Netze - Ein Überblick über Methoden ihrer strukturellen Erschließung in der Geographie — erdkunde

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netze - ein Oberblick Ober methoden

ihrer strukturellen erschliessung in der geographie

Mit 18 Abbildungen und 9 Tabellen

Christoph Leusmann

Summary: Networks?a review of methods by which they could be structurally developed in Geography

Basic to the discussion is the presentation of given geograph ically relevant networks as planar graphs. This method is intended to enable networks and their elements to be described by indices. In addition, it allows the comparison of different networks and the handling of binary matrices in their signifi

cance for recognising structures. The question is, specifically, not about questions of 'usability' in the sense of an 'applied'

geography but only an introductory review of the most im portant known methods of quantitatively describing such network structures.

Spatestens im Lauf e des letzten Dezenniums sind Mog lichkeiten und auch Bereitschaft zur Erfassung, Charak

terisierung und Differenzierung von Strukturen geogra

phisch relevanter Sachverhalte iiber den Rahmen einer mehr intuitiven Kenntnisnahme hinaus vielfaltig erwei

tert und verfeinert worden. Diesbezugliche modellhafte

Ansatze sowie bevorzugt quantitativ-analytische Metho

dik fanden so gerade auch in der Verkehrsgeographie - zumindest im englischsprachigen Raum - ihren Nieder schlag1). Immerhin bietet doch gerade das Verkehrsnetz

*) Vgl. insbesondere Haggett & Chorley, 1969; im deutschsprachigen Schrifttum kann hier lediglich auf die Ar beiten von Werner, 1966 und Vetter, 1970 hingewiesen werden.

als solches augenscheinlich beste Voraussetzungen fiir eine effektivere und eindeutige Operationalisierung

struktureller Beziige.

Im folgenden sollen so einige der gebrauchlichsten Methoden zur Beschreibung von Netzen knapp - und

natiirlich in mancher Hinsicht kompilatorisch - aufge zeichnet werden. Diese Verfahren mogen im obigen Sinne als Moglichkeiten verstarkter Objektivierung bis

lang weithin durch ?Anschauung" erarbeiteter Tatbe

stande verstanden werden, und schlieBlich zu exakteren

Bewertungsansatzen derartiger Beziehungen verhelfen.

Dabei wird zudem an einer Stelle kurz auf die Vorstellung eines neuen Indexes und gegebenenfalls seine Stellung

im Gesamtkatalog eingegangen. Unter einem Netz (net

work) soil nun des weiteren eine Menge G von Kanten (ei) und Knoten (vi) mit:

1. es gibt mindestens einen Knoten

2. es gibt nur endlich viele Knoten

3. jede Kante - und hochstens eine - verbindet zwei ver schiedene Knoten

4. die Kanten sind ungerichtet

verstanden werden2).

2) Genauer konnten wir von einer Abbildung q> einer Menge Gx (Kanten) in die Produktmenge G2 G2 einer zu Gx element fremden Menge G2 (Knoten) sprechen: G1-^G2 G2 mit

^(ei) = (vi? vj)? dies bedeutet, daB die Kante die beiden

Endpunkte vj und Vj besitzt.

Die hierdurch reprasentierten aktuellen Verkehrsnetze,

FluBnetze, Regionssysteme, sozialen Interaktionssysteme

u. a.3) werden nun im Sinne eines Graphs4) insbesondere auf ihre geometrisch-topologischen Eigenschaften5) hin

untersucht. Gerade diese topologische bzw. quasitopo

logische Betrachtungsweise laBt wegen der Invarianz gegeniiber stetigen Veranderungen eine Generalisierung auf wesentlichste Aussagen zu und vermag tief ergehende Aufschliisse iiber strukturelle Zusammenhange zu geben.

Emschrankend soil zusatzlich vorausgesetzt werden,

daB es sich

5. um planare Netze handelt,

d. h. um Netze, bei denen sich bei Projektion in eine Ebene die Kanten nur in den vorgegebenen Knoten

schneiden6); moglicherweise werden dann allerdings der tatsachlichen Festlegung von Zahl und Art der zu be handelnden Knoten sowohl topologische wie nichttopo

logische (z. B. StadtgroBe) Kriterien zugrundegelegt.

Im Schrifttum selbst lassen sich hauptsachlich drei

unterschiedliche Ansatze zur deskriptiven, charakteri

sierenden und differenzierenden strukturellen Darstellung der Netze unterscheiden (vgl. Kansky, 1963; Tinkler, 1972a; Tinkler, 1972b). Zum einen wird dies durch Be trachtung der dem Netz zugehorigen Eigenwerte und Eigenvektoren sowie den Verfahren der Hauptkompo

nentenanalyse bzw. allgemein faktorenanalytischer Me

thoden zu erreichen versucht (Garrison/Marble, 1964;

Gould, 1967; Gauthier, 1968; Tinkler, 1972 a). Ein zweiter Weg fiihrt iiber die Behandlung von Fragen des Vergleichs aktueller Netze mit hypothetischen vorziig

lich radialer Natur (Tinkler, 1972 b). SchlieBlich zieht man haufig sowohl bezuglich einzelner Knoten (Kanten) wie auch des gesamten Netzes (oder Subnetze) Indizes

bzw. Mengen von Indizes heran. Diese sind entweder aus

den zugrundeliegenden Elementen alleine bestimmt, oder

werden moglicherweise aus gewissen nicht-topologi

schen Merkmalen und Gewichtungen berechnet.

Gerade an* diesen MaBen allerdings ist gelegentlich Kritik geiibt worden (Werner, 1968; James/Cliff/

Haggett/Ord, 1970) zumal (s. u.) mancher Index insbe sondere der Aufgabe der Differenzierung in nur geringem Umfang entsprechen kann. Dennoch scheint diese Me

thode fiir eine schnelle, iibersichtliche Kennzeichnung und als Ausgang fiir weitergehende Techniken nicht ent behrlich.

1. Charakterisierung des Netzes

1.1. Von den gangigen MaBzahlen zur Charakterisie rung zunachst einzelner Knoten in einem Netz sei die assoziierte Zahl ai mit

3) Die Beispiele im folgenden sind am ehesten als StraBen oder Eisenbahnnetze zu realisieren, doch erscheint gerade in diesem Stadium der aktuelle Bezug auBerordentlich variabel und damit in seiner Bestimmtheit zweitrangig.

4) Vgl. Busacker/Saaty, 1968 und Kaufmann, 1971 5) Zur Topologie vgl. Franz, 1965.

6) Eine Entscheidung uber Planaritat ist nicht immer ein fach, da der Begriff ja im Sinne eines Isomorphismus verstanden

werden muB; so ist z. B.

