ViscositysolutionsapproachtoeconomicmodelsgovernedbyDDEs Fabbri,Giorgio MunichPersonalRePEcArchive

Munich Personal RePEc Archive

Viscosity solutions approach to economic models governed by DDEs

Fabbri, Giorgio

2006

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/2826/

MPRA Paper No. 2826, posted 19 Apr 2007 UTC

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✇✐❧❧ ✉s❡ t♦ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ♦✉r ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✸ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡

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❙❡❝t✐♦♥ ✺ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥

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❡q✉❛t✐♦♥✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✻ ✇❡ ❣✐✈❡ ❛ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t ✭❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✹✮ ✉s✐♥❣

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❆❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡♠❡♥ts ■ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ t❤❛♥❦ ❛ ❧♦t ❙✐❧✈✐❛ ❋❛❣❣✐❛♥ ❛♥❞

❋❛✉st♦ ●♦③③✐ ❢♦r t❤❡ ♠❛♥② ✉s❡❢✉❧ s✉❣❣❡st✐♦♥s✳ ❚❤❛♥❦s t♦ ❱❧❛❞✐♠✐r ❱❡❧✐♦✈

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✷ ❉❡♠♦❣r❛♣❤✐❝ ❛♥❞ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ♠♦❞❡❧s

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❧✐♥❡❛r ❞❡❧❛② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭▲❉❉❊s✮✳ ▲❉❉❊s ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ ❛

❧❛r❣❡ ✈❛r✐❡t② ♦❢ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✳ ❙②st❡♠s ♦❢ s✉❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ♣♦ss✐❜❧② ❝♦♠❜✐♥❡❞

✇✐t❤ ♦t❤❡r t②♣❡s ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛r✐s❡ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ ♠♦❞❡❧❧✐♥❣ t❤❡

❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ ❡♣✐❞❡♠✐❝s ✭❍❡t❤❝♦t❡ ❛♥❞ ✈❛♥ ❞❡♥ ❉r✐❡ss❝❤❡✱ ✶✾✾✺❀ ✷✵✵✵❀ ❙♠✐t❤✱

✶✾✽✸❀ ❲❛❧t♠❛♥✱ ✶✾✼✹✮ ❛♥❞ ✐♥ ❜✐♦♠❡❞✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s ✭❇❛❝❤❛r ❛♥❞ ❉♦r❢♠❛②r✱

✷✵✵✹❀ ❈✉❧s❤❛✇ ❛♥❞ ❘✉❛♥✱ ✷✵✵✵✮ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ▲✉③②❛♥✐♥❛ ❡t ❛❧✳✱ ✷✵✵✹✱ ❢♦r ❛

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✐♠♠✉♥♦❧♦❣② ❛♥❞ ♣❤②s✐♦❧♦❣② ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❇♦❝❤❛r♦✈❛ ❛♥❞ ❘✐❤❛♥❜ ✭✷✵✵✵✮

❛♥❞ ❇❛❦❡r ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✾✮✳

❚❤❡ ❍✐❧❜❡rt s❡tt✐♥❣ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ❝❛♥ ❜❡ ❛❧s♦ ✉s❡❞ t♦ tr❡❛t ♠✉❧t✐❞✐♠❡♥✲

s✐♦♥❛❧ ❧✐♥❡❛r ❞❡❧❛② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ s②st❡♠s ❛♥❞ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❛t✐♦♥s ♦❢

♠♦❞❡❧s ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② ❉❉❊s ♥❡❛r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣♦✐♥ts ✭▲✐ ❛♥❞ ▼❛✱ ✷✵✵✹✱ ♣❛❣❡

✶✷✸✹✮✳

✷✳✶ ❚❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❡①❛♠♣❧❡s

■♥ t❤✐s s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❜r✐❡✢② r❡❝❛❧❧ t❤r❡❡ ❡❝♦♥♦♠✐❝ ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡② ❛r❡ ♦✉r ♠❛✐♥

❡①❛♠♣❧❡s ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡♠ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ t❤❡ ✏r✐❣❤t✑

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t❤❡② ❛r❡ ❢♦r♠❛❧❧② ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ s♦♠❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡ ✜rst

✐s ❛♥AK✲♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ✈✐♥t❛❣❡ ❝❛♣✐t❛❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮✱

t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐s ❛♥ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❞❡❧❛② ❡✛❡❝ts ❜② ●♦③③✐ ❛♥❞ ▼❛r✐♥❡❧❧✐

✭✷✵✵✹✮❀ ●♦③③✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮❀ ❋❛❣❣✐❛♥ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✹✮ ❛♥❞ t❤❡ t❤✐r❞ ✐s ❛♥

❆❑ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ♦❜s♦❧❡s❝❡♥❝❡ ❛♥❞ ❞❡♣r❡❝✐❛t✐♦♥ ❜② ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮✳

