Kennzeichen desAlgebraunterrichtsim mathbu.ch Algebra

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Kennzeichen des Algebraunterrichts im mathbu.ch

Der Unterricht in elementarer Algebra soll die Fähigkeit zur Strukturerkennung fördern und beim Interpretieren von Termen, Formeln und Gleichungen durch Sprache, Bild oder Graph klärend wir- ken. Er soll mithelfen, mathematische Inhalte zunehmend knapper und ohne Verlust an Präzision zu beschreiben, und mit der Zeit die Lernenden dazu befähigen, ein mathematisches Regelsystem sicher zu verwenden. Letzteres allerdings auf einem Feld beschränkter Komplexität: Es braucht keine Doppelbrüche, die als Summanden in Bruchtermketten auftreten, keine Gleichungen oder gar Ungleichungen, in denen die Lösungsmenge in Abhängigkeit von zwei oder noch mehr Parametern zu diskutieren ist.

Die Jugendlichen sollen Algebra als eine Sprachekennen lernen, nicht als ein «Rechnen mit Buch- staben». Der rein formale Umgang mit Termen und Gleichungen verliert zunehmend an Bedeutung, weil ab der Sekundarstufe II Rechenhilfsmittel zur Verfügung stehen, die auch komplexe Umfor- mungen zuverlässig ausführen. Die Entwicklung ist vergleichbar mit derjenigen in der Arithmetik auf der Sekundarstufe I : Das Rechnen übernimmt der Rechner. Gefragt ist Kompetenz im Umgang mit diesem.

Ganzheitlicher Zugang

Algebra hat im mathbu.ch meist einen Sach- oder Alltagsbezug. Algebraisierung und Formalisie- rung entstehen aus einer geometrischen Situation oder einem Sachkontext heraus. Die Problem- stellungen leiten den Blick auf die mathematische Struktur, beispielsweise dann, wenn beim Bau von Würfeltürmen Gesetzmässigkeiten entdeckt werden, wenn ein Bild analysiert wird oder wenn umschrieben wird, wie eine Grösse sich in einem bestimmten Zeitintervall entwickelt.

Die starke Gewichtung von inhaltlichen Aspekten, insbesondere das Gewinnen von Termen und Gleichungen aus konkreten Situationen heraus, braucht Zeit. Nur aktiv-entdeckendes Lernenbringt hier die notwendigen Einsichten.

Langes Verbleiben im anschaulichen Bereich

In der Algebra wird nicht nur am Anfang im anschaulichen Bereich gearbeitet. Der Zugang zur inhaltlichen Interpretation wird jederzeit offen gehalten. Es ist immer auch möglich, zu messen oder mit Gegenständen (z. B. mit Würfeln, Zündholzschachteln usw.) zu hantieren. Beim spiraligen Aufgrei- fen und Erweitern eines Themas werden immer wieder die gleichen Hilfsmittel eingesetzt. Dies schafft einen engen Zusammenhang zwischen algebraischen, geometrischen und beispielsweise physikalischen Inhalten.

Viele Indizien sprechen dafür, dass Fehler im Bereich von Termumformungen wesentlich auf die Abspaltung der Algebrasprache von ihrer Bedeutung zurückzuführen sind.

Sprachgestütztes Lernen und Umformen

Anhand von Gegenständen und Anordnungen werden Terme aufgestellt und interpretiert. Immer wieder werden die Lernenden dazu aufgefordert, gefundene Terme miteinander zu vergleichen.

Dabei müssen sie – im Dialog mit anderen Schülerinnen und Schülern – inhaltlich argumentieren:

«Ich habe so gruppiert, du hast so gezählt, offenbar ist beides richtig.» In dieser Phase wird die Gleichwertigkeit von Termen nicht mittels Termumformung, sondern inhaltlich nachgewiesen. Viel Gewicht wird auf den Wechsel in der Darstellung gelegt: Es ist die Beziehung zwischen zwei Grös- sen in Worten zu formulieren, eine Tabelle aufzustellen, ein Term zu gewinnen, ein Graph zu zeich- nen (oft auch bloss qualitativ). Und umgekehrt muss eine gegebene grafische Darstellung interpretiert, ein funktionaler Zusammenhang in Worten erklärt werden.

