Euro-Münzen und pi

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TitelderEinheit Kopiervorlage Lösungshinweise Didaktischer

Kommentar Zusatzmaterial

©T³ 2008 1/7 Euro - '43

Euro-Münzen und die Kreiszahl ''

UllaSchmidt, Freiherr-vom-Stein-GymnasiumLünen

Wie hängen beim Kreis Durchmesser und Umfang

zusammen?

SteckbriefderAufgabe

SekundarstufeI (Kreisberechnungen) Dauer: 2 Unterrichtsstunden

NotwendigeVoraussetzungen:

SchülerinnenundSchüler

# könnenProportionalitäteninGraphen undTabellenerkennen

ProzessbezogeneKompetenzen, diemit dieserEinheit gefördert werden können:

# erkundengeometrischeZusammen- hänge

# wechselnzwischendenDarstellungen einerZuordnung

# notierenBeobachtungenundformulieren Vermutungen

InhaltsbezogeneKompetenzen, diediese Einheit verfolgt:

# erkennen, dassKreisumfangundDurch- messer proportionalsind

# definieren'alsProportionalitätsfaktor

RollederTechnologie (TI-Nspire^TM, TI-Nspire^TMCAS):

# VisualisierenvonZusammenhängen

# ErkundeneinerSachsituationdurchzielgerichtetesExperimentieren MöglicheZugänge, dievonderTechnologieunterstützt werden:

# Graphisch:ErzeugenvonMesswertendurchVariationeinesKreises undDarstellungder MesswertealsStreudiagramm

# Numerisch:AuflistendergemessenenWerte inTabellen EmpfehlungzurUnterrichtsorganisation:

# PartnerarbeitfürdieMessaufträge

# PräsentationderZwischenergebnissemitdemViewscreenimPlenum

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©T³ 2008 3/7 Euro - '45

Zu Auftrag 2

Die Durchmesser der Münzen werden mit einem Lineal ermittelt. Die Umfänge könnte man durch Abrollen auf dem Lineal erhalten, die Messungen werden aber genauer, wenn man einenFadenumdenRand der Münzewickelt, dieLängemarkiert und dann miteinemLineal ausmisst. Alternativ kann man ein Papierbandmaß verwenden (leicht herstellbar als Foto- kopie einesLineals).

Durchmesser und Umfang jeder Münze werden in Lists & Spreadsheet eingetippt und die Spalten mit Namen (hier: dk und uk) versehen. Anschließend werden die Daten als Streu- diagramm (Listengraphischdarstellen) inGraphs & Geometrydargestellt.

Tipp:DerTextwirdmitAnführungs- zeichenvorweg eingegeben:#1 Cent.

Beobachtung:DiesePunkteliegen näherungs- weiseauf einerGeraden.

Vermutung: UmfangundDurchmesser sind proportional.

DieSchülerinnenundSchüler sollen nununtersuchen, ob dieserZusammenhangnurfürdie Münzen oderauch generellfürbeliebigeKreise gilt. Dazulegensie eineneueSeitemit Graphs & Geometryan.

Zuerstwähltman:Ansicht Ebenengeometrie.

Konstruiertwerdendann:

eineStrecke (Linien, besondere), derMittelpunktderStrecke (Punkt, Mittelpunkt),

einKreis (Linien, besondere) umden MittelpunktdurchdiebeidenEndpunkte.

GemessenwerdenUmfangund Durchmesser.

FüreineautomatischeDatenerfassung

(Wertesammeln, sieheunten) sollten

beideWerteauch injeweilseiner Variablengespeichertwerden (Werte speichern).

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DurchZieheneinesEndpunktesder Streckelässt sichderDurchmesser verändern, jetztauchaufLängenüber

2,5cm.

DieMesswerte fürdunduwerdenin einerTabelle gesammelt (Werte sammeln).

DazuwirdeineneueSeitemitLists &

Spreadsheetgeöffnet. Hierwurde manuelleDatenerfassung (Werte sammeln) gewählt, umbenutzer- definierteDatenübertragenzukönnen.

ZurückinGraphs & Geometrywird der DurchmesserdurchZiehenverändert undmit/^kann mandasaktuelle WertepaarindieTabelleübertragen.

