Arbeit und Leistung
s s
m · g m · g
2m · g m· g
s/2
s
mgs = mgs
mgs = const.
... nmgs/n = mgs
⇔
⇔
⇔
2mgs/2 = mgs ...
Arbeit und Leistung
Arbeit ist Kraft mal Weg
• Gotthardstraße
• Treppe und Lift
• Feder
• Bergsteiger/Wanderer
Arbeit und Leistung
F~Zug
m · g α
h s
F~k
F~tot = F~Zug − F~k
F~zug = −F~k
Gleichm¨assige Bewegung:
Fk = m · g · sinα
A = mgsinsinααh = mgh A = Fk · s ; s = sinhα l = s cos α
Arbeit und Leistung
Wunder ist kein Wunder
Simon Stevin,
um 1600
Arbeit und Leistung
d~s F~ α
E = R
d~s · F~ = R
ds F cos α
Arbeit und Leistung
Arbeit ist Kraft mal Weg [Arbeit] = N m = J = W s
Leistung = Arbeit pro Zeit [Leistung] = N m/s = J/s = W Beispiel:
100 kg Backsteine 10 m hochtragen.
E = mgh = 100 · 9,81 · 10 kg m2/s2 = 9810 J = 2,725 Wh
dito innerhalb von 10 Minuten: Leistung P = 9810/600 J/s = 16,35 W.
Potentielle und kinetische Energie
• Energie: gespeicherte, “m¨ogliche” (potentielle) Arbeit
• potentielle Energie: Lageenergie (Wasser im Stausee,. . . )
• kinetische Energie: Bewegungsenergie
Epot = mgh −→ vh = p
2gh −→ h = vh2
2g =⇒ mgh = mgvh2
2g = m
2 vh2 = Ekin
Energieerhaltung
Energie bleibt erhalten bzw. wird umgewandelt, d. h.E = Epot + Ekin = const.
Beispiele:
• Pendel
• Galilei’sches Hemmungspendel Formal:
E = Z
dx ma = m Z
dxdv
dt = m Z
v dv = m 2 v2.
Umwandlung von potentieller in kinetische Energie. Oft wird Energie auch in andere Formen umgewandelt, wie W¨arme, Schall, Deformation, etc.
Bewegung in Systemen mit mehreren Massenpunkten
Wir betrachten ein System mit mehreren Massenpunkten. F¨ur jeden Massenpunkt i einzeln gilt nach Newton 2:
Fi = dp~i dt .
F¨ur n Massenpunkte muss also ein System von n Bewegungsgleichungen gel¨ost werden. Vereinfachend beginnen wir mit n = 2.
F~1 + F~21 = d~p1 dt , F~2 + F~12 = d~p2
dt ,
wobei F~21 die Kraft darstellt, welche Massenpunkt 2 auf Massenpunkt 1 aus¨ubt.
F~1 stellt die Kraft dar, welche von außen auf Massenpunkt 1 wirkt. Die Kr¨afte k¨onnen z. B. vom Ort oder der Geschwindigkeit abh¨angen. Nach Newton 3 ist F~21 = −F~12. Damit fallen die “inneren” Kr¨afte beim Bilden der Summe der Bewegungsgleichungen heraus:
F~ = F~1 + F~2 = d~p1
dt + d~p2
dt = d~p dt. Ist F~ = 0, so ist
d~p
dt = 0, bzw.p~ = const., analog zum zweiten Newtonschen Gesetz.
Ohne Einwirkung ¨außerer Kr¨afte (F~ = 0) bleibt in einem System von n Massenpunkten der Gesamtimpuls erhalten (d~dtp = 0).
Impuls und Impulserhaltung
~u2
~u1
m1 m2
~v1 = ~v2 = ~0
Danach muss gelten
m1u1 + m2u2 = 0, woraus sofort folgt, dass
u2 = −m1 m2u1.
Beispiel: Rakete, hier ver¨andert sich allerdings m mit der Zeit. . .
Impuls und Impulserhaltung
Anwendung: Ballistisches Pendel
u2 = √
2g∆h
∆h v1 M
u2
M + m
mv1 = (m + M)u2 v1 = . . . Ubung!¨
m
l α
Frage: Wie groß ist der Anteil der Energie, der in W¨arme und Deformation umgewandelt wird?
