Differentialgeometrie, WS 2015

Differentialgeometrie, WS 2015

Ulisse Stefanelli 27. Januar 2016

1 Wiederholung

1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale Z dx

(2 + 5x)⁴,

Z (arctanx)³ 1 +x² dx,

Z (logx)²

x e^(logx)3dx,

Z dx e^x+ e^−x. 2. Berechnen Sie die folgenden Integrale

Z 3

−2

(1−|x|)⁺dx,

Z e^e2

e

logx x dx,

Z π/2

0

sinxcosxdx, Z 1

−1

(xe^x−xe^−x)dx.

3. Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale Z +∞

0

xarctan(x²) 1 +x⁴ dx,

Z +∞

0

xe^−xdx,

Z +∞

0

xⁿe^−xdx (n∈N),

Z +∞

0

|sin(πx)|

bxc! dx 4. Betrachten Sie das Konvergenzverfahren in Rder folgenden Funktionenfolgen

f_n(x) = arctan(nx), g_n(x) =xⁿ, h_n(x) = (x− bxc)ⁿ. 5. Mit Hilfe der Potenzreihen, berechnen Sie die Reihen

+∞

X

n=0

(−64)ⁿπ²ⁿ (2n)! ,

+∞

X

0

cos(nπ) n! ,

+∞

X

0

(−1)ⁿ 2n+ 1

6. Berechnen Sie die McLaurinpolynome der Ordnung 13 der folgenden Funktionen f(x) = e^x3, g(x) =xcos(x³), h(x) = (g(x)))².

7. Sei (X, d) ein metrischer Raum und f :X →X und g :X →Rstetig. Stellen Sie Beispiele vor:

1

(a) A⊂X nicht kompakt mitf(A) und g(A) kompakt.

(b) A⊂X kompakt mit f⁻¹(A) und g(A) kompakt.

(c) A⊂X abgeschlossen mit f(A) undg(A) abgeschlossen.

(d) A⊂X offen mitf(A) offen und g(A) kompakt.

(e) B ⊂R kompakt mit g⁻¹(B) offen.

(f) B ⊂R offen mitg⁻¹(B) kompakt.

(g) B ⊂R kompakt mit g⁻¹(B) leer.

8. Seif(x, y) =x²y+sin(3y) und u= (1,√

3)/2. Berechnen Sie

∇f(x, y), ∂f

∂u(x, y), H_f(x, y), ∇ · ∇f(x, y), ∇(∇·∇f)(x, y), H∇(∇·∇f)(x, y).

9. Berechnen Sie den Differential von f : (x, y)∈R² 7→(xy, y²,cos(xy))∈R³ im Punkt (x, y). Sei L_P der Differential vonf im Punkt P = (1, π). Welchen Wert hatL_P(1,1)?

10. Sei f(x, y) = x⁴−y² −2x² + 4y f¨ur alle (x, y)∈ R² und sei (x₀, y₀) die einzige Maximumstelle von f. Welchen Wert hatf(x0, y0)?

2 Kurven

11. Zeichnen Sie das Bild und berechnen Sie den Tangentialvektor der Wege γ₁ :t ∈[0,1]7→(t², t), γ₂ :t∈[0, π]7→(tcost, tsint),

γ₃ :t ∈[0,4π]7→(cost,sint, t²), γ₄ :t ∈[−π, π]7→(cos|t|,sint).

12. Seiγ : [0,1]→Rⁿ beliebig. Stellen Sie Beispiele vor:

(a) γ₁ : [2,4]→Rⁿ, sodass γ ∼γ₁,

(b) γ2 : [0,1]→Rⁿ, sodass γ ∼(t 7→γ2(1−t)),

(c) γ₃ : [0,1]→Rⁿ, sodass γ(t) =γ₃(t) f¨urt∈[0,1/2] und γ(t) = γ₃(1−t) f¨urt ∈(1/2,1].

(d) γ₄ : [0,1/2]→R, sodass γ(t) = 2γ₄(2t) +u f¨uru∈Rⁿ gegeben.