✻❆s ✇❡ ❛❧r❡❛❞② r❡❝❛❧❧❡❞ ✐t ✐s ❞✉❡ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t♦ t♦ ❱✐♥t❡r ❛♥❞ ❑✇♦♥❣ ✭✶✾✽✶✮ ❛♥❞

❉❡❧❢♦✉r ✭✶✾✽✻❀ ✶✾✽✵❀ ✶✾✽✹✮✳

✺

✷✳✶✳✶ ❆♥ ❆❑ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ✈✐♥t❛❣❡ ❝❛♣✐t❛❧

❚❤❡ ❆❑✲❣r♦✇t❤ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ✈✐♥t❛❣❡ ❝❛♣✐t❛❧ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✺✮ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❧❛✇ ❢♦r ❝❛♣✐t❛❧ ❣♦♦❞s k(s) =

Z s s−R

i(τ)dτ

✇❤❡r❡i(τ) ✐s t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛t t✐♠❡ τ✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❝❛♣✐t❛❧ ❣♦♦❞s ❛r❡ ❛❝❝✉♠✉✲

❧❛t❡❞ ❢♦r t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t✐♠❡R ✭s❝r❛♣♣✐♥❣ t✐♠❡✮ ❛♥❞ t❤❡♥ ❞✐s♠✐ss❡❞✳ ■t ✐s t♦

♥♦t❡ t❤❛t s✉❝❤ ❛♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ✐♥ ✐♥✈❡st♠❡♥ts t❤❛t

❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡✐r ❛❣❡✳ ■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ ❛ ❧✐♥❡❛r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❛t ✐s y(s) =ak(s)

❢♦r s♦♠❡ ❝♦♥st❛♥t a > 0 ✇❤❡r❡ y(s) ✐s t❤❡ ♦✉t♣✉t ❛t t✐♠❡ s✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡

t❤❛t ❛t ❡✈❡r② t✐♠❡ s t❤❡ ♣❧❛♥♥❡r ❝❤♦♦s❡s ❤♦✇ t♦ s♣❧✐t t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥t♦

❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ c(s)❛♥❞ ✐♥✈❡st♠❡♥t ✐♥ ♥❡✇ ❝❛♣✐t❛❧ i(s)✿ y(s) =c(s) +i(s),

t❤❡♥ t❤❡ st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠❛② ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥t♦ ✐♥✜♥✐t❡s✐♠❛❧ t❡r♠s ❛s ❢♦❧❧♦✇s k(s) =˙ i(s)−i(s−R), s∈[0,+∞)

t❤❛t ✐s✱ ❛s ❛ ▲❉❉❊✳ ❚❤❡ s♦❝✐❛❧ ♣❧❛♥♥❡r ❤❛s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝✲

t✐♦♥❛❧

Z +∞

0

e^−ρsc(s)^1−σ 1−σ ds=

Z +∞

0

e^−ρs(ak(s)−i(s))^1−σ

1−σ ds ✭✶✮

❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛t t✐♠❡ s ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛t t✐♠❡ s

❝❛♥♥♦t ❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✿

i(s)≥0, c(s)≥0, ∀s∈[t, T] ✭✷✮

❙♦ t❤❡ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ s❡t ❤❛s t❤❡ ❢♦r♠✿

A^def= {i(·)∈L²_loc([0,+∞),R) : 0≤i(s)≤ak(s)a.e. in [0,+∞)}.

✷✳✶✳✷ ❆♥ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❞❡❧❛② ❡✛❡❝ts

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞②♥❛♠✐❝ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ ♠♦❞❡❧ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ st♦❝❤❛s✲

t✐❝ ❝❛s❡ ❜② ●♦③③✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ❛♥❞ ❜② ●♦③③✐ ❛♥❞ ▼❛r✐♥❡❧❧✐ ✭✷✵✵✹✮✱ ❛♥❞✱ ✐♥

❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♦♥❡✱ ❜② ❋❛❣❣✐❛♥ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✹✮ ✭s❡❡ ❛❧s♦ ❋❡✐❝❤t✐♥❣❡r ❡t ❛❧✳

✭✶✾✾✹✮ ❛♥❞ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥ ❢♦r r❡❧❛t❡❞ ♠♦❞❡❧s✮

▲❡tt≥0 ❜❡ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ t✐♠❡✱ ❛♥❞T > t❛ t❡r♠✐♥❛❧ t✐♠❡ ✭T <+∞ ❤❡r❡✮✳

▼♦r❡♦✈❡r ❧❡t γ(s)✱ ✇✐t❤ 0 ≤ t ≤ s ≤ T✱ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ st♦❝❦ ♦❢ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣

❣♦♦❞✇✐❧❧ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t t♦ ❜❡ ❧❛✉♥❝❤❡❞✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s

✻

✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❉❡❧❛② ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭❉❉❊✮ ✇✐t❤

❞❡❧❛②R >0✇❤❡r❡z ♠♦❞❡❧s t❤❡ ✐♥t❡♥s✐t② ♦❢ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ s♣❡♥❞✐♥❣✿







