log A; log A2

28 Anhang.

log A; log A2

0,146 5042 5,86343

14000 165 30 55,26 0,1029147 5,78733

15000 165 51 4,63 0,0623627 5,71652

16000 166 9 29,58 0,0244528 5,65032

17000 166 26 24,88 9,988 8624 5,58817

18000 166 42 2‚53 9,9553241 552959

19200 166 59 18,90 9,917475I 5,46348

20400 167 15 11,32 9,8819393 5,40141

21600 167 29 51,00 9,848 4507 5,34290

22800 167 43 27,11 9,816 7866 5,28758

24000 167 56 7;28 9,7367585 5,23512

26000 168 15 26,77 9,7399215 5,15328

28000 168 32 51,95 9,6965794 507755

30000 168 48 41,17 9,656 2474 5,00706

32000 169 3 && 9,6185347 4,94116

34000 169 16 26,46 + 9,583 1221 4,87926

36000 169 28 43,36 9‚5497452 4,82093

38000 I69 40 7,19 9,518 1828 4,76573

' 40000 169 50 44,28 9,488 2481 4;7I346

III.

Schreiben des Herrn Marth, Observators an der Sternwarte zu Durham, an den Herausgeber der Astronomischen Nachrichten (Nr. 1016).

Das Gauss’sche Verfahren, die Ortscoordinaten in einer Ellipse von starker Execu—

tricität zu bestimmen, lässt bekanntlich nichts zu wünschen übrig. Indessen ist die damit ver—

bundene Rechnung nicht ganz angenehm und in Folge davon wird sie, wenn ich mich nicht irre, von einigen Astronomen selbst in solchen Fällen vermieden, in welchen die gewöhnlicheren Methoden Resultate von zweifelhafter Zuverlässigkeit ergeben. Die Rechnung lässt sich aber nicht unwesentlich erleichtern, wenn man die Mühe, die darin vorkommenden Grössen (1 — %A +C)“lf und 1—E%j%fr (in den Zeichen der Theor. met.) in diesen Formen jedes—

mal speciell zu berechnenfdurch eine einfache llült'stafel beseitigt. Denn so unbedeutend diese Mühe in einem einzelnen Falle ist, so wird sie, wenn man eine Reihe von \Verthen zu be—

stimmen hat, wegen der von B abhängigen, wiederholten Nähcrungen und der damit wieder—

kehrenden Interpolationen, doch etwas lästig, verursacht zum wenigsten völlig vermeidbaren Zeitverlnst. Nicolai hat vor langen Jahren eine kleine specielle Hült'stafel bei Gelegenheit

seiner Rechnungen über den Olbers’schen Cometen bekannt gemacht*) und zugleich die Be—

rechnung einer allgemeinen Tafel in Aussicht gestellt; da indessen dies Vorhaben weder von seiner Seite, noch in einer der neuem Cometenmonographieen meines Wissens zur Ausführung gekommen ist, so habe ich gelegentlich Veranlassung genommen, eine solche allgemeine Tafel in gehöriger Vollständigkeit zu entwerfen und erlaube mir, dieselbe hier mitzutheilen, in der Meinung, dass sie vielleicht auch Anderen mitunter bei Cometenrechnungen von Nutzen sein kann. Sie giebt zum Argument 2A die \Verthe der Grössen log 0 = log(I—}-C—%A)"£r und

f 1

logu : logl/%i—%%; auch ist, um alles Nöthige beisammen zu haben, logB aus der '?

Theor. met. hinzugefügt. Man hat damit also

’U 1.0

tang? : yotang? und 9

v 2 (» EOS“)

2

oder allgemeiner, um 7‘ nicht durch Hülfe von 003% zu finden, falls @ im zweiten Quadran—

ten liegt,

VL alsin£ —— yotan —w—

g ' 2 & g 2

T ’U

V—‚vcos_ : I.

