Vorlesung„Computergraphik I“S. Müller (17) Kurven

(17) Kurven

Vorlesung

„Computergraphik I“

S. Müller

OpenGl-Pipeline

1

2

3

4

Kurven: Motivation 1



Bisher haben wir die Objekte der Welt – oder genauer deren Oberflächen – durch Dreiecke bzw. Polygone angenähert.



Oftmals benötigt man aber kompliziertere Kurven oder Flächen

Schriftzeichen Automobilbau

Kurven: Motivation 2



Gegeben ist eine Menge von Punkte (z.B. Messwerte)

x y

x y

Interpolation Approximation

Kurvenbeschreibung



Implizit

(unbekannte Lösungsmenge)



Explizit

(eingeschränkter Def.bereich)



Parametrisch

(flexibel und einfach handhabbar)

x  y 

r t

2 2

2

y r

x + =

2

0

2

2

+ y − r = x

2

2

x

r y = ± −

( ) ^{t = r ⋅ cos} ( ) ^{t , y} ( ) ^{t = r ⋅ sin} ( ) ^{t , t ∈ [ 0 , 2 π ]}

x

Simples Beispiel (2D)



Lineare Interpolation zwischen 2 Punkten, parametrische Darstellung

( ) ( t = ¹ − t ) P

+ t ⋅ P

^, t ∈ ^{[ 0 , 1 ]} P

P

P

) 1 ( − t

t

)

(t

P

Simple Beispiele (3D)



Interpolation einer Fläche durch bilineare Patches

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

01 11

10 00

] 1 , 0 [ ) , (

1

1 1 1

,

∈

⋅

⋅

− +

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

v u

P v

u

P v

u

P v

u

P v

u v

u P

P

P

P

P

u

v

De Casteljau Algorithmus



 



 +

 +



 



 +

 =



 

 = 0 1 1 2

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 P P P P

t P



 



 +

 +



 



 +

 =



 

 = _{0 1 1 2}

4 1 4

3 4 1 4

1 4

3 4 3 4

1 P P P P

t P



 



 +

 +



 



 +

 =



 

 = _{0 1 1 2}

4 3 4

1 4 3 4

3 4

1 4 1 4

3 P P P P

t P

( ) (

) ( (

)

)

( ⁽

⁾

)

P = − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

P

P

4

P

P

2

P

4

P

Verallgemeinerung liefert eine appoximierte Parameterkurve

(

)

P = =

(

)

P = =

Quadratische Bézier-Kurven



Damit haben wir die quadratischen Bézier-Kurven hergeleitet.



Prinzip:



Gegeben sind 3 Punkte („Kontrollpunkte“)



Damit haben wir ein einfaches Verfahren, wie eine

parametrisierte Kurve durch die Punkte approximiert wird



Die Kurve geht durch Anfangs- und Endpunkt

( ) (

) ( (

)

)

( ⁽

⁾

)

P = − − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )

2 1

0

2

2 1

1 t P t t P t P

t

P = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

Umformung liefert:

Standardform der quadratischen Bézier-Kurven

Gewichtungssfunktionen



Für jeden Wert von t im Bereich [0,1] wird eindeutig ein Punkt P definiert



„Abhängig vom Wert von t nimmt man ein bisschen von P

, von P

und schließlich von P

“



Gewichtungsfunktionen

 Positiv

 Summe der

Gewichtungsfunktionen für jedes t gleich 1

( ) ( ) ( )

2 1

0

2

2 1

1 t P t t P t P

t

P = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

t2

(

)

t⋅ −

⋅ 1

2

(

)

t

0 1

1

0

Interpretation

P

P

4

P

P

2

P

4

P

(

)

2⋅t⋅ − t

(

)

t

0 1

1

0

( ) ( ) ( )

2 1

0

2

2 1

1 t P t t P t P

t

P = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

Gewicht von P₀

Gewicht von P₁

Gewicht von P₂

Tangente an Start-/Endpunkt

( ) ( ) ( )

2 1 0

2 2 1

1 t P t t P t P

t

P = − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

( )

(

)

(

)

' t t P t P t P

P = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

( )

(

)

' : 0

P P t

P t

−

⋅

=

= '

( )

(

)

1

P P

t P t

−

⋅

=

=

P

P

P

Tangente in P₀: Tangente in P₂:

Ergebnis: die Richtungen der Tangenten an Start-/Endpunkt sind durch die

(Tangenten hier aus Platzgründen zu kurz gezeichnet, in der Zeichnung soll nur die Richtung verdeutlicht werden ….)

Eigenschaften der Bézier-Kurven

1.

Konvexe Hülle

 Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle der

Kontrollpunkte

1.

Start-/Endpunkte

 … liegen auf der Kurve

1.

Tangenten

 … an Start-/Endpunkten

sind durch die Verbindungen erster/zweiter bzw.

vorletzter/letzter

Kontrollpunkt festgelegt.

P

P

P

Kubische Bézier-Kurven

P

P

1 ,

P

P

2 ,

P

) (t P

P

1 ,

P

,

P

2 ,

P

) (t P

1 ,

P

1 ,

P

,

P

2 ,

P

2 ,

P

5 .

= 0

t P

P

P

P

25 .

= 0 t

( ) ( ^{t 1 t} )

^{P 3} ( ^{1 t} )

^{t P 3} ( ^{1 t} ) ^t

^{P t}

^P

P = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + ⋅

Kubische Bézier-Kurven



Bei 4 Kontrollpunkten ergeben sich

Gewichtungsfunktionen 3.