13. Welche von diesen Kurven C_i mit Parameterdarstellungen γ_i : [−1,1] → R² sind geschlossen, st¨uckweise regul¨ar, differenzierbar?

γ₁(t) = (t⁺, t⁻), γ₂(t) = (cos(6πt), t),

γ₃(t) = ((cos(πt)⁺,(sin(πt)⁺), γ₄(t) =||t|−1/2|(cost,sint).

14. Sei die Kurve C von γ : t ∈ [0,2π] 7→ (cos(2π−t),sint) dargestellt. Welche von den folgenden Wege γi : [0,2π]→R² stellen die KurveC dar? Welche die Kurve−C?

γ₁(t) = (cost,sint), γ₂(t) = (cos(2π−t),−sint), γ₃(t) = (cost,sin(2π−t)), γ₄(t) = −(cost,−sint).

15. Berechnen Sie die L¨ange der Kurven mit Paremeterdarstellungen (a) γ₁ :t∈[0,2]7→(t, t²/√

2, t³/3), (b) γ₂ :t∈[0,1]7→(t,2t^3/2/3),

(c) γ₃ :t∈[0,1]7→(t³, t²),

(d) γ₄ :t∈[0,1]7→(e^tcost,e^tsint).

16. Berechnen Sie die Parametrizierung nach der Bogenl¨ange von (a) γ1 :t∈[0,2]7→(t,2t,3t),

(b) γ₂ :t∈[0,1]7→(t,2t^3/2/3), (c) γ₃ :t∈[0,1]7→(t³/3, t²/2).

17. Berechnen Sie die Integrale R

Cif_ids f¨ur (a) γ₁ :t∈[0,1]7→(t, t²),f₁(x, y) = 3x−√

y, (b) γ₂ :t∈[0,1/2]7→(e^t, t),f₂(x, y) = xe^y,

(c) γ₃ :t∈[0,2π]7→(cost,sint), f₃(x, y) = x²+y+xy, (d) γ4 :t∈[0,1]7→(e^tcost,e^tsint),f4(x, y) = x² +y².

3 Vektorfelder und Formen

18. Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale von Vektorfeldern (a) γ1 :t∈[0, π/2]7→(cost,sint), f(x, y) = (xy², x+y),

(b) γ₂ :t∈[0, π]7→(rcost, rsint) (r >0), f(x, y) = (x, x+y)/(x²+y²), (c) γ₃ :t∈[0,1]7→(t, t²),f(x, t) = (xy,e^x),

(d) γ₄ :t∈[1,2]7→(t, t²,1−t),f(x, y, z) = (3y, x,−2xz)/(x³+y+1).

19. Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale von Formen (a) γ₁ :t∈[0,1]7→(t+1,2t),ω(x, y) =ydx+ lnxdy, (b) γ₂ :t∈[0,1]7→(t,e^t), ω(x, y) = xydx− dy/(1+y),

(c) γ3 :t∈[3,5]7→(t,√

t²−9), ω(x, y) = dy−xydx, (d) γ₄ :t∈[0,1]7→(t, t+2), ω= d(xye^x+y),

20. Finden Sie Potentiale f¨ur die folgenden Vektorfelder (a) f :R² →R², f(x, y) = (2xye^x2,e^x2),

(b) g :R³ →R³,g(x, y, z) = (z², z−1, y+ 2xz), (c) h:R² →R²,h(x, y) = (e^ycos(xe^y), xe^ycos(xe^y)),

(d) `:R<sup>2</sup> →R<sup>2</sup>, `(x, y) = (ycos(xy)−xy²sin(xy), xcos(xy)−x²ysin(xy)).

21. Sei ω : R² \ {(0,0)} →^C1 (R²)^∗ geschlossen mit R

γω = 0, wobei γ : t ∈ [0,2π] 7→ (cost,sint).

Beweisen sie, dass ω exact ist.