St¨ oße
Man unterscheidet verschiedene Sorten von St¨oßen:
• inelastischer Stoß: endotherm, Umwandlung kinetischer Energie in innere Energie (z. B. W¨arme)
• elastischer Stoß: Energieerhaltung
• schiefer Stoß: Geometrieeffekte
• (exothermer Stoß: Umwandlung innerer Energie in kinetische Energie (z. B. e− − e+ −→ 2γ))
Inelastische St¨ oße
v1 v2
u1
u2
u v1
v2
teilweise inelastisch
vollst¨andig inelastisch
Inelastische St¨ oße II
Vollst¨andig inelastischer Stoß:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u, also u = m1v1 + m2v2 (m1 + m2) . Vorzeichen von v1 und v2 beachten! F¨ur m1 = m2 gilt offensichtlich
u = v1 + v2 2 .
Aus den Geschwindigkeiten l¨asst sich die in innere Energie verwandelte kinetische Energie berechnen ( ¨Ubung!).
Elastische St¨ oße
Zus¨atzlich bleibt kinetische Energie erhalten!
1
2m1v12 + 1
2m2v22 = 1
2m1u21 + 1
2m2u22, m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2.
Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen! Sortiere nach K¨orpern 1 und 2:
1
2m1 ¡
v12 − u21¢
= 1
2m2 ¡
u22 − v22¢
, (1)
m1 (v1 − u1) = m2 (u2 − v2). (2) Dividiere Gleichung 1 durch Gleichung 2 und l¨ose nach u1 und u2 auf.
Elastische St¨ oße
u1 = m1 − m2
m1 + m2v1 + 2m2
m1 + m2v2 (3) u2 = m2 − m1
m1 + m2v2 + 2m1
m1 + m2v1 (4) Spezialf¨alle:
• m1 = m2 =⇒ u1 = v2 und u2 = v1
• m1 À m2 =⇒ u1 ≈ v1 und u2 ≈ 2v1 − v2
Stoß mit einer unbeweglichen Wand
m1, v1 m1, u1
m2 = ∞ v2 = 0 u2 = 0
Mehrere K¨ orper auf einer Linie
m1
n v1
m2 v2
n1m1v1 = n2m2v2 (Impulssatz); n1
2 m1v12 = n2
2 m2v22 (Energiesatz).
m1 = m2 =⇒ n1 = n2
Bewegung in der Ebene
v1 x
y v1,x
v1,y
v2 v2,x v2,y
α α
Uberlagerung einer Bewegung entlang von¨ x mit einer Reflexion an einer Wand.
v2,x = v1,x; v2,y = −v1,y
m
26= ∞
Wie soll nun ein Stoß in der Ebene behandelt werden, wenn m2 6= ∞? Aus der Impuls- und Energieerhaltung
m1~v1 + m2~v2 = m1~u1 + m2~u2, 1
2m1v12 + 1
2m2v22 = 1
2m1u21 + 1
2m2u22
ergeben sich nur drei Bedingungen an die vier Unbekannten u1,x, u1,y, u2,x und u2,y. Offensichtlich wird die Situation in drei Dimensionen noch schlimmer, 6 Unbekannten stehen nur vier Gleichungen gegen¨uber. Diese prinzipielle Schwierigkeit l¨asst sich nicht beheben, wohl aber in handlichere Teilprobleme unterteilen.
Der Schwerpunkt eines Systems
~r3 m1
m2
m3
x
y
z ~rS
~r2
~r1
~rS .
=
PN
i=1 mi~ri PN
i=1 mi = 1 M
N
X
i=1
mi~ri
Schwerpunktgeschwindigkeit
Greifen keine ¨außeren Kr¨afte an, so bleibt der Impuls des Systems konstant.
N
X
i=1
d~pi
dt = 0.
Ver¨andern sich die Massen nicht, so ¨andert sich auch die Geschwindigkeit des Systems nicht, genauer,
N
X
i=1
mid~vi
dt = 0.
Damit l¨asst sich eine mittlere Geschwindigkeit definieren, welche unver¨andert
bleibt:
~vS .
= 1 M
N
X
i=1
mi~vi. Offensichtlich ist
~vS = d~rS dt ,
d. h. die Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Systems bleibt erhalten.