«1 2 — ‘

Die cubische Gleichung, aus welcher zu zu bestimmen ist, schreibt Gauss in der Form 75tangäw—i—25 tangä—w3 : %, um sie mit Hülfe der Barker’schen Tafel auflösen zu können.

Da man indessen den Winkel w selbst nicht nöthig hat, sondern nur tang—ä— zu kennen braucht, so scheint es mir vortheilhafter, die Gleichung indirect aufzulösen und dazu dasselbe Verfahren allgemein anzuwenden, welches Gauss bei Gelegenheit des März-Cometen von 184.3 für grosse Anomalien als zweckmässig empfiehlt“) Bei der bequemen Einrichtung der Zech’schen Tafel macht sich die Rechnung sehr einfach, wenn man der Mühe der ersten Versuche durch eine kleine Hülfstafel überhoben wird.

Die Gleichung w3—-[—aw——b : o, in welcher a und auch 1) positiv sind, indem man bei negativem 1), als Unbekannte —00 statt w einführen und dann die Vorzeichen umkehren kann, lässt sich nämlich schreiben

1 ,

(I +7 (%)—1% = % oder auch

„„2 a

1 _ .2 3

x +—‚„ (L)? = L

a s

a a

oder, wenn man statt 1 +; das Zeichen {z} einführt, so dass also log {z} den in der Tafel der Additionslogarithmen zum Argument log 2 gehörenden Tafelwerth bedeutet,

a 1 a _% 17

— (—) : „ä_ oder

n; [ 952 a-

ac 502 %

i (T) : ;;

a 002 . . .

woraus log ;,— und log —a— und somit auch 33 leicht gefunden Wird.

2 2

a

l l l

') Lindenau und Bohnenberger, Zeitschrift für Astronomie, Bd. 1, Seite 317.

") Astronomische Nachrichten, Nr. 474 (siehe oben Anhang Seite 21).

30 Anhang.

Man hat die erste oder zweite Form der Gleichung anzuwenden, je nachdem L kleiner

oder grösser als 2 ist. „%

Die zweite Hülfstafel, die ich beilege, erspart alles überflüssige Suchen, indem man daraus den Werth von log 2: (auf 4. oder am Schluss auf 3 Stellen) entnehmen kann, der zum

b . . .

Argument log —3 111 der ersten oder dritten Spalte gehört. Zu diesem logz und ebenso zu

a?

dem nächsten Tafelargument der Additionslogarithmen berechnet man dann die genauen Werthe

_i 3

von log ({z} z 2) oder resp. log ({2} z?) und erhält damit durch eine einfache Interpolation den scharfen, zu log % gehörigen Werth von log 2.

ll

Das altbekannte directe Verfahren, die cubische Gleichung goniometrisch aufzulösen [welches Herr Professor Grunert, wie ich beiläufig anmerke, zum Gegenstand eines besonderen Aufsatzes in den Astr. Nachr. gemacht hat*), ist wohl nur in solchen Fällen nicht unvortheilhaft, in welchen die Benutzung der Barker’schen Tafel weitläuftig wird und in welchen man es somit in einer Form anwenden darf, die das sonst nöthige neue Aufschlagen der trigonometrischen Tafeln erspart, nämlich in der Form 903 +aac—b : 0

L(L)% : tancv-@

b 3 °

3 q) _

V tang7 = sm 1p __ 005192 a x_‚_ sing; V 3 '

‘ . . . b . . .

Verhert ber kle1nem T der Uebergang von s1n7‚u auf cos 1}? zu sehr an Smherhe1t, so ist die Anwendung der Barker’schen Tafel offenbar wieder zweckmässiger. Das indirecte Ver- fahren vereinigt bei grosser Bequemlichkeit, mit dem Vorzuge immer mit Leichtigkeit anwendbar zu sein, auch den, immer möglichst scharfe Resultate zu geben und. ich halte es daher, wenigstens für den gegenwärtigen Zweck für das vortheilhafteste.