<^^X^ planar, da isomorph

ai = Max Min(d(vi, Vj)) (1) j d(vi, Vj) = Kantenzahl zwischen Vi/vj

= topologische Entfernung

= Lange der Kette vi/vj Min (d (vi, Vj) = kleinstmogliche Kantenzahl

= kiirzeste Kette

= Distanz

vorangestellt, als MaB fiir die Zentralitat eines Knotens innerhalb des Netzes bei Beriicksichtigung rein topologi scher Distanzen (vgl. Abb. la-1 d). Der Knoten mit der kleinsten assoziierten Zahl (oder auch dem kleinsten Radius) ap = Min (ai) wird auch als Zentrum des Netzes

bezeichnet, der Knoten mit dem grofiten Radius als peripherer Knoten (Kaufmann, 1971).

In unserem aktuellen Beispiel 1 a, dem Netz Koln 344 (Eifel), tritt als einziges Zentrum eindeutig mit*der asso ziierten Zahl 7 der Knoten 22 (Bonn) hervor; periphere Knoten sind mit dem Radius 14: Knoten 1 (Aachen-Siid Gr.), 46 (Niederlahnstein), 55 (Traben-Trarbach) und 60

Aachen Hbf 3/12

y^s^Stolberg (RheinU

~~*2!13 ^>*iwHbf 4/11 Bergisch-Gladbacjjp

Aachen Sud Gr. yK.-Mulheim -p

Duren/T^13/11 1/K / ^^Koin [ g/Q 5/10 J \ Kerpen/f?//0 ^^pjjfjj

/ \ cr (Benzelrathr a 10/10 J \ Norvenich J 11711 X \

T^-\%n2 ^Aalscheuren \><oln-Kalk / ZulpichQ J^^ \ 18/9 \ 19/11

615/11 ,6/9\ Aiblar \ \

Heimbach (Eifel) \ / 17/9 \

/^O/fl^

2j/fl\^uskirchen \ /

-/ Bonn? 121/11

25/10o-'-/Kail 24/9 I I

Heltenthal / AMunstereifel I

yV7/a?kenheim 29/8 1 ' Konigswinter Losheim (Eifel) X 27/10 Remagen* 28/11

^^lunkerath 1

\3U10

^ I QLinz (Rhein)

.i?.nH?rf\ /W'i?-"fDOmpelfeld \ \ 33/12

Pronsfeld I Vjj//; SAdenau \ \

iHillesneimtEife,, 37/10 ^ \ 1

^^iGerolstein 39/11 Andernachl iNeUWied

/ / Polch>^_ \ . Kobl- .

/ / 5;/;;/ TT^^JL^f/;;; Ehrenbreit

/ / 52/12 / 48/12 0 7 stein

/ / Munstermaifeld ? Kot)lenz?w 45/13 /

/ Cochemn_ Hbf>fc/;i\J /

/ (Mosel) / Niederlahnstein

55/*/rdorf / / <671<

I WengerohrL.-S^Jnderich(DB) ~ I

IJ^f^ 59/13 Koln 344

59/13fcr7n \ OTraben-Trarbach(DB)

/ 57//A 55/14 (Eifel)

60/14 O Trier Hbf ^ Bernkastel - Kues_|_

7/5 2/5 3/5

\ T / i

"i y y N^C _{5/2 / \ \ \} !^ \

4/3'-'-"6/3

5/3^--^6/3 <^ 4/4* *5/G

8/4 \

7/41-1-7/31-III-19/3 6/5 Vr-7*7/6

8/3 XX

b> C) iw/5 d) N^/5

la-d: Beispiele zur assoziierten Zahl (Nr. des Kno tens/ass. Zahl)

Christoph Leusmann: Netze - Ein Oberblick Uber Methoden ihrer strukturellen Erschliefiung 57

(Trier) - ein Ergebnis, das durchaus nicht iiberrascht, aber auf eindeutige, objektive Art gewonnen wurde.

Der Shimbel-Index si (Shimbel, 1953) mit Si = 2 Min d (vi, vj) j i 4= j bzw. (2)

Sir = si/v v = Anzahl der Knoten (20 Si" = Si/2 si i e = Anzahl der Kanten (2") gibt die Gute der Erreichbarkeit des Knotens Vi von alien

iibrigen Knoten vj des Netzes an, wobei wir hier durch aus die topologischen durch metrische (Carter, 1969) oder andere Beziige (z. B. Zeiteinheiten, Geldeinheiten)

ersetzen konnen.

Die Bestimmung des Indexes geschieht am zweck maBigsten in Matrixform (ausfiihrlich zur Matrixdar

stellung eines Graphs und zur Handhabung vgl. unten),

wobei, wie aus Tab. 1 zu ersehen, den Elementen der

Matrix die Distanz Mind(vi, vj) entspricht.

Tabelle 1: Zur Bestimmung des Shimbel-Indexes

zu Beispiel 1 b

123456789

1 0 I 2 1 2 3 2 3 4

2 1 0 1 2 1 2 3 2 3

3210321432

4 1 2 3 0 1 2 1 2 3

5 2 12 10 12 12

6 3 2 1 2 1 0 3 2 1

7234123012

8 3 2 3 2 1 2 1 0 1

9432321210

"s^ 18 15 18 15 12 15 18 15 18

zu Beispiel 1 c

123456789 10

"1 0 2 2 1 2 2 3 4 3 5 22021223435

32201223435

4 1 1 1 0 1 1 2 3 2 4

52221011223 62221102213 72332120122 83443221011 94332212102 10 5 554332120

~~24 24 24 16 16 16 19 22 19 30

Tabelle 2: Shimbel-Indizes zu Abb. 1 a

Knoten _1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

543 485 429 375 323 323 455 391 299 341 378 32(3 358 440 sj Knoten

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

381 302 296 278 367 390 391 249 262 293 353 319 319 379 286 sj Knoten

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

381 322 289 359 323 318 344 347 379 311 296 271 250 317 366 sj Knoten

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

399 437 390 345 304 279 306 364 395 369 425 333 391 365 378 sj

Knoten 60

sj 436

Auch in Tab. 2 tritt als bestangebundener bezuglich des gesamten Netzes 1 a der Knoten 22 (Bonn) hervor - dicht gef olgt allerdings von 42 (Andernach) - wahrend Aachen Slid Gr. (1) am schlechtesten erreichbar ist.

Die Kanten - insgesamt wird ihnen etwas weniger Auf merksamkeit geschenkt als der Behandlung der Knoten -

lassen sich an dieser Stelle z. B. durch die Maximalzahl der die betreffenden Kanten beanspruchenden Distanzen zwischen samtlichen Knoten kennzeichnen (Abb. 2). Be deutsamer ist diese Kennzeichnung allerdings bei An wendung auf gerichtete Netze (Haggett/Chorley,

1969).