DiemitdemRechnergewonnenenEr- gebnissewerdenzusätzlichzudenan denMünzengemessenenWertenim gleichenStreudiagrammdargestellt.

DazumüssendieAchseneinstellungen fürdasFensterverändertwerden

(Koordinatenachsenverändern).

Beobachtung:AllePunkteliegenauf einerGeraden, oderandersgesagt:

DerUmfang istproportionalzum Durchmesser.

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NachAugenmaßsoll eineGeradedurch diePunkte gelegtwerden. Dazu

zeichnetmanzunächsteinmalden Graphenvonf1(x) =x (Graphzeichnen) undziehtdieseGerademitder

Greifhandüber diePunkte.

InWortenbedeutetdieseGleichung Umfang=3,14%Durchmesser, alsodiebekannteFormel.

AlternativkanndieProportionalitätauch inderWertetabelledurchQuotienten- bildunguntersuchtwerden.

DerProportionalitätsfaktorergibt sich mitdergewünschtenAnzahlvonNach- kommastellen.

AuchderQuotientdervonHandgemes- senenWertestreut umdiesenWert.

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Vorgestellt wird hier ein Unterrichtsbeispiel zur Einführung der Kreiszahl '. Dabei werden konkretes Handeln und Einsatz von Technologie verknüpft. Der Zugang ist experimentell, aber der Rechnererweitert schnelldieBasisanBeispielen. AuchdieAuswertungwird durch den Rechner vereinfacht. Die Lernenden können sich besser auf ihre Vermutungenund die Beobachtung von Zusammenhängen konzentrieren. Gleichzeitig werden ein geometrischer, ein graphischer und ein numerischer Zugang verfolgt, so dass diese Art der Bearbeitung auchunterschiedlicheLerntypenindividuelleransprechen kann.

DieMessungen an den Münzen sollen einen Bezug zum Alltagsleben der Schülerinnenund Schüler herstellen. Mit dem TI-Nspire^TM werden dieMesswerte dokumentiert und graphisch veranschaulicht. In einem ersten Schritt können die Lernenden nach Zusammenhängen suchen.

Die Untersuchung wird anschließend auf beliebige Kreise ausgedehnt. Der Rechner bietet die Möglichkeit, sich dieser Frage experimentell zu nähern. Dazu wird ein Kreis mit zuge- hörigem Durchmesser konstruiert. Durch Verändern des Durchmessers lassen sich schnell viele neue Wertepaare erzeugen, die in die Wertetabelle der Messwerte der Münzen aufgenommen oderauch ineineneueTabelle eingetragenwerden.

JenachVorkenntnissen könnendieLernendendiesz. B. inPartnerarbeitganzeinfachdurch direktes Eintippen erledigen. So lässt sich zunächst einmal der Bereich auf Durchmesser über 2,5cmerweitern.

Für Schülerinnen und Schüler, die schon etwas mit dem Programm vertraut sind, bietet die TI-Nspire^TM TechnologiezusätzlichdieMöglichkeit, Messwerteautomatischzu sammeln.

DieAuswertung erfolgtentweder graphischdurch Anpassen einer Geraden oder aber durch Quotientenbildung, je nachdem welcher Aspekt einer proportionalen Zuordnung den Lernenden näherliegt.

Wenn die Bestimmung von ' noch theoretisch vertieft werden soll, bietet sich nachfolgend z. B. eine Einschachtelung der Kreisfläche durch Rechtecke oder Vielecke an. Auch hier kann man mit der TI-Nspire^TM Technologie die Situation graphisch veranschaulichen und paralleldazuineinerTabelledienötigenRechnungenzurIntervallschachtelungdurchführen.

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Aufträge

1) Zeichnedie folgendeFigur. BerechnedenDurchmesserdesgroßenKreises und den Umfangder grauenFläche.

2) Finde heraus, wiederFlächeninhalt und derDurchmesser / derRadiuseinesKreises zusammenhängen.

3) HastdueineVermutung, wiemandasVolumeneinerMünzeberechnen könnte?

Überprüftdas, indemjederausdeinerKlasse eine 1-Euro-Münzemitbringt. Ihrlegtdann alleMünzenineinenwassergefülltenMesszylinder undermittelt, wievielWasser

dadurchverdrängtwird.