Oft vereinfachen sich die auftretenden Gleichungen erheblich, wenn man in das Schwerpunktsystem transformiert, denn
~
pS =
N
X
i=1
mi~vi = M~vS
~
pS,S =
N
X
i=1
mi (~vi − ~vi,S) =
N
X
i=1
mi~vi −
N
X
i=1
mi~vi,S = M~vS − M~vS = ~0.
Die kinetische Energie transformiert sich ebenso einfach:
Ekin = 1
2m1v12 + 1
2m2v22
= 1 2
¡m1(~v1,S + ~vS)2 + m2(~v2,S + ~vS)2¢
= 1 2
¡m1v1,S2 + m2v2,S2 ¢
+ 1 2
¡m1vS2 + m2vS2¢
+ (m1~v1,S + m2~v2,S) ·~vS
= 1 2
¡m1v1,S2 + m2v2,S2 ¢
+ 1 2
¡m1vS2 + m2vS2¢
+ 0 Ekin = Ekin(S) + 1
2M vS2 weil ja ¡
m1vS2 + m2vS2¢
= ~0.
Bewegung zweier Teilchen im Schwerpunktsystem
Nach Voraussetzung wirken keine ¨außeren Kr¨afte auf das System, d. h. es wirken nur die inneren Kr¨afte F~12 und F~21.
d~v1,S
dt = F~21
m1; d~v2,S
dt = F~12 m2
Subtraktion (unter Ber¨ucksichtigung von F~12 = −F~21) liefert d(~v1,S − ~v2,S)
dt =
µ 1
m1 + 1 m2
¶
F~21,
wo (~v1,S − ~v2,S) = ~v12,S die Relativgeschwindigkeit zwischen den Teilchen
darstellt. Mit der Definition der reduzierten Masse µ µ .
= m1m2 m1 + m2
kann so eine besonders einfache Bewegungsgleichung gefunden werden F~21 = µdv12,S
dt .
Die Bewegung der beiden Teilchen kann also auf die Bewegung eines einzelnen Teilchens der reduzierten Masse µ reduziert werden.
Elastische St¨ oße im Schwerpunktsystem
Wegen ~pS,S = ~0 muss auch gelten
~
p1,S = −~p2,S und ~p01,S = −~p02,S. Einsetzen in den Energiesatz ergibt
1 2
µ 1
m1 + 1 m2
¶
p01,S2 = 1 2
µ 1
m1 + 1 m2
¶
p21,S + Q.
Verwende reduzierte Masse µ, so p01,S2
2µ = p21,S
2µ + Q.
F¨ur elastische St¨oße ist Q = 0 (nach Definition), folglich p01,S2 = p21,S und p02,S2 = p22,S.
Dies l¨asst lediglich eine Drehung der Impulse zu!
~v1,S
~v2,S
~v1,S0
~v2,S0
~v10
~v1
~v20
~v2
Schwerpunktsystem Laborsystem
θ
Relativistische Formulierung
~vA ~uA
~vB ~uB u = 0
~vA ~uA
~uB ~vB A
B A
B
u = vxA K0 y K
x
y0
x0
Wir betrachten nun zwei K¨orper derselben Masse mA = mB = m, die sich bei relativistischen Geschwindigkeien begegnen. Wie sieht ein Stoß in diesem Falle aus? Dabei bewegen wir uns in einem System K so, dass sich der K¨orper A in y Richtung nur sehr langsam bewegt und diese Impulskomponente beim Stoß umgekehrt wird, vyA = −uyA. Dasselbe geschehe mit K¨orper B und K¨orper A bewege sich immer noch mit Geschwindigkeit vxA in x-Richtung. Der Impuls ist also erhalten.
Nun betrachten wir den Stoß im System K0, welches sich mit v = vxA entlang der x-Achse bewegt. In diesem System sind also die Rollen von A und B vertauscht.
Die Geschwindigkeiten transformieren sich gem¨aß der
Lorentz-Transformation,
vy0 = vy/γ
1 − vxv/c2.
Nun ist im System K f¨ur die beiden Teilchen die Geschwindigkeit in x-Richtung verschieden, weshalb sich auch die y-Komponenten der Geschwindigkeit anders transformieren!
vyA0 = vyA/γ
1 − vxAv/c2 = vyA/γ
1 − v2/c2 = γvxA, da v = vxA, vyB0 = vyB/γ
1 − vxBv/c2 = vxB/γ, da vxB = 0,
w¨ahrend die entsprechenden Geschwindigkeiten im System K die Betr¨age |vyA|
und |vyB| haben, also
vyA0
vyA = γ und vyB0
vyB = γ.
