Historische Anmerkungen

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Historische Anmerkungen

Der Name Algebra geht auf den persischen Mathematiker und Uni- versalgelehrten al-Chwarizmi (9. Jahrhundert n. Chr.) zurück, der in seinem Buch über Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen Regeln für die Manipulation und Lösung von Gleichungen beschrieben hat. In diesem Zusammenhang führte die Bezeichnung al-gabrfür Ergänzen zum Begriff der Algebra. Betrachtet wurden typischerweise polynomiale Gleichungen, etwa der Form

5x²+ 9x= 3 oder 3x−9 = 7,

die eine Beziehung zwischen den bekannten Größen, also den Koeffi- zienten, und den zu bestimmenden unbekannten Größen oder Varia- blen, hier x, herstellen. Erstaunlich ist, dass al-Chwarizmi so gut wie keine mathematische Notation für Probleme dieser Art nutzte. Die zu untersuchenden Gleichungen wurden oftmals in Textform als geo- metrische Aufgaben gestellt, bei denen Flächen von Quadraten und Rechtecken, sowie Längen von Seiten eine Rolle spielen.

Der höchste Exponent, mit dem die unbekannte Größe in einer po- lynomialen Gleichung obigen Typs vorkommt, wird als Grad der Glei- chung bezeichnet. Quadratische Gleichungen, also Gleichungen vom Grad 2, konnten bereits von den Babyloniern gelöst werden (ab ca.

Ende des 3. Jahrtausends v. Chr.). Gleichungen höheren Grades hingegen sind viel schwieriger zu handhaben. Lösungsformeln für die Gra- de 3 und 4 wurden im 16. Jahrhundert von Scipione del Ferro und Gerolamo Cardano entwickelt. Eine komplette Analyse insbesondere für Gleichungen vom Grad >4 erfolgte hingegen erst im 19. Jahrhun- dert, und zwar im Rahmen der Galois-Theorie, die auf Évariste Galois zurückgeht; vgl. die historische Einführung in [1].

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482 Historische Anmerkungen

Polynomiale Gleichungen vom Grad 1 werden alslinearbezeichnet, da sie unter Verwendung zweier Variablen zur Parametrisierung von Geraden bzw. Linien dienen können. Nun stellt eine lineare Gleichung in einer Variablen keine besondere Herausforderung dar. Aber ganz anders liegt der Fall bei Systemen linearer Gleichungen in mehreren Variablen. In der Tat, das Problem der Lösung solcher Gleichungssys- teme hat bei der Entwicklung der Linearen Algebraeine zentrale Rolle gespielt.

In vielen mathematischen Disziplinen werden lineare Gleichungs- systeme als Hilfsmittel benötigt. Besonders naheliegend ist dies in der Geometrie. Nach der Einführung von Koordinaten durch René Des- cartes 1637, siehe [6], konnten Geraden und Ebenen mittels linearer Gleichungen beschrieben werden, wobei sich deren Schnitte in natürli- cher Weise als Lösungen linearer Gleichungssysteme ergeben. Weitere Anwendungsfelder für lineare Gleichungen bieten die Zahlentheorie, die Körper- und insbesondere Galois-Theorie, die Differentialrechnung sowie lineare Approximation jeglicher Art im Rahmen der Analysis, aber natürlich auch die Physik, und heute ganz besonders die nu- merische Mathematik. Ein berühmtes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist das nach Carl Friedrich Gauß benannte Elimi- nationsverfahren. Gauß nutzte es zu Beginn des 19. Jahrhunderts im Zusammenhang mit astronomischen Berechnungen, z. B. um die Bahn des Asteroiden Pallas mittels der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen. Belegt ist dies mit seiner Arbeit Disquisitio de elementis ellipticis Palladis [8] aus dem Jahre 1810.

Allerdings hatte der Matrizenbegriff, heute unverzichtbares Instru- ment zur Handhabung linearer Gleichungssysteme, zu damaliger Zeit noch keinerlei Gestalt angenommen. Selbst Determinanten, die bereits 1693 von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt wurden, besa- ßen mehr den Charakter von Invarianten, die linearen Gleichungs- systemen zugeordnet sind. Die 1750 von Gabriel Cramer gefunde- ne Determinantenregel zum Lösen linearer Gleichungssysteme wurde ebenfalls in diesem Sinne gesehen. Auch die Multiplikativität der Determinante, die für quadratische Matrizen A, B durch die Glei- chung det(AB) = det(A) det(B) charakterisiert ist, wurde 1812 von Augustin-Louis Cauchy unter Vermeidung des Matrizenprodukts for- muliert, wobei er immerhin einige Jahre später für Matrizen die Be- zeichnung tableaueinführte. Es dauerte allerdings noch bis zum Jahre

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Historische Anmerkungen 483 1856, als Arthur Cayley schließlich Matrizenprodukte und inverse Ma- trizen im heutigen Sinne behandeln konnte. Die Bezeichnung Matrix geht übrigens auf James Joseph Sylvester 1850 zurück. Lateinischen Ursprungs, weist der Begriff auf ein Wesen hin, das in seinem Bauch eine Menge von Objekten ähnlichen Typs beinhaltet. Sylvester kam es dabei auf die Minoren einer Matrix an, also auf quadratische Unter- matrizen und deren Determinanten.

Ab etwa Mitte des 19. Jahrhunderts kann man vereinzelt Bestre- bungen erkennen, mathematische Methoden axiomatisch zu fundieren, ein Trend, der im 20. Jahrhundert verstärkt weiter verfolgt wurde.

