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Tipps: Blatt 7
Sei S ein Mengensystem über M mit ∅ ∈ S und µ ein Maß auf S. N ⊂ M heißt Nullmenge, falls
µ∗(N) = 0.
Insbesondere ist N ∈ S eine Nullmenge genau dann, wenn : µ(N) = 0..
Aufgabe 34:
Überdecke die Hyberebene durch eine geeigente Familie von Quadern. Hierbei soll- te die Seitenlänge des Quaders in der n-ten Koordinate eine geeignete Länge mit ε-Abhängigkeit haben. Da ihr das Maß von der Hyperebene wollt und dies durch die Summe die Maße der Quader erhaltet, müsst ihr bei der Wahl der Quader darauf achten, dass die Summe endlich ist.
Aufgabe 35:
Für P = N ×Rm reicht es nachzuweisen, dass P ∩ B eine Nullmenge für alle beschränkten Quader B ∈Rn+m ist.
Aufgabe 36:
Betrachte zunächst den Fall, dassI ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ist. Wendet den Satz von Heine an und zerlegt I in geeignete disjunkte Interval- le. Beweist für dieses Intervall, dass der Graph eine Nullmenge ist. Anschließend müsst ihr ein beliebiges Intervall nehmen und begründen warum das oben gezeigte weiterhin gilt.
Aufgabe 37:
Falls das nicht sofort klar ist, malt euch die Mengen und deren Schnitte auf.
Wintersemester 2013/2014 Maß- und Integrationstheorie
