ݂ሺݔሻ = cosሺݔሻ kennengelernt.

Es treten jedoch vermehrt Schwierigkeiten bei der Interpretation der Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion auf. Beispielsweise kann die Mehrheit der Schüler die Parameter- schreibweise für die Nullstellen, das Monotonieverhalten und die Extremwerte nicht deuten.

Dennoch kann der Großteil der Klasse grundlegende Aussagen zum Verlauf dieser trigono- metrischen Funktionen - insbesondere zur Periode und einigen wichtigen Funktionswerten - treffen. Dass die Schüler aus den vergangenen Schuljahren eine gegebene Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle graphisch darstellen können, setze ich für diese Stunde ebenfalls voraus.

Hinsichtlich der methodischen Vorkenntnisse der Lernenden kann festgestellt werden, dass es die Schüler aus ihrem sonstigen Mathematikunterricht gewöhnt sind, Partner- oder Gruppen- arbeiten durchzuführen. Die Lehrerin legt meines Erachtens sehr viel Wert darauf, dass die Schüler nicht nur für ihren eigenen Lernerfolg, sondern auch für den Lernprozess ihrer Mit- schüler Verantwortung übernehmen. Sie lässt die Klasse dementsprechend in vielen Phasen des Unterrichts selbstständig Aufgaben in kooperativer Zusammenarbeit erledigen.

Die räumlichen Gegebenheiten sind in dieser Unterrichtsstunde sehr günstig: der Klassenraum bietet genügend Platz, um die für das Gruppenpuzzle notwendigen Schülergruppen zu bilden.

Weiterhin verfügt der Raum mit einem Beamer, einem OH - Projektor und Computerarbeits- plätzen über technische Hilfsmittel, die während des Gruppenpuzzles genutzt werden können.

6.b.5. Methodische Vorbesinnung

Die erste Phase dieser Unterrichtsstunde dient sowohl der Wiederholung der letzten Unter- richtsstunden, als auch der Vorbereitung der folgenden Inhalte. Da die Schüler in dieser Stun- de untersuchen sollen, wie sich die Parameter ܽ, ܾ und ܿ auf den Verlauf der Sinuskurve aus- wirken, bildet die wiederholende Vergegenwärtigung der Eigenschaften der Sinusfunktion eine wesentliche Arbeitsgrundlage. Um möglichst alle Schüler bei der Wiederholung zu akti- vieren, habe ich mich dazu entschlossen, die Wiederholung in einer Art Rätsel durchzuführen, das von der Klasse in kooperativer Arbeit gelöst werden soll. Dazu soll jeweils ein Schüler nach vorne kommen und die in der Mitte der Tafel angebrachten Plakate¹⁴ richtig zuordnen.

Da einige Plakate nur allgemeine Ausdrücke (z. B. Intervalle für das Monotonieverhalten)

14 Die Materialien zu dieser Unterrichtsstunde befinden sich ab Seite 26 im Anhang dieser Arbeit

11 enthalten, erweist sich die korrekte Zuordnung zu den Funktionen und ihren Eigenschaften teilweise als schwierig. Durch diese Übung möchte ich aber gerade die Probleme aufgreifen, die der Großteil der Klasse mit den Parameterdarstellungen bestimmter Funktionseigenschaf- ten hat. Indem die Schüler die Zuordnungen der Plakate begründen müssen und mit ihren Klassenkameraden über die korrekte Lösung diskutieren, soll eine aktive Auseinandersetzung mit dem Inhalt stattfinden. Mit dem Rätselcharakter dieser Wiederholung verfolge ich das Ziel, dass auch diejenigen Schüler angesprochen werden, die sich im sonstigen Mathematik- unterricht zurückziehen und eher demotiviert sind. Da die Tafel viel Platz bietet und für alle Schüler gut einsehbar ist, stellt sie das meiner Ansicht nach günstigste Medium für das Erstel- len der angesprochenen Übersicht dar. Außerdem ergibt sich durch diese Medienwahl die Möglichkeit, die Charakteristika der Sinusfunktion für die Lernenden über die gesamte Dop- pelstunde präsent zu halten. Da die Schüler im weiteren Verlauf herausstellen sollen, welche Eigenschaften der Sinusfunktion sich durch den Parametereinfluss ändern, ist diese Orientie- rungsmöglichkeit sehr nützlich. Die Verwendung der beschrifteten Plakate soll zudem einer Zeitersparnis dienen, weil die Funktionseigenschaften nicht noch extra von mir oder den Schülern notiert werden müssen. Bei dieser Übung empfinde ich es als besonders schwierig, die Zuordnung der Plakate mathematisch zu begründen. Die jeweilige Begründung setzt die korrekte Interpretation der Funktionseigenschaften voraus, die von vielen Schülern jedoch noch nicht geleistet werden kann. Die von mir beabsichtigte Diskussion zwischen den Ler- nenden soll dazu beitragen, diese Verständnisschwierigkeiten aufzugreifen.