Zwar hatte man Erfahrungen mit der Lösung vielfältigster konkreter Einzelprobleme gesammelt und dabei alle möglichen Phänomene be- obachtet, aber es fehlten sozusagen noch geeignete Werkzeuge, um die dafür verantwortlichen Grundstrukturen sichtbar zu machen und prä- zise zu beschreiben. Dieser Trend hin zur Axiomatisierung, verbunden mit einer adäquaten Sprache, hat in vielen Bereichen sowohl zu einer Vereinheitlichung und Verschlankung der Methoden geführt, wie ande- rerseits auch zu enormen Fortschritten bei der Erforschung neuer Pro- blemstellungen. Bei der Linearen Algebra war dies mit der Einführung von Vektorräumen und deren linearen Abbildungen in besonderem Ma- ße der Fall. In der Tat, der Trend zur Axiomatisierung hat mit dazu beigetragen, dass die Lineare Algebra sich zu einem eigenständigen Teilgebiet innerhalb der Algebra entwickelt hat.

Der Begriff desVektorswurde von Sir William Rowan Hamilton in den 1840er Jahren im Zusammenhang mit der Konstruktion des Zahl- bereichs der Quaternionen verwendet. Ansonsten waren Vektoren bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts lediglich als gerichtete Strecken bekannt oder allenfalls als Differenzen von Punkten im anschaulichen Raum.

Die Idee, Vektoren als Punkte eines abstrakten Raums zu sehen, eines Vektorraums, wie wir heute sagen, kann man ansatzweise erstmals in der Arbeit [9] von Hermann Graßmann aus dem Jahre 1844 erkennen.

Graßmanns Ausführungen waren jedoch teilweise philosophischer Art und fanden innerhalb der mathematischen Fachgemeinschaft nur wenig Beachtung. Sie wurden 1888 von Giuseppe Peano in seinem Buch [13] wieder aufgegriffen, wo sich bereits die kompletten Axiome eines Vektorraums finden. Aber auch diese Arbeit stieß auf wenig Interesse, zumal Peano seinen Ansatz nicht konsequent weiterverfolgte, sondern Vektoren zusätzlich noch aus anderen Blickwinkeln studierte.

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484 Historische Anmerkungen

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurden Vektorräume verschiedent- lich neu erfunden. Zu nennen ist hier beispielsweise das 1918 erschiene- ne Buch [16] von Hermann Weyl über Allgemeine Relativitätstheorie, welches reelle Vektorräume im Stile von Peano verwendet, allerdings von endlicher Dimension. Auch ergab sich vom Standpunkt der Ana- lysis her das Bestreben, Vektorräume mit Topologien zu kombinieren, was zur Entwicklung topologischer Vektorräume führte, insbesondere von Banach-, Fréchet- und Hilberträumen. Teilweise gefangen in der Tradition des 19. Jahrhunderts, war man allerdings immer noch bemüht, die Form der Vektorräume den Problemen anzupassen, die zu behandeln waren. Dies änderte sich radikal in den 1920er Jahren, als abstrakte Methoden in größerem Maße an Einfluss gewannen. Als prominentes Beispiel ist hier das Wirken von Emmy Noether anzufüh- ren, insbesondere ihre Arbeit [12] über Idealtheorie in Ringbereichen aus dem Jahre 1921, in der neben Idealen auch Moduln über Ringen betrachtet werden. Es war das Bestreben von Noether und ihren Mit- streitern, speziell angepasste algebraische Methoden von den zugehöri- gen Beispielen zu lösen und in konzeptioneller Weise als eigenständige Theorie auszuformen. Dies war die Geburtsstunde derAlgebraim heutigen Sinne, der Modernen Algebra, wie man damals sagte.

Ein erstes Lehrbuch über Moderne Algebra wurde ab 1930 von Bartel Leendert van der Waerden in einer Reihe von Auflagen veröf- fentlicht, siehe [14], [15]. Das Werk fußt teilweise auf Vorlesungen von Emmy Noether und Emil Artin und enthält insbesondere ein eigenes Kapitel über Lineare Algebra. Spätere Auflagen erschienen unter dem Titel Algebra. Einen interessanten Eindruck von Artins Vorlesungen geben die Notre Dame Mathematical Lectures über Galois-Theorie[3]

aus dem Jahre 1942. Hier entwickelt Artin zunächst die Theorie der Vektorräume und der linearen Gleichungen, um sie anschließend für einen alternativen Zugang zur Galois-Theorie von Körpern zu nutzen.

Als Besonderheit ist schließlich der Band [4] von Nicolas Bourbaki an- zuführen, der in der ReiheÉléments de Mathématiqueerschien. Nicolas Bourbaki ist ein Pseudonym für eine Autorengruppe vorwiegend fran- zösischer Mathematiker in wechselnder Zusammensetzung, die sich mit den Éléments de Mathématique als Ziel gesetzt hatte, die Grundlagen der Mathematik in umfassender Weise von den Anfängen an darzustel- len. Weitere Informationen zur historischen Entwicklung der Linearen Algebra kann man den Publikationen [10], [11] und [5] entnehmen.

