Targeting information policy for improved system performance

Munich Personal RePEc Archive

Targeting information policy for improved system performance

Temel, Tugrul

ECOREC Economic Research and Consulting

9 February 2013

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/44303/

MPRA Paper No. 44303, posted 09 Feb 2013 09:48 UTC

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SK=n

{Cⁱ, Gⁱ, G}^K_i=1| ∩Cⁱ= 0,∩Gⁱ=G, n=P^K

i=1ni

o. ✭✶✮

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❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛ ♠❡♠❜❡r ♦❢ ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❞✉r✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ t✐♠❡ ♣❡r✐♦❞✳ ❚❤✐s ✐s ✐♠♣❧✐❡❞ ❜②

∩Cⁱ= 0.❚❤✐r❞❧②✱ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts s✉♣♣♦rt t❤❡ s②st❡♠ ❣♦❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♠♣❧✐❡❞ ❜②∩Gⁱ=G✳

SK ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ♦♣❡r❛t❡ ❛t t✇♦ ❧❡✈❡❧s✳ ❆t t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❧❡✈❡❧✱ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛✐♠s t♦

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✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ❍❡♥❝❡✱ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❣✐✈❡s ♣r✐♦r✐t② t♦ t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦❢ ✐ts ♦✇♥ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t eⁱ(.)✱ ✇❤✐❧❡ ❛❜str❛❝t✐♥❣ ✐ts❡❧❢ ❢r♦♠ t❤❡ ♥❡❡❞s ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ s②st❡♠✳ ❆t t❤❡ s②st❡♠ ❧❡✈❡❧✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ❛

❜❡♥❡✈♦❧❡♥t ❜♦❞② ❣♦✈❡r♥s t❤❡ ❡♥t✐r❡ ♥❡t✇♦r❦ ♦❢ ❜✐♥❛r② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❛❝r♦ss K ❝♦♠♣♦♥❡♥ts t♦ r❡❛❧✐③❡

t❤❡ s②st❡♠ ❣♦❛❧❀ ❤❡♥❝❡✱ ✐t ❣✐✈❡s ♣r✐♦r✐t② t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t e(.)✐♥ ✇❤✐❝❤

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✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❝r❡❛t✐♥❣ ❛♥ ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❛✐♠❡❞ t♦ ❢❛❝✐❧✐t❛t❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts t♦

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♦♣❡r❛t✐♥❣ ❛t t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❧❡✈❡❧ mⁱ(.)❛♥❞ ❛♥♦t❤❡r ❛t t❤❡ s②st❡♠ ❧❡✈❡❧ m(.)✳ ❚❤❡ t❡r♠ ✐♥❢♦r✲

♠❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ♦❢ t❤r❡❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❝t✐✈✐t✐❡s✿ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣r♦✲

❞✉❝t✐♦♥✱ ❞✐ss❡♠✐♥❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✉s❡✳^✹ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❙t❡✈❡♥ ❲♦❧❢❡✱ ❉❛✈✐❞ ❩✐❧❜❡r♠❛♥✱ ❙t❡✈❡♥ ❲✉ ❛♥❞ ❉❛✈✐❞

❏✉st ❬✻❪✱ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ r❡❢❡rs t♦ ❛ ❤✐❣❤❧② ❝♦♥t❡①t✲s❡♥s✐t✐✈❡ r❡s♦✉r❝❡✱ t❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ❛♥❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ✇❤✐❝❤

❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣❡t❡♥❝✐❡s ♦❢ t❤❡ ♦r❣❛♥✐s❛t✐♦♥s ✐♥t❡r❛❝t✐♥❣✳

✷✳✶ ❈♦♠♣♦♥❡♥t✲❧❡✈❡❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t

●✐✈❡♥ (αⁱ_t, Gⁱ, It−1)✱ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t i ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② {eⁱ(.), mⁱ(.)}

❝❤♦♦s❡s(Lⁱt, Dⁱt)✿

Itⁱ =αⁱtmⁱ(eⁱ(Lⁱt, Dtⁱ)|Gⁱ, It−1) ✭✷✮

where It−1≡(It¹−1, It²−1, ..., It^K−1).

mⁱ(.) ❞❡♥♦t❡s ❝♦♠♣♦♥❡♥t i✬s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✷ s♣❡❝✐✜❡s t❤❛t✱ ❣✐✈❡♥

❝♦♠♣♦♥❡♥t i✬s ❣♦❛❧ Gⁱ ❛♥❞ t❤❡ s②st❡♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ st♦❝❦ It−1 ❛t t✐♠❡ t✱ ❝♦♠♣♦♥❡♥t i ♦r❣❛♥✐③❡s

✐ts ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❝t✐✈✐t✐❡s ❜② ✐♥✈❡st✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ ✐ts ❧❡❛r♥✐♥❣Lⁱ_t ❛♥❞ ❞✐ss❡♠✐♥❛t✐♦♥ D_tⁱ

