IEEE 754 Encoding

(1)

IEEE 754 Encoding

Wie stellt man im IEEE 754 Format eigentlich die „0“ dar!?

(‐1)

^S

* (1 + Fraction) * 2

(Exponent—Bias)

Single‐Precision (Bias=127)

Double‐Precision

(Bias=1023) Dargestelltes Objekt

Exponent Fraction Exponent Fraction

0 0 0 0 0

0 Nicht‐Null 0 Nicht‐Null (+/‐ Denormalised Number) 1 bis 254 Beliebig 1 bis 2046 Beliebig +/‐ Gleitkommazahl

255 0 2047 0 +/‐ Unendlich

(2)

Quiz

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Logik und Arithmetik 107

Betrachte IEEE 754 Single‐Precision, also Bias = 127. Was ist der Dezimalwert der folgenden Binärzahl?

010000000110000000000000000000000

(‐1)

^S

* (1 + Fraction) * 2

(Exponent—Bias)

(3)

Quiiiiz

Bestimme S, Fraction und Exponent der IEEE 754 Single‐Precision Repräsentation (also Bias = 127) der Dezimalzahl ‐0.75.

(4)

Gleitkommaarithmetik

(5)

Gleitkommaarithmetik

Addition von binären n‐Bit Gleitkommazahlen

(6)

Vorüberlegung

Addition mit gleichem Exponent (Nachkomma mit 4 Bits kodiert):

Addition mit unterschiedlichen Exponenten (Nachkomma 4 Bits):

(7)

Vorüberlegung

Ergebnis muss unter Umständen wieder normalisiert werden:

Bei Einschränkung auf n Bit (z.B. Nachkomma auf 4 Bit einge‐

schränkt) kann dies anschließendes Auf‐ bzw. Abrunden erfordern.

Beispiel: Runden nach der „Schulmethode“

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Vorüberlegung

Das Runden kann ggf. neues Normalisieren erforderlich machen:

Normalisierungen können Overflows und Underflows hervorrufen.

Beispiel: IEEE 754 Single‐Precision erlaubt Exponenten von ‐126 bis 127. Somit ist zum Beispiel:

(9)

Additionsalgorithmus

2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse

und 8 Bit für den Exponenten. Start

(1) Vergleiche Exponenten der beiden Zahlen. Shifte die

kleinere Zahl nach rechts, so dass der Exponent mit dem Exponent der größeren Zahl übereinstimmt. (Mantissen‐

Alignment)

(2) Addiere die Mantissen.

Beispiel 1 Beispiel 2 1,000 * 2^‐1

‐ 1,110 * 2^‐2

1,001 * 2¹⁰ + 1,101 * 2¹¹ (1)

(2)

(10)

Additionsalgorithmus

2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse

und 8 Bit für den Exponenten. (3) Normalisiere die Summe, entweder durch Rechts‐Shift

und hoch setzen oder durch Links‐Shift und runter setzen

des Exponenten.

„Exception“

Overflow oder

Underflow? ja nein

Im Beispiel 8‐Bit für den Exponenten.

Beispiel 1 Beispiel 2

(2) 0,001 * 2^‐1 10,001 * 2¹¹ (3)

(11)

Additionsalgorithmus

2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.

Immer noch normalisiert?

(4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits.

ja

nein zurück nach (3)

Beispiel 1 Beispiel 2

(3) 1,000 * 2^‐4 1,0001 * 2¹² (4)

(12)

Noch eine Bemerkung

Betrachte die folgenden binären Floats mit 8‐Bit Mantisse:

x = −1,100 000 * 2¹⁰⁰, y = 1,100 000 * 2¹⁰⁰ , z = 1,000 0000 Was ist x + (y + z)?

Was ist (x + y) + z?

Somit ist x + (y + z) ≠ (x + y) + z, d.h. die Gleitkommaaddition ist nicht assoziativ!

Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x₁ + x₂ + ... + x_n parallel berechnen möchte?

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Gleitkommaarithmetik

Multiplikation von binären n‐Bit Gleitkommazahlen

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Vorüberlegung

Multiplikation von zwei beliebigen binären Floats in normalisierter Darstellung. Was ist der Exponent des Ergebnisses?

Multiplikation der Mantissen. Wo kommt das Komma hin?

Was ist das Vorzeichen v von x * y?

(15)

Algorithmus

Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.

Start

(1) Addiere die Exponenten.

(Subtrahiere Bias im Falle von Biased‐Notation ) 1,101 * 2^‐1 * ‐1,100 * 2^‐2

(1)

(16)

Algorithmus

Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.