Die Erarbeitungsphase beinhaltet die Durchführung des Gruppenpuzzles. Ich habe mich für diese Methode entschieden, um den bereits mehrfach angesprochenen Besonderheiten in der Klassenzusammensetzung zu begegnen und möglichst viele Schüler zu aktivieren. Durch die doppelte Gruppenarbeit (zunächst in den Experten- und dann in den Stammgruppen) soll überdies eine tiefgründige Verarbeitung des neuen Unterrichtsstoffes erreicht werden. Wei- terhin übernimmt jeder Schüler eine Art Kurzvortrag, ohne vor der gesamten Klasse sprechen zu müssen. Damit möchte ich vor allem zurückhaltende Schüler zur aktiven Mitarbeit moti- vieren. Gleichzeitig kommt diese Methode aber auch den Lernenden entgegen, die sich auch sonst sehr gerne aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligen.

Die zu bearbeitenden Aufgaben sind dabei stets nach dem gleichen Prinzip aufgebaut und dienen der schrittweisen Erarbeitung des Einflusses der einzelnen Parameter. Bei der Gestal- tung der Arbeitsaufträge habe ich mich an der Vorgehensweise des Lehrbuches orientiert, das von den Schülern als Hilfsmittel genutzt werden soll. Durch die Vergleichsmöglichkeit mit dem Lehrwerk soll die Gruppenarbeit erleichtert und beschleunigt werden. Das Ausfüllen des Arbeitsblattes während des Gruppenpuzzles bringt den Vorteil mit sich, dass die Schüler eine zusammenfassende Sicherung aller wichtigen Ergebnisse erhalten und sich nicht erst in zeit- aufwändiger Eigenarbeit eine Mitschrift erstellen müssen. Da der Großteil der Klasse sehr viel Zeit benötigt, um sich Notizen zu einem Stoffgebiet zu machen, sehe ich diese Vorge- hensweise als zweckmäßig an. Als schwierig könnte es sich für einige Lernende in dieser Phase erweisen, ihren Stammgruppenmitgliedern die jeweiligen Inhalte zu erklären. Da diese Tätigkeit voraussetzt, dass die Schüler den zum Teil schwierigen Stoff durchdrungen haben, können in den Stammgruppen einige Verständnisschwierigkeiten beim Zusammentragen der Ergebnisse auftreten. Diesen Problemen möchte ich durch die vorbereitende Arbeit in den Expertengruppen, das Anbieten meiner Hilfe und der Verwendung des Lehrbuches begegnen.

Als Ergebnissicherung teile ich am Ende der Stunde eine Übersicht mit den zusammengefass- ten Ergebnissen der Arbeitsaufträge aus. Damit möchte ich sicherstellen, dass auch diejenigen Schüler, die die Erklärungen ihrer Gruppenmitglieder nicht verstanden haben, die grundle- genden Informationen des Stoffabschnittes erhalten. In der Hausaufgabe sollen die Schüler dieses Arbeitsblatt sowie die entsprechenden Lehrbuchseiten durcharbeiten und sich dabei überlegen, welche Aspekte ihnen noch unklar erscheinen. Dies dient der Vorbereitung der kommenden Unterrichtsstunde, in welcher der Stoff wiederholend aufgegriffen werden soll.

12 6.b.6. Verlaufsplanung

Zeit Phase Geplantes Lehrerverhalten Erwartetes Schülerverhalten Sozialform/ Medien

9:50 - 9:55

Einstieg Begrüßung/ Vorstellung des Stundenablaufs:

Wir werden heute die Eigenschaften der Sinus- und der Kosi- nusfunktion aus der letzten Stunde wiederholen. Wir wollen sie rechts und links an der Tafel gegenüberstellen. Dazu sollt Ihr diese Plakate zuordnen.

verweist auf Tafelbild und zeigt einige Plakate mit Eigen- schaften der Funktion hoch

SuS hören zu und schauen zur Tafel, nehmen eventuell ihre Aufzeichnungen aus der letzten Stunde hervor

gelenktes Unter- richtsgespräch

Tafel

Didaktischer Kommentar:

Die Erstellung des Tafelbildes soll die Arbeitsgrundlage für die Erarbeitungsphase bilden. Da die Schüler später untersuchen sollen, welchen Einfluss die Parameter auf den Verlauf der Sinusfunktion nehmen, ist die Kenntnis der Funktionseigenschaften von ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ Grundvoraussetzung,

9:55 - 10:15

Wieder- holung

Zusammenstellung der Funktionseigenschaften an der Tafel 1. Graph

Wie verläuft der Graph der Funktionen?

ruft einen S.o.S. auf

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Graphen der Sinus- und dem Graphen der Kosinusfunktion?

