24.1Di ↵ erentialgleichungenundLokalit¨atsprin-zip ↵ erentialgleichungen Kapitel24PartielleDi

(1)

K a pi te l 2 4

P a rt ie lle D i ↵ e re n ti a lg le ic h ung e n

2 4 .1 D i ↵ e re n ti a lg le ic h ung e n und L o k a lit

zi p ¨a ts pr in-

VieleNaturgesetzewerdeninFormvonDi↵erentialgleichungenformuliert,denkenSienurandiegew

schenPrinzip,demLokalit DieVorherrschaftderDi↵erentialgleichungenberuhtaufeinemwichtigenphysikali- dieSieindenExperimentalphysikvorlesungenzurElektrodynamikgesehenhaben. diediePunktmechanikregieren,oderdiepartiellenDi↵erentialgleichungen(PDGL), ¨ohnlichenDi↵erentialgleichunge(DGL)ausdemWintersemester,

bereitsvollst¨andigdurchdieVerh ¨atsprinzip.NachdiesemPrinzipistdas“HierundJetzt”

Vergangenheitbestimmt.DiesePrinziperstmachtesm ¨altnissedernahenUmgebunginderunmittelbaren

¨oglic

h,voneinemTeilchen,allgemeinereinem“System”zureden,undNaturgesetzezuformulieren.

BetrachtenwirzurIllustrationeinPunktteilchenineinerr¨aumlichenDimension,das

cMartinWilkens2896.Juni2019

(2)

290PartielleDi↵erentialgleichungen

sichunterdemEinflusseinerkonservativenKraftFbewegt.DieHamilton’schenBewegungsgleichunge

˙q= pm ,(24.1)

˙p=F(q).(24.2)

werdengel¨ost

q(t)=q(tt)+ p(tt)m t(24.3)

p(t)=p(tt)+F(q(tt))t(24.4)

O↵ensichtlichwirdderZustandjetzt,charakterisiertdurchdasPaar(p(t),q(t)),vomZustand(p(tt),q(t))unddenlokalenBedingungen(p/m,F(q))derunmittelbarenVergangenheitvollst¨andigbestimmt.

DieFelder,dieSieinderExperimentalphysikkennengelernthaben,sindSystememit“unendlichvielenFreiheitsgraden”:anjedemRaumpunkt(x,y,z)befindetsichzujedemZeitpunkttein“elektrischer(Vektor)”~E(x,y,z,t)oder

¨ahnlic

hes,unddieBewegungsgleichungenwerdenzupartiellenDi↵erentialgleichungen(PDGL).Einsch

¨ones

Beispielvermitteltdie(homogene)WellengleichungderdaselektrischePotentialimVakuumgen

¨ugt,

1c2 @ 2

@t2 (x,y,z,t)(x,y,z,t)=0(24.5)

Auchhierl¨asstsichdasLokalit

¨atsprinzip

ablesen.Der“Zustand”desFeldesist,zujedemZeitpunktt,durchAngabezweierFelderbestimmt,n

¨amlic

h(x,y,z,t)und⇡(x,y,z,t):= @@t(x,y,z,t).Gem

etwaswiedie“Kr NachbarschaftinderunmittelbareVergangenheittt(manbeachte,dassso und⇡“JetztundHier”vollst¨andigbestimmtdurchdieFeldwertederunmittelbaren ¨aßWellengleichungsinddieFeldwertevon

¨umm

ung”derPotentialfunktionbeschreibt–unddasisteinelokaleGr¨oße...).

6.Juni2019290cMartinWilkens

(3)

24.2EinZoovonpartiellenDi↵erentialgleichungen291

2 4 .2 E in Z o o v o n pa rt ie lle n D i ↵ e re n ti a lg le ic h un- gen

AndereBeispielevonpartiellenDi↵erentialgleichungensind,nebenderhomogenenWellengleichung

inhomogeneWellengleichung 1c2 @ 2(x,t)@t2 (x,t)=j(x,t)(24.6) W¨armeleitungsgleichung @T(x,t)@t =T(x,t)(24.7)

Schr¨odingergleichungi~ @(x,t)@t = ~ 2

2m (x,t)+V(v)(x,t)(24.8)

Klein-GordonGleichung 1c2 @ 2(x,t)@t2 (x,t)+ m 2c 2~2 (x,t)=0(24.9)

Korteweg-deVriesGleichung @@t + @@x + @ 3

@x3 =0.(24.10)

JededieserGleichungenhati.A.unendlichvieleL

¨osungen.