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Literatur

1. S. Bosch: Algebra. Springer Deutschland, ab 1992, aktuell 2020 2. S. Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Universi-

text, Springer London 2013

3. E. Artin: Galois Theory. Notre Dame Mathematical Lecures 2. Uni- versity of Notre Dame Press, Notre Dame, London 1942, 1944 4. N. Bourbaki: Éléments de Mathématique, Algèbre, Chap. II Algèbre

linéaire. Hermann, CCLS, Masson, Springer, ab 1947

5. N. Bourbaki: Éléments de l’Histoire des Mathématiques. Hermann, Masson, Springer, ab 1960

6. R. Descartes: La Géométrie. Discours de la méthode plus La Diop- trique, plus Les Météores. Jan Maire 1637, pp. 296–413

7. W. Fischer, I. Lieb: Einführung in die Komplexe Analysis. Vie- weg+Teubner, Wiesbaden, ab 1980, aktuell 2010

8. C. F. Gauss: Disquisitio de elementis ellipticis palladis ex oppositioni- bus annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809. Göttingische gelehrte Anzeigen Band6 (1/1810), pp. 1969–1973, 1810

9. H. Graßmann: Die lineare Ausdehnungslehre. Leipzig 1844

10. I. Kleiner: A History of Abstract Algebra. Birkhäuser Boston 2007 11. G. H. Moore: An axiomatization of linear algebra: 1875–1950. Hist.

Math.22(1995), 262–303

12. E. Noether:Idealtheorie in Ringbereichen. Math.Ann.83(1921), 24–66 13. G. Peano: Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grass- mann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Fratelli Bocca Torino 1888.

14. B. L. van der Waerden: Moderne Algebra. Springer Berlin, ab 1930 (ab 1955 unter dem Titel “Algebra”)

15. B. L. van der Waerden: Algebra II. Springer Berlin, ab 1936

16. H. Weyl: Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativi- tätstheorie. Springer Berlin 1918

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Symbolverzeichnis

0P# « Vektor von 0nach P 4 x∈X Element einer Menge 12

∅ leere Menge 12

N natürliche Zahlen 12

Z ganze Zahlen 12

Q rationale Zahlen 12

R reelle Zahlen 12

{x₁, . . . , x_n} Menge 12

Y ⊂X Teilmenge einer Menge 13

R_>0 positive reelle Zahlen 13

P(X) Potenzmenge einer Menge 13

S

i∈IX_i Vereinigung von Mengen 13 T

i∈IXi Durchschnitt von Mengen 13

X₁∪. . .∪X_n endliche Vereinigung von Mengen 13 X1∩. . .∩Xn endlicher Durchschnitt von Mengen 14

`

i∈IX_i disjunkte Vereinigung von Mengen 14 X₁−X₂ Differenz von Mengen 14

Qn

i=1X_i endliches kartesisches Produkt von Mengen 14 X₁×. . .×X_n endliches kartesisches Produkt von Mengen 14 Xⁿ n-faches kartesisches Produkt einer Menge 14 (x₁, . . . , x_n) n-Tupel von Elementen 14

Q

i∈IX_i kartesisches Produkt von Mengen 14 (x_i)_i_∈_I Familie von Elementen 14

X^I kartesisches Produkt einer Menge 14 f:X ^✲ Y Abbildung zwischen Mengen 15 id_X identische Abbildung 15

g◦f Komposition von Abbildungen 15

f(M) Bild einer Menge 15

f⁻¹(N) Urbild einer Menge 15

(7)

488 Symbolverzeichnis

f⁻¹(y) Urbild eines Elementes 15

f⁻¹:Y ^✲ X Umkehrabbildung zu einer Abbildung 16 a·b Produkt von Elementen einer Gruppe 17 a+b Summe in einer kommutativen Gruppe 17

G Gruppe 17

e∈G Einselement einer Gruppe 17

Q∗ von 0verschiedene rationale Zahlen 17 R∗ von 0verschiedene reelle Zahlen 17 Bij(X, X) Gruppe bijektiver Selbstabbildungen 17 1∈G Einselement einer Gruppe 19

a⁻¹ inverses Element 19

Qn

i=1ai Produkt von Elementen 19 Q0

i=1a_i leeres Produkt 19

0∈G Nullelement einer kommutativen Gruppe 19

−a inverses Element in einer kommutativen Gruppe 20 Pn

i=1a_i Summe in einer kommutativen Gruppe 20 P0

i=1ai leere Summe 20

A=⇒B Implikation von Aussagen 20 A⇐⇒B Äquivalenz von Aussagen 20

K Körper 22

0∈K Nullelement eines Körpers 23 1∈K Einselement eines Körpers 23 n·a n-fache Summe eines Elements 24 K∗ multiplikative Gruppe eines Körpers 24

F2 Körper mit 2 Elementen 25

Q(√

2) von Qund √

2 erzeugter Körper 25

C komplexe Zahlen 27

i∈C komplexe Zahl mit i²=−1 29 Re(z) Realteil einer komplexen Zahl 29 Im(z) Imaginärteil einer komplexen Zahl 29

aⁿ n-fache Potenz 29

n i

Binomialkoeffizient 30

V Vektorraum 34

0∈V Nullvektor eines Vektorraums 35

V = 0 Nullvektorraum 35

U ⊂V Untervektorraum 36

K·a⊂V von aerzeugter Untervektorraum 36

Kⁿ n-faches kartesisches Produkt alsK-Vektorraum 37 Vⁿ n-faches kartesisches Produkt eines Vektorraums 38

(8)

Symbolverzeichnis 489 Q

i∈IVi kartesisches Produkt von Vektorräumen 38 Abb(X, K) Vektorraum von K-wertigen Funktionen 38 T

i∈IUi Durchschnitt von Untervektorräumen 39 hAi ⊂V von Vektoren erzeugter Untervektorraum 39 ha1, . . . , ani ⊂V von Vektoren erzeugter Untervektorraum 39 hAi ⊂V von Vektoren erzeugter Untervektorraum 39 ei ∈Kⁿ i-ter Einheitsvektor 41

