Kapitel 02: Schnitt von Matroiden (Eﬃziente Algorithmen, WS 2019) Gerhard Woeginger

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Kapitel 02: Schnitt von Matroiden

(Effiziente Algorithmen, WS 2019) Gerhard Woeginger

WS 2019, RWTH

EA/WS 2019 Kapitel 02: Schnitt von Matroiden 1/32

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Organisatorisches

N¨achste Vorlesung:

Donnerstag, Januar 16, 12:30–14:00 Uhr, AH V Webseite:

https://algo.rwth-aachen.de/Lehre/WS1920/EA/EA.py

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Schnitt von Matroiden

Eine Min-Max Formel Der Austausch-Graph Matroid-Schnitt Algorithmus

Korrektheit des Matroid-Schnitt Algorithmus

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Zum Aufw¨ armen:

Bipartites Matching und Matroide

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Bipartites Matching

Die GrundmengeE ist die Kantenmenge eines ungerichteten bipartiten Graphen G = (V,E).

Eine Teilmenge X ⊆E istunabh¨angig, falls keine zwei Kanten inX einen gemeinsamen Knoten haben:

I = {X ⊆E : X ist ein Matching}

Frage:Warum bildet dieses Mengensystem kein Matroid?

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Bipartites Matching als Schnitt von zwei Matroiden

Es seiG = (V₁∪V₂,E)mitE ⊆V₁×V₂ein bipartiter Graph.

Matroid #1:

Partitions-Matroid auf der GrundmengeE.

F¨ur jeden Knoten v∈V1enth¨alt die TeilmengeEv alle Kanten, die zu v inzident sind.

Wir setzenk_v =1.

Matroid #2:

Partitions-Matroid auf der GrundmengeE.

F¨ur jeden Knotenw ∈V₂enth¨alt die TeilmengeE_w alle Kanten, die zu w inzident sind.

Wir setzenkw=1.

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Schnitt von zwei Matroiden

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Der Schnitt von zwei Matroiden

Definition

Es seienM1= (E,I1)undM2= (E,I2)zwei Matroide.

DerSchnittdieser Matroide ist M1∩M2 = (E,I1∩ I2).

Anmerkung:

Der Schnitt von zwei Matroiden ist im Allgemeinenkein Matroid.

Algorithmisches Problem:

Für zwei gegegeben Matroide über der selben GrundmengeE soll eine möglichst grosse TeilmengeS⊆E gefunden werden, die gleichzeitig in beiden Matroiden unabhängig ist.

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Beispiel: Arboreszenzen

Definition

Es sei(V,A)ein gerichteter Graph, und es seir ∈V ein fixer Knoten.

EineArboreszenzist ein TeilgraphT = (V,A⁰)mitA⁰⊆A, in dem die Wurzel Eingrad0hat und jeder Knotenv6=r Eingrad1hat.

Arboreszenzen werden auchgewurzelte B¨aumegenannt.

Enth¨alt ein gegebener GraphG eine Arboreszenz mit gegebener Wurzel?

Wenn man die Richtungen der Pfeile in A⁰ignoriert,

so istT = (V,A⁰)ein kreisfreier ungerichteter Graph (Matroid #1).

Jeder Knoten inV −r hat h¨ochstens einen eingehenden Pfeil (Matroid #2).

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Beispiel: Orientierung von Graphen

Es seiG = (V,E)ein ungerichteter Graph, und es seienκ:V →N Schranken f¨ur die Knoten.

Wir wollen wissen, ob aus den ungerichteten Kanten derart Pfeile gemacht werden k¨onnen, dass jeder Knotenv ∈V h¨ochstensκ(v)viele eingehende Pfeile hat.

Die Grundmenge enth¨alt f¨ur jede ungerichtete Kante {u,v}die beiden Pfeile(u,v)und(v,u).

F¨ur jede Kante{u,v} darf h¨ochstens einer der beiden Pfeile(u,v) und (v,u)verwendet werden (Matroid #1).

Für jeden Knoten v∈V dürfen höchstensκ(v)eingehende Pfeile verwendet werden (Matroid #2).

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Eine Min-Max Formel

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Eine Beobachtung

Beobachtung

Es seienM1= (E,I1)undM2= (E,I2)zwei Matroide.