˙

γ(s) =a₀γ(s) +R0

−Rγ(s+ξ)da₁(ξ) +b₀z(s) +R0

−Rz(s+ξ)db₁(ξ) s∈[t, T] γ(t) =x; γ(ξ) =θ(ξ), z(ξ) =δ(ξ) ∀ξ∈[t−R, t],

✭✸✮

✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✿

• a₀ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❢❛❝t♦r ♦❢ ✐♠❛❣❡ ❞❡t❡r✐♦r❛t✐♦♥ ✐♥ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣✱

a₀ ≤0❀

• a₁(·) ✐s t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r❣❡tt✐♥❣ t✐♠❡✱ a₁(·)∈L²([−R,0];R)❀

• b₀ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ ❡✛❡❝t✐✈❡♥❡ss ❢❛❝t♦r✱b₀ ≥0❀

• b₁(·) ✐s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ ❧❛❣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣

❡①♣❡♥❞✐t✉r❡z❛♥❞ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❣♦♦❞✇✐❧❧ ❧❡✈❡❧✱b₁(·)∈ L²([−R,0];R₊)❀

• x✐s t❤❡ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❣♦♦❞✇✐❧❧ ❛t t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❛❞✈❡rt✐s✐♥❣ ❝❛♠♣❛✐❣♥✱

x≥0❀

• θ(·)❛♥❞δ(·)❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❣♦♦❞✇✐❧❧ ❛♥❞ t❤❡ s♣❡♥❞✐♥❣ r❛t❡ ❜❡❢♦r❡

t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣✱θ(·)≥0✱ ✇✐t❤θ(0) =x✱ ❛♥❞δ(·)≥0✳

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛s J(t, x;z(·)) =ϕ₀(γ(T)) +

Z T t

h₀(z(s))ds, ✭✹✮

✷✳✶✳✸ ❆ ♠♦❞❡❧ ❢♦r ♦❜s♦❧❡s❝❡♥❝❡ ❛♥❞ ❞❡♣r❡❝✐❛t✐♦♥

❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛♥ AK ♠♦❞❡❧ ❢♦r ♦❜s♦❧❡s❝❡♥❝❡ ❛♥❞ ❞❡✲

♣r❡❝✐❛t✐♦♥ t❤❛t ❛❧❧♦✇s t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ ♦❜s♦❧❡s❝❡♥❝❡ ❛♥❞ ♣❤②s✐❝❛❧ ❞❡♣r❡❝✐❛t✐♦♥✳

❚❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♥❡t ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥t❡♥❛♥❝❡ ❛♥❞ r❡♣❛✐r ❝♦sts✳

■t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❉❉❊✿

y(t) = Z t

t−R

(Ωe^−δ(t−s)−η)i(s)ds ✭✺✮

✇❤❡r❡ Ω✱ η ❛♥❞ δ ❛r❡ r❡❛❧ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥ts ❛♥❞ η = e^−δTΩ✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧

✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t i(s) t❤❛t ❤❛s t♦ s❛t✐s❢② t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t 0≤i(s)≤y(s)✳ ❚❤❡ ♣❧❛♥♥❡r ❤❛s t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧

Z _+∞

0

e^−ρs(y(s)−i(s))^1−σ

1−σ ds ✭✻✮

❢♦r s♦♠❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥tσ ❛♥❞ s♦♠❡ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦rρ✳

❘❡♠❛r❦ ✷✳✶✳ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✼❀ ✷✵✵✶✮ ✉s❡ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞ t♦

❛♣♣r♦❛❝❤ s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s✳

✼

✷✳✷ ❉❡♠♦❣r❛♣❤✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s

■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ ✇❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥s ♠❛✐♥❧② ♦♥ t❤❡ t❤r❡❡ ❡❝♦♥♦♠✐❝

❡①❛♠♣❧❡s ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜✉t✱ ❛s s❡❡♥ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✹✮✱ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ♦❢ s✉❝❤ ♠♦❞❡❧s ❛r❡ ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♦♥❡ ✉s❡❞ ✐♥ s♦♠❡

♠♦❞❡❧s t❤❛t ❞❡s❝r✐❜❡ ❞❡♠♦❣r❛♣❤✐❝ ❡✈♦❧✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡② ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❞❡♠♦❣r❛♣❤✐❝

♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❛❣❡ str✉❝t✉r❡✳ ❆t ❛♥② t✐♠❡ t✱ ❞❡♥♦t❡ ❜② h(v) t❤❡

❤✉♠❛♥ ❝❛♣✐t❛❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤♦rt ✭♦r ❣❡♥❡r❛t✐♦♥✮ ❜♦r♥ ❛t v✱ v ≤ t✳ T(t) ✐s t❤❡

t✐♠❡ s♣❡♥t ❛t s❝❤♦♦❧ ❜② ❛❧❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s♦t−T(t)✐s t❤❡ ❧❛st ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ t❤❛t