ErstdurchVorgabevonNebenbedingungen,meistinFormsogRand-undAnfangswerte,wirddieL

¨osung

eindeutigbestimmt.ImRahmenderTheoriepartiellerDi↵erentialgleichungenwirdgekl

¨art(i)unterwelchenBedingungeneineeindeutigeL

mandieseL ¨osungexistiert,und(ii)wie

¨osung

methodischfindet.

DiePDGL()–()sindvomTyp“linearhomogen”,diePDGL()vomTyp“linearinhomogen”,unddiePDGL()istschlichtnichtlinear.VonwenigenAusnahmenabgesehensindnichtlilnearePDGLschwierigbisunm

¨oglic

hzul¨osen(manistaufN

¨aherungsverfahrenangewiesen).Hierkonzentrierenwirunszun

renhomogenenPDGL. ¨achstaufdielinea-

Linearit

¨at

bedeutetdabei,dassmit1und2L

¨osungen

istauchdieSumme↵1+

(4)

2L

¨osung.

InderPhysikheißtdiesedasSuperpositionsprinzip.DasSuperpsoti-onsprinzipspielteinehervorragendeRolleinderElektrodynamik,derWellenoptik,aberauchderQuantenmechanik.

2 4 .3 1 D W e lle ng le ic h ung (Sc h w ing e nde Sa it e o .¨a)

WirbetrachteneineSaitemitlinearerMassendichteµ(MasseproL

¨ange),

dieent-langderX-Achseausgelegtist,undunterSpannungTgehaltenwird.Kleinetrans-versaleAuslenkungeny(x,t)derSaitegen

¨uge

nder1DWellengleichung,

1c2 @ 2y(x,t)@t2 @ 2y(x,t)@x2 =0.(24.11)

worinc= pT/µeinecharakteristischeGeschwindigkeit.

DurcheinfachesNachrechnenbest¨atigtmanumstandslos,dass

y(x,t)=g(xct)+h(x+ct)(24.12)

f¨urbeliebigeFunktioneng,heineL

¨osung

von(24.11). 1

1DerhierauftretendeDi↵erentialoperatorl¨asstsichfaktorisieren

1c2 @2

@t2 @2

@x2 = 1c @@t @@x 1c @@t + @@x (24.13)

JedeFunktionf(xct),diederPDGL ⇥1c @@t+ @@x ⇤f=0gen

¨ugt,istauchL

c@t@xlchung(24.11).UndauchjedeFunktiong(x+ct),diederPDGLy(x,t),istL1@@ ⇥⇤ ¨osungderWellenglei-

L derWellengleichung(24.11).UnddadieWellengleichungeinelineareGleichung,istdieallgemeine ¨osung

¨osungvonderForm(24.12).

(5)

24.31DWellengleichung(SchwingendeSaiteo.¨a)293

DieFunktiongbeschreibteinennachrechtslaufendenPuls,durchhwirdeinenachlinkslaufenderPulsbeschrieben.Charakteristischef¨urdieWellengleichungist,dassdiebeidenPulsegundhihrejeweiligeFormimLaufederZeitbeibehalten.

Einevollst

¨andige

CharakterisierungderphysikalischenSachlageimpliziertgewisseEinschr¨ankungen,denendieL

¨osungen

gen

¨uge

nm

bedingungen ¨ussen.ManunterscheidetRand-

(a)DieSaiteistbeix=0undx=lfesteingespannt,

y(x=0,t)=y(x=l,t)=0,(24.14)

sogEinspannbedingung.

