Anneauxcommutatifs,id´eaux,quotients Alg`ebrecommutative

Universit´e de Rennes 1 Master M1

Ann´ee 2007-2008 F. Ivorra M. Schweighofer

Alg` ebre commutative

Feuille d’exercices 1

Anneaux commutatifs, id´eaux, quotients

Tous les anneaux consid´er´es dans la suite seront suppos´es commutatifs et unitaires, et tous les homomorphismes d’anneaux seront suppos´es unitaires. Sauf pr´ecisions suppl´ementaires, la lettreAd´esignera un tel anneau.

Exercice 1. — (a) Montrer que l’intersection d’un ensemble de sous-anneaux de A est encore un sous-anneauA.

(b) Soit B un sous-anneau deA et I un id´eal deA.

SoitRl’ensemble des sommesb+cpourb∈B et c∈I. Montrer queRest un sous-anneau deA.

Exercice 2. — Soient Z[√

2] et Z[√

3] les sous- anneaux de C engendr´es (en tant qu’anneau uni- taire) respectivement par √

2 et √

3. Montrer qu’il n’existe pas d’homomorphisme d’anneaux de Z[√

2]

dansZ[√ 3].

Exercice 3. — Soient K un corps et A un anneau 6={0}. Montrer que tout homomorphisme d’anneaux deK dansAest injectif.

Exercice 4. — Soient I, J et L des id´eaux de A.

D´emontrer les assertions suivantes : (a) I·J est contenu dansI∩J; (b) on a (I·J) + (I·L) =I·(J +L) ;

(c) (I∩J) + (I∩L) est contenu dansI∩(J+L) ; (d) si A est principal, on a (I ∩ J) + (I ∩ L) =

I∩(J+L) ;

(e) si J est contenu dans I, on a J + (I ∩L) = I∩(J+L) ;

(f) soit K un corps. Supposons que l’on ait A = K[X, Y]. Posons I = (X), J = (Y) et L = (X+Y). D´eterminer (I∩J)+(I∩L) etI∩(J+L), puis les comparer.

Exercice 5. — Supposons queAsoit un produit fini d’anneauxA_i : on a

A=A₁× · · · ×A_n.

(a) Montrer que les id´eaux de A sont de la forme I1×. . . In, o`u lesIj sont des id´eaux deA.

(b) D´eterminer les id´eaux premiers et maximaux de A.

(c) Supposons de plus que les A_i soient des corps.

Montrer queAn’a qu’un nombre fini d’id´eaux.

Exercice 6. — Montrer qu’un anneau int`egre ne poss´edant qu’un nombre fini d’id´eaux est un corps.

Exercice 7. — Soient B un anneau et f : A → B un homomorphisme d’anneaux. Pour tout id´ealI de A, on notef∗(I) l’id´eal deB engendr´e parf(I) et on l’appelle extension deI dansB. Pour tout id´ealJ de B, on appelle contraction de J l’id´ealf⁻¹(J).

Etant donn´´ e un id´eal I de A et un id´eal J de B, montrer les assertions suivantes :

(a) I est contenu dans f⁻¹(f_∗(I)) et J contient f∗(f⁻¹(J)) ;

(b) on a f⁻¹(J) = f⁻¹(f_∗(f⁻¹(J))) et f_∗(I) = f_∗(f⁻¹(f_∗(I))).

Soit A l’ensemble des id´eaux de A qui sont des contractions d’id´eaux deBetBl’ensemble des id´eaux deB qui sont des extensions d’id´eaux deA.

(c) on aA ={I |I =f⁻¹(f_∗(I))} et B ={J |J = f_∗(f⁻¹(J))};

(d) l’applicationf_∗ d´efinit une bijection deAsurB; quel est son inverse ?