❡♥t❡r❡❞ t❤❡ ❥♦❜ ♠❛r❦❡t ❛tt✳ A(t) ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧ ❛❣❡ ❛tt❛✐♥❛❜❧❡✱ s♦t−A(t)

✐s t❤❡ ❧❛st ❣❡♥❡r❛t✐♦♥ st✐❧❧ ❛t ✇♦r❦ s♦ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ st♦❝❦ ♦❢ ❤✉♠❛♥ ❝❛♣✐t❛❧

❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛t t✐♠❡t ✐s✿

H(t) =

Z t−T(t) t−A(t)

h(v)e^nvm(t−v)dv

✇❤❡r❡✿ n✐s t❤❡ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✱ e^nv ✐s s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤♦rt ❜♦r♥ ❛t v✱ ❛♥❞m(t−v)✐s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❢♦r ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜♦r♥ ❛tv t♦ ❜❡ st✐❧❧ ❛❧✐✈❡

❛tt✳ ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✷✮ t❤❡ ❛✉t❤♦rs st✉❞② ❛ ❝❛s❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤A(t)❛♥❞

T(t)❛r❡ ❢♦✉♥❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❡①❛❝t❧② ♦❢ t❤❡ ❢❛♠✐❧② ✇❡ ❛r❡

st✉❞②✐♥❣✳

✸ ❚❤❡ Pr♦❜❧❡♠

✸✳✶ ❚❤❡ ❞❡❧❛② st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ✜①❡❞ ❞❡❧❛②R >0✳ ❲✐t❤ ♥♦t❛t✐♦♥ s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❛t

♦❢ t❤❡ ❜♦♦❦ ❜② ❇❡♥s♦✉ss❛♥ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ✉s❡❞ ✐♥ ❋❛❜❜r✐ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✻✮✱ ❣✐✈❡♥T > t≥0❛♥❞ z∈L²([t−R, T],R) ❢♦r ❡✈❡r② s∈[t, T]✇❡ ❝❛❧❧

z_s∈L²([−R,0];R) t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥

( z_s: [−R,0]→R

z_s(r)^def= z(s+r) . ✭✼✮

●✐✈❡♥ ❛♥ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝♦♥tr♦❧ u(·) ∈ L²(t, T)✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❞❡❧❛② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✿

y(s) =˙ N(y_s) +B(u_s) +f(s) f or s∈[t, T]

(y(t), yt, u_t) = (φ⁰, φ¹, ω)∈R×L²([−R,0];R)×L²([−R,0];R) ✭✽✮

✇❤❡r❡y_t❛♥❞ u_t ❛r❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❛❜♦✈❡ ❛♥❞

N, B:C([−R,0],R)→R, ✭✾✮

✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✿

✽

❍②♣♦t❤❡s✐s ✸✳✶✳ N, B:C([−R,0],R)→ R❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥✲

❛❧s✳

■♥ t❤❡ ❞❡❧❛② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t❛ ❛r❡ ❛ tr✐♣❧❡ (φ⁰, φ¹, ω) ✇❤♦s❡ ✜rst

❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s t❤❡ st❛t❡ ❛t t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ t✐♠❡t✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ t❤✐r❞ ❛r❡ r❡s♣❡❝✲

t✐✈❡❧② t❤❡ ❤✐st♦r② ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❛♥❞ t❤❡ ❤✐st♦r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ✉♣ t♦ t✐♠❡ t

✭♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ♦♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧[t−R, t]✮✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡f ≡0✳

❘❡♠❛r❦ ✸✳✷✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ t❤❛t ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ st✉❞② ✭t❤❡ ♦♥❡

t♦ ✇❤✐❝❤ ♦✉r ❞❡❧❛② ❡①❛♠♣❧❡s ❛♣♣❧②✮ ❤❛s ✐♥✐t✐❛❧ t✐♠❡ t= 0✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss t❤❡

❉P❆ r❡q✉✐r❡ t♦ ❡♠❜❡❞ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✈❛r②✐♥❣

t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ t✐♠❡t✭❜❡s✐❞❡s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ st❛t❡✮ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧[0, T]✳ ❚❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✸✽✮ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ ✭s❡❡ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✺✳✹✮ ♦♥ t❤❡

✇❤♦❧❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, T] ❛♥❞ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ ❛❧❧ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦❢ t❤❡

❢❛♠✐❧②✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♦♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♦♥❡ ✇✐t❤ t= 0✳

❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✽✮ ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡s ♦✉r t❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❡①❛♠♣❧❡s✳

◆❛♠❡❧②✿

• ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜✲

s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✶✮ ✇❡ ❤❛✈❡ N = 0 ❛♥❞ B = δ₀−δ_R s♦ t❤❡ st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥

✐s

k(s) = Z s

s−R

i(r)dr ✭✶✵✮

• ■♥ ●♦③③✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮❀ ●♦③③✐ ❛♥❞ ▼❛r✐♥❡❧❧✐ ✭✷✵✵✹✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥

✷✳✶✳✷✮ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s ♦❢N ❛♥❞B ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② N:C([−R,0])→R

N:γ7→a₀γ(0) +R0

−Rγ(r)da₁(r) ✭✶✶✮

B:C([−R,0])→R B:γ 7→b₀γ(0) +R0

−Rγ(r)db₁(r) ✭✶✷✮

• ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✸✮N = 0 ❛♥❞

B:C([−R,0])→R

B:γ 7→(Ω−η)γ(0)−δΩR₀

−Re^δrγ(r)dr ✭✶✸✮

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✸✳ ●✐✈❡♥ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ (φ⁰, φ¹, ω)∈R×L²(−R,0)× L²(−R,0)✱ ❛ ❝♦♥tr♦❧ u ∈ L²_loc[0,+∞) ❛♥❞ ❛ f ∈ L²([0, T]R) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥y(·) ♦❢ ✭✽✮ ✐♥H_loc¹ [0,∞)✳ ▼♦r❡♦✈❡r ❢♦r ❛❧❧T >0t❤❡r❡ ❡①✐sts

❛ ❝♦♥st❛♥t c(T) ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥❧② ♦♥ R, T,kNk ❛♥❞ kBk s✉❝❤ t❤❛t

|y|_H1(0,T)≤c(T)

|φ⁰|+|φ¹|_L2(−R,0)+|ω|_L2(−R,0)+|u|_L2(0,T)+|f|_L2(0,T)

✭✶✹✮

✾

Pr♦♦❢✳ ❙❡❡ ❇❡♥s♦✉ss❛♥ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸ ♣❛❣❡ ✷✶✼ ❢♦r t❤❡ ✜rst ♣❛rt

❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸ ♣❛❣❡ ✷✶✼✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶ ♣❛❣❡✳ ✷✷✷ ❛♥❞ ♣❛❣❡ ✷✺✺ ❢♦r t❤❡

s❡❝♦♥❞ st❛t❡♠❡♥t✳

✸✳✷ ❚❤❡ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ t♦ ❜❡ ♠❛①✐♠✐③❡❞ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Z T t

L₀(s, y(s), u(s))ds+h₀(y(T)) ✭✶✺✮

✇❤❡r❡

L₀: [0, T]×R×R→R

h₀:R→R ✭✶✻✮

❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳

❘❡♠❛r❦ ✸✳✹✳ ■♥ ♦✉r ♠❛✐♥ ❡①❛♠♣❧❡s t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

• ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜✲

s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✶✮ t❤❡ ❤♦r✐③♦♥ ✐s ✐♥✜♥✐t❡ ❛♥❞ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✇❛s

❈❘❘❆✿

Z +∞

0

(Ak(s)−i(s))^1−σ

1−σ ds ✭✶✼✮

• ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✸✮ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐s

❈❘❘❆✿

Z _+∞

0

(y(s)−i(s))^1−σ

1−σ ds. ✭✶✽✮

• ■♥ ❋❛❣❣✐❛♥ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✹✮ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐s ❝♦♥❝❛✈❡ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠✿

Z _T

t

l₀(s, c(s)) +n₀(s, y(s))ds+m₀(y(T)) ✭✶✾✮

❘❡♠❛r❦ ✸✳✺✳ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠✲

♣r♦✈❡♠❡♥ts ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥s ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✐♥❞❡❡❞ ✐♥ ❋❛❜❜r✐ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✻✮ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♦♥❧② ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Z _T

t

e^−ρsl₀(c(s))ds+m₀(y(T)) ✭✷✵✮

✇❤❡r❡ l₀ ❛♥❞ m₀ ❛r❡ ❝♦♥❝❛✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ l₀ ❞❡♣❡♥❞s

♦♥❧② ♦♥ t❤❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ✭t❤❛t ✐s t❤❡ ❝♦♥tr♦❧✮c✳

❘❡♠❛r❦ ✸✳✻✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❤❡r❡ ✜♥✐t❡ ❤♦r✐③♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❜✉t s✐♠✐❧❛r r❡s✉❧ts

❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡ ❤♦r✐③♦♥ ❝❛s❡✳

✶✵

✸✳✸ ❚❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts

❚❤❡ ❧❛st t❤✐♥❣ t♦ ❝❤♦♦s❡ t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡

❛❞♠✐ss✐❜❧❡ tr❛❥❡❝t♦r✐❡s✳ ■♥ ♦✉r ♠❛✐♥ ❡①❛♠♣❧❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧

✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❛ss✉♠❡❞✳ ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮

✭❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✶✮ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t u≥0✐s ❛ss✉♠❡❞ ❛♥❞ t❤❡ s❛♠❡ ✐s ❞♦♥❡

✐♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ✭❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✸✮✳ ❍❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ ❛ ♠♦r❡

❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥str❛✐♥t✿

u≥Γ−(y) ✭✷✶✮

✇❤❡r❡ Γ₋: R → (−∞,0] ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭s❡❡ ❍②♣♦t❤❡s✐s ✹✳✸ ❢♦r