Es seienr₁ undr₂die Rangfunktionen dieser beiden Matroide.

Es seiS∈ I1∩ I2und es sei U ⊆E. Dann gilt:

|S| = |S∩U|+|S∩(E−U)| ≤ r₁(U) +r₂(E −U)

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Eine Min-Max Formel

Beobachtung

max

S∈I1∩I2

|S| ≤ min

U⊆E r1(U) +r2(E−U)

Satz

F¨ur zwei Matroide M1= (E,I1)und M2= (E,I2)mit den beiden Rangfunktionenr₁ undr₂ gilt:

max

S∈I1∩I2

|S| = min

U⊆E r1(U) +r2(E−U)

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Eine Min-Max Formel

Beobachtung

max

S∈I1∩I2

|S| ≤ min

U⊆E r1(U) +r2(E−U)

Satz

F¨ur zwei MatroideM1= (E,I1)und M2= (E,I2)mit den beiden Rangfunktionenr₁ undr₂ gilt:

max

S∈I1∩I2

|S| = min

U⊆E r1(U) +r2(E−U)

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Der Austausch-Graph

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Der Austausch-Graph

Definition

F¨ur ein Matroid M= (E,I)und eine unabh¨angige MengeS ∈ I ist der Austausch-GraphGM(S)(oder einfachG(S)) der bipartite Graph

mit Bipartition S undE−S, und

mit einer Kante zwischen y∈S undx∈/S f¨urS−y+x∈ I.

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Der erste Hilfssatz

Hilfssatz 1

Für zwei unabhängige Mengen S,T ∈ I mit|S|=|T| enthält der Austausch-GraphGM(S)

ein perfektes Matching zwischenS−T und T−S.

Andernfalls:

K˝onig gibt uns einX ⊆S−T und einX⁰⊆T−S mit|X|<|X⁰|, sodass alle zu X⁰ inzidenten Kanten nachX gehen.

|(S∩T)∪X|<|(S∩T)∪X⁰|und (I2) geben uns ein Element z ∈X⁰, sodassY := (S∩T)∪X ∪ {z}unabh¨angig ist.

(I2) gibt uns eine Menge U ∈ I mitY ⊆U⊆S+z und |U|=|S|. ErgoU =S−x+z f¨ur einx∈S. Widerspruch.

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Der erste Hilfssatz

Hilfssatz 1

Für zwei unabhängige Mengen S,T ∈ I mit|S|=|T| enthält der Austausch-GraphGM(S)

ein perfektes Matching zwischenS−T und T−S.

Andernfalls:

K˝onig gibt uns einX ⊆S−T und einX⁰⊆T −S mit|X|<|X⁰|, sodass alle zu X⁰ inzidenten Kanten nachX gehen.

|(S∩T)∪X|<|(S∩T)∪X⁰|und (I2) geben uns ein Element z ∈X⁰, sodassY := (S∩T)∪X ∪ {z}unabh¨angig ist.

(I2) gibt uns eine Menge U∈ I mitY ⊆U ⊆S+z und |U|=|S|.

ErgoU =S−x+z f¨ur einx∈S. Widerspruch.

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Der zweite Hilfssatz (1)

Hilfssatz 2

Es seiS∈ I eine unabh¨angige Menge mit Austausch-GraphenGM(S).

Es seiT ⊆E eine Menge mit|S|=|T|, f¨ur dieGM(S)eineindeutiges perfektes MatchingNzwischenS−T undT −S enth¨alt.

Dann giltT∈ I.

Orientiere alle Kanten inN von E−S nachS. Orientiere alle anderen Kanten vonS nachE −S. Der resultierende gerichtete Graph ist azyklisch.

Topologische Sortierung der Knoten inT−S (alsx1, . . . ,xt) und der Knoten in S−T (alsy₁, . . . ,y_t),

sodass MatchingN={(x1,y1), (x2,y2), . . . ,(xt,yt)}, und sodass kein Pfeil (yi,xj)miti >j existiert

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Der zweite Hilfssatz (1)

Hilfssatz 2

Es seiS∈ I eine unabh¨angige Menge mit Austausch-GraphenGM(S).