22. Welche von diesen Formen ω_i :R²\ {(0,0)} 7→(R²)^∗ sind gechlossen bzw. exact?

(a) ω₁(x, y) = xdx

x²+y² + ydy x²+y², (b) ω₂(x, y) = −ydx

x²+y² + xdy x²+y², (c) ω₃(x, y) = x²dx

x²+y² + ydy x²+y², (d) ω₄(x, y) = (x−y) dx

x²+y² + (x+y) dy x²+y² .

23. Beweisen Sie, dass die folgenden Formen exact sind.

(a) ω: (x, y)∈R² 7→ −e^−y2dx+ 2xye^−y2dy,

(b) ω: (x, y)∈R² 7→cos(sin(xy)) cos(xy)(ydx+xdy), (c) ω: (x, y, z)∈R³ 7→yz²dx+xz²dy+ 2xyzdz, (d) ω: (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ7→Pn

i=1x_idx_i.

24. Beweisen Sie, dass alle stetige Formen ω:R→R^∗ exact sind.

4 Untermannigfaltigkeiten

25. Stellen Sie ein Beispiel einerC¹ Funktion ϕ:R^k →Rⁿ mit k ≤n vor, sodass gilt:

∀j = 0,1, . . . , k ∃x_j ∈R^k : Rang(Dϕ(x_j)) =j.

26. Seien f :R^k →Rⁿ und g :R^h →R^m differenzierbar, i≤k ≤n, j ≤h≤m und Rang(Df) =i, Rang(Dg) =j konstant. Seiϕ:R^k+h →R^n+m so gegeben

ϕ(u₁, . . . , u_k, u_k+1, . . . , u_k+h) = (f(u₁, . . . , u_k), g(u_k+1, . . . , u_k+h)).

Zeigen Sie, dass Rang(Dϕ) = i+j konstant.

27. Stellen Sie Beispiele vor:

(a) eine Immersionϕ:R² →R³, die nicht injektiv ist, (b) eine Immersionϕ:R⁴ →R⁶,

(c) eine C¹ Abbildung ϕ:R³ →R⁴, die keine Immersion ist.

28. Betrachten Sie die foldenden Abbildungen ϕ : U ⊂ R² → R³. Welche sind Immersionen? Wie sieht ϕ(U) aus?

(a) U = (0,2π)×(0, π),ϕ(u₁, u₂) = (sinu₂cosu₁,sinu₂sinu₁,cosu₂),

(b) U = (0,4π)², ϕ(u₁, u₂) = (cosu₁,sinu₁,3+ sinu₂), (c) U ={u∈R² : |u|<1}, ϕ(u₁, u₂) = (p

1−u²₁−u²₂, u₁, u₂), (d) U = (0,4π)×(0,1), ϕ(u₁, u₂) = (u₂cosu₁, u₂sinu₁, u₂),

(e) U = (0,4π)×(−1,1), ϕ(u1, u2) = (u2cosu1, u2sinu1, u2).

29. Beweisen Sie, dass ϕ: (x₁, . . . , x_k)∈R^k 7→(x₁,1, x₂,2, . . . , x_k, k)∈R^2k eine Immersion ist.

30. Beweisen Sie, dass die Menge {(x, y, z)∈R³ : x²+y² =z³ = 1} eine parametrisierte 1-Fl¨ache ist.

31. Sei f : R^k → R eine C¹ Abbildung. Zeigen Sie, dass der Graphen von f eine parametrisierte k-Fl¨ache (in R^k+1) ist.

32. Sie M =B₁ ∪B₂, wobei B₁ ={(x, y, z) ∈R³ : x² + (z−1)² = 1} und B₂ = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+z² = 4} sind. Beweisen Sie, dass M eine parametrisierte 2-Fl¨ache ist.

33. Seien die Mengen A, B, C, D, E ⊂R³ gegeben durch

A:={(x, y, z)∈R³ : y²+z² = 1}, B :={(x, y, z)∈R³ : x²+y² +z² = 9}, C:={(x, y, z)∈R³ : x²+y² =z²}, D:={(x, y, z)∈R³ : x=y},

E :={(x, y, z)∈R³ : (x−1)²+y²+z² = 1}.