❝❛♣❛❝✐t✐❡s✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rαⁱ_t=αⁱ(Lt, Dt)r❡♣r❡s❡♥ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ti✬s ❝❛♣❛❝✐t② t♦ ✐♥t❡r♥❛❧✐③❡ ❝❤❛♥❣❡s t❛❦✐♥❣ ♣❧❛❝❡ ❛t t❤❡ s②st❡♠ ❧❡✈❡❧ (Lt, Dt)✳ ❖♥❧② t❤❡ r❛t✐♦s ♦❢ t❤❡ αⁱ_t✬s ♠❛tt❡r✱ s♦ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢

❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ♥♦r♠❛❧✐③❡ α¹t = 1✳

❯s✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✷✱ ✇❡ ♠❛♣ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲❜❛s❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ❛s✿

S_K^C≡SK((L¹t, Dt¹), ..., SK(L^Kt , Dt^K)) =

























I_t¹₋₁I_t¹ I_t¹₋₁I_t² . . I_t¹₋₁I_t^K I_t²₋₁I_t¹ I_t²₋₁I_t² . . I_t²₋₁I_t^K

. . . . .

. . . . .

It^K−1It¹ It^K−1It² . . It^K−1It^K

























. ✭✸✮

■t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♥♦t❡❞ t❤❛t ❡❛❝❤ ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ t❤✐s sq✉❛r❡ ♠❛tr✐① ✐s ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ♦♥❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❋♦r ❡①✲

❛♠♣❧❡✱ t❤❡1^st❝♦❧✉♠♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥t1❀ ❛♥❞ t❤❡2^nd❝♦❧✉♠♥✱ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✷✳ ❚❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧

❝❡❧❧sI_tⁱ₋₁I_tⁱ❢♦r ❛❧❧i❛♥❞ts❤♦✇ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❧♦♦♣s✳ ❚❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❝❡❧❧sn

I_tⁱ₋₁I_t^j, i=j= 1, ..., K and i6=jo

✹

✐♥❞✐❝❛t❡ ❜✐♥❛r② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱I_t²₋₁I_t¹ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t ✐♥✲

❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✐♥ C² ❛t t−1 ✢♦✇s ✐♥t♦ C¹❛t t✐♠❡ t✳ ■t ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ t❤❛t C²✬s

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ st♦❝❦ ❛t t✐♠❡ t−1 ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡①❡rt ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥

❛❝t✐✈✐t② ♦❢C¹ ❛t t✐♠❡t✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ♠✐❣❤t ❜❡ t❤r♦✉❣❤ ❢♦r♠❛❧ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s✱ s✉❝❤ ❛s ✐♥❢♦r♠❛✲

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❜❡ ❦♥♦✇♥✳ ❋✉rt❤❡r✱K♣❛r❛♠❡t❡rs ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❢♦rαⁱ_t.❆s ❛ r❡s✉❧t✱ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥

♦❢[2K(K−1) +K] = (2K²−K)♣❛r❛♠❡t❡rs✱SK ✇✐❧❧ ❜❡ ❢✉❧❧② ✐❞❡♥t✐✜❡❞✳

✷✳✷ ❙②st❡♠✲❧❡✈❡❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡♠❡♥t

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♠❛♥❛❣❡ t❤❡ s②st❡♠✲❧❡✈❡❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇✿

It=βtm(e(Lt, Dt)|G, It−1). ✭✹✮

◆♦t❡ t❤❛t ❡q✉❛t✐♦♥ ✹ ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ✈❡❝t♦r ♥♦t❛t✐♦♥✳ ■♥ ✐ts ✉♥❞❡rt❛❦✐♥❣s✱ t❤❡ ❜❡♥❡✈♦❧❡♥t ❜♦❞② ❛✐♠s t♦ ❝r❡❛t❡ ❛♥ ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❢♦r ✐♠♣r♦✈❡❞ ❧❡❛r♥✐♥❣ ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✐ss❡♠✐♥❛t✐♦♥ t♦ t❛❦❡

♣❧❛❝❡✳ βt✐s ❡①♦❣❡♥♦✉s t♦ t❤❡ ❜❡♥❡✈♦❧❡♥t ❜♦❞②✬s ❛❝t✐♦♥s✱ r❡✢❡❝t✐♥❣ ✐ts ❛❞❥✉st♠❡♥t ❝❛♣❛❝✐t② ❛❣❛✐♥st s❤♦❝❦s✳ ❖♥❧② t❤❡ r❛t✐♦s ♦❢ t❤❡βt✬s ♠❛tt❡r✱ s♦ ✇✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ✇❡ ❝❛♥ ♥♦r♠❛❧✐③❡β_t¹= 1✳

❯s✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✹✱ ✇❡ ♠❛♣ t❤❡ s②st❡♠✲❜❛s❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ❛s✿

S_K^S ≡SK(Lt, Dt) =























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It¹−1It¹ It¹−1It² . . It¹−1It^K

I_t²₋₁I_t¹ I_t²₋₁I_t² . . I_t²₋₁I_t^K

. . . . .

. . . . .

