6.6 Drell-Yan Prozess
C Ergänzungen zum Propa- gator
Die Eigenschaften des Propagators für Dirac-Teilchen D˜(p)= µpµ+m
pµpµ−m2+i✏
lassen sich nach Rücktransformation zu D(x−x′)verstehen.
D(x−x′)= 1
(2⇡)4 � d4p e−ip(x−x′)
µpµ+m pµpµ−m2+i✏
Insbesondere findet man für die Beziehung zwischen den Wellen- funktionen an verschiedenen Ortenx undx′:
(x)=i� dx�′D(x−x′) 0 (x′) Dies soll jetzt bewiesen werden. Mit E = �
�
p2+m2 folgt für den Nenner vonD˜:
pµpµ−m2+i✏=p20−�p2−m2+i✏=p20−E2+i✏≈(p0−(E−i✏)) (p0+(E−i✏)) für ✏→ 0. Wegen der Polstelle bei p0 = E−i✏ lässt sich das Inte- gral über die Energiekomponente p0 mit Hilfe des Residuensatzes ausführen:
D(x−x′) = 1
(2⇡)4 � dp e� ip�(�x−�x′) � dp0e−ip0(t−t′) 1 p0−(E−i✏)
µpµ+m p0+(E−i✏)
= −i
(2⇡)3 � dp e� ip�(�x−�x′)e−iE(t−t′)
0E−��p+m 2E Für eine eben Welle
(x′)=u(k)e−ikx′=u(k)e−ik0t′ei�kx�′ folgt daraus:
i� dx�′D(x−x′) 0 (x′)
= 1
(2⇡)3 � dp��� dx�′e−i(p�−�k)x′� eip�x�e−ik0t′ e−iE(t−t′)
0E−��p+m 2E
0u(k)
= ei�kx�e−ik0t′ e−ik0(t−t′)
0k0−��k+m 2k0
0u(k)=e−ikxu(k)
wobei das Integral überdx�′durch(2⇡)3 3(�p−�k)ersetzt wurde und damit E durchk0, sowie mit Hilfe der Dirac Gleichung:
(−��k 0+m 0)u= 0(��k+m)u= 0( 0k0)u=k0u
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