Welche unter

A, B, C, D, E, C∩B, B∪E, C∩D, E∪D, A∩D, A∩B sind Untermannigfaltigkeiten von R³?

34. Stellen Sie Beispiele vor:

(a) M ⊂R³ nicht abgeschlossen,

(b) M ⊂R³,M abgeschlossen und nicht kompakt, (c) M ⊂R⁴,M kompakt, dim(M) = 3,

(d) M ⊂R²ⁿ, dim(M) =n.

35. Finden Sie Karten um (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) f¨ur S². Beweisen Sie, dass keine Karte ϕ:U ⊂R² →R³ (U offen) existiert, sodassS² =ϕ(U).

36. SeiM eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rⁿ. Beweisen Sie, dass es gilt:

(a) {(m,0)∈Rⁿ⁺¹ : m∈M}ist eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit vonRⁿ⁺¹, (b) M ×M ist eine 2k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R²ⁿ.

37. Seien M, N ⊂ Rⁿ Untermannigfaltigkeiten gegeben, sodass M ∪N noch eine Untermannigfal- tigkeit ist. Stimmt es, dass dim(M∪N) = dim(M) = dim(N)? Gilt es unter der Voraussetzung

’M ∩N Untermannigfaltigkeit’ ? 38. Zeichnen Sie in R³ folgende:

(a) eine Ebene, eine Kugel, einen Kegel, einen Zylinder,

(b) den Schnitt zwischen: Ebene und Kugel, Ebene und Kegel, Ebene und Zylinder, (c) den Schnitt zwischen: Kugel und Kegel, Kugel und Zylinder,

(d) den Schnitt zwischen Kegel und Zylinder.

39. Schauen Sie http://imaginary.org/gallery/herwig-hauser-classic an. Zeigen Sie, dass Zitrus, Daisy, Diabolo und Dullo keine (Hyper)fl¨achen sind.

40. Seien A und B nichtleere Teilmengen von Rⁿ. Beweisen Sie folgendes (a) A⊂B ⇒span(A)⊂span(B),

(b) {v₁, . . . , v_k} Basis von A⇒span(A) = span({v₁, . . . , v_k}), (c) span(span(A)) = span(A),

(d) {0}^⊥=Rⁿ, (Rⁿ)^⊥ ={0},

(e) A⊂(A^⊥)^⊥. Zeigen Sie auch, dass A6= (A^⊥)^⊥ sein kann, (f) A Teilraum⇒ A= (A^⊥)^⊥,

(g) span(A)⊂(A^⊥)^⊥.

Freiwillig: ist span(A) = (A^⊥)^⊥? Gilts es:A= (A^⊥)^⊥ ⇒ A Teilraum?

41. Finden Sie T_pM und N_pM der folgenden Hyperfl¨achen:

(a) M ={(x,e^x)∈R² : x∈R}, (b) M ={(x, y)∈R² : x² + 4y² = 5},

(c) M ={((v₂²+1) cosv₁,(v²₂+1) sinv₁, v₂)∈R³ : (v₁, v₂)∈R²}, (d) M ={(x, y,log(x²+y²))∈R³ : (x, y)6= (0,0)}

(e) M ={Ax∈Rⁿ : x∈Rⁿ},A∈R^n×n beliebige Matrix.

42. Stellen Sie Beispiele vor:

(a) eine kompakte Fl¨acheM ⊂R³ mit K >0 in allen Punkten, (b) eine nicht kompakte Fl¨acheM ⊂R³ mit K >0 in allen Punkten,

(c) eine nicht beschr¨ankte Fl¨ache M ⊂R³ mit K >0 in allen Punkten, (d) eine nicht kompakte Fl¨acheM ⊂R³ mit K = 0 in allen Punkten,

(e) eine nicht kompakte Fl¨acheM ⊂R³ mit K <0 in allen Punkten.