_4_

Abb. 2: Beispiel zur Kennzeichnung der Kanten durch Be anspruchung

Neben dem Radius als Kriterium fiir eine groBraum liche, auf das Gesamtnetz bezogene Zentralitat sollte unserer Ansicht nach in diesem Zusammenhang auch die Nodalitat (bzw. Grad) ni eines Knotens, d. h. die An

zahl der in ihm inzidenten Kanten als MaB fiir eine re gionale Zentralitat beriicksichtigt werden. Als ein solcher

Index Zi = f (ni, ai) eben mit der Absicht der Bewertung

einer allgemeinen Lagezentralitat der Knoten sei

hier der Wert

ni = Radius der peripheren Knoten (3)

Zi = -

amax amax = Durchmesser des Netzes (s. u.) vorgeschlagen.

Gegeniiber dem Shimbel-Index ist dieser Zi-Index ge rade in groBen Netzen wesentlich einfacher zu bestim men und betont deutlich die regionalen Gegebenheiten, da Zi bei kleinerer assoziierter Zahl oder groBerer Noda

litat wachst. Dies schlagt sich (Tab. 3) bei Beispiel 1 a in

einer augenfalligen Verschiebung des ?Zentrums" nach

Knoten 23 (Euskirchen, Zi = 8.75) nieder, wahrend Bonn (22, Zi = 6.00) nur mehr den zweiten Rang einnimmt.

Peripher mit Zi = 1.00 bleiben Knoten 1, 55, 60. Die Fahigkeit zur Differenzierung und Charakterisierung

(Tab. 3 und 4) ist weit ausgepragter als bei der asso ziierten Zahl, bleibt aber hinter der des Shimbel-Indexes noch zuriick. Ob dessen grofiere Sensibilitat allerdings in

Tabelle 3: zrIndizes zu Abb. la

Knoten 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

zj 1.00 2.16 2.34 2.54 5.60 4.10 1.17 2.54 4.66 4.20 1.27 5.60 2.54 1.17 1.27 3.12 4.66 4.66 2.54 2.54

Knoten 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

ij 2.54 6.00 8.75 4.66 1.40 1.56 2.80 2.54 5.25 1.27 2.80 4.66 2.34 2.80 4.20 2.54 1.40 1.17 5.08 3.82

Knoten 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

zj 4.20 4.66 3.82 2.34 3.23 2.00 3.23 3.50 3.82 4.20 3.82 1.17 2.16 3.23 1.00 4.00 1.08 2.34 3.23 1.00

diesem Stadium einer Untersuchung von wesentlichem Vorteil ist, sei hier dahingestellt.

Fiir jedes Netz gilt:

1 < Zi < Max (nj) -p*- ,

j Mm (aj) j

was die Zi-Werte auch hinsichtlich ihrer Extremwerte recht praktisch erscheinen laBt.

?LPercentil ?2.Percentil g3.Percentil Abb. 3: Raumliche Verteilung der Shimbel-Indizes und Zj

Werte in Abb. la

Die raumliche Verteilung der ersten drei Percentile bezuglich der Si- und der Zi-Werte der Knoten des Netzes

aus Abb. la, ist in Abb. 3a und 3b dargestellt. Weitere Beispiele zum Zi-Index in Abb. 4a-4d (vgl. Kaufmann,

1971).

Tabelle 4: Beispiele zum Zi-lndex

zu Beispiel 1 b Knoten 123456789

zj 242484242

zu Beispiel 1 c

Knoten 1234 567 8 9 10

z{ 1 1 1 6.25 5 5 3.25 3.75 3.75 1 zu Beispiel 1 d

Knoten 1 2 3 4 5 6 7 8 z{ 2.4 4 3 3 1 3.6 2 2

2 A 1 11 1

2*-*2 1* ^1 ir *1 a)

b) d) c)

Abb. 4: Beispiele zum Zj-Index

Als in der Reihe der ,,Einzelindizes" nicht mehr direkt auf topologische Qualitaten bezogene MaBe seien schlieB lich

ci = ^ {Min dm (vi>Vj)-D (vj.vj)}2 (4)

j v

dm = metrischer Abstand D (vi, vj) = theoretische Minimaldistanz

Wi=I^V^ (5) j 2 D (vi, i vj)

erwahnt (,,degree of circuity", Kansky, 1963 und ,,Wegfaktor", Hay, 1972). Sie vergleichen die ak tuelle (metrische) Distanz eines Knotens von samtlichen anderen Knoten mit der theoretisch minimalen Entfer nung; siehe Abb. 5.

?metrisch

^"X. fT) metric 2^-*3

?

Knoten _Ci 1 1 | 2 | 3 | 4

2,24 0,145 0,343 2,04

wj j 1,58 11,02 11,2 | 1,64

Abb. 5: Beispiel zum ?degree of circuity" und zum Weg faktor

1.2. Zur geographischen Analyse von Netzen in ihrer Gesamtstruktur nun wurden zunachst als grundlegende Werte der Graphentheorie der Durchmesser d eines

Netzes sowie seine zyklometrische Zahl ju iiber nommen. Diese gibt die Maximalzahl unabhangiger (p > 1) bzw. fundamentaler (p = 1) Kreise an7), wah

7) Hier wird also die Maximalzahl endlicher Ketten mit jeweils zusammenfallendem Anfangs- und Endpunkt be schrieben, wobei diese im Falle p = 1 keine weiteren derarti gen Ketten enthalten. Fur ein beliebiges Netz mit v > 3 und p = 1 gilt: /imax = emax ? v + 1 = 3(v ?

2) ? v+ 1 = 2v ?5.

Christoph Leusmann: Netze - Ein Oberblick iiber Methoden ihrer strukturellen Erschliefiung 59

rend d die topologische Ausdehnung des betrachteten

Systems beschreibt.

6 = Max(ai) = Max {Max Mind(vi, Vj)} = amax (6) _{i i J} li = e ? v -f p p = Anzahl der Subnetze (7) Man vergleiche das Beispiel in Abb. 6 und die Werte in

Tab. 5.

i-?'

l__j_i_j

Abb. 6: Beispiel zur zyklometrischen Zahl8)

Tabelle 5: Durchmesser und zyklometrische Zahl in Beispiel 1 a, lb, ic,5

Beispiel la lb lc 5

d 14 4 5 3

H 11 4 2 0

Es liegt auf der Hand, daB jedenfalls der Durchmesser die zugrundeliegenden Netze isoliert in nur ausgespro chen schwachem Umfang charakterisieren kann, sagt er doch natiirlich z. B. kaum etwas iiber die strukturelle Komplexitat aus (vgl. Abb. 7). Die zyklometrische Zahl

i 6=2 ^^^^/b=2

a) b)

Abb. 7: Netzpaar unterschiedlicher Komplexitat mit glei chem Durchmesser

kann und wird immerhin im allgemeinen mit Erfolg zur

Unterscheidung von Eisenbahn-, StraBen- und sonstigen Netzen verschieden weit entwickelter Staaten herange

zogen. Ebenso um die Entwickeltheit bzw. die Gute der Konnektivitat eines zugrundeliegenden Netzes geht es

bei den a-, fi- und y-Indizes (Kansky, 1963).

