October 10, 2013 1
Eine potentielle ¨ Ubungsaufgabe zur
” Einf¨ uhrung in die Analysis“
Quantoren in der Konvergenzdefinition Michael Grosser
Die folgende Aufgabe habe ich seit 1990 immer wieder in meinen einschl¨agi- gen ¨Ubungen gestellt. Die untenstehende Version stammt beispielsweise aus der ”Mathematik f¨ur Physik 2“ vom Sommersemester 1996.
Ein Vergleich der Definitionen von Grenzwert bzw. H¨aufungswert zeigt, wie entscheidend f¨ur die Bedeutung eines formalen Ausdrucks ,,Kleinigkeiten“
sein k¨onnen. — Geben Sie die Bedeutung des jeweiligen formalen Satzes mit Worten wieder, d.h. finden Sie heraus, welche Eigenschaften einer reellen Folge (xn) in bezug auf x∈R die untenstehenden S¨atze jeweils beschrieben wird (immer ist ε >0 und N, n∈N gemeint):
∀ε ∀N ∀n≥N : |x−xn|< ε
∀ε ∀N ∃n≥N : |x−xn|< ε
∀ε ∃N ∀n≥N : |x−xn|< ε
∀ε ∃N ∃n≥N : |x−xn|< ε
∀N ∀ε ∀n≥N : |x−xn|< ε
∀N ∀ε ∃n≥N : |x−xn|< ε
∀N ∃ε ∀n≥N : |x−xn|< ε
∀N ∃ε ∃n≥N : |x−xn|< ε
∃ε ∀N ∀n≥N : |x−xn|< ε
∃ε ∀N ∃n≥N : |x−xn|< ε
∃ε ∃N ∀n≥N : |x−xn|< ε
∃ε ∃N ∃n≥N : |x−xn|< ε
∃N ∀ε ∀n≥N : |x−xn|< ε
∃N ∀ε ∃n≥N : |x−xn|< ε
∃N ∃ε ∀n≥N : |x−xn|< ε
∃N ∃ε ∃n≥N : |x−xn|< ε
Die Moral von der Geschicht ist nat¨urlich, daß etwa die Definition des Grenz- wertes nicht ,,fast richtig“ oder ,,nur ein bißchen falsch“ wiedergegeben wer- den kann. Eine eindeutige und klare Formulierung stimmt entweder zu 100%, oder sie bedeutet etwas m¨oglicherweise ganz anderes!