♦t❤❡r ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ♦♥Γ₋✮✳

▼♦r❡♦✈❡r ✇❡ ❛ss✉♠❡ ❛♥♦t❤❡r st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥t t❤❛t ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛❧✲

✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♠♣♦s❡❞ ✐♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞

●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮❀ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮✿ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❣r❡❛t❡r t❤❛♥

s♦♠❡ ♥✉♠❜❡r ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ st❛t❡✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡ ✐♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮ t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t i ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❣r❡❛t❡r t❤❡♥

t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ak(t)✱ ✐♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ✇❡ ❤❛✈❡ i ≤ y✳ ❍❡r❡ ✇❡

✐♠♣♦s❡

u≤Γ+(y) ✭✷✷✮

✇❤❡r❡ Γ₊:R → [0,+∞) ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ✭■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮ ✭❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✶✮ Γ₊(y) = Ay✱ ✐♥

❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ✭s❡❡ ❙✉❜s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✷✳✶✳✸✮Γ₊(y) =y✮

✸✳✹ ❚❤❡ ♠❛✐♥ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠

❚❤❡ t❤r❡❡ ♠❛✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ ❛r❡ t❤❡ st❛t❡

❡q✉❛t✐♦♥✱ t❤❡ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❍❡r❡ ❛❧❧ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts

♣r❡s❡♥t s♦♠❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✇❡❧❧ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t❤❡✲

♦r②✿

• ❚❤❡ st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥✿ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❧✐♥❡❛r ❉❉❊✱ ✐♥

✇❤✐❝❤ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ st❛t❡y ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡ ❤✐st♦r② ♦❢ t❤❡

st❛t❡y_s✭t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥s✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ✭✼✮✮ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❤✐st♦r② ♦❢ t❤❡

❝♦♥tr♦❧u_s✳ ❚❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡❧❛② ✐♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ②✐❡❧❞s ❛ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞

t❡r♠✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡ s✐♠✐❧❛r t❡r♠s ✐♥ t❤❡ ♣❛♣❡rs ❈❛♥♥❛rs❛ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✸✮❀

❈❛♥♥❛rs❛ ❛♥❞ ❚❡ss✐t♦r❡ ✭✶✾✾✹❀ ✶✾✾✻❛❀❜✮❀ ●♦③③✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✷✮❀ ❋❛❜❜r✐

✭✷✵✵✻❜✮ t❤❛t st✉❞② ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❧❛t❡❞ t♦ ♦♣t✐✲

♠❛❧ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠s ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② s♣❡❝✐✜❝ P❉❊s ❛♥❞ ✇❤♦s❡ r❡s✉❧ts ❞♦

♥♦t ❛♣♣❧② t♦ ♦✉r ❝❛s❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r ✐♥ ♦✉r st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛s r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞

✐♥M² ✭s❡❡ ❜❡❧♦✇✮ ❛ ♥♦♥✲❛♥❛❧②t✐❝ s❡♠✐❣r♦✉♣ ❛♣♣❡❛rs✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ✇♦r❦✱

❛s ❢❛r ✇❡ ❦♥♦✇✱ t❤❛t tr❡❛ts ✈✐s❝♦s✐t② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❍❏❇ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤

❜♦✉♥❞❛r② t❡r♠ ❛♥❞ ✇✐t❤ ♥♦♥✲❛♥❛❧②t✐❝ s❡♠✐❣r♦✉♣ ✐s ❋❛❜❜r✐ ✭✷✵✵✻❜✮✱

❜✉t ♦♥❧② ❛ ✈❡r② s♣❡❝✐✜❝ tr❛♥s♣♦rt P❉❊ ✐s tr❡❛t❡❞ t❤❡r❡✳

✶✶

• ❚❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✿ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❜♦t❤ st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭s❡❡ ❍②✲

♣♦t❤❡s✐s ✹✳✸ ❢♦r ❛ ♣r❡❝✐s❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✮✳

• ❚❤❡ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✿ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠

Z T t

L₀(s, y(s), u(s))ds+h₀(y(T)) ✭✷✸✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ L₀ ❛♥❞ h₀ ♠❡r❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ■♥ ❇♦✉❝❡❦❦✐♥❡ ❡t ❛❧✳

✭✷✵✵✺✮❀ ❋❛❜❜r✐ ❛♥❞ ●♦③③✐ ✭✷✵✵✻✮❀ ❋❛❜❜r✐ ✭✷✵✵✻❛✮ ❛ ❈❘❘❆ ✉t✐❧✐t②

❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛♥❞ ✐♥ ❋❛❜❜r✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ❛ ❝♦♥❝❛✈❡ ✉t✐❧✐t②

❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ✉s❡❞✳

✹ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ r❡♠✐♥❞ ❤♦✇ t♦ r❡✇r✐t❡ t❤❡ st❛t❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝♦♥tr♦❧