?= ? - = <8> _{/"max 2V ? 5}

* = Cy (9)

7 el 3(vl2) (10)

Vgl. Tab. 6.

8) Die Behauptung Kanskys (Kansky, 1963, S. 12), jeder Graph mit p > 1 besitze eine zyklometrische Zahl = 0, diirfte, wie Abb. 6 zeigt, ein Irrtum sein.

Auch in bezug auf diese weithin gebrauchlichen Werte gilt, daB eine isolierte Betrachtung nur einen doch be grenzt bedeutsamen Einblick in tief ere struktur elle Be ziige liefert. Zwar sollte man keinen von ihnen trotz (oder gerade deswegen) des einfachen und im Prinzip gleichen Bildungsmechanismus, der dem Leser leicht die Grenzen

der Verwertbarkeit auf zeigt (vgl. auch James/Cliff/

Haggett/Ord, 1970), sowie der daraus resultierenden vielerwahnten (vgl. Werner, 1968) Redundanz aus un

serem Katalog streichen. Aber ihre ausgesprochen ge

ringe differenzierende Kraft ist natiirlich nicht zu iiber sehen. So entsprechen den Beispielen in Abb. 8 a und 8 b

eC:0,00

=0,888 \ /

f= 0,381 \ /

a) b)

Abb. 8: Beispiel zum a-, /?-, y,-Index

jeweils die gleichen a-, /?-, y-Indizes, da sie aus je derselben Anzahl von Knoten und Kanten aufgebaut sind. In der Netzf olge Abb. 9 a-9 e ist entsprechend keine Unterschei

dung der Systeme 9 c, 9 d, 9 e moglich, wenn auch immer hin die offenkundliche Verbesserung 9a-9b-9c ihren Niederschlag in der Erhohung samtlicher drei Werte

fand.

Tabelle 6: a-, y-Index zu den Beispielen aus Abb. ia,lb,i c,

Id, 5, lb

Abb. la lb lc Id 5 7b

a 0.0957 0.3078 0.1332 0.091 O00 0824~

P 1.166 1.333 1.100 1.00 0.75 2.18 y 0.402 0.572 0.458 0.444 0.5 0.889

a,zzzz

b)^7Z

c)^^

ZZSS ^ ^^ZSZ aT 0,356 1,60 0,580

/ /\ \

~/\/\ 0,534. 1,92 0,696

Z_Z_S Z._a c) 0,7/7 2,24 0,812

\ \ / / \ /\ / d) 0,777 2,24 0,812

Z ~Z-S^^^S^ 0,711 224 0,812

Abb. 9: Weitere Beispiele zum a-, /?-, y-Index

Zur weiterfiihrenden Kennzeichnung durch einfache Indizes bedarf es z. B. schon einer Reihe zusatzlicher, weithin iiber die topologische Dimension hinausreichen

der Mafizahlen. So u. a. die durchschnittliche Kantenlange als ??-Index (auch als durchschnittlicher VerkehrsfluB, mittleres Transportvolumen, gemittelte regionale Wert

schatzung im Gebrauch) und komplementar den 6-In dex als Kantenlange/Knoten (resp. VerkehrsfluB/Knoten usf.); den jr-Index, der iiber das Verhaltnis der Gesamt

strecke zum metrischen Durchmesser die Entwicklungs

stufe des Netzes beschreibt (gel. auch topologisch als e/<5);

oder den t-Index - ein jeder dieser Werte in verschie denster Hinsicht variabel (vgl. Kansky, 1963).

v = 2 "^r

6 = ^ ^v1 (12)

w = Knotenzahl, gewichtet nach Bedeutung, Funktion

etc.

n = y feu (13)

L = y feu (14)

Im topologischen Bereich bietet sich dariiberhinaus noch eine durchschnittliche ass. Zahl A, ein Ge

samt-Shimbel-Index S (Dispersion), ein Gesamt Zi-Wert Z oder eine mittlere Nodalitat9) N an.

a=2 v (i5) s =

?si= ? ?Min d (vi,vj) (i6) i

v

z = y21 (n) n = yni (is)

i i

Auf eine ausfiihrliche Gegeniiberstellung der S' und Z-Werte in Tab. 7 insbesondere in bezug auf das Beispiel Abb. 9 kann hier nicht eingegangen werden; es sei aber

auf die interessante unterschiedliche Bewertung gerade der Netze 9 e und 9 d durch diese beiden MaBe verwiesen.

e Vn:

9) Dieser Wert ist aber wegen 28 = 2? = / ?

v /iv

durch den fi -Index schon erf aBt. *

8" t _2a

i?I n; :22

7 -

: _I c :20

6- TZi b: -18

i-1 * "16

- I-1 c -u

h\ | | || r?1 1 :?

l': tt t I :10

2- t

| -6

-1 1 4

73: Haufigkeitsvertei- _(1._r_ I f ^ t_ t

lungen zu Abb. la Wert 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Tabelle 7: Die Werte A, S', Z, Nfiir ausgewahlte Netze

Abb. la lb lc 9a 9b 9c 9d 9e A 10.93 333 4.00 6.4 36 X6 4^8 3^6

Z 3.089 3.56 3.10 4.25 4.67 5.44 5.888 5.438 S' 352.08 16.0 21.5 80.0 63.4 61.4 64.2 58.9 N 2.33 2.660 2.2 3.2 3.84 4.48 4.48 4.48

Aussagekraf tiger als diese ?gemittelten Einzelin dizes" erscheinen die zugehorigen Haufigkeitsver

teilungen (vgl. z. B. James/Cliff/Haggett/Ord, 1970);

man vergleiche die Abb. 10, 11, 12, 13.

6" aj j n; j s'j j zj

5- 1 I l 1 !

*" I?I ! I?I'ft ! IT

! !