Die vollständigen Rechnungsvorschriften, denen ich folge, um in dem der Sonne näheren Theile einer elliptischen Cometenbahn die Ortscoordinaten mit Genauigkeit zu bestimmen, gestal- ten sich nun folgendermaassen:

Es sei (1, die halbe grosse Axe der Bahn, g die Periheldistanz, e die Excentricität, 5 die Abweichung der Excentricität von der Einheit, also "% = I — e = 8; es sei ferner u die wahre Anomalie, r der radius vector, 1 die in mittleren Sonnentagen ausgedrückte, seit dem Periheldurchgange verflossene Zeit —— so hat man zunächst die Constanten oc’, (3’ 7' zu berechnen,

nach den Formeln (3, __ 3 &

‚_ k 1 _ k 1+ge

”‘ _ V2 '**—qva.sl —*r.. °VT3

7'=VÜ_LT=VIs-ii_ze

I———

2

k

10317; = 8,0850664..5

k

l

og V60

=

7 34

, 6

505

8.

3

‘) Astronomische Nachrichten Nr. 805.

I

log

I -——%5 kann man mit dem Argument log;—Z und

log I . a. . ' .

I_ _S_ mit log? unmittelbar aus der Tafel der Subtractmns—

2

logarithmen nehmen. .... Ich benutze die doppelten Formen, um bei dem Mangel einer strengen Controlle mehr gesichert zu sein. —— Bezeichnet nun B0 einen Näherungswerth von B (‚B0 : I, wenn ganz unbekannt), so sucht man, wenn

a't I) Bo < 2

logz auf indirectem Wege aus der Gleichung 'i — fl oder

{Z} Z _ B„

log{z}—älogz= log —aB—t—, wobei man die vorläufigen Versuche erspart, indem

() 4

cc

man mit log Br in die erste Spalte der kleinen Hülfstafel eingeht und den" zugehörigen Werth

(]

von logz aus der zweiten Spalte nimmt. Ist mit Hülfe der Zech’schen Tafel lage genauer gefunden, so nimmt man mit

ZA: ß,

2 .

aus der Ellipsentafel log B, berechnet logz von Neuem aus der Gleichung log {z}— %- logz : log%,;i und wiederholt die Operation, bis zwei successive Werthe übereinstimmen. Ist log z in aller Schärfe gefunden, so nimmt man mit dem Argument

„ = —‘i'—

aus der Ellipsentafel log 0 und log 1! und hat dann

VL_ „mi : LE

9 2 Vz

?“ ’U

V—q- . 1} cos? :: I,

wodurch also —3— und V—;— v, mithin auch 1“, bekannt werden. Ist

2) % > 2, so behandelt man in ganz analoger Weise die Gleichungen 0

log {z}+logz+%logz =10g£%£

2 A = (3’ z V%.vsin% : 7’0Vz V—2—.veos£— = 1.

Hat man eine Reihe von Oertern in hinlänglich kleinen Intervallen zu bestimmen, so fallen natürlich alle Weitläuftigkeiten in den Näherungen weg und die Rechnung wird ganz leicht und angenehm.

Schliesslich will ich noch bemerken, dass ich zu grösserer Sicherung der eingeschalteten Werthe, für einen Theil der Tafel, 0 und log B neu berechnet, übrigens aber nur 8 Decimalen angewandt habe, so dass die letzte Ziffer der Tafelwerthe hin und wieder um eine Einheit un—

sicherer sein wird. Der daraus entspringenrle Fehler kommt natürlich nicht in Betracht. Aus diesem Grunde und zugleich der leichteren Interpolation halber habe ich auch log v und. nicht sein Doppeltes angesetzt.

Anhang.

