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Phasen¨ubergang 2

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Academic year: 2022

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(1)

Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08

Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung

Dr. M. Greiter Blatt 11

1. Phasen¨ubergang 2. Ordnung (3 Punkte)

(a) Aus Blatt 10 wissen wir:

Z1 = XS

m=−S

e(β zJ m)m= sinh r2S+12

sinh r12 , r = zJ kTm

Wir m¨ussen also entwickeln:

sinh(x) =x+ x3 3! + x5

5! +O(x7)

⇒ ln(sinh(x)) = ln x

+ ln 1 + x2 3! +x4

5! +O(x6) ln(1 +z) =z−z2

2 +O(z3)

ln(sinh(x)) = ln(x) + x2 3! + x4

5! +O(x6)

− 1 2

x2 3! +x4

5! +O(x6)2

+ O(z3)

| {z }

=O(x6)

= ln(x) + x2 3! + x4

5! +O(x6)

− 1 2

x4 3! 3!

+ O(x6)

= ln(x) + x2

3! + x4 1

5!− 1 2 3! 3!

⇒ ln(sinh(x)) = ln(x) +x2 6 − x4

180 +O(x6) Damit ergibt sich

ln(Z1) = ln sinh(r2S+ 1 2 )

− ln sinh(r1 2)

= ln(2S+ 1) +r2 6

2S+ 1 2

2

− 1

2 2

| {z }

=S(S+ 1)

− r4 180

2S+ 1 2

4

− 1

2 4

Die zweite Klammer l¨aßt sich noch umschreiben:

2S+ 1 2

4

− 1

2 4

= 2S+ 1

2 2

− 1

2

2

2S+ 1 2

2

+ 1

2 2

= S(S+ 1) [S(S+ 1) + 1/2 ]

(2)

Die freie Energie sieht damit so aus, r= kTzJm wieder eingesetzt:

F(m) = NzJ1

2m2 −kT

zJ ln(Z1)

= NzJ1

2m2 −kT

zJ ln(2S+ 1)−1 2m2zJ

kT

S(S+ 1)

3 +

+1

4m4(zJ)3 (kT)3

S(S+ 1)

45 [S(S+ 1) + 1/2 ] Der Term ∼m2:

1 2m2

1− zJ kT

S(S+ 1) 3

= 1

2m2 T − zJk S(S+1)

3

T

!

= 1 2m2

T −TN

T

mit

kTN =zJS(S+ 1) 3

Vergleiche TN mit Blatt 10, Aufg. 1 d) !

F¨ur T ≃TN kann ¨uberall, wo T nur als Vorfaktor eingeht, T =TN ersetzt werden, also ¨uberall, außer in (T −TN) . Damit wird auch

kT

zJ → kTN

zJ = S(S+ 1) 3

⇒ F(m) =NzJ1 2

T −TN

TN

m2 + 1

4bm4 − S(S+ 1)

3 ln(2S+ 1) mit

b= (zJ)3 (kTN)3

S(S+ 1)

45 [S(S+ 1) + 1/2 ] ⇒ b= 1 5

S(S+ 1) + 1/2 S2(S+ 1)2

Die Entwicklung bis zur Ordnung∼m4ist n¨otig, damit das System auch f¨urT < TN

stabil bleibt, wenn der Vorfaktor vorm2 negativ wird. Daf¨ur ist es auch notwendig, alle Terme ∼ m4 bzw. ∼ x4 in der Entwicklung von ln(sinh(x)) mitzunehmen, da sonst das Vorzeichen von b >0 nicht richtig rauskommt.

(b) Skizze: siehe Skript, S. 91 . Minimum der freien Energie:

∂F(m)

∂m

T

= 0 =NzJ T −TN TN

m + bm3 Es gibt also zwei L¨osungen:m = 0 und

bm2 = TN −T TN

falls T < TN

F¨ur T < TN ist offenbar F kleiner, wenn m endlich ist, also:

⇒ m(T) =

( T > TN : 0 T < TN : ±

TN−T b TN

1/2

(3)

Der Ordnungsparameter zeigt am Phasen¨ubergang das f¨ur Molekularfeldtheorien typische √ -Verhalten, m(T) ∝ √

TN −T . Aufgrund der in a) gemachten Ent- wicklung gilt dieses Ergebnis nur f¨ur T ≃TN.

2. Phasen¨ubergang 1. Ordnung (4 Punkte)

(a) Gleichgewichtswert vonγ (Gleichgewicht eigentlich nur, wenn auchηbestimmt und eingesetzt wird ...):

∂F

∂γ = 0 =dη+gγ , γ =−d

gη , F(η) =a(T −T0)η−[ d2 2g −b]

| {z }

=: ˜b

η2+cη3

Qualitativer Verlauf vonF(η) :

T= gross

T= klein T~Tc

−30

−20

−10 0 10 20 30 40 50

0 1 2 3 4 5

(Beachte: nach Definition ist η=|P|2 ≥0 .)

Man sieht: f¨ur große Temperatur gibt es ein Minimum beiη = 0 , f¨ur kleineT eines bei einem endlichen η0 > 0 , und bei einer bestimmten Temperatur Tc dazwischen entarten gerade die Minima, F(η0) = F(0) . Von T > Tc kommend wird also der Ordnungsparameterηvonη= 0 zuη=η0 springen⇔Phasen¨ubergang 1. Ordnung beiTc.

(b) F¨ur Tc brauchen wir den Wert η0 des Ordnungsparameters, also die Position des Minimums beiη >0 :

∂F

∂η = 0 =a(T −T0)−2˜bη+ 3cη2 ⇒ η±= ˜b 3c

"

1± r

1− 3ac

˜b2 (T −T0)

#

Zweite Ableitung:

2F

2η

η±

= (−2˜b+ 6cη±) =±2˜b√. . .