2. Definitions- und Wertebereich

Was sind Definitions- und Wertebereich der Funktionen?

Was geben Definitions- und Wertebereich einer Funktion an?

ruft einen Schüler auf

3. Nullstellen

Wo liegen die Nullstellen der Funktionen?

stellt weiterführende Fragen: Wie kann man die Nullstellen einer Funktion definieren? Kannst Du die Formel auf dem Plakat in eigenen Worten wiedergeben?

(Dieses Prinzip wird für die folgenden Eigenschaften fortge- führt.):

4. Maxima/ Minima

SuS schauen zur Tafel; melden sich, um Gra- phen an die Tafel zu bringen

mögliche Schülerantworten: man erhält die Kosinusfunktion, wenn man die Sinusfunktion um π/2 auf der x-Achse verschiebt

(falls keine spontane Reaktion)

melden sich; ein S.o.S. geht nach vorne; be- gründet die Platzierung der Plakate

melden sich; beantworten die Fragen

gelenktes Unter- richtsgespräch Tafel

Lehrbuch

13 5. Symmetrie

6. Monotonieverhalten 7. Periodizität

Ergebnissicherung:

teilt Arbeitsblatt aus (AB 1.1.) Arbeitsblatt (AB 1.1.)

(In dieser Phase soll das Feinziel 1) realisiert werden.) Didaktischer Kommentar:

Das Arbeitsblatt AB 1.1. enthält eine Übersicht zu den Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion. Es soll den Schülern neben dem erarbeiteten Tafel- bild als Hilfsmittel für die nun folgende Erarbeitungsphase dienen, in der es vornehmlich darum geht, die Eigenschaften der Sinusfunktion und der Funk- tionen ݂_௔ሺݔሻ = ܽ sinሺݔሻ, ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ und ݂_௖ሺݔሻ = sinሺݔ + ܿሻ gegenüberzustellen.

10:15 - 10:50

10:50 - 11:15

Erarbei- tung

Gruppenpuzzle:

Sollen sich in Dreiergruppen (=Expertengruppen) zusammen- setzen und die Aufgaben auf dem Arbeitsblatt bearbeiten;

Zeitvorgabe: 35 Minuten

Geht zu den einzelnen Gruppen; hilft bei Nachfragen

Stammgruppen:

SuS sollen sich gegenseitig die Ergebnisse ihrer Gruppenarbeit vortragen; Zeitvorgabe: 25 Minuten

Setzen sich in Gruppen zusammen und bear- beiten die Aufgaben

Stellen eventuell Fragen zu den Aufgaben;

diskutieren über Aufgaben; überlegen, wie sie Ergebnisse Mitschülern erklären können

erklären sich gegenseitig die Ergebnisse ihrer Aufgaben

Gruppenarbeit Arbeitsblatt (AB 1.2.) Lehrbuch

Tafelwerk

Gruppenarbeit Arbeitsblatt (AB 1.2.) (Diese Phase dient der Umsetzung der Feinziele 1) und 2)).

Didaktischer Kommentar:

Um beim Zeichnen der Funktionsgraphen in Aufgabe 1 Zeit zu sparen, habe ich den Schülern eine Wertetabelle vorgegeben. Auch die Tabelle in Aufgabe 2 soll einer Zeitersparnis dienen. Als schwierig kann es sich bei dieser Aufgabe erweisen, die geänderten Funktionseigenschaften mit Hilfe der Parameter zu umschreiben. Da diese Schwierigkeiten besonders bei den Funktionen der Form ݂_௕ሺݔሻ = sinሺܾݔሻ auftreten, habe ich in dieser Gruppe die Eigenschaften bereits vorgegeben, die von den Schülern nur noch zugeordnet werden müssen. Für eine größere Abwechslung beim Ergebnisvergleich in den Stammgrup- pen habe ich in Aufgabe 3 für jede Gruppe ein anderes Aufgabenformat gewählt. Diese Aufgabe ist für die Schüler ebenfalls mit einem geringen Schreib- aufwand verbunden, damit sie die Gruppenarbeitszeit effektiv für Diskussionen nutzen können.

