Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

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D¨ usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

WS 2011/2012 28. Oktober 2011 Blatt 3

Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Topologie

9. (12 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen

¨ aquivalent sind:

(a) X ist ein Hausdorff-Raum.

(b) Jeder Punkt von x ist der Durchschnitt seiner abgeschlossenen Umgebungen.

(c) Die Diagonale ∆ := {(x, x) | x ∈ X} ist abgeschlossen in X × X.

(d) Jeder Filter in X besitzt h¨ ochstens einen Limes.

10. (8 Punkte) Sei X ein Hausdorff-Raum und seien A, B kompakte Teilmengen von X mit

A ∩ B = ∅. Dann gibt es offene Teilmengen U , V von X mit A ⊆ U , B ⊆ V und U ∩ V = ∅.

11. (10 Punkte)

(a) Seien (X

, T

) und (X

, T

) topologische R¨ aume, und X

× X

trage die Pro- dukttopologie. Zeigen Sie, dass T

die Quotiententopologie bez¨ uglich pr

ist.

(b) Finden Sie ein Beispiel f¨ ur einen Hausdorff-Raum X und eine ¨ Aquivalenzrela- tion ∼ auf X, so dass X/ ∼ mit der Quotiententopologie nicht Hausdorffsch ist.

12. (10 Punkte) Sei T der Torus in R

, der entsteht, wenn man die Teilmenge

{(x, 0, z) ∈ R

| (x − 2)

+ z

= 1} um die z-Achse rotieren l¨ asst. Zeigen Sie, dass die folgenden R¨ aume hom¨ oomorph zueinander sind:

(a) T (b) S

× S

(c) R

/ Z

:= R

/ ∼, wobei f¨ ur u, v ∈ R

gilt:

u ∼ v :⇔ ∃ w ∈ Z

mit v = u + w.

Abgabe: Freitag, den 4. November 2011, 10:30 Uhr

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