43. Berechnen Sie die gaußche Kr¨ummung von S² ⊂R³ durch die Parametrisierung ϕ: (u₁, u₂)∈(0, π)×(0,2π)7→(sinu₁cosu₂,sinu₁sinu₂,cosu₁).

Ist ϕeine globale Parametrisierung von S²? (oder: istS² das Bild von ϕ?) Warum?

44. Seien M ⊂R³ eine Fl¨ache und p∈M. Beweisen Sie, dass H(p) = 0⇒K(p)≤0.

45. Auf einen beliebigen Torus in R³ finden Sie Punkte, wo K > 0, K < 0 und K = 0. Gibt es Punkte, wo H = 0?

46. Seien 0 < r < R und M = {(x, y, z) ∈ R³ : x²/R² +y²/r²+z²/r² = 1}. Berechnen Sie die gaußche und die mittlere Kr¨ummung im Punkt p= (R,0,0).

5 Lebesgue Integral

47. SeiJ ⊂Rⁿein Multiquader. Finden Sie zwei verschiedene Darstellungen von Dals Vereinugung von Quadern.

48. SeienJ_n⊂RⁿundJ_m ⊂R^mMultiquadern. Beweisen Sie, dassJ_n×J_m ⊂R^n+m ein Multiquader ist. Sei jetzt J ⊂ R^n+m ein Multiquader. Stimmt es, dass zwei Multiquadern J_n ⊂ Rⁿ und J_m ⊂R^m existieren, sodass J =J_n×J_m?

49. SeiJ ⊂Rⁿ ein Multiquader. Zeigen Sie Folgendes:

∀m≤n die Menge {(x₁, . . . , x_m)∈R^m : x= (x₁, . . . , x_n)∈J} ist ein Multiquader.

50. Seien J_i ⊂Rⁿ Multiquadern f¨ur alle i∈N mit J₁ ⊂J₂ ⊂J₃ ⊂. . .. Stimmt es, dass J =∪i∈NJ_i ein Multiquader ist? Gilt die Behauptung, falls wir zus¨atzlich annehmen, dass J beschr¨ankt ist?

51. Seien O_i ⊂ Rⁿ offen und A_i ⊂Rⁿ abgeschlossen mit i∈ N. Beweisen Sie Folgende oder stellen Sie Gegenbeispiele vor.

(a) ∪ⁿ_i=1Oi offen, (b) ∩ⁿ_i=1O_i offen,

(c) ∪ⁿ_i=1A_i abgeschlossen, (d) ∩ⁿ_i=1A_i abgeschlossen,

(e) ∪^+∞_i=1O_i offen, (f) ∩^+∞_i=1O_i offen,

(g) ∪^+∞_i=1A_i abgeschlossen, (h) ∩^+∞_i=1Ai abgeschlossen,

(i) O₁ ⊂O₂ ⊂. . . ⇒ ∀i∈N: O_i ⊂ ∪^+∞_i=1O_i, (j) A₁ ⊃A₂ ⊃. . . ⇒ ∀i∈N: ∩^+∞_i=1A_i ⊂A_i. 52. Finden Sie eine nicht messbare Menge in R².

53. SeiC ⊂R die Cantor Menge. Zeichnen Sie C×C ∈R² und beweisen Sie, dass C×C messbar ist und dass m(C×C) = 0.

54. Berechnen Sie das Maß von M_i ⊂R² gegeben durch (a) M₁ ={(x, y)∈[0, π]×R : y= sinx},

(b) M₂ ={(x, y)∈R×R : y = sinx}, (c) M₃ ={(x, y)∈R×[0, π] : x= siny}, (d) M₄ ={(x, y)∈[0, π]×R : 0≤y≤sinx}.

55. Seien D ∈ R^n×n eine positiv definite diagonale Matrix, M ⊂ Rⁿ ein Multiquader und DM = {Dm : m ∈ M}. Zeigen Sie, dass m(DM) = (detD)m(M). Sei jetzt E ⊂ Rⁿ. Zeigen Sie Folgendes:

E ist messbar ⇔ DE ={De : e∈E} ist messbar und, in diesem Fall,

m(DE) = (detD)m(E).