Grades (kubische Bézier- Kurven)



Allgemein: die Anzahl der Kontrollpunkte legt den Grad der Polynome fest (Grad der Polynome ist Anzahl der

Kontrollpunkte minus 1)



Alle anderen Eigenschaften gelten auch hier:

1. Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle der Kontrollpunkte

2. Start-/Endpunkte liegen auf der Kurve

3. Tangenten an Start-/Endpunkten sind durch die Verbindungen erster/zweiter bzw. vorletzter/letzter Kontrollpunkt festgelegt.

t3

(

)

3t − t

(

)

t

0 1

1

0

(

)

t 1− 3 ²

kurve_bezier.vcproj

P1

P1

P1

P1 P₁

P1

P0 P₀ P₀

P P2

P2 P²

P2 P₂

P3

P3

P P³

Beispiel: Powerpoint

Bernstein-Polynome



Bézier-Kurven lassen sich allgemein auch so darstellen



Grad n des Polynoms = Anzahl Kontrollpunkte – 1



n = 2:



n = 3:



Allgemein: „Bernstein- Polynome“

( ) ∑ ( )

=

⋅

=

i

i n

i

t P

B t

P

0 ,

( )

( )

2 2 , 2

2 , 1

2 2

, 0

1 2

1 t B

t t

B

t B

=

−

⋅

⋅

=

−

=

( )

( )

( )

3 3 , 3

2 3

, 2

2 3

, 1

3 3

, 0

1 3

1 3

1

t B

t t

B

t t B

t B

=

−

=

−

=

−

=

( )

i n

i

t t

i

B n ⋅ ⋅ −



 



=  1

,

( ^{n !} )

n

= −

 

 

Zusammenfassung



Bézier-Kurven sind eine Möglichkeit, stetige Kurven aus eine Menge von

Kontrollpunkten zu generieren



Als Gewichtungsfunktionen werden Bernstein-Polynome verwendet



Grad n des Polynoms = Anzahl Kontrollpunkte – 1



Eigenschaften der Bézier- Kurven

1. Die Kurve liegt innerhalb der konvexen Hülle der Kontrollpunkte

2. Start-/Endpunkte liegen auf der Kurve

3. Tangenten an Start-/Endpunkten sind durch die Verbindungen erster/zweiter bzw. vorletzter/letzter Kontrollpunkt festgelegt.



Eigenschaften der Bernstein- Polynome

1. Im Wertebereich t∈[0,1] positiv

2. Die Summe der Werte für alle t im Wertebereich ist 1.

( ) ∑ ( )

=

⋅

=

i

i n

i

t P

B t

P

0 ,

( )

i n

i

t t

i

B n ⋅ ⋅ −



 



=  1

,

∑

( )

Subdivision (Unterteilung)



Gegeben seien die

Liniensegmente (rechts)



Man unterteilt jede Kante (z.B. P

P

und P

P

) z.B. in 2 gleiche Teile



Die neue Kante (P

P

) wird ebenfalls in der Mitte

unterteilt und ein neuer Punkt P generiert



Das ganze wird für die neuen Kanten rekursiv wiederholt.



Das Ergebnis ist eine

P

P

P

1 ,

P

1 ,

P

P

subdivide (rek, p0, p1, p2) {

if (rek >= max_rek) {

Zeichne Linien (p0, p1, p2);

Abbruch;

}

p01 = (p0+p1)/2.0;

P

P

P

1 ,

P

1 ,

P

P

P

P

P

1 ,

P0

1 ,

P1

P

P

P

1 ,

P0 ^1,1

P

P

P

Beispiel

1. Rekursion:

2. Rekursion:

kurve_subdiv.vcproj Was passiert mit der Kurve, wenn wir die

Halbierung/Drittelung ?

Halbierung

Mathematisch: 1. Rekursion

P

P

P

1 ,

P

1 ,

P

P

(

)

1 ,

0

2

1 P P

P = +

(

)

1 ,

1

2

1 P P

P = +

( )

 

 



 +

 +



 



 +

=

+

=

2 1

1 0

1 , 1 1

, 0

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1

P P

P P

P P

P

Mathematisch: 2. Rekursion (links)

P

P

P

Pa

Pb

4

P1

2

P

P

( )



 +

 +

 

 +

=



 



 + + + +

=

+

=

2 1

1 0

2 1

0 1

0

1 3

1 1

3 3

8 1 8

4 8

3 4

1 4

3 2 1 2 1

P P

P P

P P

P P

P P P

P _{a b}

( )

( )

1 0

1 0 0

1 , 0 0

4 1 4

3

2 1 2

1 2 1

P P

P P P

P P P_a

+

=



 



 + +

=

+

=

( )

( )

2 1

0

2 1

1 0

1 0

2 1 1 , 0

8 1 8

4 8

3

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1

P P

P

P P

P P

P P

P P

P_b

+ +

=



 



 



 



 +

 +



 



 +

+ +

=

+

=

Was sagt uns das ?

P

P

P

P

P

4

P

2

P

P

P

P

4 ) ( t = 1 P

P



 



 +

 +



 



 +

= _{0 1 1 2}

4

1 4

1 4

3 4 1 4

1 4

3 4

3 P P P P

P

) 1 ( − t

t

) 1

( − t t

) 1 ( − t

t

Durch diesen Rekursionsschritt erzeugen wir den gleichen Wert wie für t=1/4.