Soint I1 et I2 deux id´eaux de A, et J1 et J2 deux id´eaux deB. Montrer les assertions suivantes : (e) on af_∗(I1+I2) =f_∗(I1) +f_∗(I2) etf⁻¹(J1+J2)

contientf⁻¹(J1) +f⁻¹(J2) ;

(f) f∗(I1∩I2) est contenu dansf∗(I1)∩f∗(I2) et l’on af⁻¹(J₁∩J₂) =f⁻¹(J₁)∩f⁻¹(J₂) ;

(g) on a f_∗(I1·I2) = f_∗(I1)·f_∗(I2) et f⁻¹(J1·J2) contientf⁻¹(J1)·f⁻¹(J2) ;

(h) f_∗(√

I) est contenu dans p

f_∗(I) et l’on a f⁻¹(√

J) =p f⁻¹(J).

1

2

Exercice 8. — Soit n un entier ≥ 1. On note s : Z→Z/nZla surjection canonique.

(a) ´Etant donn´e un entier m, montrer que s(m) est inversible dans l’anneau Z/nZ si et seulement si net msont premiers entre eux.

(b) Montrer que l’anneauZ/nZest int`egre si et seule- ment sinest premier.

(c) D´eterminer l’id´eal√ nZ.

Exercice 9. — Soient p un id´eal premier de A, et (Ik)_1≤k≤n nid´eaux deA. On suppose que pcontient l’ id´eal produit Q

1≤k≤nI_k. Montrer que p contient l’un des id´eauxI_k.

Exercice 10. — SoientJ et (Ik)_1≤k≤nid´eaux deA.

Si n ≥ 3, on suppose que I3, . . . , In sont premiers.

Montrer queJ est contenu dans l’un desI_k.

Exercice 11. — Montrer que l’anneau C[X, Y]/(Y −X²) est principal.

Exercice 12. — D´eterminer tous les id´eaux pre- miers des anneaux suivants :

(a) C[X] ;

(b) R[X]/(X²+X+ 1) ;

(c) R[X]/(X³−6X²+ 11X+ 6) ; (d) R[X]/(X⁴−1).

D´eterminer tous les morphismes deR-alg`ebres de ces alg`ebres dansRetC.

Exercice 13. — Soit K un corps. On pose A = K[X, Y]/(X², XY, Y²).

(a) D´eterminer les ´el´ements inversibles deA; (b) d´eterminer tous les id´eaux principaux deA;

(c) d´eterminer tous les id´eaux deA.

Exercice 14. — Soient K un corps et ϕ : K[U, V]→K[X] l’homomorphisme d’anneaux d´efini par les ´egalit´esϕ(U) =X³,ϕ(V) =−X²etϕ(a) =a pour toutadansK. Quels sont les noyau et image de ϕ? SoitAl’image deϕ. Montrer queAest int`egre et que son corps des fractions est isomorphe `a K(X).

Exercice 15. — SoitI un id´eal de A et soitS une partie deA. On d´efinit leconducteur I:S deS dans I par la formule

I:S :={a∈A|pour touts∈S,as∈I}.

Montrer que c’est un id´eal de A; c’est le plus grand id´eal KdeAtel que KS⊂I.

Exercice 16. — (a) Soient I et J deux id´eaux co- maximaux de A. Montrer que l’on a I : J = I.

SoitLun id´eal tel queI·Lsoit contenu dansJ. Montrer queLest contenu dansJ.

(b) Soientpetqdeux id´eaux premiers deAdont au- cun n’est inclus dans l’autre. Montrer quep:q= p et q : p = q. Si K est un corps, donner un exemple de deux id´eaux premiers deK[X, Y] dont aucun n’est contenu dans l’autre et qui ne sont pas comaximaux.

(c) Soit aun ´el´ement deAnon diviseur de z´ero. On suppose que (a) est un id´eal premier et que l’on a (a) = I·J o`u I et J sont deux id´eaux de A.

Montrer que l’on aI=Aou bienJ =A.

(d) SoitAint`egre etI,J etI+J des id´eaux princi- paux. Montrer queI:J est un id´eal principal.

Exercice 17. — Montrer qu’un anneau est local si et seulement si l’ensemble de ses ´el´ements non inver- sibles est un id´eal.

Exercice 18. — SoientIetJdeux id´eaux deA. On suppose queI+J =A. Montrer que pour tout entier n≥0,Iⁿ+Jⁿ=A.