(b)DieSaiteistbeix=0festeingespannt,aberbeix=lo↵en,d.h.transversalfreibeweglichundkr¨aftefrei,

y(x=0,t)=0, @y(x,t)@xx=l =0.(24.15)

(c)DieSaiteistanbeidenEnden“o↵en”

@y(x,t)@xx=0 =0= @y(x,t)@xx=l .(24.16)

(d)KeinerleiEinschr

¨ankungen

(lediglichgewisseEinschr

chen”) ¨ankungen“imUnendli-

ImVerbundmitdenRandbedingungenerh

¨alt

maneineeindeutigeL

¨osung

durchVorgabesogAnfangsbedingungen.ZumZeitpunktt=0seienbeispielsweisedieAuslenkungunddieSchnellegegeben,

y(x,t=0)=f(x)+g(x),˙y(x,t=0)=cg 0+ch 0,(24.17)

(6)

woderStrichdieAbleitungnachdemArgumentbedeutet.F

beispielsweise,˙y(x,t=0)=0,undy(x,t=0)eine“Zeltfunktion”. ¨urdiegezupfteSaite,

GesuchtistdiejenigeFunktiony(x,t)welche(i)dieSchwingungsgleichung(24.11)untereinerderRandbedingungen(24.14–24.16)erf

gungen(24.17)gen ¨ullt,und(ii)denAnfangsbedin-

¨ugt.

Aprioriisthiernichtklar,obeinesolcheFunktion

¨ub

erhauptexistiert,oderobesgarmehrereFunktionengibtdiedieseAufgabel¨osen.DieTheoriederPDGLsichertnunaberdieExistenzundEindeutigkeit,sodasswirunshieraufdieKonstruktionderL

¨osung

konzentrierenk

¨onnen.

Wirignorierenzun

¨achstdasAnfangswertproblem(AWP)undsuchenL

¨osungen,

dielediglichderRandbedingunggen

¨ugen.AusdiesenL

¨osungen

bildenwirimzwei-tenSchrittgeeigneteLinearkombinationensodassschließlichnichtnurdieRand-sondernauchdieAnfangsbedingungenerf¨ulltsind.

2 4 .4 T re nn ung de r V a ri a bl e

WirkonzentrierenunshieraufdasRandwertproblemderbeidseitigeingesapnntenSaite,(24.14).WirbenutzeneinensogSeparationsansatzy(x,t)=(x)(t),auchgenanntTrennungderVariable.EinsetzenindieWellengleichung(24.11)f

¨uhrt

zun

¨achstaufc¨=0.NachDivisiondurchyerh 200

¨alt

manc 2¨(t)(t) 00(x)(x)=0.DerersteSummandisthiereineFunktionvont,derzweiteeineFunktionvonx.SubtrahiertsolldasNullsein,wasnurgehtwennbeideSummandenbisaufdasVorzeichendiegleicheKonstantesogSeparationskonstante.Schematisch

(7)

24.4TrennungderVariable295

1c2 @ 2y(x,t)@t2 @ 2y(x,t)@x2 =0

···y(x=0,t)=y(x=l,t)=0

·

?y(x,t)=(x)(t)Separationsansatz⇣⇣⇣⇣⇣⇣⇣⇣⇣⇣) PPPPPPPPPPq·

00(x)+(x)=0···(x=0)=(x=l)=0 ·

¨(t)+c 2(t)=0···=n 2⇡ 2/l 2-

InbeidenKistengilteseinegew

¨ohnlic

heDi↵erentialgleichungzul¨osen.DieDi↵e-rentialgleichungensehenzwargleichaus,spielenabereinedurchausunterschiedlicheRolle.DieSeparationskonstantegiltesschließlichauchzubestimmen,unddasgeschiehtinderlinkenKiste.