32

1099 I

1 3

3 286% 133331 133 33

86 0 ..

o 2 3 74 gg;

I 35

8 CI)73g 229 0 21/2 1087 28 013 3 7627 882 4 ggg; "00 36

0 2607 8 9 0 3252 1087 00 044 3 8509 882 4 9191 1100 38 0 3477 370 ° 434 x087 01 045 3 939I 882 ‘;' 0292 “‘” 40

° 4347 842 o 533 “’87 01 046 4 °27ä 883 5 1393 “Z; 41

21 0 1088

0 7 4 115 883

11 43

3 äoBg 871 ° 76°8 „88 31 018 4 2039 883 5 2492 “°" 45

6 8 870 0 8696 1089

4 2922

5 339 0 35 871 0 9785

02 049

884 1102

° 7 29

8

6 8 0047

872

ID 9 0002 0,050 004- 3806 884 002 2821 1103 49

0 000 870I 001 0874 ‚089 02 051 4 4690 884 5 6904 1103 51

0,01I

0 9573 872

1 1963 1089 03 052

4 5574 884

8007 1103 53 012 I 0445 873 I 3052 1090 03 053 4 6458 885 5 9110 "O3 55

213 ‘ 1317 23; I 33 “9° ^{1 I} 04 054 4 2343 885 _{4 22} 20214 331 57

886 8 59

°” 1 “9°873 1 6323 ‘°9 04 °55

6131 „„

6 4 9114 886

61

015 ‘ 3°63 873 I ”” 05 °5

6 2423 „OS

6 I 74 4 1

5 0000 886

63

013 i 2339 873

I 850% 1231 3% 82%

5 0886 886

2 igää 1105 65

01

874

018 1 €??? 874 ; 3238 1092 07 059 5 1772 886

1105 6

019 I

‚_

6 8 00 7

874

8 109 0007 0,060 005 2658 887 006 ggi4 „02 69

001 7431 002 17 0 1092 08 061 5 3545 887 6 7950 110 72 0,322

1 8306 232 2

2 39

28%; 1093 09 062 5 4432 888 6 9056 1103 74

6 5 5320 338 no 77

022 I 9181 875 2 1094 10 O 3

7 0I63 5059 10 3

06

5 6208 883

I107 79

023 2 0057 875 2 6152 9 II 4

6 7 1270 1108

65 5 709 gg

8 82

024 2 0932 876 2 6 ”94 12 ° 3 9 7 237 „08

8 274 104 066 579588

86 84

025 2 180 876 8 0 9 13

88 9 7 34 „08

268 2 34 1094 06 5 74 gg

87;

323 2 3561 €;; 2 9433 1095 12 06% 5 9g62 333 ; 2332 “09 89

028 2 44?2 878 g o1224 1095 16 069 6 0 5 890

„08

029 2 53

1096

2 007 6811 „09 00921

877 20 0017 °;°7° 006 154 890 7 7920 10 0094

002 6193

003 27 I096 18 071 6 2432 890

030 ” 0097

0,030

O7I 878

3 3816 1096

072

6 3322 8 I

7 9 o 1110 0100

031 2 7 878 3 4912 O 6 19

6 4213 9 8 014 „„ 0103 032 2 gg4? 878 3 600811 97 20 0%; 6 5104 891 8 1221 „w 0105

0 3 2 2 8r8

109 22 0

391 8 23 I

034 2 9735 849 % 533

¹⁰

23

^o“

°? 23%; s 3472 ;;1; ms

‘

°3@ 3 2361 3 zg @ 6 3

03037 33 2343 879880 44 03971495 IO988 27 078 66 86719564 893 3

038 3 3323 880 4 2593 109 28 079 ‘

893 ‘

\ 039 3 4 3 ‘

“099

‘ 008 {

88! 6 24 0030 07080 007 04-573

äO‚o4o 003 4984 004 3 9 ;

_

\I\I\I\I\I\I\I\I\Y ©\O\OKO\O©\DKO

() 0 OOOOOOOOOOOOOOOOOO\I

0 0 00\O\O\D\DKO\D\OKO00

Anhang.

log 0

014 2924 01 8

014 3843 919 017 034 „ 1 0485 0200

I 7 1 “* ’ 017

83 ä38? 3:2 018 2333 “42 3138 201 018 g??? 932 83 395; 1156 0762

m 018 1 8 „41 02 018 1810 933 IO 0 6

811 3232 329 018 {éf‚o 1142 2232 203 018 2743 933 822 3164 322 0;7?