♣r♦❜❧❡♠ s✉❜❥❡❝t t♦ ❛ ❉❉❊ ❛s ❛ ❝♦♥tr♦❧ ♣r♦❜❧❡♠ s✉❜❥❡❝t t♦ ❛♥ ❖❉❊ ✐♥ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❋❛❜❜r✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ♦r t♦

t❤❡ ✹t❤ ❈❤❛♣t❡r ♦❢ t❤❡ ❜♦♦❦ ❇❡♥s♦✉ss❛♥ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮ ❢♦r ❞❡t❛✐❧s✳

◆♦t❛t✐♦♥ ✹✳✶✳ ■♥ t❤❡ t❡①t ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❧✇❛②s ❢♦❧❧♦✇ t❤❡s❡ ♥♦t❛t✐♦♥s✿

✲ y(·) ✐s t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❉❉❊ ✭✽✮✱

✲ (φ⁰, φ¹, ω) ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t✉♠ ✐♥ t❤❡ ❉❉❊ ✭✽✮

✲ x(·) ✐s t❤❡ st❛t❡ ✐♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ M² = R×L²[−R,0] ❛♥❞ s♦❧✈❡s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✽✮✳ ◆♦t❡ t❤❛t x⁰(·) =y(·)

✲ ha, bi_R=ab ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ✐♥ R♦❢ t✇♦ r❡❛❧ ♥✉♠❜❡r a, b∈R

✲ h·,·i_L2 ✇✐❧❧ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ✐♥ L²(−R,0)✿ ✐❢ φ¹ ∈ L² ❛♥❞

ψ¹∈L² t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s φ¹, ψ¹

L² = Z ₀

−R

φ¹(r)ψ¹(s)ds ✭✷✹✮

✲ ❚❤❡ ❜r❛❝❦❡tsh·,·i✇✐t❤♦✉t ✐♥❞❡① ✇✐❧❧ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ✐♥M²✿

✐❢ φ = (φ⁰, φ¹) ∈ M² ❛♥❞ ψ = (ψ⁰, ψ¹) ∈ M² t❤❡ s❝❛❧❛r ♣r♦❞✉❝t ✐s

❞❡✜♥❡❞ ❛s

hφ, ψi=φ⁰ψ⁰+ φ¹, ψ¹

L² ✭✷✺✮

✲ ❚❤❡ ❜r❛❝❦❡ts h·,·i_X×X′ ✐s t❤❡ ❞✉❛❧✐t② ♣❛✐r✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ s♣❛❝❡ X ❛♥❞

t❤❡ ❞✉❛❧ X^′✳

✲ ❚❤❡ s②♠❜♦❧|y|X ♠❡❛♥s t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ty ✐♥ t❤❡ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡

X

✶✷

✲ ❚❤❡ s②♠❜♦❧ kTk ✐s t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rT✳

✲ C¹([0, T]×M²)✐s t❤❡ s❡t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥sϕ: [0, T]×M² →Rt❤❛t ❛r❡

❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡✳

✲ ■❢ϕ∈C¹([0, T]×M²) ✇❡ ❝❛❧❧∂_tϕ(t, x) t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛❧♦♥❣ t❤❡

✈❛r✐❛❜❧❡t❛♥❞∇ϕ(t, x) t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡

x∈M²

❈♦♥s✐❞❡r L t❤❡ ❧✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✽✳ ❚❤❛♥❦s t♦ ❍②✲

♣♦t❤❡s✐s ✸✳✶ ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❛t

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✳✷✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r A^∗ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿

D(A^∗) =

(φ⁰, φ¹)∈M² : φ¹ ∈W^1,2(−R,0)and φ⁰ =φ¹(0)

A^∗(φ⁰, φ¹) = (Lφ¹, Dφ¹) ✭✷✻✮

✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ ❛ C₀ s❡♠✐❣r♦✉♣ ♦♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ M^{2 def}= R × L²([−R,0];R)

Pr♦♦❢✳ ❙❡❡ ❇❡♥s♦✉ss❛♥ ❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮ ❈❤❛♣t❡r ✹✳

■♥ ✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ D(A^∗) t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rB ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥✱ ❛❜✉s✐♥❣ s♦♠❡✲

❤♦✇ ♦❢ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥✱ ❛s t❤❡ ❧✐♥❡❛r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧

B:D(A^∗)→R

B: (ϕ⁰, ϕ¹)7→B(ϕ¹) ✭✷✼✮

✇❤❡r❡ D(A^∗) ✐s ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛♣❤ ♥♦r♠ ^✼✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡ ✇✐❧❧

❝♦♥s✐❞❡r B ✐♥ t❤✐s s❡❝♦♥❞ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡♥ t❤❡ ❛❞❥♦✐♥ts ♦❢ A^∗

❛♥❞ B ❝❛❧❧❡❞ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② A ❛♥❞B^∗✳

❚❤❡ ❉❉❊ ✭✽✮ ✐s ✐♥❝❧✉❞❡❞✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ s♣❡❝✐✜❡❞ ❜❡❧♦✇✱ ✐♥t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❖❉❊ ✐♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡M²





 d

dsx(s) =Ax(s) +B^∗z(s) x(t) =x.