DielinkeKistestelltdasEigenwertproblemdesDi↵erentialoperatorsL:= d2

dx2auf

(8)

D:={2C 2|(0)=(l)=0}.DieL

¨osung

diesesEigenwertproblemslautet

n= n 2⇡ 2

l2 ,n=1,2,...;(24.18)

n(x)/sin(knx),kn⌘ p

n= n⇡l .(24.19)

NachdeminderlinkenKistedurchdieRandbedingungenderWertebereichderbestimmtwurde,wendenwirunsderrechtenKistezu.Hierhandeltessicho↵enbarumdieBewegungsgleichungeinesharmonischenOszillatorsmitEigenfrequenz!n=ckn.F

¨ur

festesnkannsin(!nt),cos(!nt)(24.20)

alsFundamentalsystemdienen.

Zusammenfassendstellenwirfest,dassjedederFunktionen

yn(x,t)=[ancos(!nt)+bnsin(!nt)]sin(knx),n=1,2,...(24.21)

dasRandwertproblem(??)–(??)l

¨ost.

24.5 L

¨o sung de s A nf a ng sw e rt pr o bl e m s

AufgrunddesSeperationsansatzessinddie(24.21)immernochsehrspezielleL

¨osun-

gen.EntsprechendsinddieAnfangsauslenkungundAnfangsgeschwindigkeitkeines-wegsbeliebigvorschreibbarwiein(24.17)gefordert.

WegenderLinearit

¨at

derWellengleichungsindallerdingsauchbeliebigeSummenderyn,y(x,t)= X

n [ancos(!nt)+bnsin(!nt)]sin(knx)(24.22)

(9)

24.5L

¨osungdesAnfangswertproblems297

sogLinearkombinationen,wiederumL

¨osungen

derRandwertproblems,auchwenndieseLinearkombinationendannimAllgemeinennichtmehrseparierbarsind.F

¨ur

vorgeschriebenenAnfangsbedingungen(24.17)m

sogew nn¨ussendieKoeffizientena,bnur

¨ahlt

werden,dass

y(x,0)⌘ X

n ansin(knx)=f(x),(24.23)

˙y(x,0)⌘ X

n !nbnsin(knx)=g(x).(24.24)

Diean,bnsindalsonichtanderesalsdieFourierkoeffizientenderEntwicklungderFunktionenf(x),g(x)ineinerFourierreihe(hier:Sinus-Fourierreihe).

(10)

24.6 ¨U bung e n

.Aufgabe24-1dupa

DieschwingendeSaitevermitteltaucheinsch

theorie.Wirerinnernuns.F ¨onesBeispieleinereinfachenFeld-

¨ur

einFeldy(x,t)erh

¨alt

mandieFeldgleichungausdemPrinzipderkleinstenWirkung

S=0,(24.25)

wobei

S[y]:= Zt1

t0 L[y,˙y]dt(24.26)

dasWirkungsfunktional,

L[y,˙y]:= ZL(y,˙y,y 0)dx(24.27)

einLagrangefunktional,undL(y,˙y,y 0)sogLagrandgedichte.

(a)ZeigenSiedasssichdieWellengleichungausdemPrinzipderkleinstenWir-kungmitLagrangedichte

L:= 12c2 ˙y 212 y 02.(24.28)

ergeben,

S=0) 1c2 ¨yy 00=0.(24.29)

SeinuninAnalogiezurPunktmechanik

⇡(x,t):= L˙y(x,t) (24.30)

(11)

24.6¨Ubungen299

daszuykanonischkonjugiertFeld(“kanonischkonjugiertesImpulsfeld”),und

H[y,⇡]:= Z⇡˙ydxL[y,˙y](24.31)

dasHamiltonfunktional.Dannk

¨onnen

dieFeldgleichungenstatt

¨ub

erdasPrinzipderkleinstenWirkungauchHamilton’schformuliertwerden,

˙y(x,t)= H⇡(x,t) ,(24.32)

˙⇡(x,t)= Hy(x,t) .(24.33)

DieHamiltonscheFormulierungist

sondernbleibenganzklassisch. kanonischeQuantisierungeinerFeldtheorie.Quantisierentunwirhierabernichts, ¨ublicherweisederAusgangspunktf¨urdiesog

(b)ZeigenSie,dasssichausdemLagrangefunktionalderWellengleichung()dasfolgendeHamiltonfunktionalergibt,

H[y,⇡]= ZHdx,H= c 2

2 ⇡ 2+ 12 y 02.(24.34)

unddieHamilton’schenBewegungsgleichungenlauten

˙y=c 2⇡,(24.35)˙⇡=y 00.(24.36)

¨UberzeugenSiesichdavon,dassdasv

¨ollig

¨aquiv

alentderWellengleichung.

