PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 5¨
Musterl¨osung zu Zusatzaufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. Wir betrachten (Z, τp) f¨ur einp >2. Zeigen Sie:
(a) Ist nα := 1 +p+p2+· · ·+pα, so giltT
α∈NA(nα, α+ 1) = ∅; insbesondere ist (Z, τp) nicht kompakt.
(Hinweis: Liegtmin dem Schnitt, so unterscheiden Sie die F¨allem <0 undm≥0 und folgern Sie in beiden F¨allen, dass mbeliebig klein/groß sein muss.)
(b) Jede der MengenA(n, α) ist abgeschlossen und hom¨oomorph zu (Z, τp).
(c) (Z, τp) ist nicht lokal-kompakt.
L¨osung: (a) Angenommen,mliegt in dem Schnitt.
Fall 1: m≥0. W¨ahleαmitm < pα. Dann folgt ein Widerspruch zum∈A(nα, α+ 1), weil nα < pα+1 und somit alle nichtnegativen Zahlen in A(nα, α+ 1) mindestens so groß wie pα sind.
Fall 2: m <0: W¨ahle α mitm >−pα(p−2)/(p−1). Dann folgt ein Widerspruch zu m∈A(nα+1, α+ 2), weilnα−pα+1 < pα+1/(p−1)−pα+1=−pα+1(p−2)/(p−1) und somit alle negativen Zahlen inA(nα, α+ 1) kleiner als−pα+1(p−2)/(p−1) sind.
(b) Seien n, α fest. Dann ist das Komplement von A(n, α) gleich der Vereinigung der A(n+i, α) f¨ur i = 1, . . . , pα −1 und somit offen. Außerdem ist die Abbildung Z → A(n, α), q 7→ n+qpα, bijektiv und das Bild einer Menge A(n0, α0) unter dieser Abbildung ist geradeA(n+n0pα, α+α0).
(c) Ist (Z, τp) lokal-kompakt und V eine kompakte Umgebung von 0, so enth¨altV ein A(0, α) und dieses muss dann als abgeschlossene Teilmenge selbst kompakt sein. DaZ hom¨oomorph dazu ist, w¨are dann auchZ kompakt.
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