! : i

" H

I i I _Hi_

Abb. 10: Haufigkeitsverteilungen zu Beispiel lb

ij 9a) >9b) n isc)

n i9d>

!9e) r

|io- J ! J j J | J

fl- j^i J ! J Mill

9a-9e

^14- 9a) ! 9b) | 9c) | 9d) j 9e)

ho- | I I i

'".llll,, ill ... H I .Il I .ill! ,

Abb. 12: Haufigkeitsverteilung der zrWerte im Beispiel 9a-9e

Christoph Leusmann: Netze - Ein Uberblick uber Methoden ihrer strukturellen Erschliefiung 61

Doch auch hier ist, was die Radien anlangt, z. B. keine

Differenzierung der Netze 9 b, 9 c, 9e festzustellen. Ins

besondere nun die Netze 9 b und 9 c nun als topologisch gleich gut angebunden zu betrachten, widersprache nicht nur dem direkten optischen Eindruck, sondern ist nach der Verteilung der Shimbel-Indizes oder der Zi-Werte auch nicht gerechtfertigt. Die Aufgabe einer ein deut i gen Charakterisierung der Netze gelingt aber nicht erst durch den in dieser Grofienordnung schon recht um

standlich zu bestimmenden Shimbel-Index - wie Wer ner, 1968 angibt - sondern gleiches (Abb. 12) wird eben

falls durch die entsprechende Verteilung der Zi-Werte

erreicht. Informationstheoretische Verfahren bieten sich

daruberhinaus fiir eine weitergehende differenzierte Aus wertung derartiger diskreter Haufigkeitsverteilungen an,

vgl. hierzu die Ausfiihrungen weiter unten.

Eine andere in diesem Zusammenhang erwahnens

werte Moglichkeit ist, die Haufigkeiten hx(0 < x < S) aller in der friiheren Matrix vorkommenden Min d (vi, Vj)

zu betrachten und zu untersuchen, welche theoretische

Verteilung sich am besten auf die jeweils vorliegende diskrete Haufigkeitsverteilung h(Min d(vi, Vj)) bezieht.

Mittels10) der Momente der Verteilung

A*'i = !hx-x/2hx (19) i

^ = 2Mx -<)2/2hx (190

^= 2hx(x ? ViYIlK (19") und

S = ^ und I = ^ (20)

und der S-I-Ebene ist es moglich, eine eindeutige Zuord nung zu diskreten theoretischen Verteilungen beruhend

auf hypergeometrischer Grundlage abzulesen und in ein facher Form die Netze einzuordnen (vgl. James/Cliff/

Haggett/Ord, 1970).

2. Vergleich von Netzen

Nur andeutungsweise soli an dieser Stelle auf die Ver suche hingewiesen werden, gegebene aktuelle Systeme

- (5 10) Es ist: h0 = v; hx = 2e; hjho = 2 p = N; S = 2 hx x l

16-1 A 16 i

14- / \ H -

_Bonn jr _ Euskirchen

' i i i i i-1-\? r-1-1-1-1-j-j-1-j

12 3 4 5 6 7 123456789 8 Distanz

Abb. 15: Approximation des Beispiels la durch Snowflake-Struktur

von Knoten und Kanten mit hypothetischen Netzen zu vergleichen. Derartige Untersuchungen im Sinne der bisher beschriebenen Arbeitsweisen befinden sich erst

im Anfangsstadium und beziehen sich z. B. auf eine Klasse

radial strukturierter Netze, die besonders von Tinkler,

1972b untersucht wurde.

Man mochte hier u. a. - ausgehend von einem festen

Knoten P - die Verteilung der Knotenzahl auf die ein zelnen Distanzringe di (bei wachsender Distanz di = Min d(P, Vi), i = 1,..., ap) durch eine solche in sog.

Snowflake-Netzen approximieren: Es bezeichne die fiir ein Netz konstante natiirliche Zahl c die Anzahl der in jedem von innen und auBen folgenden Distanzring zu

satzlichen Knoten. Die Snowflake-Netze besitzen dann

nicht wie die ?vollen Netze" cdi, sondern cdi' Knoten im i-ten Ring, wobei di' aus Tab. 8 jeweils zu bestimmen ist. Die Verteilung der Knoten ist entsprechend symme trisch zu d. (Vgl. Abb. 14).

Abb. 14: Snowflake-Netz

Tabelle 8: Zur Bestimmung der Snowflake-Netze

ap ungerade ap gerade

di<d=|(dap+l)^di/ = di di<d = ^dap =^>di' = dj

^ > d ^d/ = 2d ? dj ^ = 3 + 1 =^di' = d di > d + 1

_^d/^ dap ?dj+ 1

In diesem Sinne deutet sich in Abb. 15 insgesamt eine zumindest im Euskirchener System ausreichende Appro

ximation11) durch eine c3-Snowflake-Struktur an.

n) Approximation heifit hier etwa Minimierung der Ab weichungsquadrate der Verteilungen voneinander.

Entsprechende Kantenverteilungsmuster sollten eben

falls in die Analyse miteinbezogen werden. Daruberhin aus ist schlieBlich gerade in diesem Zusammenhang der Frage nach hierarchischen Strukturen fortfiihrend Be

achtung zu schenken: Man gehe z. B. davon aus, daB jeder Knoten genau eine Einheit ?VerkehrsfluB" ent sendet. ?Voile Netze" lassen dann bei Beriicksichtigung samtlicher ankommender, abflieBender und konzentrisch

verlaufender Verkehrsstrome eine genau der bekannten rank-size-rule entsprechende hierarchische Anordnung der einzelnenDistanzringe erkennen. Bei den Snow-f lake

Netzen ergibt sich ein zur Symmetrieachse spiegelbildli cher Verlauf der Kurve.

Einen ganz anderen Weg beschritt Cummings, dem es darum ging, beliebige Netzkonfigurationen mit gleichen

Knotenelementen quantitativ zu vergleichen und sta

tistisch signifikante Angaben iiber diese Kanten-Kanten Korrespondenz zu machen. Wesentlich fiir ihn ist der Begriff des Durchschnitts D S = G1 O G2 zweier Graphen

als die Anzahl der in beiden Netzen gleichverlaufenden Kanten. Er schlug vor (Cummings, 1967), den Wert

a = v(v ?1) PS ?4e*e2 .

j^e^v2 ? 2ex) (v2 ? 2e2) ^21) ev = Anzahl der Kanten

in G" {v = 1, 2)

mit ?1 < o < 1 als ?Ahnlichkeits"-Kriterium zu ver

wenden. In einer spateren Arbeit wurde dariiberhinaus versucht, entsprechende wahrscheinlichkeitstheoretisch abgesicherte Grundlagen zu schaffen, die wiederum auf hypergeometrischer Grundlage basierten; man vgl. hier

zu die allerdings sich vorwiegend auf gerichtete Netze beziehende Abhandlung von Cummings/Manly/Wei

nand, 1973.

_ei_em (21) X= (Xjj) = e, xa11.x1m

em Xmi.Xmm

lei_em

(22) Y= (yu) = v, yu.yJm

Vn ym.ynm

_ Vi_y_n_

(23) K= (k|j ) = ku.kln

Vn .^nn

\ wenn be trachtete Elemente Kij' xij*yij verbunden

sind p sonst

3. Matrixanalysen

Weitere (immer haufiger auch ganz allgemein zur Be schreibung und Analyse geographischer Sachverhalte herangezogen) Moglichkeiten gesamtheitlicher Darstel

lungsformen bietet das Vektoren- und Matrizenkalkiil.