D.h.,η0+ ist das Minimum, und η0+ ist der Gleichgewichtswert, den η f¨ur T < Tc annimmt.

(4)

Tc folgt nun aus der Bedingung, daß die beiden Minima bei η = 0 und η = η+

entarten, d.h.,

0 =F(0) =F(η+) =h

a(T −T0)−˜bη++cη+2 i η+

Jetzt muß manη+ einsetzen, oder z.B. (T −T0) durch η+ ausdr¨ucken → F(η+) =h

(2˜bη+−3cη2+)−˜bη++cη2+i

η+ = [ ˜b−2cη+2+= 0 → ˜b= 2c η+(Tc) Einsetzen vonη+:

⇒ ˜b = 2c˜b 3c

1 +√. . . 1

2 = √. . . 1

4 = 1− 3ac

˜b2 (Tc −T0)

⇒ (Tc −T0) = ˜b2 4ac

⇒ Tc =T0+ ˜b2 4ac Verlauf von η(T) :

T =Tc −δ : η(T) =η+(Tc) T =Tc +δ : η(T) = 0

→ η(T)|T≃Tc+(Tc) Θ(Tc−T) = ˜b

2cΘ(Tc−T) Verlauf von γ(T) :

γ =−d

gη → γ(T)|T≃Tc =− d˜b

2cg Θ(Tc−T) (c) Latente W¨arme:

Ql =T ∆S , ∆S =S(T =Tc+δ)−S(T =Tc −δ)≡S>−S<

Entropie: Die T-Abh¨angigkeit von η muß mitgenommen werden, denn aus dem freie Energiefunktional F(T, η) wird die physikalische freie Energie F(T, η(T)) im Gleichgewicht erst durch Einsetzen des Gleichgewichtswertes η(T) .

S=−∂F

∂T =− ∂F

∂η

T

∂η

∂T − ∂F

∂T

η

T =Tc +δ : η(T) = 0 f¨ur alle T > Tc → F(T)≡0 → S>= 0 T =Tc−δ : η(T) = η+(T) ,

∂F

∂η

T

= ∂F

∂η

η+

= 0 ,

∂F

∂T

η

= ∂F

∂T

η+

=aη+

Damit folgt

T =Tc−δ : S< =−aη+(Tc) , η+(Tc) = ˜b

2c von oben ⇒ Ql =Tc

a˜b 2c

(5)

3. Gas harter Kugeln in einer Dimension (3 Punkte) (a) Die N Kugeln sind in der Reihenfolge 1,2, . . . , N von links nach rechts auf der Achse angeordnet. Die Kugelmittelpunkte haben die Koordinaten x1, x2, . . . , xN. Die Zustandssumme im klassischen Grenzfall (Vorlesung) lautet

ZKkl = Z

−∞

dp1· · ·dpN

(2π~)N exp[− XN

i=1

p2i 2mkT ]

Z

−∞

dx1· · ·dxN exp[− 1

kTV({xi}) ] Der kinetische Anteil ist wie ¨ublich

Z

−∞

dp

2π~e−p2/2mkT =

rmkT 2π~2 ≡ 1

λT

Im Potentialanteil schr¨ankt V lediglich die Integrationsgrenzen ein: Wenn x ∈ [−r, L+r] erlaubt ist, d¨urfen sich die Kugelmittelpunkte im Intervall xi ∈ [ 0, L] aufhalten, falls nicht andere Kugeln im Weg sind, also:

N = 1 : Z

−∞

dx e−V(x)/kT = ZL

0

dx

N = 2 : Z

−∞

dx1dx2e−V(x1,x2)/kT = ZL

2r

dx2 xZ2−2r

0

dx1

N = 3 : Z

−∞

dx1dx2dx3e−V(x1,x2,x3)/kT = ZL

2(2r)

dx3 xZ3−2r

1(2r)

dx2 xZ2−2r

0

dx1

N =N : Z

−∞

dx1· · ·dxNe−V({xi})/kT

= ZL

(N−1)2r

dxN

xN−2r

Z

(N−2)2r

dxN−1

xN−1−2r

Z

(N−3)2r

dxN−2 · · ·

x3−2r

Z

2r

dx2 x2−2r

Z

0

dx1

Nun ist es noch hilfreich, neue Integrationsvariablen einzuf¨uhren, yi =xi−(i−1)2r, also

y1 =x1 , y2 =x2−2r , y3 =x3−2 (2r) , . . . , yN =xN −(N −1)2r

(6)

damit folgt

ZKkl = 1

λT

N L−(N−1)2r

Z

0

dyN yN

Z

0

dyN−1 · · ·

y5

Z

0

dy4 y4

Z

0

dy3 y3

Z

0

dy2 y2

Z

0

dy1

| {z }

= 1 1y2

| {z }

= 1 2y32

| {z }

= 1 2

1 3y43

| {z }

= 1 2 1 3

1 4y54

| {z }

= 1

N![L−(N−1)2r]N Resultat:

ZKkl(T, L, N) = 1

λT

N

[L−(N −1)2r]N N!

(b) Die freie Energie ist dann (mit Stirling) F(T, L, N) =−kTln(Zkkl) =NkT

ln

λT L−(N −1)2r

+ ln(N)−1

Und der Druck bzw. die Zustandsgleichung lauten p=−

∂F

∂L

T,N

=NkT ∂

∂Lln[L−(N−1)2r] , pL˜ =NkT , L˜=L−(N −1)2r Dies ist also die ¨ubliche ideale Gas-Gleichung in 1 Dimension, mit einem “Kovolu- men”, das die Einschr¨ankung des “Raumes” durch die anderen Kugeln beschreibt, analog zur van der Waals-Gleichung.

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