11:15 - 11:20

Sicherung Austeilen einer Übersicht für die drei Parameter

Hausaufgabe: Durchlesen des Arbeitsblattes und der Seiten im Buch; offene Fragen überlegen

Gelenktes Unter- richtsgespräch Übersicht (AB 1.3.) (Diese Phase dient ebenfalls der Umsetzung der Feinziele 1) und 2), da es zu einer Wiederholung und Festigung der neu erlernten Inhalte kommt).

14 6.b.7. Auswertung der Stunde

Die beschriebene Doppelstunde verlief nur zum Teil gemäß ihrer Planung. Zunächst hat die Wiederholung die von mir gewünschte Wirkung bei den Schülern erzielt: das Zusammenstel- len des Tafelbildes schien dem Großteil der Klasse viel Freude zu bereiten. Dies äußerte sich in einer erhöhten Motivation vieler - auch sonst eher zurückhaltender - Lernender, sich am Unterrichtsgeschehen zu beteiligen. Beim Anbringen der Plakate kam es überdies zu der in- tendierten Diskussion unter den Schülern. Sie stellten sich gegenseitig Fragen zu Funktionsei- genschaften, die sie nicht verstanden hatten oder beratschlagten das korrekte Platzieren der Plakate. Wie ich zuvor vermutet hatte, bereitete hierbei vor allem die Interpretation von Funk- tionseigenschaften in Parameterschreibweise (z. B. Monotonieverhalten) Probleme. Indem diese Verständnisschwierigkeiten von den Schülern verstärkt angesprochen und gemeinsam diskutiert wurden, kam es zu dem beabsichtigten Austausch, durch den meines Erachtens bei vielen Schülern einige noch offene Fragen geklärt werden konnten. Dies äußerte sich vor al- lem in den richtigen Begründungen, die die Schüler für das Zuordnen der Plakate geben konn- ten. Mein Lernziel, dass die Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion vergleichend ge- genübergestellt werden können, konnte somit meines Erachtens erreicht werden.

Der Lernerfolg des Gruppenpuzzles fiel sehr unterschiedlich aus und war einerseits abhängig von der Gruppenzusammensetzung. An dieser Stelle überließ ich es den Schülern, die Stammgruppen selbstständig zu bilden. Dabei ergaben sich viele leistungshomogene Gruppen, die entweder hauptsächlich aus leistungsstarken oder aber leistungsschwächeren Schülern bestanden. Diesem zum Teil starken Leistungsgefälle entsprechend bearbeiteten die einzelnen Gruppen die Arbeitsblätter mit unterschiedlicher Schnelligkeit. Während einige Gruppen mit den Aufgaben kaum Schwierigkeiten hatten und teilweise bereits vor der vorgesehenen Zeit fertig waren, hatten andere Lernende große zeitliche Probleme. Aufgrund dieser Unterschiede konnte die zweite Phase des Gruppenpuzzles nicht wie geplant durchgeführt werden. Daher ließ ich einige Schüler bereits mit der Arbeit in den Expertengruppen beginnen und den Rest der Klasse ihre Aufgaben in den Stammgruppen beenden. Damit wollte ich sicherstellen, dass alle Lernenden in dieser Doppelstunde den Einfluss mindestens eines Parameters intensiv erarbeiten. Durch das Austeilen der Übersicht am Ende der Stunde wollte ich dennoch ge- währleisten, dass sich jeder Schüler bis zur kommenden Unterrichtsstunde mit allen drei Pa- rametern auseinandersetzt. Um die großen Differenzen im Arbeitstempo der Gruppen zu mi- nimieren, wäre es im Vorfeld sinnvoll gewesen, auf die Gruppenzusammensetzung einzuwir- ken. Hierbei hätte ich darauf achten können, die Expertengruppen sowohl mit stärkeren als auch schwächeren Schülern zu besetzen.