δ_ij Kronecker-Symbol 41

Pn

i=1αiai Linearkombination von Vektoren 42 a₁, . . . , a_n Basis eines Vektorraums 45

dim_KV Dimension eines Vektorraums 52 Pr

i=1U_i Summe von Untervektorräumen 58 Lr

i=1U_i direkte Summe von Untervektorräumen 59 U₁+. . .+U_r Summe von Untervektorräumen 59

U₁⊕. . .⊕U_r direkte Summe von Untervektorräumen 59 f:V ^✲ V^′ lineare Abbildung zwischen Vektorräumen 74 kerf Kern einer linearen Abbildung 76

imf Bild einer linearen Abbildung 76 Hom_K(V, V^′) Vektorraum linearer Abbildungen 78 f +g Summe linearer Abbildungen 78

α·f skalares Produkt mit einer linearen Abbildung 78 rgf Rang einer linearen Abbildung 80

A=a+U affiner Unterraum 83

f⁻¹(a^′) Faser einer linearen Abbildung 84 R⊂M×M Relation auf einer Menge 85 a∼b Relation, Äquivalenzrelation 85

⌈⌊a⌉⌋ Äquivalenzklasse eines Elementes 85 M/∼ Menge von Äquivalenzklassen 86

M ^✲ M/∼ Abbildung auf Menge von Äquivalenzklassen 86

⌈⌊a⌉⌋=a+U Nebenklasse modulo eines linearen Unterraums 87

V /U Quotientenvektorraum 87

π:V ^✲ V /U Epimorphismus auf Quotientenvektorraum 88

V∗ Dualraum eines Vektorraums 96

f∗:V∗ ^✲ U∗ duale Abbildung 97 ϕ₁, . . . , ϕ_n∈V∗ duale Basis 102

V∗∗ doppelt dualer Vektorraum 103 cokerf Cokern einer linearen Abbildung 106 A= (α_ij)_ij Matrix 114

A+B Summe von Matrizen 115

λA skalares Produkt mit einer Matrix 115

(9)

0∈K^m^×ⁿ Nullmatrix 115

−A= (−α_ij)_ij negatives Element zu einer Matrix 115 E_ij = (δ_iµδ_jν)_µν kanonische Basis von Matrizen 115 a_Y ∈K^m Koordinatenspaltenvektor 116 X = (x₁, . . . , x_n) Basis eines Vektorraums 117

A_f,X,Y beschreibende Matrix einer linearen Abbildung 117 E =E_m = (δ_ij)_ij Einheitsmatrix 117

A·B Produkt von Matrizen 119 rg_sA Spaltenrang einer Matrix 126 rg_zA Zeilenrang einer Matrix 126

rgA Rang einer Matrix 126

A^t= (α_ij)_ji transponierte Matrix 132

X∗, Y∗ duale Basis eines Dualraums 134

R Ring 138

0∈R Nullelement eines Rings 139 1∈R Einselement eines Rings 139

R= 0 Nullring 139

End_K(V) Endomorphismenring eines Vektorraums 139 Kⁿ^×ⁿ Matrizenring quadratischer Matrizen 139

A⁻¹ inverse Matrix 140

R∗ Einheitengruppe eines Rings 141

Aut_K(V) Automorphismengruppe eines Vektorraums 141 GL(n, K) allgemeine lineare Gruppe 141

A_id,Y,X Matrix eines Basiswechsels 147 A·x=b lineares Gleichungssystem 152

M_A,b Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems 152

S_n Permutationsgruppe 172

1 . . . n a₁ . . . a_n

Permutation 172

n! Fakultät einer natürlichen Zahl 172 sgnπ Signum einer Permutation 174

An alternierende Gruppe 176

∆:Vⁿ ^✲ K Determinantenfunktion 178 det(A) Determinante einer Matrix 180

det(f) Determinante eines Endomorphismus 184

A^ad adjungierte Matrix 195

Vr

V r-fache äußere Potenz eines Vektorraums 200 V^r ^✲ VrV kanonische Abbildung in äußere Potenz 200 a1∧. . .∧ar äußeres Produkt von Elementen 200

det_X,H(a₁, . . . , a_r) Determinante einer Untermatrix 203

(10)

Symbolverzeichnis 491 Vr

f äußeres Produkt einer linearen Abbildung 205 VV =L

r∈N

VrV äußere Algebra eines Vektorraums 206

R Ring 212

R⌈⌊T⌉⌋ Polynomring über einem kommutativen Ring 214 gradf Grad eines Polynoms 216

ϕ:R ^✲ R^′ Ringhomomorphismus 217

R ^✲ A R-Algebra 217

Φ:A ^✲ B Homomorphismus von R-Algebren 218

S ⊂R Unterring 222

a⊂R Ideal eines Rings 222

kerϕ Kern eines Ringhomomorphismus 222

(a) =Ra von einem Element erzeugtes Hauptideal 223 (1) =R Einheitsideal 223

0⊂R Nullideal 223

a+a Nebenklasse modulo eines Ideals 223 R/a Restklassenring modulo eines Ideals 224 R ^✲ R/a kanonische Projektion auf Restklassenring 224 δ:R− {0} ^✲ N Gradfunktion auf einem euklidischen Ring 228

a|b ateilt b 229

a∤b ateilt nicht b 229

a=εQ

p∈P p^µ^p^(a) Primfaktorzerlegung 234 ggT(a, b) größter gemeinsamer Teiler 234 kgV(a, b) kleinstes gemeinsames Vielfaches 235

λ∈K Eigenwert 250

V_λ Eigenraum zu einem Eigenwert 253

χA charakteristisches Polynom einer Matrix 257 SpurA Spur einer Matrix 257

K(T) rationaler Funktionenkörper 258

χ_f charakteristisches Polynom einer Abbildung 259 Spurf Spur einer linearen Abbildung 259

p_f Minimalpolynom einer linearen Abbildung 261 p_A Minimalpolynom einer Matrix 261