“ 018 2 „42 04 018 6 934 20 0 8

811 8423 321 018 1885 1143 8536 205 018 23461; 934 822 8577 327 °?9ä

015 2234 911 018 6028 “43 05 3 206 018 5545 934 022 9734 „ 7 0801

or 59“ 018 7171 „43 0529 207 018 6479 934 0 3 089I „S; 0809

5 1207 018 8315 „44 535 208 018 7414 935 23 2049 1 5 0817 0541 209 018 8349 935 023 3207 IIS; 0825

015 2129 9 018 9459 023 4365 5 0833

01 22

012 8351 923 OI9 0604 „45 8228 0,2“) 018 9285 02

„;; 233

015 5820 913 39 2894 „45 0568 21 019 1157 36 023 78 “60 0849

o 2 9 40 45 3 019 20 93 43 " 085

32131

^{z 019 6}

51%?

^{1 „4}

82%? ii?

⁰¹⁹

”gg

^{6 937}

3233323I122 0862

⁰⁸

812 8592 ;? 019 7338 „47 8588 216 019 13430; 938 384 1324- 32 0883

016 3517 925 019 8625 „47 0295 217 019 5843 933 0 4 2485 „61 0890

442 019 9772 “47 02 218 019 6781 938 24 3646 0898 0608 219 019 7720 939 024 4808 „62 0907

016 1367 024 597I “63 0915

016 2293 925 020 0920 0615 0 2

016 321 925 020 2068 1148 0622 ’ 20 019 8659 02

016 9 926 020 3217 „49 06 221 019 9598 939 024 7133 „6 0924- 016 4145 2 020 4366 „49 29 222 020 0538 940 4- 8296 3 0932

5072 9 7 02 114 0636 22 02 940 024 9460 1164 0

016 927 0 5515 9 06 3 0 1478 02 6 „63 941

016 gggg 927 020 6664 „49 0643 224 020 2418 940 022 ° ;3 1164 0949 016 72 928 020 7814 „so 0658 225 020 3359 941 02 27 7„65 0958 016 8 34 928 020 8965 „51 066 226 020 4300 941 025 952 1165 0968 016 7 2 928 021 0115 1150 6 5 227 020 5241 941 0 5 4117 „6 0975 9710 021 1266 1151 ° 72 228 020 6183 942 25 5282 5 0984 0679 229 020 7125 942 025 6448 ;I26‘ 993

017 0639 021 2418 025 7614 I 6 1002

0 2

03 2568 323 o“ 3570 1151 8287 0,230 020 8068 02 8

017 497 930 021 4722 1152 0 24 231 020 9010 941 025 780 116 1°”

017 3427 930 021 5874 1152 07oä 232 020 9953 943 029 9947 116; 1020 017 43%; 931 021 7027 „53 0716 233 021 0897 944 026 II14 „671I029

017 22 931 02I 8180 “53 072 234- 021 1841 944 026 2281 „68 1038 017 119 931 021 9334 „54 07 3 235 021 27851944 026 3ä49 1169 1047 017 gogo 931 022 0488 „54 0735I; 236 021 3729 944 026 4 18 „63 1056

017 I 932 022 1642 ”54 0736 237 021 4674- 945 026 5786 „6 1065

9013

⁹³²

022 2797 1155

⁰⁷⁵⁴

74

²³⁹

238

⁰²¹

021 5619 945

^{6565 946 026}

6955 '

^{8125 17011083}

911074

01 1155 026 92 „701

7 9945 022 3952 ^{0762 2,240 021 7511} 946 95 1092

ZA 10 o_ ,

r g a lot, 1 logB 2 A log „ 100 „ og

0,240 021 7511 027 046

‚

*

946 5 1102 0,280 025 6 g

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