Dass einige Schüler zeitliche Probleme bei der Gruppenarbeit hatten, lag auf der anderen Sei- te aber auch in der Struktur der Arbeitsaufträge begründet. Dabei fiel mir auf, dass die Aufga- ben zu umfangreich waren. Einige Lernende verbrachten beispielsweise nahezu die gesamte Unterrichtszeit mit dem Zeichnen der Graphen in Aufgabe 1. Bei der Planung der Stunde war ich davon ausgegangen, dass die Schüler darin geübt sein würden, Funktionsgraphen anhand von Wertetabellen zu skizzieren. In der Durchführung stellte sich jedoch heraus, dass viele Lernende der Klasse mit dieser Übung große Schwierigkeiten haben. Alternativ würde ich daher zukünftig die erste Aufgabe streichen und den Schülern einzelne Funktionsgraphen vorgeben, die von ihnen interpretiert werden sollen. Auf dieser Grundlage könnte der Einfluss des jeweiligen Parameters ebenfalls erarbeitet werden. Die Lernenden hätten jedoch mehr Zeit, sich auf den wesentlichen Inhalt der Stunde zu konzentrieren. Das Bearbeiten der zwei- ten und dritten Aufgabe wurde von den Schülern hingegen recht zügig und zumeist ohne gro- ße Schwierigkeiten erledigt. Dabei hatte ich den Eindruck, dass ihre Motivation vor allem bei der Rätselaufgabe (Aufgabe 3) angesprochen wurde. So beobachtete ich, dass viele Lernende diese Aufgabe zuerst erledigten. Da die Übungen inhaltlich aufeinander aufbauten und dazu dienen sollten, sich den Unterrichtsstoff schrittweise zu erarbeiten, widersprach diese Vorge-

15 hensweise allerdings meiner Planung. Ich denke, dass das Streichen der ersten Aufgabe aber auch bei diesem Problem Abhilfe schaffen würde, da die Schüler nicht bereits zu Beginn der Gruppenarbeit durch eine recht zeitaufwändige Übung abgeschreckt sein würden.

Die Methode des Gruppenpuzzles war in meinen Augen dennoch erfolgreich: die Lernenden tauschten sich rege über die Aufgaben aus, stellten sich gegenseitig Fragen und boten ihren Mitschülern ihre Hilfe an. Somit hatte ich den Eindruck, dass der Großteil der Klasse aktiv am Unterrichtsgeschehen beteiligt war. Angesichts dieser Vorteile würde ich - unter Verwendung weniger komplexer Arbeitsaufträge - auch zukünftig auf ein Gruppenpuzzle zurückgreifen.

Zusammenfassend möchte ich feststellen, dass die weiteren Lernziele für diese Unterrichts- stunde nur zum Teil erreicht werden konnten. Während einige Schüler den Einfluss aller drei Parameter bearbeitet haben, konnten sich viele Lernende lediglich auf die Betrachtung eines Aspekts konzentrierten. Aufgrund der überwiegend korrekten Bearbeitung der Aufgaben 2 und 3 gehe ich aber davon aus, dass die Mehrheit der Schüler am Ende dieser Stunde den Ein- fluss zumindest eines Parameters korrekt beschreiben konnte. Dabei konnten sie sowohl die in diesem Zusammenhang notwendigen Begrifflichkeiten richtig verwenden als auch beschrei- ben, wie sich die Eigenschaften der Sinusfunktion unter dem jeweiligen Parametereinfluss ändern. Meine Intention, möglichst viele Schüler aktiv in das Unterrichtsgeschehen einzube- ziehen, wurde in meinen Augen ebenfalls realisiert.

7.a. Auflistung der hospitierten Stunden

Nr. Datum Std. LehrerIn Klasse Nr. Datum Std. LehrerIn Klasse

1 06.09.10 3 7b 26 8 9d

2 4 7b 27 15.09.10 3 GK 12

3 7 GK 12 28 4 GK 12

4 8 GK 12 29 16.09.10 3 7b

5 07.09.10 3 LK 12 30 4 7b

6 4 LK 12 31 5 GK 13

7 08.09.10 1 LK 13 32 6 GK 13

8 2 LK 13 33 17.09.10 5 10a

9 3 GK 12 34 6 10a

10 4 GK 12 35 8 GK 12

11 8 9d 36 9 GK 12

12 9 9d 37 20.09.10 3 LK 13

13 09.09.10 1 10d 38 4 LK 13

14 2 LK 12 39 7 10d

15 10.09.10 1 GK 12 40 8 10d

16 2 10b 41 21.09.10 1 GK 12

17 3 10b 42 2 GK 12

18 4 LK 13 43 3 LK 13

19 8 GK 12 44 4 LK 13

20 9 GK 12 45 27.09.10 3 9b

21 13.09.10 1 GK 12 46 4 9b

22 2 GK 12 47 7 10d

23 14.09.10 1 GK 12 48 8 10d

24 2 GK 12 49 28.09.10 3 LK 13

25 7 9d 50 4 LK 13

16 7.b. Hospitationsprotokolle mit Reflexion

7.b.1. Hospitationsprotokoll I

Klasse: 12 (Leistungskurs) Lehrerin: Frau xxxxx Anzahl der SchülerInnen: 16

Datum: Donnerstag, 09.09.2010 Zeit: 2. Stunde, 8:45 - 9:30 Thema: Differenzierbarkeit von Funktionen

