Satz von Green

Satz von Green

F¨ ur ein stetig differenzierbares bivariates Vektorfeld F ~ auf einem regul¨ aren ebenen Bereich A mit entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand C : t 7→ ~ r(t ) gilt

Z Z

A

rot F dA ~ = Z

C

F ~ · d ~ r ,

wobei rot F ~ = ∂ x F y − ∂ y F x .

Diese auf Green zur¨ uckgehende Identit¨ at ist ein Spezialfall des Satzes von Stokes.

Die Glattheitsvoraussetzungen k¨ onnen abgeschw¨ acht werden, indem man

die Integrale ¨ uber geeignete Grenzprozesse definiert.

Hauptsatz f¨ ur zweidimensionale Integrale:

Z Z

A

∂ x g = Z

C

g ~ n ⁰ _x ,

Z Z

A

∂ y h = Z

C

h n ~ ⁰ _y

mit (~ n _x ⁰ , ~ n ⁰ _y ) der nach außen gerichteten Einheitsnormalen von A setze g = F _y , h = −F _x und ber¨ ucksichtige

~ n(t) =

y ⁰ (t)

−x ⁰ (t)

, ~ n ⁰ = n/|~ ~ n|, dC = |~ n(t)| dt Z Z

∂ x g − ∂ y h = Z

F y

y ⁰

|~ n| + F x

x ⁰

|~ n|

|~ n| dt = Z

F ~ · dr ~

Beispiel:

Illustration des Satzes von Green f¨ ur das Vektorfeld F ~ (x, y) =

ax + by cx + dy

und die Einheitskreisscheibe

A : x ₁ ² + x ₂ ² ≤ 1 mit dem Rand

C : t 7→

cos t sin t

, t ∈ [0, 2π]

Z Z

A

(∂ x F y − ∂ y F x ) dA = Z Z

A

c − b dA = π(c − b)

Arbeitsintegral:

Z

C

F ~ · d~ r = Z 2π 0

a cos t + b sin t c cos t + d sin t

·

− sin t cos t

| {z }

~ r

(t)

dt

=

2π

Z

0

−a cos t sin t − b sin ² t + c cos ² t + d sin t cos t dt

= π(c − b) ,

Beispiel:

singul¨ ares Vektorfeld

F ~ = 1 x ² + y ²

−y x

auf der Kreisscheibe

A : x ² + y ² ≤ R, R > 0 Rotation

rot F ~ = ∂ _x F _y − ∂ _y F _x

= x ² + y ² − x(2x)

(x ² + y ² ) ² − −(x ² + y ² ) + y (2y)

(x ² + y ² ) ² = 0

~ r(t) =

x(t) y (t)

= R

cos t sin t

, t ∈ [0, 2π]

Arbeitsintegral Z

C

F ~ · d ~ r = Z

C

F x x ⁰ + F y y ⁰

=

2π

Z

0

−R sin t

R ² (−R sin t) + R cos t

R ² R cos t dt = 2π 6= 0

kein Widerspruch zum Satz von Green wegen der Singularit¨ at von F ~ bei

(0, 0)