I_t^K₋₁I_t¹ I_t^K₋₁I_t² . . I_t^K₋₁I_t^K

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✺

S_K^S ❝❛♣t✉r❡s ♦♥❡ ♥❡✇ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❝❛♥♥♦t s✉♣♣♦rt ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧❧②✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t❤❡ s✉♠ ♦❢ ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❡❝♦♥♦♠②✲✇✐❞❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

st♦❝❦ ✉♥❞❡rS_K^S ✐s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲❧❡✈❡❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ st♦❝❦s ✉♥❞❡rS_K^C✳ ❚❤✐s

✐s ❛ttr✐❜✉t❡❞ t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✐♥ S_K^C✱ ❜✐♥❛r② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❝♦♠♠♦♥ ✐♥t❡r❡sts

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♠❛♥❛❣❡♠❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥m(e(Lt, Dt)|G, It−1)❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ ❛✛❛✐rs ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ❜✉t

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✸ ❚❛r❣❡t✐♥❣ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣♦❧✐❝②

❚♦ ❞❡s✐❣♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣♦❧✐❝② ✐♥t❡r✈❡♥t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ✐♠♣r♦✈❡♠❡♥t ♦❢ s②st❡♠ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ✲ ✐♥

t❡r♠s ♦❢ ❣❡♥❡r❛t✐♦♥✱ ✢✉❞✐t② ❛♥❞ ✉s❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ♦♥❡ ♥❡❡❞s t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❝❧❡❛r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡

♥❛t✉r❡ ♦❢ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ■♥ r❡❛❧✐t②✱ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ✢♦✇SK ❝♦♠♣r✐s❡s t✇♦

t②♣❡s ♦❢ ❡♥t❛♥❣❧❡❞ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥s{S_K^C, S_K^S}✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✸ ♠❛♣s ❚②♣❡ ■ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❡st❛❜❧✐s❤ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡✐r ♦✇♥ r❡s♦✉r❝❡s✱ ✇❤✐❧❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✺ ♠❛♣s ❚②♣❡ ■■ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t

❛r❡ ❡✐t❤❡r ❢✉❧❧② ♦r ♣❛rt✐❛❧❧② ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❡♠♣❧♦②♠❡♥t ♦❢ s②st❡♠ r❡s♦✉r❝❡s✳ ❚❤❡ t❛s❦ ✐s t♦ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧❡ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s✱ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ✇❡❛❦ s♣♦ts ❛t t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❛s ✇❡❧❧ ❛s s②st❡♠ ❧❡✈❡❧s✱

❛♥❞ ❞❡s✐❣♥ ♣♦❧✐❝② ✐♥t❡r✈❡♥t✐♦♥s✳

❚②♣❡ ■ ❛♥❞ ❚②♣❡ ■■ r❡❧❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐s❡♥t❛❣❧❡❞ ❜② ❛♥❛❧②③✐♥❣ t❤❡ ❦❡② ❢❛❝t♦rs t❤❛t s❤❛♣❡ t❤❡

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t❤❡ ❡①t❡♥t t♦ ✇❤✐❝❤ t❤❡s❡ ❢❛❝t♦rs ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ r❡❛❧✐③❡❞ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ ✇❡✐❣❤t ❢♦r ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣

S_K^C ❢r♦♠SK ✭♦rS_K^S ❢r♦♠SK)✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❢❛❝t♦rs ✐s ❛ss❡ss❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ❛ s❝❛❧❡ ❢r♦♠

✶ t❤r♦✉❣❤ ✺✿ ✶❂✇❡❛❦✱ ✷❂❜❡❧♦✇✲❛✈❡r❛❣❡✱ ✸❂❛✈❡r❛❣❡✱ ✹❂❛❜♦✈❡✲❛✈❡r❛❣❡ ❛♥❞ ✺❂str♦♥❣✳ ❚❤❡ ❧❡✈❡❧

✶ ✭❧❡✈❡❧ ✺✮ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭♠❛①✐♠✉♠✮ str❡♥❣t❤✱ ❛♥❞ ♦✈❡r ✽ ❢❛❝t♦rs ❧✐st❡❞✱ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉

✭♠❛①✐♠✉♠✮ t♦t❛❧ s❝♦r❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✽ ✭✹✵✮✳ ❍❛✈✐♥❣ ❞❡✜♥❡❞ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ✭♠❛①✐♠✉♠✮ t♦t❛❧ s❝♦r❡s✱ ✇❡

❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡✐❣❤ts ❢♦r ❡✈❡r② ♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥j✐♥ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❡♥ t❛❦❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

❧❡✈❡❧ ❛✈❡r❛❣❡✿

l¯i=

ni

X

j=1

actual total score f or L^j−min total score f or L^j max total score f or L^j−min total score f or L^j

/ni

✻

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ni

X

j=1

actual total score f or D^j−min total score f or D^j max total score f or D^j−min total score f or D^j

/ni.