Beobachtungsschwerpunkt: Vorkommen klassischer und moderner Lernformen im Unterricht 7.b.1.1. Verlaufsprotokoll I

(siehe Anhang, S. 40ff.) 7.b.1.2. Reflexion

Als Ergebnis meiner Beobachtung kann ich feststellen, dass in dieser Stunde mit dem instru- mentellen Lernen eine klassische Lernform Anwendung fand. Zudem kamen moderne Lern- formen in Ausprägung des kooperativen und selbsttätigen Lernens vor. Im Folgenden möchte ich diskutieren, was an der Verwendung dieser Lernformen in dieser Stunde als günstig oder eher problematisch angesehen werden könnte.

Der deutsche Psychologe Walter Edelmann schreibt dem instrumentellen Lernen für den schulischen Unterricht einen hohen Stellenwert zu. Durch Belohnung und Bestrafung sei es der Lehrkraft demnach möglich, das Verhalten der SchülerInnen zu beeinflussen.¹⁵ In der von mir beobachteten Stunde verzichtete die Lehrerin zwar auf Bestrafungen (z. B. Ausbleiben der Ermahnung bei fehlender Hausaufgabe), machte den Schülern aber dennoch die Konse- quenzen ihres Verhaltens deutlich. Hierbei bestand die Intention der Lehrerin meiner Ansicht nach darin, dass die Schüler selbst Verantwortung für ihren Lernprozess zu übernehmen ler- nen. Ich denke, dass durch diese Förderung der Selbsttätigkeit Kompetenzen der Schüler ge- schult werden, die sie unserer modernen Gesellschaft zunehmend benötigen. Weiterhin habe ich den Eindruck, dass die Lehrerin durch ihre Vorgehensweise eine Vertrauensbasis zu ihren Schülern aufbaute. Das daraus resultierende positive Arbeitsklima in der Klasse, welches sich an mehreren Stellen der Stunde bemerkbar machte, stellt für mich eine Grundvoraussetzung für einen gelungenen Mathematikunterricht dar und ist daher in meinen Augen als lernförder- lich anzusehen. Dass die Lehrkraft die Folgen der Schülerhandlungen vornehmlich auf die Abiturprüfungen bezog, hat meiner Meinung nach hingegen Vor- und Nachteile. Zwar schien das in Aussicht gestellte gute Abschneiden im Abitur die Schüler zu motivieren, was sich un- ter anderem an ihrer verstärkten Beteiligung am Unterrichtsgeschehen und ihrem Bemühen zum korrekten Arbeiten (u.a. während des Tests) zeigte. Allerdings empfinde ich es als frag- würdig, dass die Lernenden durch dieses Vorgehen vornehmlich extrinsisch motiviert werden und ihr Interesse am Fach Mathematik in erster Linie durch die Abiturnote begründet wird.

Auch dem kooperativen Lernen kam in dieser Unterrichtsstunde eine hohe Bedeutung zu.

Dass diese Lernform die „Selbsttätigkeit [der Schüler] bei kooperativer Problembewältigung [und die] Integrierbarkeit von Außenseitern [in den Klassenverband]“ fördert, kann ich durch meine Beobachtungen bestätigen.¹⁶ Die sich daraus ergebende positive Lernatmosphäre zeichnete sich in der Stunde beispielsweise dadurch aus, dass sich die Schüler ohne Angst vor falschen Beiträgen an den Diskussionen beteiligten. Ich denke, dass diese Bereitschaft zur aktiven Teilnahme am Unterrichtsgeschehen einen wichtigen Ausgangspunkt für einen größe- ren Lernerfolg auf Seiten der Schüler bildet. Außerdem erwerben die Lernenden durch diese Form des Arbeitens kooperative Fertigkeiten, die mit großer Wahrscheinlichkeit auch in ih- rem späteren Berufsleben gefragt sein werden. Als besonders positiv empfinde ich in diesem Zusammenhang, dass das John-Lennon-Gymnasium eine Lernplattform eingerichtet hat. In-

15 In diesem Sinne: Edelmann, Einführung in die Lernpsychologie, 1978, S. 104ff.

16 Terhart, Lehr-Lern-Methoden, 1997b, S. 159

17 dem Lehrer und Schüler der Schule dabei ihre Aufzeichnungen zu mathematischen Unter- richtsinhalten im Internet zur Verfügung stellen, wird kooperatives Lernen über den Klassen- verband hinaus ermöglicht. Auch eine für Schüler der 12. und 13. Klassen eingerichtete wö- chentliche Nachhilfestunde basiert auf dem Prinzip des kooperativen Lernens. Dass Teilneh- mer des Leistungskurses Mathematik diese Hilfestellungen selbstständig durchführen, trägt meiner Meinung nach nicht nur zu einem angenehmen Arbeits- und Sozialklima an der Schu- le, sondern auch zu einem erhöhten Lerneffekt für alle Beteiligten bei.