✭✷✽✮

✐♥❞❡❡❞ ✭✷✽✮ ❛❞♠✐ts ❛ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ x(·) ♦✈❡r ❛ s✉✐t❛❜❧❡ s✉❜s❡t ♦❢

C([0, T];M²)✳ ❙✉❝❤ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ✐s ❛ ❝♦✉♣❧❡ x(s) = (x⁰(s), x¹(s)) ∈ R× L²(−R,0)^✽ ✇❤❡r❡x⁰(s) ✐s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ ❛❜s♦❧✉t❡❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s s♦❧✉t✐♦♥y(s) ♦❢

✼❋♦rx∈D(A^∗)t❤❡ ❣r❛♣❤ ♥♦r♠|x|_D(A∗) ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s

|x|D(A^∗)=|x|M²+|A^∗x|M².

✽❲❡ ✇✐❧❧ ✇r✐t❡

x(s)u(·),t,x= (x⁰_u(·),t,x(s), x¹_u(·),t,x(s))

✇❤❡♥ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❡♠♣❤❛s✐③❡ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❛t❛✳

✶✸

✭✽✮ ❛♥❞ x¹ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤✐st♦r✐❡s ♦❢ t❤❡ st❛t❡ y ❛♥❞ ♦❢

t❤❡ ❝♦♥tr♦❧ u✳ ❙❡❡ ❋❛❜❜r✐ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✵✻✮ ❛♥❞ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆ ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡

❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣✐❧♦t✲❡①❛♠♣❧❡ ❛♥❞ ❇❡♥s♦✉ss❛♥

❡t ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮ ❢♦r ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥✳

❲❡ ♥❡❡❞ ♥♦✇ t♦ tr❛♥s❧❛t❡ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ t❤❡ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✐♥ ❛❜✲

str❛❝t t❡r♠s✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t ❤②♣♦t❤❡s✐s ✇❡ ❢♦r♠❛❧✐③❡ t❤❡ st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥t

❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ❛su∈[Γ₋(y),Γ₊(y)]✿

❍②♣♦t❤❡s✐s ✹✳✸✳ ■❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝♦♥tr♦❧u(·)❛♥❞ t❤❡ r❡❧❛t❡❞ st❛t❡ tr❛❥❡❝t♦r② x(·) = (x⁰(·), x¹(·))✇❡ ✐♠♣♦s❡ t❤❡ st❛t❡✲❝♦♥tr♦❧ ❝♦♥str❛✐♥t

Γ₋(x⁰(s))≤u(s)≤Γ₊(x⁰(s)) ∀s∈[t, T] ✭✷✾✮

✇❤❡r❡Γ₋ ❛♥❞ Γ₊ ❛r❡ ❧♦❝❛❧❧② ▲✐♣s❝❤✐t③ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s Γ₊:R→[0,+∞)

Γ−:R→(−∞,0] ✭✸✵✮

❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t|Γ₋(t)| ≤a+b|t|❛♥❞|Γ₊(t)| ≤a+b|t|❢♦r t✇♦ ♣♦s✐t✐✈❡ ❝♦♥st❛♥t a❛♥❞ b✳

❚❤❡ s❡t ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜❧❡ ❝♦♥tr♦❧s ✐s

U_t,x^def= {u(·)∈L²(t, T) : Γ₋(x⁰_u(·),t,x(s))≤u(s)≤Γ₊(x⁰_u(·),t,x(s))} ✭✸✶✮

❚❤❡ t❛r❣❡t ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✭✶✺✮ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ♥❡✇ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐s Z _T

t

L₀(s, x⁰(s), u(s))ds+h₀(x⁰(T)).

❙♦ ✇❡ r❡✇r✐t❡ ✐t ❛s ❢♦❧❧♦✇s J(t, x, u(·)) =

Z T t

L(s, x(s), u(s))ds+h(x(T)) ✭✸✷✮

✇❤❡r❡

L: [0, T]×M²×R→R

L: (s, x, u)7→L₀(s, x⁰, u) ✭✸✸✮

h:M² →R

h:x7→h₀(x⁰) ✭✸✹✮

❛♥❞ s♦L ❛♥❞h ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ▼♦r❡♦✈❡r ✇❡ ❛s❦ t❤❛t

❍②♣♦t❤❡s✐s ✹✳✹✳ L ❛♥❞ h ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞

|L(s, x, u)−L(s, y, u)| ≤σ(|x−y|) ❢♦r ❛❧❧ (s, u)∈[0, T]×R ✭✸✺✮

✇❤❡r❡σ ✐s ❛ ♠♦❞✉❧✉s ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✐t②^✾✳

✾❚❤❛t ✐s✱ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♣♦s✐t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛tσ(r)→0❢♦rr→0⁺✳

✶✹