56. SeienR∈R^n×neine orthogonale Matrix,M ⊂Rⁿ ein Multiquader undRM ={Rm : m∈M}.

Zeigen Sie, dass m(RM) =m(M). Sei jetzt E ⊂Rⁿ. Zeigen Sie Folgendes:

E ist messbar ⇔ RE={Re : e ∈E} ist messbar und, in diesem Fall,

m(RE) =m(E).

57. Seien A∈R^n×n eine positiv definite Matrix und E ⊂Rⁿ. Zeigen Sie Folgendes:

E ist messbar ⇔ AE ={Ae : e∈E} ist messbar und, in diesem Fall,

m(AE) = (detA)m(E).

58. Zeigen Sie, dass die Abbildungen x 7→ e^x, x 7→ bxc, x 7→ sign(x), wobei sign(x) = x/|x| f¨ur x6= 0 und sign(0) = 0, und x7→sin(x) messbar sind.

59. Seien f, g :Rⁿ →Rmessbar. Zeigen Sie, dass x7→max{f(x), g(x)} messbar ist.

60. Seif :R→[0,+∞) und E ={x∈R : f(x)>0}. Zeigen Sie Folgende:

(a) f messbar ⇒ E messbar.

(b) E messbar6⇒ f messbar.

(c) E abz¨ahlbar ⇒f integrierbar.

(d) E Nullmenge ⇒ f integrierbar.

61. Seif :x∈(0,1)7→1/x. Beweisen Sie, dass f 6∈ L(0,1).

62. Sei f : [0,+∞) →[0,+∞) Riemann uneigentlich integrierbar in [0,+∞). Zeigen Sie, dass ihre triviale Erweiterung ˜f : R → R ( ˜f(x) = f(x) f¨ur x ≥ 0 and ˜f(x) = 0 f¨ur x < 0) Lebesgue integrierbar in R ist und dass es gilt:

Z +∞

0

f(x) dx= Z

[0,+∞)

f(x) dx.˜

63. Stellen Sie Beispiele vor

(a) f ∈ L([0,1]), f² 6∈R[0,1], (b) g ∈ L([0,+∞))\R[0,+∞),

(c) h_k ∈ L([0,1]), h_k →^p 0, R

[0,1]h_k(x) dx6→0,

(d) `<sub>k</sub> ∈ L([0,1]), `_k →^p `, `6∈ L([0,1]), (e) qk∈ L([0,1]), qk

→p q, R

[0,1]q²_k(x) dx6→R

[0,1]q²(x) dx

64. Benutzen Sie den Cavalierisatz, um das dreidimensionale Inhalt der Kugel mit Radius r > 0, des Zylinders mit Radiusr >0 und H¨oheh >0 und des Kegels mit Basisradiusr >0 und H¨ohe h >0 zu berechnen.

65. Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) Z

D

y

1 +xdxdy, D= [0,1]², (b)

Z

D

y²xdxdy, D= [0, π]×[0,1], (c)

Z

D

xy²

1 +z² dxdydz, D= [1,2]×[0,1]×[0,1].

66. Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) Z

D

(sinxcosy+ sinycosx) dxdy, D= [0, π]×[−π/2, π/2], (b)

Z

D

xsin(xy) dxdy, D= [π,3π]×[0,1], (c)

Z

D

x²cos(xy) dxdy, D= [0, π]×[0,1].

67. Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) Z

D

x²(y+1) dxdy, D={(x, y)∈R² : |x|+|y| ≤1}, (b)

Z

D

(x²y−yx) dxdy, D ={(x, y)∈R : |x| ≤1, 0≤y≤1− |x|}, (c)

Z

D

x²ydxdy, D={(x, y)∈R :x²+y² ≤4, y ≥0}.

68. Seiα = (α₁, . . . , α_n)∈Rⁿ mit α_i 6=−1 f¨ur alle i. Berechnen Sie Z

[0,1]ⁿ

x^α₁¹. . . x^α_nⁿdx₁. . .dx_n. 69. Berechnen Sie den Inhalt des Symplexus in R³

S ={(x, y, z)∈R³ : x, y, z ≥0, x+y+z≤1}.