Späte Algorithmisierung

Die ersten Termumformungen passieren mit einem anschaulichen Bezug (z. B. bei Würfelbauten oder mit gleichfarbigen Flächen in einem Bild). Gleichungen werden auf verschiedenen Stufen gelöst: Zuerst argumentieren die Lernenden auf der Gegenstandsebene, dann stellen sie – gestützt durch geeignete Veranschaulichungen – Umkehrüberlegungen an und erst später suchen sie formale Lösungswege. Dabei wird der Blick auch immer wieder auf die anschauliche Ebene zurückge- lenkt, zumindest dann, wenn eine Gleichung sich nicht mehr nach einem bekannten Verfahren «kna- cken» lässt.

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Themen im Längsschnitt

Schon im Zahlenbuch gibt es verschiedene Einheiten, die im Rahmen des Rechnens algebraische Strukturen sichtbar machen, beispielsweise in den Lernumgebungen «Versteckte Zahlen» (ZB 5) und

«Zahlen verstecken, Zahlen suchen» (ZB 6). Strukturierte Übungen, wie sie im Zahlenbuch vor- kommen, werden auch im mathbu.chgepflegt.

Im mathbu.ch sind die Lernumgebungen stark miteinander vernetzt. Im spiraligen Aufbau lassen sich aber in Bezug auf die Algebra dennoch fünf Stränge verfolgen:

Terme und Gleichungen gewinnen

Die Lernumgebung «X-beliebig» (Band 7) ist systematisch darauf angelegt, aus geometrischen Figu- ren Terme zu gewinnen. Zu einem geometrischen Sachverhalt lassen sich – je nachdem, wie struk- turiert wird – verschiedene Terme aufstellen. Wenn die Lernenden sich die gefundenen Terme gegenseitig erklären, werden diese interpretiert. Eine Äquivalenz wird dabei inhaltlichnachgewie- sen, nicht durch Äquivalenzumformungen. Gestützt wird die Äquivalenz natürlich auch dadurch, dass verschiedene (korrekte) Terme beim Einsetzen von Zahlen gleiche Resultate liefern.

Fortgesetzt wird dieser Strang in der Lernumgebung «Figur, Muster, Term» (Band 9 und 9+) sowie im Bereich der Brüche («Bruchteile in Figuren», Band 9+), wo auch Gleichungen mit der Variablen im Nenner auftauchen.

Das Aufstellen von Formeln und ihr Einsatz bei Berechnungen wird in der Einheit «Der Altar von Delos» (Band 8) thematisiert.

Terme umformen

Die Lernumgebung «Summen» (Band 7) hat das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Termen zum Gegenstand. Die entsprechenden Gesetzmässigkeiten werden durch das Operieren mit Schienen einer Modelleisenbahn gestützt.

Die Einheit «Produkte» (Band 7) greift auf das Zahlenbuch zurück: Das Malkreuz ist den Lernenden von der halbschriftlichen Multiplikation her bekannt. Hier wird es mit der Berechnung von unter- teilten Rechtecken in Verbindung gebracht. An einem Bild von Richard Paul Lohse wird die Beschrei- bung von Teilflächen mit algebraischen Termen verknüpft. Formal werden Summen miteinander multipliziert, und der algebraische Anfangs- und Endzustand (Produkt und Summe) wird am Bild als gleichwertig ausgemacht. Als Spezialfälle treten binomische Formeln auf. Geometrische Strukturen, Symmetrien sowie die Abfolge von Farben betten die algebraischen Tätigkeiten in einen ganzheit- lichen Rahmen.