Es seiT ⊆E eine Menge mit|S|=|T|, f¨ur dieGM(S)eineindeutiges perfektes MatchingNzwischenS−T undT −S enth¨alt.

Dann giltT∈ I.

Orientiere alle Kanten inN von E−S nachS.

Orientiere alle anderen Kanten vonS nachE −S. Der resultierende gerichtete Graph ist azyklisch.

Topologische Sortierung der Knoten inT−S (alsx1, . . . ,xt) und der Knoten in S−T (alsy₁, . . . ,y_t),

sodass MatchingN={(x1,y1), (x2,y2), . . . ,(xt,yt)}, und

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Der zweite Hilfssatz (2)

Topologische Sortierung der Knoten inT−S (alsx1, . . . ,xt) und der Knoten in S−T (alsy1, . . . ,yt),

sodass MatchingN={(x1,y₁), (x₂,y₂), . . . ,(x_t,y_t)}, und sodass kein Pfeil (yi,xj)mit i >j existiert

Angenommen: T ∈ I/

Dann enth¨alt T CircuitC. Betrachte gr¨ossten Indexk mitx_k ∈C.

Es gibt keinen Pfeil(y_k,x)mitx∈C −x_k. Ergo: x∈span(S−y_k)f¨ur allex∈C−x_k Ergo: C−xk ⊆span(S−yk)

Ergo: span(C −xk)⊆span(span(S−yk)) =span(S−yk) Da C ein Circuit ist, giltxk ∈span(C−xk)

Ergo: x_k ∈span(S−y_k)

Ergo: S−yk+xk ist nicht unabh¨angig. Widerspruch.

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Der zweite Hilfssatz (2)

Dann enth¨alt T CircuitC. Betrachte gr¨ossten Indexk mitx_k ∈C. Es gibt keinen Pfeil(yk,x)mitx∈C−xk.

Ergo: x∈span(S−y_k)f¨ur allex∈C−x_k Ergo: C−xk ⊆span(S−yk)

Ergo: span(C −xk)⊆span(span(S−yk)) =span(S−yk)

Da C ein Circuit ist, giltxk ∈span(C−xk) Ergo: x_k ∈span(S−y_k)

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Der zweite Hilfssatz (2)

Dann enth¨alt T CircuitC. Betrachte gr¨ossten Indexk mitx_k ∈C. Es gibt keinen Pfeil(yk,x)mitx∈C−xk.

Ergo: x∈span(S−y_k)f¨ur allex∈C−x_k Ergo: C−xk ⊆span(S−yk)

Ergo: span(C −xk)⊆span(span(S−yk)) =span(S−yk) Da C ein Circuit ist, giltxk ∈span(C−xk)

Ergo: x_k ∈span(S−y_k)

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Der Matroid-Schnitt Algorithmus

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Matroid-Schnitt Problem

Matroid-Schnitt

Instanz:MatroideM1= (E,I1)undM2= (E,I2)

Output:Eine MengeS∈ I₁∩ I₂mit der grösstmöglichen Kardinalität

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Das Augmentationsproblem (1)

Augmentationsproblem

Instanz:MatroideM1= (E,I1)undM2= (E,I2); MengeS∈ I1∩ I2

Output:MengeS⁰∈ I₁∩ I₂ mit|S⁰|>|S| (falls diese existiert) Wir nehmen an, dass in beiden Matroiden der Unabh¨angigkeitstest (“GegebenX ⊆E, gilt X ∈ I₁ respektiveX ∈ I₂?”) in polynomieller Zeit durchgef¨uhrt werden kann.

Wir definieren einen gerichteten bipartiten HilfsgraphenH(S): Die Bipartition istS undE −S.

F¨ury ∈S undx ∈E−S enth¨alt der GraphH(S) den Pfeil(y,x), falls S−y+x∈ I1und

den Pfeil(x,y), falls S−y+x∈ I2.

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Das Augmentationsproblem (1)

Augmentationsproblem

Instanz:MatroideM1= (E,I1)undM2= (E,I2); MengeS∈ I1∩ I2

Output:MengeS⁰∈ I₁∩ I₂ mit|S⁰|>|S| (falls diese existiert) Wir nehmen an, dass in beiden Matroiden der Unabh¨angigkeitstest (“GegebenX ⊆E, gilt X ∈ I₁ respektiveX ∈ I₂?”) in polynomieller Zeit durchgef¨uhrt werden kann.

