Automatic Configuration of the Dynamic Model for Common Industrial Robots
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1 Introduction
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2 State of the Art
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3 Organic Robot Control
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3.1 Lagrangian equations
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3.2 Programming Interface
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virtual bool directDynamics
(const Vector &positions, const Vector &velocities, Vector &accelarations, const Vector &torques) const=0 ,<@H?4G<BA E8DH<E8F FB?I<A: G;8 7LA4@<6 8DH4G<BAF 9BE 4668?8E4G<BA -;<F @8G;B7 <F HF89H? 9BE F<@H?4G<BA G;8 @BG<BA B9 4 EB5BG 4E@ -;8 <AI8EF8 7LA4@<6F 6B@CHG8F G;8 9BE68F 4A7 GBEDH8F J;<6; 4E8 A868FF4EL GB C8E9BE@ 4 68EG4<A @BG<BA -;8 <ACHGF GB G;8
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virtual bool inverseDynamics
(const Vector &positions, const Vector &velocities, const Vector &accelarations, Vector &torques) const=0
3.3 Robotics Example
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4 Conclusion
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?<A84E 4A7 ABA?<A84E 6BAGEB? 4?:BE<G;@F
Acknowledgements.-;8 JBE> BA J;<6; G;<F 4EG<6?8 <F 54F87 <F :E4AG87 5L G;8 8E@4A +8F84E6; BHA74G<BA J<G;<A G;8 F6BC8 B9 G;8 CE<BE<GL CEB:E4@@8 F88
;GGCJJJBE:4A<6 6B@CHG<A:78FCC
References
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