❚❤❡ s❛♠❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛❧s♦ ♣❡r❢♦r♠❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡l(i)❛❜❞d(i)❢♦r t❤❡ s②st❡♠ ✈❛r✐❛❜❧❡sD❛♥❞

L✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ◆♦r♠❛❧✐③✐♥❣ d¯i, d(i)

❛♥❞ l¯j, l(j)

②✐❡❧❞s✿

(di, lj)≡ d¯i

d¯i+d(i), l¯j

l¯j+l(j)

∀i,j=1,2,...,K.

❯s❡ ❛ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ♠❡❛♥ ♦❢di ❛♥❞li✱ ✇❡ ❝♦♥str✉❝t ❛ ♠❛tr✐① ♦❢ ✐♥❞✐❝❡sWK t♦ ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ ✢✉✐❞✐t② ♦❢

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✿

wij= (d^0.5_i l^0.5_j )∀ij =⇒WK =













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





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w11 w12 . . w1K

w21 w22 . . w2K

. . . . .

. . . . .

wK1 wK2 . . wKK



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 .

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SK^C=WK◦SK =

























w11 w12 . . w1K

w21 w22 . . w2K

. . . . .

. . . . .

wK1 wK2 . . wKK



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

◦

























It¹−1It¹ It¹−1It² . . It¹−1It^K

It²−1It¹ It²−1It² . . It²−1It^K

. . . . .

. . . . .

I_t^K₋₁I_t¹ I_t^K₋₁I_t² . . I_t^K₋₁I_t^K











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

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



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

=

























w11(It¹−1It¹) w12(It¹−1It²) . . w1K(It¹−1It^K) w21(I_t²₋₁I_t¹) w22(I_t²₋₁I_t²) . . w2K(I_t²₋₁I_t^K)

. . . . .

. . . . .

wK1(I_t^K₋₁I_t¹) wK2(I_t^K₋₁I_t²) . . wKK(I_t^K₋₁I_t^K)

















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



 .

❚❤❡ ❞✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ ♦❢ S_K^C ♣r♦✈✐❞❡s t❤r❡❡ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ✐♥ t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ♣♦❧✐❝② ✐♥t❡r✈❡♥t✐♦♥s✳ ❋✐rst✱

t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ♣♦♦r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞✱ ❛♥❞ t❤✐s ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ ♣♦❧✐❝② ♠❛❦❡rs

✼

t♦ t❛❦❡ ♠❡❛s✉r❡s t♦ r❡❧❡❛s❡ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ❜❡❢♦r❡ ❞❡❝✐s✐♦♥s ❛r❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞✳

❙❡❝♦♥❞✱ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ❝❛♥ ❜❡ ♣r♦❥❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❞♦♠✐♥❛♥t ❛♥❞

s✉❜✲♦r❞✐♥❛t❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ❙♣❡❝✐✜❝ ♣♦❧✐❝✐❡s✴♣r♦❣r❛♠s ❛♥❞ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s ❝❛♥ t❛r❣❡t t❤❡ ❞♦♠✐♥❛♥t s♦✉r❝❡s ✭✐✳❡✳✱ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✮ ❛♥❞ s✉❜♦r❞✐♥❛t❡ ✉s❡rs ♦❢ ❝r✐t✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❚❤✐r❞✱

t❤❡ ❡st✐♠❛t❡❞ ♠❛tr✐① t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ✐♥st✐t✉t✐♦♥❛❧ str✉❝t✉r❡ ❝❛♥ ♣r♦✈✐❞❡ ✉s ✇✐t❤

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✿ ✢❡①✐❜❧❡ ✈❡rs✉s r✐❣✐❞✳ ❆ s②st❡♠ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✢❡①✐❜❧❡ ✭r✐❣✐❞✮ ✐❢

t❤❡ ♦r❣❛♥✐③❛t✐♦♥❛❧ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❛r❡ ❤✐❣❤❧② ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✭✉♥❞❡✈❡❧♦♣❡❞✮ ❛♥❞ ✐♥st✐t✉t✐♦♥s s✉❝❤ ❛s ♣r♦♣❡rt② r✐❣❤ts ❛♥❞ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t r✉❧❡s ❛r❡ ✐♥ ♣❧❛❝❡ ✭❛t ❡♠❜r②♦♥✐❝ st❛❣❡✮✳

✹ ❆♥ ❡①♣❡r✐♠❡♥t

✹✳✶ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ S

❆♥ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✇♦r❦s❤♦♣ ✐s ✉s❡❞ t♦ s❤♦✇ ❤♦✇ t♦ ❡st❛❜❧✐s❤SK ❛♥❞ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❝r✐t✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥

❣❛♣s ❛♥❞ ♣❛t❤✇❛②s ✐t ❝♦♥t❛✐♥s✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢SK ✐s ❢✉rt❤❡r ❛♥❛❧②s❡❞ t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ t❡st❛❜❧❡

❤②♣♦t❤❡s❡s✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ✇♦r❦s❤♦♣ ❣❛t❤❡rs r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ♦❢n= 15♦r❣❛♥✐s❛t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡

❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦K= 5❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✭♦r s✉❜s❡ts✮✱ ✇✐t❤ni= 3♦r❣❛♥✐s❛t✐♦♥s ❡❛❝❤✳ ❋✐❢t❡❡♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s