Mit dem selbsttätigen Lernen konnte ich in dieser Stunde eine weitere moderne Lernform beobachten. Allerdings muss festgestellt werden, dass die Schüler nur in Ansätzen zur selbst- ständigen Gestaltung ihres Lernprozesses angeregt wurden. Hierbei zog sich die Lehrkraft der Definition des selbsttätigen Lernens gemäß nicht in die Rolle des Beobachters und Beraters zurück, sondern übernahm in weiten Teilen der Stunde die Steuerung des Unterrichtsgesche- hens. Im Hinblick auf die große Menge an Unterrichtsstoff in der Abiturvorbereitungsphase sehe ich dieses Vorgehen jedoch als gerechtfertigt an, da die Lehrerin die Organisation des Mathematikunterrichts auf die späteren Prüfungsanforderungen abstimmen kann. Bei einer selbsttätigen Unterrichtsorganisation durch die Schüler bestünde meiner Ansicht nach hinge- gen die Gefahr, dass wichtige Aspekte der Prüfungsvorbereitung nicht behandelt werden.

7.b.2. Hospitationsprotokoll II

Klasse: 12 (Grundkurs) Lehrer: Herr xxxxx

Anzahl der SchülerInnen: 21

Datum: Freitag, 17.09.2010 Zeit: 8. und 9. Stunde, 13:55 - 15:25 Thema: Grenzwerte von Zahlenfolgen

Beobachtungsschwerpunkt: Inner- und außermathematische Motivation im Unterricht 7.b.2.1. Verlaufsprotokoll II

(siehe Anhang, S. 44ff.) 7.b.2.2. Reflexion

In dieser Unterrichtsstunde nutzte der Lehrer sowohl außer- als auch innermathematische Be- züge, um die Beschäftigung mit Zahlenfolgen und deren Grenzwerten zu motivieren. Bei der außermathematischen Motivation wird die Auseinandersetzung mit einem mathematischen Gegenstand unter einem außermathematischen Blickwinkel begründet. Dies kann unter ande- rem durch Anknüpfen an die unmittelbare Erfahrungswelt der Schüler oder andere Fächer und Wissenschaften erreicht werden. Grundvoraussetzung für die motivationale Wirkung ist, dass den Lernenden die Lösung des jeweiligen Problems bedeutungsvoll erscheint.¹⁷ Durch eine innermathematische Motivation sollen die Schüler hingegen erkennen, dass das Erlernen eines Sachverhalts notwendig ist, um mathematische Rechnungen zu erleichtern, ihre fachlichen Kenntnisse zu vervollständigen oder zu konkretisieren. Dazu ist es zum Beispiel möglich, bei den Lernenden einen kognitiven Konflikt auszulösen, der sie herausfordert, überrascht oder auf Lücken in ihrem bisherigen Wissen hinweist.

Ich denke, dass der Lehrer in dieser Unterrichtsstunde sehr häufig versuchte, den behandelten Sachverhalt außermathematisch zu motivieren. Einerseits nahm er hierbei Bezug zu der Phy- sik, indem er die Notwendigkeit für die Beschäftigung mit Grenzwerten mit den New- ton´schen Axiomen begründete. Durch das Verhalten vieler Schüler der Klasse, die sich mit ihren Nachbarn unterhielten oder auf die Uhr sahen, gewann ich jedoch den Eindruck, dass die beabsichtigte Motivation nicht erreicht werden konnte. Dies lag meines Erachtens darin begründet, dass der angesprochene physikalische Zusammenhang kein bedeutungsvolles Problem im Leben der Lernenden darstellte und somit die Grundvoraussetzung für die außer-