(2) Multipliziere die Mantissen.

(1) Der Exponent ist ‐3 Die Mantissen sind:

1,101 und 1,100 (2)

(17)

Algorithmus

Beispiel: 4 Bit für die Mantisse

und 8 Bit für den Exponenten. (3) Normalisiere das Produkt Falls notwendig.

Normalisierung erfolgt durch Rechts‐Shift und erhöhen

des Exponenten.

Overflow oder

Underflow? ja nein

Im Beispiel 8‐Bit für den Exponenten.

(2) 10,011100 * 2^‐3 (3)

(18)

Algorithmus

Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.

(Eingabe: 1,101 * 2^‐1 * ‐1,100 * 2^‐2)

Fertig

Immer noch normalisiert?

(4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits.

ja

nein zurück nach (3)

(3) 1,0011100 * 2^‐2 (4)

(5)

(5) Setze Vorzeichen auf „+“

wenn die Vorzeichen der Eingaben gleich waren. Sonst

setze Vorzeichen auf „‐“.

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Gleitkommaarithmetik

Erhöhen der Genauigkeit

(20)

Guard‐Bit, Round‐Bit und Sticky‐Bit

Bei der Darstellung der Addition und Multiplikation haben wir vereinfacht die beim Mantissen‐Alignment rechst heraus

geschobenen Bits einfach abgeschnitten. Zum Beispiel:

In Wirklichkeit (z.B. IEEE 754 Spezifikation) wird zur Steigerung der Genauigkeit etwas geschickter vorgegangen. Obiges Beispiel:

Rechenoperationen finden auf dieser erweiterten Mantisse statt.

Mantisse

10111001000111011010110 Mantisse

Mantissen‐Alignment um 5 Stellen

(21)

Wir betrachten 8‐Bit Mantissen. Es seien die folgenden beiden binären Zahlen zu addieren.

1 , 100 0110 * 2

⁶

+ 1 , 011 1010 * 2

²

Wie sehen Mantisse, Guard‐Bit, Round‐Bit und Sticky‐Bit nach dem Mantissen‐Alignment aus?

Quiz

8‐Bit‐Mantisse 8‐Bit‐Mantisse

1 , 100 0110 * 2

⁶

1 , 011 1010 * 2

²

(22)

+ / −

IEEE 754 Rounding‐Modes

Synonym Ergebnis Beispiel 21,7 Beispiel ‐21,7 Round

toward +∞

Ceil Kleinster Wert nicht kleiner als M Round

toward

−∞

Floor Größter Wert nicht größer als M

Round toward 0

Truncate Genau M

Round to

nearest

Wert, der am nächsten zu M liegt

Mantisse M G R S

(23)

IEEE Rounding‐Modes: Round to Nearest

Eingabe Form bei Tie Rundung Ergebnis M Mantisse|000 Same M = Mantisse

Mantisse|001 Down M = Mantisse

Mantisse|100 (Tie)

...0|100 Down M = Mantisse

...1|100 Up M = Mantisse + 1

Mantisse|101 Up M = Mantisse + 1

Mantisse|110 Up M = Mantisse + 1

Mantisse G R S

(24)

Quiz

Was ist das Rundungsergebnis bei Round‐to‐Nearest für folgende Instanzen von „8‐Bit‐Mantisse | Guard‐Round‐Sticky“?

A.) 0000 1101 | 110

B.) 0011 0011 | 100

C.) 0101 0101 | 010

GRS Mantisse Richtung

001 Down

010 Down

011 Down

100 ...0 Down

...1 Up

101 Up

110 Up

111 Up

Übersicht zu Round‐to‐Nearest

(25)

Beispiel für die Genauigkeitssteigerung

Wir betrachten 8‐Bit Mantissen. Zu addieren sei:

1,100 0110 * 2⁶ (dezimal = 99,0000) + 1,011 1010 * 2² (dezimal = 5,8125) (Summe dezimal = 104,8125) Das Mantissen‐Alignment und GRS‐Bits kennen wir schon, also:

Rechnung: Mantisse|GRS Mantisse 11000110|000 11000110 + 00001011|101 + 00001011 --- --- 11010001|101 11010001 Rundung: 11010010 ohne 11010001

Ergebnis: 1,1010010 * 2⁶ 1,1010001 * 2⁶ Dezimal : 105,0 104,5

Also hat man mit GRS‐Bits und Rundung einen Abstand von 105,0 –