❛r❡ ♦r❣❛♥✐s❡❞ ✐♥ t❤r❡❡ ✇♦r❦✐♥❣ ❣r♦✉♣s(W G)✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ✐♥❝❧✉❞❡s ♦♥❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❢r♦♠ ❡❛❝❤

❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❚❤❡s❡ ❣r♦✉♣s s❡♣❛r❛t❡❧② ❞✐s❝✉ss❡ ❛r❡❛s t❤❛t ✇❛rr❛♥t ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ❛♥❞ ✇❤❡r❡

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐♥ r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❛ s②st❡♠ ❣♦❛❧✳ ❖♥❡ s✉❝❤ ❣♦❛❧ ✐s t♦ ❡♥❤❛♥❝❡ ❛❣r✐❝✉❧t✉r❛❧

♣r♦❞✉❝t✐✈✐t② t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ ✢♦✇ ♦❢ ❜✐♦t❡❝❤♥♦❧♦❣✐❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❊✈❡r②W G♣r❡♣❛r❡s ❛ ♠❛♣

♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ✭♦r ♦❢ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✮✿ S^{W G1}₅ , S₅^{W G2} ❛♥❞ S₅^{W G3}✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❝♦♥s♦❧✐❞❛t❡❞ ❛s S5=S₅^{W G1}+S₅^{W G2}+S₅^{W G3}✳

❆ ♠✉❧t✐✲✈♦t✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ✐s ❛❞♦♣t❡❞ t♦ r❛♥❦ t❤❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦❢ 15 r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡s ♦✈❡r ❜✐♥❛r②

✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ♦r ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s ♣❧❛❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ♦✛✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❝❡❧❧s ♦❢ S5✳ ❊❛❝❤ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ✐s

❣✐✈❡♥ t❤r❡❡ ✈♦t❡s✿ ❛ str♦♥❣ ✈♦t❡ ✇♦rt❤ t❤r❡❡ ♣♦✐♥ts✱ ❛ ♠❡❞✐♦❝r❡ ✈♦t❡ ✇♦rt❤ t✇♦ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞ ❛

✇❡❛❦ ✈♦t❡ ✇♦rt❤ ♦♥❡ ♣♦✐♥t✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ✈♦t✐♥❣ ②✐❡❧❞s t❤r❡❡ ❤②♣♦t❤❡t✐❝❛❧ s②st❡♠s✿ S5,strong

❢♦r str♦♥❣ ✈♦t❡s✱S5,mediocre ❢♦r ♠❡❞✐♦❝r❡ ✈♦t❡s✱ ❛♥❞S5,weak ❢♦r ✇❡❛❦ ✈♦t❡s✳

S5,strong✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t r❡❝❡✐✈❡❞ str♦♥❣ ✈♦t❡s ♦♥❧②✱ ♣✉tt✐♥❣ ✜rst t❤✐♥❣s ✜rst✳

❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ t❤❡ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥It¹−1It⁴♣❧❛❝❡❞ ✐♥ t❤❡1^str♦✇ ✲4^th❝♦❧✉♠♥ ♦❢S5,strongr❡❝❡✐✈❡❞ ❢♦✉r str♦♥❣ ✈♦t❡s t❤❛t ❛♠♦✉♥t t♦ ✶✷ ♣♦✐♥ts✳ P❧❛❝❡❞ ✐♥ t❤❡ 3^rd r♦✇ ✲ 2^nd ❝♦❧✉♠♥✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ It³−1It²

r❡❝❡✐✈❡❞ ✜✈❡ str♦♥❣ ✈♦t❡s t❤❛t ❛♠♦✉♥t t♦ ✶✺ ♣♦✐♥ts✳ ❲✐t❤ ✶✺ ♣♦✐♥ts✱It³−1It² st❛♥❞s ♦✉t ❛s t❤❡ t♦♣

✽

♣r✐♦r✐t② ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ❜❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜②I_t¹₋₁I_t⁴❛♥❞I_t⁵₋₁I_t⁴ ✇✐t❤ ✶✷ ♣♦✐♥ts ❡❛❝❤✳

S5,strong=

























It¹−1It¹ 3 3 12 3

9 I_t²

−1I_t² . . . . 15 I_t³₋₁I_t³ . . 3 6 . I_t⁴₋₁I_t⁴ . 3 . . 12 I_t⁵₋₁I_t⁵























 .

S5,mediocre ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t r❡❝❡✐✈❡❞ ♦♥❧② ♠❡❞✐♦❝r❡ ✈♦t❡s✳ ❲✐t❤ s✐① ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡

1^st r♦✇ ✲ 5^th ❝♦❧✉♠♥ ♦❢ S5,mediocre✱ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ It¹−1It⁵ ✐s t❤❡ str♦♥❣❡st✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② t❤❡

r❡❧❛t✐♦♥sIt¹−1It²✱ It²−1It¹✱It³−1It²✱ ❛♥❞It⁴−1It¹ ✇✐t❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts ❡❛❝❤✳

S5,mediocre=

























It¹−1It¹ 4 2 2 6

4 It²−1It² . . . . 4 It³−1It³ 2 . 4 . . It⁴−1It⁴ 2

3 . . 2 I_t⁵

−1I_t⁵























 .