17 Vgl.: Walsch, Methodik Mathematikunterricht, 1977 b, S. 159f.

18 mathematische Motivation nicht umgesetzt wurde. Indem die Lehrkraft auf das Vorkommen von Zahlenfolgen in Einstellungstests verwiesen hat, wurde auf der anderen Seite auch ein Bezug zur unmittelbaren Lebenswelt der Schüler vollzogen. Da viele Lernende sicherlich bereits an einem solchen Test teilgenommen haben oder dies in naher Zukunft tun werden, ist durch dieses Beispiel in meinen Augen ein relevanter Lebensweltbezug gegeben. Dement- sprechend erschienen mir die Lernenden in dieser Unterrichtsphase auch interessierter als zuvor. Die weiteren Versuche außermathematischer Motivation zeigten meiner Ansicht nach allerdings nicht die vom Lehrer gewünschte Wirkung. Zwar nannte die Lehrkraft einige all- tägliche Verwendungszwecke von Zahlenfolgen (DIN-Formate, Klavier). Da aber konkretere Erklärungen ausblieben, hatte ich das Gefühl, dass die Schüler die Bedeutung nicht nachvoll- ziehen konnten und daher eher desinteressiert wirkten. Alternativ wäre es an dieser Stelle möglich gewesen, einen Bezug zu weiteren Unterrichtsfächern herzustellen. So bietet bei- spielsweise die Fibonacci - Folge vielfältige Verwendungszwecke in der Biologie (z. B. Ver- mehrung von Kaninchen, Anzahl von Blütenblättern). Überdies hatte ich den Eindruck, dass die Schüler bei der Arbeit an den drei Zahlenfolgen recht unmotiviert waren. Hierbei wäre es möglich gewesen, diese Übung im Rahmen von Sachaufgaben durchzuführen und die Zahlen- folgen mit konkreten Anwendungen zu verbinden.

Die innermathematische Motivation war in dieser Stunde weitaus seltener zu beobachten.

Zum Beispiel versuchte die Lehrkraft, den Schülern zu verdeutlichen, dass eine explizite Bil- dungsvorschrift das Bestimmen von Folgegliedern erheblich vereinfacht. Mit der Begrün- dung, dass durch eine Testeinsetzung nicht alle Glieder einer Zahlenfolge erfasst werden kön- nen und die Grenzwertbetrachtung somit fehlerhaft sein könnte, wurde außerdem die Not- wendigkeit für das Erlernen einer weiteren Strategie zur Grenzwertbestimmung gegeben.

Dennoch schienen die Schüler durch diese innermathematische Motivation nicht angespro- chen zu werden. Dies lässt sich meiner Meinung nach damit erklären, dass der Lehrer keine Begründung für die Beschäftigung mit Folgen und deren Grenzwerten im Mathematikunter- richt überhaupt gegeben hat. Alternativ wäre an dieser Stelle folgende innermathematische Motivation denkbar gewesen: der Lehrer hätte auf die Schwierigkeit der ε-δ-Definition des Grenzwertes verweisen und den Schülern verdeutlichen können, dass der Zugang über Zah- lenfolgen ihr Verständnis mit großer Wahrscheinlichkeit erleichtern würde.

8. Leistungstest

Mit dem durchgeführten Leistungstest¹⁸ soll das Stoffgebiet „Funktionen mit Gleichungen der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ abgeschlossen werden. Die Lernerfolgskontrolle besteht aus drei Teilen und soll in 30 Minuten bearbeitet werden. Die erste Aufgabe verlangt von den Schü- lern sowohl reproduktives als auch reorganisierendes Arbeiten. Dabei sollen sie zu gegebenen Funktionsgleichungen die Parameter und deren Auswirkungen angeben. Als Einstiegsaufgabe in den Test sollte diese Übung keinen hohen Schwierigkeitsgrad aufweisen. Daher habe ich die Funktionen so gewählt, dass sich die Parameter nicht gegenseitig beeinflussen. Die zweite Aufgabe legt den Akzent auf die Reorganisation, wobei die Lernenden nach der Analyse der Funktionseigenschaften den Graphen einer Funktion der Form ݂ሺݔሻ = ܽ sinሺܾݔ + ܿሻ skizzie- ren sollen. Auf Anraten der Mathematiklehrerin gebe ich als Hilfestellung zusätzlich den aus- geklammerten Funktionsterm an. Im dritten Teil des Tests sollen die Schüler die zu einem Graphen gehörige Funktionsgleichung aufstellen. Da diese Form der Übung zuvor nicht ex- plizit im Unterricht besprochen wurde, enthält sie Elemente des Transfers. Insgesamt ist der Leistungstest so aufgebaut, dass die Schüler mit den grundlegenden Kenntnissen¹⁹ zum Stoff- gebiet die Note 4 erreichen können. Eine besondere Schwierigkeit ergibt sich in Aufgabe 2, in

18 Eine Kopie des Leistungstests mitsamt Erwartungshorizont ist dem Anhang dieser Arbeit ab Seite 49 beige- fügt.

19 Die grundlegenden Kenntnisse stimmen mit den in Punkt 6.b.2. angegebenen Lernzielen überein.