Wir definieren einen gerichteten bipartiten HilfsgraphenH(S):

Die Bipartition istS undE−S.

F¨ury ∈S undx ∈E−S enth¨alt der GraphH(S) den Pfeil(y,x), falls S−y+x∈ I1 und

den Pfeil(x,y), falls S−y+x∈ I₂.

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Das Augmentationsproblem (2)

E1:= {x∈E−S|S+x ∈ I1} E2:= {x∈E−S|S+x ∈ I2}

Wir suchen nach einem gerichteten Pfad im HilfsgraphenH(S)von einem Knoten inE1 zu einem Knoten inE2.

(A) Falls ein derartiger gerichteter Pfad existiert:

Wir berechnen einen k¨urzesten gerichteten PfadP vonE1nachE2. Die Knotenfolge inP seiy₀,z₁,y₁, . . . ,z_t,y_t.

Dann gilty0,y1, . . . ,yt ∈E −S undz1, . . . ,zt ∈S.

Wir setzenS⁰:=S− {z1, . . . ,zt} ∪ {y0,y1, . . . ,yt}.

(B) Falls kein derartiger gerichteter Pfad existiert:

Die MengeS ∈ I ∩ I hat bereits grösstmögliche Kardinalität.

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Der Matroid-Schnitt Algorithmus

Wir beginnen mitS:=∅.

Wir l¨osen wiederholt das Augmentationsproblem f¨urS und setzen dann immerS:=S⁰.

Nach Termination hatS∈ I1∩ I2 die grösstmögliche Kardinalität.

Die Laufzeit ist polynomial, da der Unabh¨angigkeitstest in polynomieller Zeit durchgef¨uhrt werden kann.

Es muss nur noch die Korrektheit gezeigt werden.

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Korrektheit des Matroid-Schnitt

Algorithmus

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Korrektheit Augmentation (A1)

Wir berechnen einen k¨urzesten gerichteten PfadP von E1nachE2. Die Knotenfolge inP seiy0,z1,y1, . . . ,zt,yt.

Dann gilty₀,y₁, . . . ,y_t ∈E −S undz₁, . . . ,z_t ∈S.

Wir setzenS⁰:=S− {z1, . . . ,zt} ∪ {y0,y1, . . . ,yt}.

Wir zeigen nurS⁰∈ I1. (AussageS⁰∈ I2folgt analog.) Schritt 1: Wir zeigenT :=S⁰−y0∈ I1.

Dazu wenden wir unseren zweiten Hilfssatz an.

Der Austauschgraph G_M₁(S)enth¨alt ein Matching zwischen {z1, . . . ,zt}und{y1, . . . ,yt}.

Dieses Matching ist eindeutig, daP k¨urzester Pfad.

(32)

Korrektheit Augmentation (A2)

Wir setzenS⁰:=S− {z₁, . . . ,z_t} ∪ {y₀,y₁, . . . ,y_t}.

Schritt 1: S⁰−y₀∈ I1(erledigt) Schritt 2: Wir zeigenS⁰∈ I1.

r₁(S∪S⁰) ≥ r₁(S+y₀) = |S|+1

(S⁰−y₀)∩E₁=∅ impliziert r₁(S∪(S⁰−y₀)) =|S|

Submodularit¨at f¨ur die beiden MengenS∪(S⁰−y0)undS⁰liefert nun r₁(S⁰)≥ |S⁰|und somitS⁰∈ I₁.

(33)

Korrektheit Augmentation (A2)

r₁(S∪S⁰) ≥ r₁(S+y₀) = |S|+1

(34)

Korrektheit Augmentation (A2)

r₁(S∪S⁰) ≥ r₁(S+y₀) = |S|+1

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Korrektheit Augmentation (B1)

Die MengeS∈ I₁∩ I₂ hat bereits grösstmögliche Kardinalität.

Da es keinen gerichteten Pfad vonE₁nachE₂ gibt, existiert eine TeilmengeU ⊆E mitE2⊆U undE1∩U=∅, sodass kein Pfeil von E −U nachU geht.

Wir zeigen zuerstr1(U) =|S∩U|.