Dies einmal aufgrund der Oberschaubarkeit und Ermog lichung bewuBter Restriktionen auf jeweilig konkrete

Fragestellungen, zum anderen wegen des vergleichsweise geringen Informationsverlustes beim Umsetzen des ge gebenen in das numerische System.

Es handelt sich hier zunachst darum, durch Binarma

trizen z. B. Verbindungen von Kanten in einer Kanten

matrix X oder Verbindungen von Kanten und Knoten in einer Inzidenzmatrix Y zu beschreiben, oder, in der

Geographie weitaus haufiger, in einer Knotenmatrix K

festzuhalten, ob zwei Knoten direkt verbunden sind oder

nicht.

Die Matrix K ist bei unseren ungerichteten Kanten symmetrisch (kij = kji) und die Nodalitat der Knoten ist bestimmt durch ni = 2 kij (mit ka = 0) (vgl. Tab. 9); j auch die meisten iibrigen topologischen Indizes lassen

sich durch Anwendung geeigneter Operationen aus der

binaren Matrixdarstellung gewinnen.

Kantenmatrix: Inzidenzmatrix: Knotenmatrix:

/0 1 1 0\ /l 1 0 0\ _{1 0 0 1 1 0 1 0} /0 1 1 0 0\ 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 / 01 01 10001

\0 1 0 0/ 0 0 1 0 101 000/

\0 0 0 1/ \0 0 1 0 0/

/0 0 i\ 0 0 1 /i o 0\ / 1 0 1 \ /0 1 0\ / 1 0 0 \

\1 1 0/ lOll) 1 0 1 0 1

\0 10/ \0 0 1/

Tabelle 9: Matrixdarstellung der Netze 4b und 5 3.1. Insbesondere im Hinblick auf die Untersuchung

einer ?indirekten" Konnektivitat der Knoten unterein

ander (bzw. des Netzes selbst) sind diese Matrizen, be sonders die Matrix K, bedeutsam; durch Potenzieren mit einer natiirlichen Zahl n erhalten wir beispielsweise eine neue Matrix Kn = (Wn)) deren Elemente die Anzahl der Moglichkeiten von Vi bei Durchlaufen von genau n Kan

ten nach Vi zu gelangen angeben; entsprechend verweisen

die Zeilen- und Spaltensummen auf die Moglichkeiten, insgesamt in n Schritten den jeweiligen Knoten zu er reichen oder von ihm auszugehen.

Uber dieses n ist nun zu verfiigen je nach Fragestellung, doch ist es zweckmaBig und in der Literatur gebrauch

lich,

1. n = oo zu wahlen, durch einen Skalar s mit 0 < s < 1 eine Gewichtung vorzunehmen, die Matrix

(22)

A" = 2 sv Kv = (I ? sK)"1 ? I mit I = ' . zu bestimmen und in

a;x = 2 a;jx (22') j

Christoph Leusmann: Netze - Ein Uberblick iiber Methoden ihrer strukturellen Erschliefiung 63

ein ErreichbarkeitsmaB fiir jeden Knoten Vi festzuhalten;

2. n = d zu setzen und entweder gleich die Zeilen- oder

Spaltensummen von K*5 als Erreichbarkeitsindex zu be

stimmen (Pitts, 1965; Carter, 1969), oder zunachst 6

B = 2 Kv l (23)

zu bilden und dann mit

bi = 2 by j (23')

die Anzahl aller Verbindungen von Vi zu alien anderen

Knoten mit maximal n = d Kanten als entsprechenden

Wert zu verwenden (Abler/Adams/Gould, 1972;

Gauthier, 1968 mit gewogenen Matrixelementen);

3. mit n = k zu arbeiten, wobei k die kleinste natiirliche Zahl ist, fiir die alle Elemente von Kk ungleich 0 sind, und

jetzt wie oben

C = 1 Kv l (24)

und anschlieBend

Q = 2 Cij j (240

zu bestimmen (Werner, 1968; Garrison, 1960; Tinkler, 1972a)12).

ad 1) Zu gegebener Matrix K ist hier allerdings der

Parameter s nicht absolut frei wahlbar, um zu interpre

tierbaren Resultaten (d. h. zu Ax > 0) zu gelangen (dies auch als kritischer Einwand gegen die diesbeziigliche Sensibilitatsanalyse von Stutz, 1973). Es ist notwendig (und auch hinreichend), daB Amax (K) < 1/s ist, wobei

^max (K) den grofiten Eigenwert von K darstellt (s. u.;

vgl. Debreu/Herstein, 1953); dies ist bei dem entspre chenden Nystuen/Dacey'schen Ansatz (mit gewogenen Matrixelementen) durch s = 1/max (2 ky) automatisch i j

erfullt. Denn fiir nichtnegative Matrizen gilt ja immer :13)

Min (2 ky) < Amax

< Max (2 ky)

(25)

ad 2) Dieser Ansatz erscheint rechentechnisch am ein fachsten und auch die Interpretierbarkeit von K6 bzw. B ist recht einleuchtend. Andererseits ist nicht zu verkennen, daB "the use of the topological diameter is quite arbitrary as indeed is the more exact requirement that the solution matrix be reached before powering is stopped" (Tinkler,

1972 a), insbesondere, weil beziiglich abgelegener Knoten noch keine (relativ zu den iibrigen) ,,ausgeglichene" Be

wertungsstruktur generiert zu sein braucht.

ad 3) Hier wird u. a. versucht obigem Einwand Rech

nung zu tragen. Jedoch, die Existenz einer Ergebnismatrix

12) Insgesamt werden nun sowohl die Matrizen B (Abler/

Adams/Gould, 1972), K*5 (Pitts, 1965) wie auch-und dies wohl urspriinglich - Kk (Werner, 1968; Garrison, 1960;

Tinkler, 1972a; Alao, 1970) alsErgebnismatrix (solutionma trix), der Wert k als solution time (Ergebnisgrad) bezeichnet.

13) Natiirlich ist es moglich, daB auch ohne obige Bedingung samtliche als ErreichbarkeitsmaBe herangezogene ajx > 0 sind, doch ist ajjx > 0 fiir alle i und j nicht mehr garantiert.

und des entsprechenden Ergebnisgrads k14) die vielfach

vorausgesetzt wurden (z. B. Haggett/Chorley, 1969;

Vetter, 1970), ist keineswegs fiir beliebige Netze ge sichert. Man muB - iiber die sicherlich notwendige Vor

aussetzung des strengen Zusammenhangs des Netzes

(also p = 1) hinaus - matrizentheoretisch gesprochen Annahmen iiber die Zyklizitat der Matrix K machen.