Exercice 19. — Soit A un anneau int`egre et p un id´eal premier principal. SoitIun id´eal principal deA contenantp. Montrer queI=A ouI=p.

Exercice 20. — SoitAun anneau local.

(a) Soitf1, . . . , fs∈Atels que 1 =Ps

i=1fi. Montrer que l’un desfi est invertible.

SoitIetJ deux id´eaux deAeta∈Aun ´el´ement non diviseur de 0 tel queIJ = (a).

(b) Montrer qu’il existe x ∈ I et y ∈ J tels que xy=a. Justifier quexet y ne sont pas diviseurs de 0.

(c) En d´eduire queI= (x) etJ = (y).

Exercice 21. — Soit A l’anneau des fonctions continues sur un espace topologique compactK.

(a) Soit I ⊂A un id´eal distinct de A. Montrer qu’il existex∈Ktel que pour toutf ∈I,f(x) = 0.

(b) D´eterminer les id´eaux maximaux deA.

Exercice 22. — On appellespectre deAl’ensemble des id´eaux premiers de A. On le note SpecA. Pour tout id´eal I deA, on d´efinit l’ensembleV(I) des ´el´e- ments de SpecA qui contiennent I (autrement dit V(I) est l’ensemble des id´eaux premiers de A qui

3

contiennent I). On dit queV(I) est un ensemble al- g´ebrique. Soient I et J des id´eaux deA. Montrer les assertions suivantes :

(a) SiI est inclus dansJ alorsV(I) contientV(J) ; (b) on aV(√

I) =V(I) ;

(c) on aV(I∩J) =V(I·J) =V(I)∪V(J) ; (d) on aV(I+J) =V(I)∩V(J) ;

Pour tout ensemble alg´ebrique Z, on d´efinit l’en- semble I(Z) comme ´etant l’intersection des id´eaux premiers qui appartiennent `a Z. Montrer les asser- tions suivantes :

(e) on aI(Z) =p I(Z) ;

(f) si J est un id´eal de A; on a I(V(J)) = √ J et V(I(Z)) = Z. En d´eduire une bijection entre les ensembles alg´ebriques et les id´eaux ´egaux `a leur racine ;

(g) si Z est contenu dans Z⁰ alors I(Z) contient I(Z⁰) ;

(h) on aI(Z∩Z⁰) =I(Z)∩I(Z⁰) ; (i) on a I(Z∩Z⁰) =p

I(Z) +I(Z⁰) ;

Pour tout ´el´ementf deAon note D_f l’ensemble des id´eaux premiers deAqui ne contiennent pasf. Mon- trer les assertions suivantes :

(j) on aDf∩Dg=Df g;

(k) f est nilpotent si et seulement siD_f est vide ; (l) on a Df = SpecA si et seulement si f est une

unit´e deA;

(m) on aD_f =D_gsi et seulement sip

(f) =p (g).

Exercice 23. — (a) Soit a∈A tel quea² =a(un idempotent). Montrer queV(a)⊂SpecAest `a la fois ouvert et ferm´e.

(b) Montrer que l’ensemble des parties ouvertes et fer- m´ees de SpecA est en bijection avec les idempo- tents deA.

Exercice 24. — (a) Tout id´eal premier contient un id´eal premier minimal.

(b) Tout ´el´ement d’un id´eal premier minimal ne contient que des diviseurs de z´ero.

(c) Si l’anneau est r´eduit, alors l’ensemble des divi- seurs de z´ero est ´egal `a la r´eunion de tous les id´eaux premiers minimaux.

Exercice 25. — (a) Soit a ∈ A un ´el´ement nil- potent. Si n ≥ 0 est tel que aⁿ⁺¹ = 0, calculer (1 +a)(1−a+a²− · · ·+ (−1)ⁿaⁿ). En d´eduire que 1 +aest inversible dans A.

(b) Soita∈A un ´el´ement inversible etb∈A un ´el´e- ment nilpotent ; montrer quea+best inversible.