AusS∩U ∈ I1folgt sofort r1(U)≥ |S∩U|.

Zwecks Widerspruchs nehmen wir r1(U)>|S∩U|an. Dann existiert einx ∈U−S mit(S∩U) +x∈ I1.

Dann existiertZ ∈ I1 mit|Z| ≥ |S|und(S∩U) +x⊆Z ⊆S+x. Wenn Z=S+x, dann giltx∈E1. Widerspruch.

WennZ =S−y+x mity ∈S−U, so ist(y,x)ein Pfeil im Hilfsgraphen H(S), wobeix ∈U und y∈E −U. Widerspruch.

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Korrektheit Augmentation (B1)

Zwecks Widerspruchs nehmen wir r1(U)>|S∩U|an.

Dann existiert einx ∈U−S mit(S∩U) +x∈ I₁.

Dann existiertZ ∈ I1 mit|Z| ≥ |S|und(S∩U) +x⊆Z ⊆S+x. Wenn Z=S+x, dann giltx∈E1. Widerspruch.

(37)

Korrektheit Augmentation (B1)

Dann existiertZ ∈ I1 mit|Z| ≥ |S| und(S∩U) +x⊆Z ⊆S+x.

Wenn Z=S+x, dann giltx∈E1. Widerspruch.

(38)

Korrektheit Augmentation (B1)

(39)

Korrektheit Augmentation (B1)

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Korrektheit Augmentation (B2)

Wir zeigen als n¨achstesr2(E −U) =|S−U|.

AusS−U∈ I2 folgt sofortr2(E−U)≥ |S−U|.

Zwecks Widerspruchs nehmen wir r2(E −U)>|S−U|an.

Dann existiert einx ∈E−U mit(S−U) +x∈ I₂.

Dann existiertZ ∈ I2 mit|Z| ≥ |S| und(S−U) +x ⊆Z⊆S+x. Wenn Z=S+x, dann giltx∈E2. Widerspruch.

WennZ =S−y+x mity ∈S∩U, so ist(x,y)ein Pfeil im

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Korrektheit Augmentation (B3)

Die MengeS∈ I1∩ I2 hat bereits grösstmögliche Kardinalität.

Wir haben r1(U) =|S∩U|bewiesen.

Wir haben r2(E −U) =|S−U|bewiesen.

Gem¨ass unserer Min-Max Formel gilt f¨ur alleT ∈ I1∩ I2:

|T| = |T ∩U|+|T−U|

≤ r1(U) +r2(E−U)

= |S∩U|+|S−U| = |S|

Ergo hatS∈ I1∩ I2die grösstmögliche Kardinalität.

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Korrektheit Augmentation (B3)

Die MengeS∈ I1∩ I2 hat bereits grösstmögliche Kardinalität.

Wir haben r1(U) =|S∩U|bewiesen.

Wir haben r2(E −U) =|S−U|bewiesen.

Gem¨ass unserer Min-Max Formel gilt f¨ur alleT ∈ I1∩ I2:

|T| = |T ∩U|+|T−U|

≤ r₁(U) +r₂(E−U)

= |S∩U|+|S−U| = |S|

Ergo hatS∈ I1∩ I2die grösstmögliche Kardinalität.

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Varianten und Variationen

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Gewichteter Matroid-Schnitt

Instanz:MatroideM1= (E,I1)undM2= (E,I2); eine Kostenfunktion c:E →Z

Output:Eine MengeS∈ I1∩ I2mit den grösstmöglichen Kosten c(S) Das gewichtete Matroid-Schnitt-Problem kann ebenfalls in polynomieller Zeit gelöst werden. Der Algorithmus verallgemeinert den Algorithmus für den ungewichteten Matroid-Schnitt und ist ähnlich zum Algorithmus für gewichtetes Bipartites Matching.

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Schnitt von drei Matroiden

Matroid-Schnitt

Instanz:MatroideM1= (E,I1), M2= (E,I2)undM3= (E,I3) Output:Eine MengeS∈ I1∩ I2∩ I3 mit der grösstmöglichen Kardinalität

Dieses Problem ist NP-schwer.

Der Spezialfall mit drei graphischen Matroiden ist NP-schwer.

Der Spezialfall mit drei Partitionsmatroiden ist NP-schwer.