«Binome multiplizieren» (Band 8) knüpft formal an die Einheit «Produkte» an, bringt aber auch Rechenvorteile, z. B. das Distributivgesetz, und kombinatorische Überlegungen ins Spiel. Die Einheit führt – wie auch «Summen als Produkte darstellen» (Band 8) – auf die binomischen Formeln. Die beiden Lernumgebungen sind komplementär: In Band 7 wird schwergewichtig ausmultipliziert, in Band 8 faktorisiert. Immer aber in einem anschaulichen Kontext, gestützt auf eine geometrische Figur.

Gleichungen lösen

«Knack die Box» (Band 7) legt das Schwergewicht auf die Bedeutung von Buchstaben in Termen und Gleichungen. Konkrete Situationen werden systematisch mit Texten, Tabellen und Termen bzw.

Gleichungen verknüpft. Dabei treten Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten, solche mit ein- deutiger Lösung, aber auch unlösbare und solche mit unendlich vielen Lösungen auf. Die Einheit

«Verpackte Zahlen» (Band 8) greift den anschaulichen Zugang zu Gleichungen aus der Lernumge- bung «Knack die Box» wieder auf, führt aber weiter in die Äquivalenzumformungen.

Auch dieser Strang wird fortgesetzt: «Der Altar von Delos» (Band 8) ist nicht nur eine Einheit zur Geometrie, sondern auch ein Übungsfeld für das Aufstellen und Lösen von Gleichungen. Lösen durch systematisches Probieren wird hier als gleichberechtigtes Vorgehen zum Lösen nach einem strengen Verfahren vorgestellt und angeregt.

Und wenn in «Ganz einfach gerade» (Band 9+) die Geradengleichung im Koordinatensystem kon- zentriert auftritt, steht das Lösen linearer Gleichungen und sogar von linearen Gleichungssystemen in einer weiteren Erscheinungsform an.

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Formeln und Funktionen einsetzen

In der Lernumgebung «Wort – Bild – Term» (Band 7) wird das Mathematisieren geübt: Eng begrenz- te Variationen einer Situation werden in Worten, in Tabellen, mit Termen und grafisch dargestellt.

Dabei kann die formale und die funktionale Veränderung verfolgt oder nachvollzogen werden. Die Einheit bildet somit auch ein Bindeglied zwischen den drei oben aufgeführten Punkten und dem über alle drei Jahrgänge gepflegten funktionalen Aspekt,den die elementare Algebra unbedingt auch abdecken muss. Exemplarisch seien die folgenden Lernumgebungen angeführt: «Snowboard»

(Band 7), «Alles bewegt sich» (Band 8), «Wachstum und Zerfall» (Band 9 und 9+).

Sowohl in geometrischen Situationen als auch im Sachrechnen spielen Formeln eine wichtige Rol- le. Sie werden beispielsweise in der Einheit «Der Satz des Pythagoras» (Band 8) eingesetzt, aber auch bei Berechnungen an Kreis, Quader, Prisma, Pyramide, Kegel und Kugel. Durch Variation oder Grenzfallbetrachtung wird immer wieder auch eine inhaltliche Argumentation bzw. Interpretation verlangt.

Begründen und beweisen

Schon in der Lernumgebung «Quod erat demonstrandum» (Band 8) dient die Algebra als Formel- sprache beim Mathematisieren und Argumentieren. Dies wird in der Einheit «Ecco!» (Band 9 und 9+) fortgesetzt. Die Jugendlichen erfahren hier, dass das kompakte «Formulieren mit Buchstaben»

Klarheit schaffen kann und die Argumentation durchsichtig macht. Auch in nachfolgenden Lern- umgebungen tauchen Problemstellungen auf, bei denen die «Algebrasprache» eine übersichtliche Lösung ermöglicht. Diese Aufgaben sind mit dem nebenstehenden Piktogramm gekennzeichnet.