M Modul 265

N ⊂M Untermodul 266

ϕ:M ^✲ N Homomorphismus von Moduln 266 P

i∈IRa_i ⊂M von Elementen erzeugter Untermodul 267 Pn

i=1Mi ⊂M Summe von Untermoduln 267 Ln

i=1M_i direkte Summe von Moduln 267 N1×. . .×Nn kartesisches Produkt von Moduln 267

M/N Restklassenmodul 268

(11)

⌈⌊a⌉⌋=a+N Nebenklasse modulo eines Untermoduls 268 ℓ_R(M) Länge eines Moduls 268

E^ij(σ, τ, σ^′, τ^′) verallgemeinerte Elementarmatrix 274 T ⊂M Torsionsuntermodul eines Moduls 283 Rⁿ ^ψ^✲R^m ^ϕ^✲M endliche Präsentation eines Moduls 283 M_p ⊂M Untermodul der p-Torsion 286

f|U Einschränkung einer Abbildung 289

M =Ra monogener Modul 290

Diag(A₁, . . . , A_r) “Diagonalmatrix” von Matrizen 296 A(p) Begleitmatrix zu einem Polynom 297

|# «

0P₁|,|P₁| Betrag eines Vektors bzw. Punktes 311

K Körper der reellen oder komplexen Zahlen 315 a=α−iβ konjugiert komplexe Zahl 315

Re(a) Realteil einer komplexen Zahl 316 Im(a) Imaginärteil einer komplexen Zahl 316

|a|=p

α²+β² Absolutbetrag einer komplexen Zahl 316 Φ:V ×V ^✲ K Sesquilinearform 316

hx, yi symmetrische Bilinearform, hermitesche Form 317 hx, yi=x^t·y kanonisches Skalarprodukt auf Kⁿ 317

|x|=p

hx, xi Betrag bzw. Länge eines Vektors 319 e₁, . . . , e_n∈V Orthonormalbasis 322

M ⊥N orthogonale Teilmengen 326

M^⊥ orthogonales Komplement 327

P(x₁, . . . , x_r) von Vektoren aufgespanntes Parallelotop 327 Vol P(x1, . . . , xr)

Volumen eines Parallelotops 327 G(x₁, . . . , x_r) Gramsche Determinante 328 A= (α_ij)_ij konjugierte Matrix 331 A^t= (α_ij)_ji transponierte Matrix 331 A∗=A^t= (α_ij)_ji adjungierte Matrix 331

A_Φ,X beschreibende Matrix zu einer Sesquilinearform 332 A_Y,X Matrix eines Basiswechsels 334

V komplex konjugierter Vektorraum 338 ϕ∗ adjungierter Endomorphismus 339

R(ϑ) Drehmatrix 348

O(n) orthogonale Gruppe 350

U(n) unitäre Gruppe 351

SO(n) spezielle orthogonale Gruppe 351

(12)

Namen- und Sachverzeichnis

Abbildung, 15–16 – adjungierte,

siehe Endomorphismus, adjungierter

– affine, 69

– alternierende, 178, 198 – bijektive, 15

– Bild, 15

– Bildbereich, 15 – Definitionsbereich, 15 – identische, 15

– injektive, 15 – Komposition, 15 – lineare,

siehe lineare Abbildung – multilineare, 178, 198 – normale,

siehe Endomorphismus, normaler

– orthogonale,

siehe Endomorphismus, orthogonaler

– selbstadjungierte,

siehe Endomorphismus, selbstadjungierter – surjektive, 15 – unitäre,

siehe Endomorphismus, unitärer

– Urbild, 15 – Wertebereich, 15

Absolutbetrag, 311, 316, 319 ähnlich, 248–251

Algebra, äußere, 207 R-Algebra, 217–222

allgemeine lineare Gruppe, 141, 350

alternierende Gruppe, 176 analytische Geometrie, 1 Äquivalenz, 85

– von Aussagen, 20 Äquivalenzklasse, 85–89 – Menge von, 86

Äquivalenzrelation, 85–89, 223, 268 Argument einer komplexen Zahl,

348

Assoziativgesetz, 120, 138

Automorphismengruppe, 141, 345 Automorphismus

– eines Rings, 217 – eines Vektorraums, 75

Basis, 45–46, 48–52, 56, 115, 267 – äquivalente Charakterisierung,

48, 147

– duale, 102, 134, 204

– eines äußeren Produkts, 204 – kanonische, 45

(13)

494 Namen- und Sachverzeichnis Basisergänzungssatz, 49, 56

Basiswechsel, 113, 121, 147–150, 334, 360, 363, 364

Begleitmatrix, 245, 297 Betrag,

siehe Absolutbetrag Bild, 76, 340

Bilinearform, 316 – nicht ausgeartete, 319 – symmetrische,

siehe symmetrische Bilinearform Binomialkoeffizient, 31 binomische Formel, 29–32 Cauchysche Determinante, 193 Cayley-Hamilton, Satz von, 246,

262, 299

Charakteristik, 33, 237

Chinesischer Restsatz, 282–283 Cokern, 106

Cramersche Regel, 168–171, 195–197

Dachprodukt, 200 Descartes, R., 1

Determinante, 183–192, 335 – Beispiele, 188–192

– Eigenschaften, 185

– einer Matrix, 167–171, 180, 194–197

– einer Untermatrix, 187

– eines Endomorphismus, 185, 205 – Entwicklungssatz, 196, 207 – Rechenregeln, 187