In beiden Systemen gilt der Impulssatz und insbesondere f¨ur die y-Komponente gilt
mAvyA + mBvyB = 0 = m0AvyA0 + m0BvyB0 .
Dies ist aber f¨ur mA = m0A und mB = m0B nicht m¨oglich, weil ja die y- Komponenten der Geschwindigkeiten verschieden sind. Also m¨ussen die Massen m und m0 verschieden sein! F¨ur kleine y-Komponenten gilt die N¨aherung
vA ≈ vxA = v , vA0 ≈ 0,
VB ≈ 0 , vB0 ≈ vxB = v.
Damit k¨onnen wir mit m0 .
= m(v = 0) schreiben
m(v)vyA + m0vyB = 0, m0vyA0 + m(v)vy0B = 0.
Wir nehmen die Terme mit vyB bzw.vyB0 nach rechts, dividieren die Gleichungen und erhalten
m2(v)
m20 = vyB vyB0
vyA0
vyA = γ2. Damit erhalten wir m(v) = γm0 = m0
p1 − v2/c2.
Relativistische Energie: E = mc
2Schwer- punkt Lichtblitz
E
∆x E
L Wir wollen nun noch die bekannt Energie- Masse Beziehung E = mc2 verstehen. Dazu betrachten wir einen leichten Wagen, an dessen linker Wand ein Lichtblitz der Energie E ausgesandt wird. Nach den Gesetzen der klassischen Physik hat er einen Impuls p = E/c (Stoff kommt im zweiten Semester). Weil der Wagen vor dem Blitz ruhen soll, muss auch nach dem Blitz der Schwerpunkt am selben Ort bleiben, der Gesamtimpuls bleibt erhalten. Deshalb muss sich der Wagen ein klein wenig nach links bewegen mit einer Geschwindigkeit v = −p/M = −E/M c.
Weil diese Geschwindigkeit sehr klein ist im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit,
v ¿ c, erreicht der Lichtblitz die rechte Wand nach einer Zeit ∆t = L/c, w¨ahrend der sich der Wagen lediglich um ∆x = v∆t = −EL/M c2 nach links bewegt hat. Erreicht der Blitz die rechte Wand, so h¨alt der Wagen an. Damit der Schwerpunkt unbewegt bleibt, muss dem Licht eine Masse m zugeschrieben werden!
mL + M∆x = 0.
Daraus folgt
mL − M EL/M c2 = 0, =⇒ E = mc2.
Setzen wir darin nun unseren Ausdruck f¨ur die Masse ein, so finden wir
E = m0c2
p1 − v2/c2 = m0c2 − (m(v) − m0)c2,
wobei der erste Term dies sog.Ruheenergie und der zweite die eigentliche
kinetische Energie ist. F¨ur diese gilt mit einer Potenzreihenentwicklung f¨ur γ Ekin = (m(v) − m0)c2 = 1
2m0v2 + 3
8m0v4
c2 + . . .
F¨ur kleine Geschwindigkeiten v ¿ c finden wir den klassischen Ausdruck wieder.
F¨ur richtige Rechnungen ist es oft n¨utzlicher, die Energie-Impuls Beziehung zu kennen:
E = c q
m20c2 + p2.
Relativistische Kraft
Wir nehmen den relativistischen Impuls p = γm0v und das zweite Newtonsche Gesetz und erhalten
F~ = d~p
dt = d
dt(m~v) = d dt
à m0~v p1 − v2/c2
! ,
=
à d dt
m0
p1 − v2/c2
!
~v + m~a.
Die innere Ableitung in der Klammer wird mit d/dt = (dv/dt)(d/dv) durch-
gef¨uhrt:
F~ = m0 ¡
v/c2¢ a
(1 − v2/c2)3/2~v + m~a,
= γ3m0a
½v2 c2
~v v +
µ
1 − v2 c2
¶~a a
¾ .
Die Kraft hat also nicht nur eine Komponente in Beschleunigungsrichtung
~a/a, sondern auch in Geschwindigkeitsrichtung ~v/v! Diese wird aber f¨ur kleine Geschwindigkeiten v ¿ c vernachl¨aßigbar.