S5,weak ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s t❤❛t r❡❝❡✐✈❡❞ ✇❡❛❦ ✈♦t❡s ♦♥❧②✳ ❲✐t❤ ❢♦✉r ♣♦✐♥ts✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥

I_t²₋₁I_t¹ ✐s t❤❡ str♦♥❣❡st✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜②I_t¹₋₁I_t⁵ ❛♥❞I_t⁴₋₁I_t³✇✐t❤ t❤r❡❡ ♣♦✐♥ts ❡❛❝❤✳

S5,weak=

























I_t¹₋₁I_t¹ 2 1 . 3

4 I_t²₋₁I_t² . . . . . I_t³₋₁I_t³ . . . . 3 I_t⁴₋₁I_t⁴ 1 2 . . 1 It⁵−1It⁵























 .

❋✐♥❛❧❧②✱S5,total✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ✈♦t❡s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s ✭S5,strong+S5,mediocre+S5,weak✮✳ ❲✐t❤

✶✾ ♣♦✐♥ts✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ I_t³₋₁I_t² st❛♥❞s ♦✉t ❛s t❤❡ t♦♣ ♣r✐♦r✐t② r❡❧❛t✐♦♥✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② I_t²₋₁I_t¹ ✇✐t❤ ✶✼

✾

♣♦✐♥ts✱I_t⁵₋₁I_t⁴ ✇✐t❤ ✶✺ ♣♦✐♥ts✱I_t¹₋₁I_t⁴✇✐t❤ ✶✹ ♣♦✐♥ts✱ ❛♥❞I_t¹₋₁I_t⁵ ✇✐t❤ ✶✷ ♣♦✐♥ts✳^✺

S5,total=

























It¹−1It¹ 9 6 14 12

17 I_t²

−1I_t² . . . . 19 I_t³₋₁I_t³ 2 . 7 6 3 I_t⁴₋₁I_t⁴ 3 5 . . 15 I_t⁵₋₁I_t⁵























 .

❚❤❡cause−ef f ectstr✉❝t✉r❡✿ ❈❛✉s❡ ✭c✮ ♦❢ ❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡

❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ r♦✇❀ ❛♥❞ ❊✛❡❝t ✭e✮✱ ❛s t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ♣♦✐♥ts ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦❧✉♠♥ ✭❚❛❜❧❡ ✸✮✳

▲✐st✐♥❣ t❤❡(c, e)❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✸✱ ❋✐❣✉r❡s ✶✲✹ s❤♦✇ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ str✉❝t✉r❡s ♦❢S5,strong✱ S5,mediocre✱ S5,weak✱ ❛♥❞S5,total✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳^✻ ❚❤❡s❡ ✜❣✉r❡s ❤❛✈❡ t❤r❡❡ ❝r✐t✐❝❛❧ r❡❣✐♦♥s✳ ❘❡❣✐♦♥

✶ ✐s t❤❡ ❧♦❝✉s ♦❢ t❤❡ ✹✺✲❞❡❣r❡❡ ❧✐♥❡✱ ✇❤❡r❡ c = e✳ ❆ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦♥ t❤✐s ❧✐♥❡ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❤✐❣❤❧②

✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ✇✐t❤ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐❢ ✐ts ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❢❛❧❧s ✐♥ t❤❡ ♥♦rt❤✲❡❛st ❝♦r♥❡r ♦❢ t❤❡ ✜❣✉r❡❀

❛♥❞ ♠✐♥✐♠❛❧❧② ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ✐❢ ✐ts ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✐s ❝❧♦s❡ ❜② t❤❡ (0,0) ❝♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ❘❡❣✐♦♥ ✷ ✐s t❤❡ ❛r❡❛

❜❡❧♦✇ t❤❡ ✹✺✲❞❡❣r❡❡ ❧✐♥❡✱ ✇❤❡r❡ c > e✳ ❆ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇✐t❤ ❛ ✈❡r② ❤✐❣❤c ❛♥❞ ❛ ✈❡r② ❧♦✇e✱ ❞❡♥♦t❡❞

❜②c >> e✱ s✉❣❣❡sts t❤❛t ✐t str♦♥❣❧② ❞♦♠✐♥❛t❡s t❤❡ ♦t❤❡rs ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ❘❡❣✐♦♥ ✸ ✐s t❤❡ ❛r❡❛ ❛❜♦✈❡

t❤❡ ✹✺✲❞❡❣r❡❡ ❧✐♥❡✱ ✇❤❡r❡ c < e✳ ❆ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✇✐t❤ ❛ ✈❡r② ❧♦✇c ❛♥❞ ❛ ✈❡r② ❤✐❣❤ e✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜② c << e✱ s✉❣❣❡sts t❤❛t ✐t ✐s str♦♥❣❧② s✉❜♦r❞✐♥❛t❡✳