Zeichnen Sie diesen Bereich.

70. SeiE ⊂R³ das kleinste konvexe Polyeder, das die Punkte

(−1,0,0), (0,2,0), (0,−2,0), (2,0,0),(0,0,3) enth¨alt. Zeichnen Sie E und berechnen Sie R

E(y−3) dxdydz.

71. Durch die Transformationsformel berechnen Sie den Inhalt der folgenden Mengen

• A={(x, y)∈R² : 4x²+y² ≤9},

• B ={(x, y)∈R² : (x/a)²+ (y/b)² ≤1} mit a, b, r > 0,

• C ={(x, y)∈R² : 1≤x²y≤8, x≤y≤27x}.

Zeichnen Sie diese Mengen.

72. Zeichnen Sie die Menge E = {(x, y) ∈ R² : x² +y² ≤4, y ≥ max{0,−x}} und berechnen Sie R

Exydxdy.

73. Durch die Transformationsformel berechnen Sie den Inhalt von A = {(x, y, z) ∈ R³ : 0 ≤ z ≤ 1−x²−y²}. Zeichnen Sie diese Menge.

74. Berechnen Sie den Inhalt des Bereichs inR², der von der archimedischen Spirale t∈[0,2π]7→(tcost, tsint)

und dem Intervall [0,2π] umschlossen wird. Zeichnen Sie diesen Bereich.

75. Berechnen Sie den Inhalt des Bereichs inR², der von der Kardioide t ∈[0,2π]7→((1+ cost) cost,(1+ cost) sint) umschlossen wird. Zeichnen Sie diesen Bereich.

6 Fl¨ achenintegrale und Differentials¨ atze

76. Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt der Fl¨ache M = {(x, y, z) ∈R³ : x²+y² ≤1, z = 2y} sowie das Integral R

M(x²−y) dS.

[Antworte: Fl(M) =√ 5π, R

M(x²−y) dS =√ 5π/4]

77. Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt der Fl¨acheM ={(x, y, z)∈R³ : x²+y² ≤1, z =p

4−x²−y²}.

[Antwort: Fl(M) = 4π(2−√ 3)]

78. Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt der Fl¨acheM ={(x, y, z)∈R³ : x²+y² ≤1, z = 1 +x²+y²} sowie das Integral R

Mx²ydS.

[Antworte: Fl(M) = (π/6)(5^3/2−1), R

M x²ydS= 0]

79. Benutzen Sie den Gauß-Green-Satz in zwei Dimensionen, um folgende Integrale zu berechnen:

(a) R

C(x², yx)·Ndγ, (b) R

C(x−y, x+y)·Ndγ, (c) R

C(siny+x³, x+πy)·Ndγ,

wobei γ :t∈[0,2π]7→(cost,sint), C =γ([0,2π]) und N der externe Normalvektor zuC sind.

80. Sei V das kleinste konvexe Polyeder, das dei Punkte (0,−1,0),(0,0,1),(1,0,0) und (0,1,0) enth¨alt und sei N der externe Normalvektor zu∂V. Berechnen Sie

Z

∂V

(xy+e^zsiny,3y−arctan(z), z−xy²)·NdS.

81. Berechnen Sie

Z

S²

(x³+y, y³−z, z)·NdS, wobei N der externe Normalvektor zu S² ∈R³ ist.

82. Sei D = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² +y² ≤ 4, x ≥ 0} und C die Randkurve von D (einmal, im Gegenuhrzeigersinn). Berechnen Sie

Z

C

(−2xy, x⁴y)·d~γ.

83. Sei D ∈ R² das Dreieck mit Ecken (0,0), (−1,1) und (−1,−1) und C die Randkurve von D (einmal, im Gegenuhrzeigersinn). Berechnen Sie

Z

C

(5xy, xy³+ 5y²)·d~γ.