(12)

DieWellengleichungisteinepartielleDi↵erentialgleichung;diezeitlichenAbleitun-gensinddabeif¨urdiezeitlicheEntwicklung,mansagtauchPropagation,desFeldesverantwortlich.Dier¨aumlichenAbleitungenverkn

¨upf

endieFeldwertebeixmitdenWerteneinerinfinitesimalenNachbarschaft.

R¨aumlicheAlbeitungen

¨ub

ersetzensichunterderFouriertransformationindiestriktlokaleMultiplikationmiteinerWellenzahl–auspartiellenDGLwerdengew

¨ohnlic

heDGLinderVariablenZeit.

WegenderEinspannbedingungy(x=0,t)=y(x=l,t)=0,diejaf¨uralleZeitengeltensoll,k

¨onnen

dieFeldery(x,t)und⇡(x,t)unsererschwingendenSaiteimmernachSinusfunktionenentwickeltwerden,

y(x,t)= r2l X

n yn(t)sinknx,kn= n⇡l ,n=1,2,...,(24.37)

⇡(x,t)= r2l X

n pn(t)sinknx.(24.38)

Setztman()–()indenAusdruckf¨urdasHamiltonfunktionalein,ber

derIntegrationdieOrthonormalit ¨ucksichtigtbei

¨atsb

eziehung,findetman

H= X

n c 2p 2n2 + ! 2n2c2 y 2n,!n⌘ckn=n ⇡cl .(24.39)

JederTermindieserSummesiehtnichtnursoaus,sondernistinderTatdieHa-miltonfunktioneinesharmonischenOszillatorsmit“Masse”c 2undEigenfrequenz!n.DieSaite–nichtsalseineMengevonungekoppeltenharmonischenOszillatoren!Aus()leitetmanleichtdieHamilton’schenBewegungsgleichungenab,

˙yn=c 2pn,˙pn= ! 2nc2 yn,n=1,2,....(24.40)

(13)

24.6¨Ubungen301

ZumgleichenResultatgelangtman,wennmandieBewegungsgleichungen()direkt–imSinnevon()–Fouriertransformiert.

Stattder(¨uberabz

punktxeine, ¨ahlbar)unendlichvielenAmplitudeny(x,t),f¨urjedenRaum-

¨ub

ernehmenjetztdie(abz

einer“komplizierten”partiellenDi↵erentialgleichunghabenwiresnunmitgew ny(t),sogNormalkoordinaten,dieRollederdynamischenFreiheitsgrade.Stattmit ¨ahlbar)unendlichvielenFourierkoeffizienten

¨ohn-

lichenDi↵erentialgleichungenzutundieobendreinbesonderseinfachzul¨osensind.GelobtseiJosephFourier(1768–1830)derunsalsMathematiker,IngenieurundPo-litikerunterNapoleondurchseinBuchLaTheorieanalytiquedelachaleur(1822)die“BibeldesmathematischenPhysikers”(ArnoldSommerfeld)bescherthat!

Nachdiesenausf

¨uhrlic

henVorbemerkungenhabenSiesicherlichnichtsdagegensel-bernochetwaszurechnen.

(c)AusdemBerlinerSymphonieorchestererreichtSiedieAnfrage,anwelcherStelleeineSaitegezupftwerdensoll,umm

beimZupfenaufgebrachtwerdenkann,durchausbeschr¨anktist. drittenObertonzuerzielen.MitgeteiltwirdIhnenauch,dassdieKraftdie ¨oglichstvielBetonungaufdem

Tja,nunsindSiedran....

(14)