Nennen wir K zyklisch vom Grad 1, wenn die Anwen dung einer Permutation P der Knoten auf K eine Matrix der Form

/0 A, 0 \

/ ' ? A2 0 * \

PKP"' = 0

V 0

UiO o /

(mit quadratischen Diagonalmatrizen 0)

ergibt, so ist 1=1 notwendig und hinreichend fiir die Existenz einer Ergebnismatrix; K heiBt in diesem Fall primitiv. Es ist iiberdies von Vorteil zu wissen, daB in

der Anwendung dieses allgemeinen matrizentheoreti

schen Kalkiils auf netztheoretische Probleme aufierdem ohnehin nur noch der Fall 1 = 2 auftreten kann, eine Folge der Symmetrie von K. Letzteres gilt - wie sich leicht zeigen laBt - fiir alle Netze, die keine Kreise oder nur solche mit gerader Kantenzahl besitzen,* wahrend umgekehrt das Vorhandensein schon eines Kreises mit

ungerader Kantenzahl die Primitivitat von K garantiert.

Eine andere Moglichkeit, sich einer Ergebnismatrix zu versichern ist, alle kii = 1 zu setzen; in diesem Falle ver

sagt auch Werners, 1968 Gegenbeispiel (vgl. Alao, 1970) 3.2. Quasi als Exkurs mogen an dieser Stelle einige Be merkungen hinsichtlich informationstheoretischer Ver arbeitungsmethoden zugefiigt werden. Sie nehmen im Rahmen netzanalytischer Untersuchungen allerdings bislang noch keinen breiten Raum ein, und insbesondere die letzten beiden der unten erlauterten Verfahren sollen hier vom Verf. lediglich als erste Ansatze, jedenfalls in keiner Weise als auch nur annahernd abgeschlossene Mo delle vorgestellt werden.

Im ursprunglichen Shannon-Weaver'schen (Shannon,

1948) Sinne wird, ausgehend von einem Ereignis Ai und dessen Wahrscheinlichkeit p(Ai),die Information durch

?Id p(Ai) bit, die Wahrscheinlichkeit der Information durch?p(Ai) Id p(Aj)'bit und die En tr opie als Summe der mittleren Informationen durch

E = ?2p(Ai)ldp(Ai)bit i (26)

bestimmt.

Im Grunde geht es immer um die Ermoglichung einer Quantifizierung des ?Informationsgehaltes" einer gegebenen diskreten Verteilung bzw. um AufschluB

iiber Konzentrations- (Emin = 0 bit) oder Gleichge wichtstendenzen (d. h. Emax = ldn bit). Redundanz

als AbweichungsmaB der tatsachlichen von der maximal moglichen Entropie liefert der Ausdruck

R= 1-E/Eraax (27)

14) Der Ergebnisgrad k ist natiirlich, entgegen den Angaben Vetters, 1970, sicher nicht gleich dem Durchmesser d.

Auf folgende Ansatze sei kurz eingegangen:

1. Ausgehend von der Binarmatrix K werden die ein zelnen Knoten durch

Ei = ? 2 (kij/m) j Id (kij/rii) bit (28)

und das Gesamtnetz durch

E = 2 Ei i (28)

charakterisiert (Semple/Wang, 1971).

Wegen Ei = ldni = EmaX1 (d. h. gleichmaBige Bewer tung samtlicher in Vi inzidenter Kanten, durch ni selbst schon erfaBt), bringt lediglich der Wert E neue Erkennt nis. Dies insbesondere im Hinblick auf sinnvoile Ver gleichsmoglichkeiten mit ?theoretischen Netzstruktu

ren", etwa den Snowflake-Netzen, oder solchen im Chri

stallerschen bzw. Losch'schen Sinne (fiir derartige regu lar e Netze ist wegen ni = k fiir alle i immer E = ? vld 1 /k).

2. In Fortf iihrung der Gedanken betreff end die Vertei lung H(Min d(vi, vj)) der Elemente der ?Shimbel-Ma trix" wird

E = - 2 (W2 hx) Id (hx/2

hx) bit (30)

herangezogen.

Die Untersuchungen des Verf. beschrankten sich aller dings bislang darauf E (und entsprechend R) fiir ver schiedene Netztypen (vgl. Abb. 16) in Abhangigkeit von

der NetzgroBe, d. h. von Vi zu betrachten.

+ O

? A

I II III IV

Abb. 16: Netztypen zur Entropieanalyse

An dieser Stelle kann jedoch nur auf die Abb. 17 und Abb. 18 verwiesen werden, die die entsprechenden En

tropie- und Redundanzverteilungen wiedergeben. Cha rakteristische GroBenordnungen und Kurvenverlaufe muBten detaillierter untersucht werden.15)

3. Geht man von der Annahme aus, die Snowflake Netze reprasentierten gewissermaBen eine Optimalstruk

tur hinsichtlich der Stellung und Bedeutung des Zentrums in bezug auf das Gesamtnetz, erscheint es sinn voll, iiber das inf ormationstheoretische Kalkiil Ei (Hi (Min d (vi, Vj))) eines jeden Knotens mit Eis(His(Min d(vi, vj))) des je

weils approximierten Snowflake-Netzes zu vergleichen.

Charakteristischerweise stellt sich hierbei heraus, daB sich der Entropiewert

E;s = Uu-

11] 4*

(n =

^) (31)

v = l

(ai ungerade)

15) Auffallend ist beziiglich III und IV, daB trotz absolut wachsenden Informationsgehalts die tatsachliche relative In formation abnimmt; gleichermaBen ist bemerkenswert, daB hinsichtlich der Kreise (II) das ?Pendeln" der Redundanzwerte dem entsprechenden Kurvenverlauf in der S-I-Ebene bei James/Cliff/Haggett/Ord, 1971 analog ist.

a

30-X o? //

i

o ? V -70

x o * A

20- x ? ? yy

o A

o ? X *A A

-*0

?? -10

-1-1-:-1-1

12 3 4

Abb. 17: Entropiewerte fiir die Netztypen I (X), II (O),

III (#), IV (A)

X x

63- xx X

57- xx X

51 X

45

39 - X

33- x xx

27 x

21- x x

,5- x * x

9- * *

X -1-1-1-1

0,3 0,1 0,5 0,7

o >. A

Q a 0 a a # ?

$ a

30 % 1 "70 %

cC X> ~,

a" a

^ . a '

a- -50

20 ?C a a .

;=o ' \

- *. -30

,.A,..^::--:-r.T.T.^.

j_10 0,01 0,05 0,09

Abb. 18: Redundanzwerte fiirdie Netztypen I (X), II (G)>

III (#), IV (A)

bzw.

ri

E;* = ld(ri* - ri) -

r^-7; y v\Av (n =

|) (31)

(ai gerade)

Christoph Leusmann: Netze - Ein Vberhlick iiber Methoden ihrer strukturellen Erschliefiung 65 Verkehrsnetzen zunachst Eigenwerte samtlichen Betrages

betrachtet werden miissen (Tinkler, 1972a).