– Regel von Sarrus, 192

Determinantenfunktion, 178–184 diagonalisierbar, 244, 249, 250,

252–254, 256, 259, 260, 300, 359, 360

Diagonalmatrix, 248, 249, 253, 296, 360

Dimension, 52–54, 71, 119, 152 Dimensionsformel

– für lineare Abbildungen, 80, 89 – für Untervektorräume, 60, 61 disjunkt, 14

Distributivgesetze, 139 Division mit Rest, 226–229 Drehmatrix, 348

Drehung, 69, 347, 352, 353 Drehwinkel, 347

Dreiecksmatrix, 260, 303 Dreiecksungleichung, 312, 319 Dualraum, 73, 96–104, 338 Durchschnitt, 13

Ebene, 9, 92

Eigenraum, 244, 253, 259 Eigenvektor, 244, 250

– einer normalen Abbildung, 343 Eigenwert, 244, 250–255, 358, 363 – einer normalen Abbildung, 343 Einheit, 140, 213

Einheitengruppe, 141, 213 Einheitsideal, 223

Einheitsmatrix, 114, 117, 140 Einheitsvektor, 41, 43, 45 Einselement, 19, 23

Einsetzungshomomorphismus, 219 Element

– assoziiertes, 229 – inverses, 17, 140 – invertierbares, 140 – irreduzibles, 230 – maximales, 55 – neutrales, 17 – primes, 230–235 – reduzibles, 230

(14)

Namen- und Sachverzeichnis 495 Elementarmatrix, 128–129, 132,

143–145, 272 Elementarteiler

– einer endlichen Präsentation, 284 – einer Matrix, 271–275, 280 – eines Untermoduls, 270–280 Elementarteilersatz, 270 Elementarteilertheorie, 246,

270–280

Endomorphismenring, 139, 211, 213, 220

Endomorphismus – adjungierter, 339–344

– diagonalisierbarer, 244, 249, 250, 252–254, 259, 300, 359

– eines Rings, 217 – eines Vektorraums, 75 – invertierbarer, 141–143 – normaler, 342–344 – orthogonaler, 345

– selbstadjungierter, 313, 357–360 – Struktur, 243

– unitärer, 345 Epimorphismus – von Moduln, 266 – von Ringen, 217

– von Vektorräumen, 75, 81, 98 Erzeugendensystem, 40, 267 – freies, 267

Fakultät, 30, 172 Familie, 14 Faser, 71, 84 Fehlstand, 174

Fibonacci-Zahlen, 264 Form

– hermitesche,

siehe hermitesche Form – quadratische, 321

Fundamentalsatz der Algebra, 240

Funktionenkörper, 258

Gaußsches Eliminationsverfahren, 107, 113, 127–132, 135–136 – zur Invertierung von Matrizen,

143–145

– zur Lösung linearer

Gleichungssysteme, 153–162 – zur Rangbestimmung, 130 Gerade, 7–9, 36, 91, 107, 110 Gleichung, algebraische, 211 Gleichungssystem, lineares,

siehe lineares Gleichungssystem Gradfunktion, 228

Gramsche Determinante, 328 Gruppe, 11, 17–21

– abelsche, 17, 34, 138, 265 – bijektiver Selbstabbildungen, 17 – Einselement, 19

– endlich erzeugte abelsche, 286 – inverses Element, 18, 19 – kommutative, 17

– neutrales Element, 18 – Nullelement, 19 – Ordnung, 288 – orthogonale, 350

– spezielle orthogonale, 351 – unitäre, 351

– zyklische, 287, 288

Hauptachsentransformation, 314–315, 360–364

Hauptideal, 223 Hauptidealring, 229 Hauptsatz

– für endlich erzeugte abelsche Gruppen, 286

– für endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen, 284–288 Hauptunterdeterminanten, 336

(15)

496 Namen- und Sachverzeichnis hermitesche Form, 313, 317–321,

334

– positiv definite, 317, 319, 363 – positiv semidefinite, 317 HF,

siehe hermitesche Form Homomorphiesatz

– für Moduln, 268 – für Ringe, 224

– für Vektorräume, 72, 89, 90 Homomorphismus

– von R-Algebren, 218 – von Gruppen, 175–176 – von Moduln, 266 – von Ringen, 217 – von Vektorräumen,

siehe lineare Abbildung Hülle, lineare, 39

Hyperebene, 92 Ideal, 222

– erzeugtes, 226, 235 Imaginärteil, 29, 316

Implikation von Aussagen, 20 Induktion, vollständige, 31 Integritätsring, 214, 217 Involution, 315

Isometrie, 345–350, 353–356 – Beispiele, 347

– Eigenwerte, 353 Isomorphiesatz – für Moduln, 281 – für Ringe, 226 – für Vektorräume, 95 Isomorphismus

– und Dimension von Vektorräumen, 79

– von Einheitengruppen, 141 – von Moduln, 266

– von Ringen, 140, 217

– von Vektorräumen, 65, 75, 80, 81, 116, 118, 133

Jordankästchen, 300 Jordanmatrix, 303 kanonisch, 37

Kern, 71, 76, 222, 340 Koeffizient, 114

Koeffizientenmatrix, 112 Komplement, 61, 84 – orthogonales, 327, 340 Komplementärmatrix, 195 Komplex, 99, 100

komplexe Zahlen, 27–29 Kongruenz, 86

Konjugationsabbildung, 315 Koordinaten, 2

Koordinatenspaltenvektor, 116, 121, 181, 182, 184

Körper, 11, 22–32, 213, 236 – Addition, 22

– algebraisch abgeschlossener, 240 – Assoziativgesetz, 23

– Charakteristik, 33

– der komplexen Zahlen, 240 – Distributivgesetze, 23 – Einselement, 23, 34 – inverses Element, 23 – Kommutativgesetz, 23 – komplexe Zahlen, 27–29 – mit 2 Elementen, 25 – Multiplikation, 22