❚❤❡(c−e)str✉❝t✉r❡ ♦❢S5,totals❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶ r❡✈❡❛❧s t❤❛t✿

✶✳ I¹_t ✐s t❤❡ ♠♦st ❞♦♠✐♥❛♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✱ ✇✐t❤c = 41♣♦✐♥ts✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② I³_t ✇✐t❤

21♣♦✐♥ts✳

✷✳ I⁵_t ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② s♣❡❛❦✐♥❣ t❤❡ ♠♦st ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳

✸✳ I²_t ❛♥❞I⁴_t ❛r❡ ❜♦t❤ s✉❜♦r❞✐♥❛t❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳

❚❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✭1✮ ❛♥❞ t❤❡ t❤r❡❡ ❦❡② r❡❧❛t✐♦♥s It¹−1It⁴✱ It¹−1It⁵ ❛♥❞ It³−1It² ✐♥ S5,total ❛❧❧ t♦❣❡t❤❡r s✉❣❣❡st t❤❛t r❡s❡❛r❝❤ ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❞♦♥❡ t♦ ✉♥❝♦✈❡r t❤❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s t❤r♦✉❣❤ ✇❤✐❝❤I¹t✐♥✢✉❡♥❝❡s ❜♦t❤

I⁴t ❛♥❞ I⁵t✱ ❛♥❞ I³t ✐♥✢✉❡♥❝❡s I²t✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ✭2✮ ❛♥❞ t❤❡ ❦❡② r❡❧❛t✐♦♥It⁵−1It⁴ ✐♥

S5,total t♦❣❡t❤❡r s✉❣❣❡st t❤❛t r❡s❡❛r❝❤ ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❞♦♥❡ t♦ ✉♥❝♦✈❡r t❤❡ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s t❤r♦✉❣❤ ✇❤✐❝❤

I⁵_t ✐♥✢✉❡♥❝❡s I⁴_t✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ (3) r❡✈❡❛❧s t❤❛t I¹_t ✐s ❛❧s♦ ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ str♦♥❣❧② ❜② t❤❡

r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ♣♦✐♥ts t♦ t❤❡ ♥❡❡❞ ❢♦r ❢✉rt❤❡r r❡s❡❛r❝❤ ❛s t♦ ❤♦✇ I²_t ✐♥✢✉❡♥❝❡sI¹_t✳ ❚❤❡s❡ t❤r❡❡

✶✵

s✉❣❣❡st✐♦♥s ✐♠♣❧② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡❞✉❝❡❞ ❢♦r♠ t❤❛t r❡✈❡❛❧s t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❝r✐t✐❝❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s ♦♥❧②✳

S5,total=

























It¹−1It¹ . . 14 12 17 I_t²₋₁I_t² . . .

. 19 I_t³₋₁I_t³ . . . . . I_t⁴₋₁I_t⁴ .

. . . 15 I_t⁵₋₁I_t⁵























 ..

❚❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢♦r♠ ✉♥❞❡r❧✐♥❡s t❤❡ ❦❡② ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t ❤❛♥❞✳ I³t ✐s t❤❡ ♦♥❧② tr✉❧② ❡①♦❣❡♥♦✉s

❝♦♠♣♦♥❡♥t✱ ✇❤✐❧❡ I⁴t ✐s t❤❡ ♦♥❧② tr✉❧② ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❖♥❡ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❢❡❛t✉r❡ ✐s t❤❛t ♣❛t❤✇❛②s ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✐♥ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞S5,total✇♦✉❧❞ ❛❧✇❛②s st❛rt ✇✐t❤I³_t ❛♥❞ ❡♥❞ ❛tI⁴_t✱ r❡s✉❧t✐♥❣

✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣3−edged❛♥❞4−edged♣❛t❤✇❛②s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✿

I³_t−1I²_t, I²_t−1I¹_t, I¹_t−1I⁴_t

I³t−1I²t, I²t−1I¹t, I¹t−1I⁵t, I⁵t−1I⁴t.

❚❤❡(c−e)✲str✉❝t✉r❡ ♦❢S5,strong s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✷ ✐s ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ s✐♠✐❧❛r❧②✳ ■t s❤♦✇s ❛♥ ❛❧♠♦st

✐❞❡♥t✐❝❛❧ str✉❝t✉r❡ t♦ t❤❛t ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✶✱ ❡①❝❡♣t t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❛r❡ ♠♦r❡ ♣♦❧❛r✐s❡❞✳ ❋✉r✲

t❤❡r♠♦r❡✱ t❤❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢♦r♠ ♦❢ S5,strong ❤❛s t✇♦ ❡①♦❣❡♥♦✉s ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ I³t ❛♥❞ I⁵t✱ ✇❤✐❧❡ I⁴t st✐❧❧

r❡♠❛✐♥s t♦ ❜❡ t❤❡ ♦♥❧② ❡♥❞♦❣❡♥♦✉s ❝♦♠♣♦♥❡♥t✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ♣❛t❤✇❛②s ♦❢ ✐♥t❡r❡st ✇♦✉❧❞ ✐♥❝❧✉❞❡

I³_t−1I²_t, I²_t−1I¹_t, I¹_t−1I⁴_t ❛♥❞ I⁵_t−1I⁴_t✳ ✭❚❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ S5,mediocre ❛♥❞ S5,weak ✐s ❧❡❢t t♦ t❤❡

r❡❛❞❡r✳✮

S5,strong=

























I_t¹₋₁I_t¹ . . 12 .