3.4. AbschlieBend einige Hinweise auf Moglichkeiten der Gliederung eines gegebenen Netzes in Subnetze.

Zum einen erscheint es praktikabel, von der Matrix Ax

und einer vorgegebenen Bewertung der Knotenelemente

auszugehen, die iiber einen ebenfalls vorgegebenen Algo rithmus eine gegenseitige Zuordnung der Knoten ent sprechend den Werten ajj gestattet (vgl. Nystuen/Dacey, 1961 mit bewerteter Matrix).

Andererseits werden die betrachteten Eigenvektoren

selbst als ?Regionalisierungsinstrument" bezuglich unter

schiedlichster Subregionen und unterschiedlichsten Er

klarungszusammenhangs herangezogen (vgl. Gould,

1967; Carter, 1969). Der fixed point probability vector

einer Markoff-Ketten-Analyse kann dariiberhinaus zur Konstruktion einer neuen Matrix M (mean first passage

time matrix)18) verhelfen, deren Elemente mij ein MaB fiir die mittlere Anzahl von Schritten darstellen, zum

erstenmal von Knoten Vi zu Knoten vj zu gelangen;

mi = 2 mij erlaubt eine Typisierung der Knoten hin j sichtlich ihrer Stellung im Netzzusammenhang, wahrend

die m^ selbst, interpretiert als ?Distanz"-Werte, mittels bekannter Regionalisierungsverfahren verarbeitet wer

den konnen. SchlieBlich ist natiirlich auch die Anwen dung der Methoden der Faktorenanalyse moglich und

sinnvoll, zumal man sich bei geeigneter Gewichtung der oben beschriebenen Eigenvektoren praktisch schon in einer Hauptkomponentenanalyse befinden (vgl. Gould, 1967; Tinkler, 1972a). Immerhin ist jedoch daran zu erinnern, daB wir bislang keinerlei Korrelationsmatrizen betrachtet haben (vgl. die Beispiele Gould, 1967; Gar rison/Marble, 1963; Gauthier, 1968).

Tinkler, 1972 a, schlagt entsprechend vor, von den aus der urspriinglichen Binarmatrix bestimmten Koeffi

zienten

qij n = (36)

rij = Anzahl der paarweisen Obereinstimmungen der

i-ten Zeilen- und j-ten Spaltenelementen der Ma

trix K

r'ij = n ? rij

n = Anzahl aller Paare

bzw. der zugehorigen Matrix Q = (qij) auszugehen.

Es ist vielleicht aber uberhaupt angebrachter, nicht von

K, sondern wiederum von Ax auszugehen. Die Versuche

des Verf. z. B., die Spaltenelemente der Matrix Ax jeweils etwa hinsichtlich ihrer Rangordnung zu betrachten, zwischen je zwei Spalten Rangkorrelationskoeffizienten zu berechnen und die entsprechende Matrix Rx einer

18) Es ist: M = (I ? Z + Ex Z') D

mit

z=(i-(t-(|)r))"1 e"=(!) 0.,D

z,(V) o.fV) _{\o zj \o Vt?/}

als unabhangig von der betreffenden c-Struktur erweist;

Mi= 1? Ei/Eis (32)

ware als Ma6 einer globalen Lagezentralitat vorzuschla gen.

3.3. Bei den in den beiden letzten Abschnitten ange fiihrten Methoden wurde jedoch die zugrundeliegende Matrix nur hochst seiten als eine Einheit betrachtet und verarbeitet. Ebenso effektiv aber fiir die Erkenntnis

immanenter Strukturen und die Betrachtung raumlicher

Prozesse ist es, die Matrix insgesamt im Rahmen ihrer Ahnlichkeitsklassen eindeutig zu kennzeichnen. Dies

leisten charakteristische Gleichung, deren Wurzeln als Eigenwerte und die zugehorige Menge von Eigenvek

toren, deren] Komponenten hinwiederum durch be stimmte Werte die Bedeutung einzelner Knoten fest

legen.16)

Betrachten wir insbesondere den groBten Eigenwert

^max von K (oder, und das gilt auch fiir die iibrigen Frage

stellungen, einer entsprechend bewerteten Matrix Kx)

sowie den zugehorigen Eigenvektor, so erscheint dies jedoch lediglich als Erweiterung eines grundlegenden

Ansatzes, der statt der Matrix K die zugehorige ?Transi

tion Matrix" T mit tij = ky /2 kij benutzt und hier durch j graphentheoretische Fragen mit der Theorie der Mar koff'sehen Ketten verkniipft.

Setzen wir wieder K als primitiv voraus, ist trivialer weise auch T primitiv und fiir die nun regulare Markoff'

sche Kette existiert lim Tv = Tx > 0 mit lauter gleichen

Zeilen t = (tix,..., tnx). Dieser sog. fixed point probabi

lity vector, der einen durch die Struktur des Netzes vor

gegebenen immanent-theoretischen Gleichgewichtszu

stand beschreibt, ist jedoch im Sinne obigen Zusammen hangs nichts sonst, als der zu xm2lx = 1 gehorende Links

eigenvektor, also t T = t (zu Verfahren zur Bestimmung

von r, vgl. Zurmuhl, 1964; Tinkler, 1972 a). Falls K zyklisch vom Grad 2 ist, so auch T, und es treten zwei

Eigenvektoren maximalen Betrages auf, Ax = 1, x2 =

? 1. Entsprechend existiert limTv nicht; doch wird in der Theorie der zyklischen Markoff'schen Ketten in diesen Fallen die sog. Euler-Konvergenz (vgl. Kemeny/

Snell, 1960) betrachtet, um auch in hier Gleichgewichts

zustande kennzeichnen zu konnen.

Dariiber hinaus jedoch sollte deutlich werden, daB auch und gerade bei den doch durch starke gegenseitige und iibergeordnete Abhangigkeiten gekennzeichneten

16) Kurz gesagt handelt es sich also darum, ausgehend von der Matrix K die Skalarwerte hx und die Vektoren q zu finden, die die Gleichung

q ' K = Aj q (33)

erfiillen, oder, mit der Einheitsmatrix I, fiir die

?-(K-Vl) = 0 (330

gilt; die Losungen aus der sog. charakteristischen Gleichung

det(K ?

x{ I) = 0

bestimmen dann durch das Gleichungssystem (34)

q (K ? x{ I) = 0 (35)

die zugehorigen Eigenvektoren.

17) Allgemein lassen sich die Eigenwerte fiir Graphen ohne a - n

Kreise aus x0 = 2 cos , -

bestimmen; die fiir Kreise be rechnen sich aus ka = 2cos 2n a/v (a = 1,..., v). v+1