– multiplikative Gruppe, 24 – neutrales Element, 23 – Nullelement, 23 Kronecker-Symbol, 41 Kürzungsregeln, 20 Lagrange, Satz von, 461 Länge

(16)

Namen- und Sachverzeichnis 497 – eines Moduls, 268–270

– eines Vektors, 319

Laplacescher Entwicklungssatz, 196

– allgemeiner, 207

linear abhängig, 10, 42, 43, 182 – äquivalente Charakterisierung,

46

lineare Abbildung, 65, 74–82 – Beispiele, 69–70

– beschreibende Matrix, 79, 113, 117, 121, 148, 267, 341 – Bild, 76, 340

– Dimensionsformel, 71 – duale, 97–104, 134 – Faser, 71

– injektive, 76 – Kern, 71, 76, 340

– Rang, 71, 80, 103, 126–127, 135, 247, 340

– skalare Multiplikation, 78, 96 – Summe, 78, 96

– und Basen, 77 – und Dimension, 77

– und Erzeugendensysteme, 76 – und lineare Abhängigkeit, 76 – und lineare Unabhängigkeit, 77 – von Moduln, 266

lineares Gleichungssystem, 46, 107–112, 152, 162

– Cramersche Regel, 168–171 – eindeutige Lösbarkeit, 158, 163 – homogenes, 152

– inhomogenes, 152 – Koeffizientenmatrix, 112 – Lösbarkeit, 158, 159 – Lösungsraum, 152 – partikuläre Lösung, 159

– universelle Lösbarkeit, 158, 163 Linearform, 96

Linearkombination, 42, 43 linear unabhängig, 9, 10, 42–44,

167, 251

Linksnebenklasse, 461

Matrix, 71, 74, 79, 107, 114ff., 267 – adjungierte(1), 194, 195

– adjungierte(2), 331 – als lineare Abbildung, 120 – Cofaktor, 195

– diagonalisierbare, 249, 256, 260, 300, 359, 360

– eines Basiswechsels, 113, 147 – hermitesche, 313, 357

– inverse, 140

– invertierbare, 113, 125, 141–145, 167

– konjugierte, 331 – leere, 115, 183, 297

– orthogonale, 313, 337, 350–360 – Produkt, 119

– Rang, 126–132, 135–136, 148–150 – Rechenregeln, 123

– skalare Multiplikation, 115 – Spalte, 115

– Spaltenindex, 115

– Spaltenrang, 126, 135, 150 – Summe, 115

– symmetrische, 313, 357 – transponierte, 132–135, 331 – trigonalisierbare, 303 – unitäre, 313, 337, 350–360 – Zeile, 115

– Zeilenindex, 114

– Zeilenrang, 126, 135, 150 Matrizenring, 139, 213, 220 maximales Ideal, 458 Menge, 12–16

– Differenz, 14

– disjunkte Vereinigung, 14

(17)

498 Namen- und Sachverzeichnis – Durchschnitt, 13

– gleichmächtige, 56 – kartesisches Produkt, 14 – obere Schranke, 55 – streng geordnete, 55 – teilweise geordnete, 55 – Vereinigung, 13

Minimalpolynom, 220, 246, 260–263, 289, 300 Modell, 3

Modul, 246, 265ff.

– Addition, 265

– Assoziativgesetz, 265 – Beispiele, 266

– direkte Summe, 267 – Distributivgesetze, 265 – endlicher, 267

– endlicher freier, 267 – endlich erzeugter, 267 – freier, 267

– Länge, 268–270 – monogener, 290 – Rang, 279, 284

– skalare Multiplikation, 265 Monomorphismus

– von Moduln, 266 – von Ringen, 217

– von Vektorräumen, 75, 81, 98 Nebenklasse, 87, 223, 268 Nilradikal, 226

Normalform, 296

– allgemeine, 247, 298–299 – Berechnung, 304–309

– für orthogonale Abbildungen, 354

– für unitäre Abbildungen, 353 – Jordansche, 247, 300–305 Normalteiler, 176

Nullelement, 19, 23

Nullideal, 223 Nullmatrix, 115 Nullraum, 35 Nullring, 139, 213 Nullstelle, 238–240 Nullteiler, 138, 146, 213 Nullvektor, 35

oder, mathematisch, 14 Ordnung, 288

orthogonal, 322, 326 Orthogonalbasis, 322 Orthogonalsystem, 322

Orthonormalbasis, 312, 322, 341, 345, 349

Orthonormalsystem, 322 Paradoxon von Russel, 13 Parallelotop, 327–330

Permutation, 172–177, 179, 180, 199

– gerade, 173 – Signum, 174 – ungerade, 173

Permutationsgruppe, 172 – Anzahl der Elemente, 172 Permutationsmatrix, 164, 357 Polynom, 211, 214–217, 219–222,

261

– charakteristisches, 243, 257–263 – Grad, 216–217

– höchster Koeffizient, 216 – Koeffizient, 215

– normiertes, 234 – Nullstelle, 238–240 Polynomring, 212, 214–217,

219–222 Potenz, 29

– äußere, 200–208 – symmetrische, 209 Potenzmenge, 13

(18)

Namen- und Sachverzeichnis 499 Potenzreihen

– formale, 225

Präsentation, endliche – eines Moduls, 283, 306 – Elementarteiler, 284 Primelement, 230–236