9 I_t²₋₁I_t² . . . . 15 I_t³₋₁I_t³ . . . . . I_t⁴₋₁I_t⁴ .

. . . 12 I_t⁵₋₁I_t⁵























 .

❆❧❧ ✐♥ ❛❧❧✱ t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s s✉❣❣❡sts t❤❛t ♣❛t❤✇❛②s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ I³t−1I²t, I²t−1I¹t, I¹t−1I⁴t ✭❋✐❣✉r❡ ✺✮ ❛♥❞

I³_t−1I²_t, I²_t−1I¹_t, I¹_t−1I⁵_t, I⁵_t−1I⁴_t ✭❋✐❣✉r❡ ✻✮ ✇❛rr❛♥t ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣✳

❚❤❡ ❝♦♥♥❡❝t❡❞♥❡ss ♦❢SK✱ ❞❡♥♦t❡❞ ❜②Z✱ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛s _K(K^R

−1) ✇✐t❤1≥Z ≥0✱ ✇❤❡r❡R✐s t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❝❛✉s❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s❀K✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥s ♦❢SK❀ ❛♥❞[K(K−1)]✱

t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❛✉s❛❧ ✭❜✐♥❛r②✮ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥SK✳ ❚❤✉s✱Ztotal =¹³₂₀✱ ✇❤❡r❡R= 13❛♥❞K= 5✳

✶✶

❖t❤❡r ♠❡❛s✉r❡s ♦❢ ❝♦♥♥❡❝t❡❞♥❡ss ✐♥❝❧✉❞❡✿Zstrong= ¹⁰₂₀✱Zmediocre=¹⁰₂₀ ❛♥❞Zweak =₂₀⁸✳ ❆ s②st❡♠

✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❢✉❧❧② ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✐❢Z = 1✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❛❧❧ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐♥ t❤❡ s②st❡♠ ❛r❡

❝♦♥♥❡❝t❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳

❆ ❝❧✉st❡r ✐s ❛ s✉❜s❡t ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ❛r♦✉♥❞ ❛ ❝❡rt❛✐♥(c, e)✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s s❤♦✇s t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❝❧✉st❡rs✿ (I²t, I⁴t)❛♥❞(I³t, I⁵t)✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥tI¹t r❡♣r❡s❡♥ts ❛♥ ✐s❧❛♥❞ ❛s

✐t st❛♥❞s ❛❧♦♥❡ s❡♣❛r❛t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳

✹✳✷ ❉✐s❡♥t❛♥❣❧✐♥❣ S

❛♥❞ S

❢r♦♠ S

❋♦r ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ♣✉r♣♦s❡s✱ ✇❡ s❡t ❛r❜✐tr❛r② ✈❛❧✉❡s ❢♦r (d1, l1) = (0.7,0.5)✱ (d2, l2) = (0.5,0.5)✱

(d3, l3) = (0.4,0.6)✱(d4, l4) = (0.8,0.5)✱(d5, l5) = (0.3,0.8)✳ ❯s✐♥❣S5,total✱ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✲

✐♥❣ ❞✐s❡♥t❛❣❧❡❞ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s②st❡♠✿

S_5,total^C =W5◦S5,total

=

























0.59 0.59 0.65 0.59 0.75 0.50 0.50 0.55 0.50 0.63 0.45 0.45 0.49 0.45 0.57 0.63 0.63 0.69 0.63 0.80 0.39 0.39 0.42 0.39 0.49

























◦

























0 9 6 14 12

17 0 0 0 0

0 19 0 2 0

7 6 3 0 3

5 0 0 15 0

























S_5,total^C =

























It¹−1It¹ 5 4 8 9

9 It²−1It² 0 0 0 0 9 I_t³₋₁I_t³ 1 0 4 4 2 I_t⁴₋₁I_t⁴ 2 2 0 0 6 I_t⁵₋₁I_t⁵























 .

❚❛❜❧❡ ✹ ❧✐sts t❤❡ ✐♠♣❧✐❡❞(c, e)✲❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ S_5,total^C ❛♥❞ S_5,total^S ✳ ❚❤❡s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ✢♦✇ ♦❢ ❝❤❛♥❣❡s ✐♥ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥ts ✐s

❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✳ ❚❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ♣♦❧✐❝② ✐♥t❡r✈❡♥t✐♦♥ ✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♦♥ t❤❡ s♣❡❝✐✜❝ s②st❡♠ ❛♥❞ ❝♦♠♣♦♥❡♥t

❣♦❛❧s✳

✶✷