Primfaktorzerlegung, 226, 233–235 Primideal, 458

Primpolynom, 294 Produkt

– äußeres, 200–208

– kartesisches, 14, 38, 213, 267 – leeres, 19

– symmetrisches, 209 Projektion, 70, 85 – orthogonale, 323 – senkrechte, 320

Pythagoras, Satz von, 311, 320 Quotientenring, 223

Quotientenvektorraum, 72, 85, 87–91

Rang

– einer linearen Abbildung, 71, 80, 103, 126–127, 135, 247, 340 – einer Matrix, 126–132, 135–136,

148–150

– eines Moduls, 279, 284 Realteil, 29, 316

Reflexivität, 85 Regel von Sarrus, 192 Relation, 85

Repräsentant, 85 Restklasse, 87

Restklassenmodul, 268 Restklassenring, 223

Restklassenvektorraum, 72, 87–91 Ring, 138, 212, 265

– Einheit, 140, 213

– Einheitengruppe, 141, 213

– Einselement, 139 – euklidischer, 228 – faktorieller, 233

– invertierbares Element, 140 – kartesisches Produkt, 213 – kommutativer, 139 – Nullelement, 139 sBF,

siehe symmetrische Bilinearform Schmidtsches

Orthonormalisierungsverfahren, 312, 321, 323–327

Schwarzsche Ungleichung, 312, 318 senkrecht, 311, 322

Sequenz, 99 – duale, 101 – exakte, 100 – kurze exakte, 100 Sesquilinearform, 316–321 – beschreibende Matrix, 332–337 – nicht ausgeartete, 316, 332 skalare Multiplikation, 34, 78, 96,

265

Skalarprodukt, 311, 317, 334–337 – kanonisches, 317

Spaltenstufenform, 132 Spaltentransformation,

siehe Spaltenumformungen Spaltenumformungen, elementare,

132, 272

Spaltenvektor, 111, 116 Spektralsatz

– für normale Abbildungen, 343 – für selbstadjungierte

Abbildungen, 358 Spiegelung, 69, 348, 353 Spur

– einer linearen Abbildung, 259

(19)

500 Namen- und Sachverzeichnis – einer Matrix, 257, 258

Summe

– direkte, 59–63, 267

– konstruierte direkte, 60, 267 – leere, 20

– von Untermoduln, 267

– von Untervektorräumen, 58–63 Sylvesterscher Trägheitssatz, 314,

364

Symmetrie, 85

symmetrische Bilinearform, 311, 313, 317–321, 334

– Kern, 321

– positiv definite, 317, 319, 363 – positiv semidefinite, 317 symmetrische Gruppe, 172 System, 42

– freies, 267 – Länge, 51 – leeres, 43

– linear abhängiges, 42

– linear unabhängiges, 42, 44, 267 – maximales linear unabhängiges,

48, 56

– minimales Erzeugendensystem, 48

Teiler, 229

– größter gemeinsamer, 234, 235 Teilkörper, 25–27

Teilmenge, 13 Torsion, 246

Torsionsmodul, 246, 283, 289 Torsionsuntermodul, 283 Transitivität, 85

Transposition, 173 n-Tupel, 14

Umkehrabbildung, 16, 75 universelle Eigenschaft, 72, 199 Untergruppe, 20

Untermodul, 266 – der p-Torsion, 286 – direkte Summe, 267 – Summe, 267

Unterraum

– affiner, 71, 83–84, 91–93, 110, 152

– kleinster affiner, 93 – linearer,

siehe Untervektorraum Unterring, 222

Untervektorraum, 36, 39, 83, 91, 152

– aufgespannter, 9, 39 – direkte Summe, 59–63 – erzeugter, 9, 39 – invarianter, 244, 289ff.

– Komplement, 61 – Summe, 58–63

– unzerlegbarer, 246, 290ff.

– zyklischer, 244, 289ff.

Vandermondesche Determinante, 191

Variable, 212, 221 Vektor, 4, 6 – Addition, 4–6 – normierter, 320

– skalare Multiplikation, 4–5 – Skalarprodukt, 317

– Subtraktion, 6–7 Vektorraum, 4, 34–41 – Addition, 34

– Assoziativgesetz, 34

– Automorphismengruppe, 141 – Basis, 45–46, 48–52, 56, 147 – Beispiele, 37, 38

– Dimension, 52–54, 71, 119, 152 – direkte Summe, 59–63

– Distributivgesetze, 34

(20)

Namen- und Sachverzeichnis 501 – doppelt dualer, 103

– dualer,

siehe Dualraum – endlich erzeugter, 41 – Endomorphismenring, 139 – Erzeugendensystem, 40 – euklidischer, 312, 317 – kartesisches Produkt, 38 – konstruierte direkte Summe, 60 – neutrales Element, 35

– nicht endlich erzeugter, 54–56 – Nullvektor, 35

– Rechenregeln, 35

– skalare Multiplikation, 34 – unitärer, 312, 317

– von linearen Abbildungen, 78, 117

– K-wertiger Funktionen, 38, 54 Vereinigung, 13

Verknüpfung – assoziative, 17

– äußere, 34, 265

– innere, 17, 22, 34, 138, 265 – inverses Element, 17 – kommutative, 17 – neutrales Element, 17 Vielfaches

– kleinstes gemeinsames, 235 vollständige Induktion, 31 Volumen, 327–330

Winkel, 321, 347

Zahl, konjugiert komplexe, 315 Zeilenstufenform, 130, 135, 153 Zeilentransformation,

siehe Zeilenumformungen Zeilenumformungen, elementare,

127–132, 135, 143–145, 272 Zeilenvektor, 111, 116

Zornsches Lemma, 55 Zyklus, 177

(21)

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Historische Anmerkungen