Blatt IX

Dr. O.V.Kutovyi

Funktionentheorie

Prof. Dr. Yu.G.Kondratiev

Blatt IX

Abgabe bis sp¨atestens 19.06

Aufgabe 32 (4 Punkte) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen und bestimmen Sie ihr Konvergenzverhalten am Rande der Kon- vergenzkreises:

(a) P∞ n=1zⁿ, (b) P∞

n=1 zⁿ

n, (c) P∞

n=1 zⁿ n².

Hinweis: Benutze f¨ur (b):

N

X

n=1

a_nb_n=b_N+1

N

X

k=1

a_k

! +

N

X

n=1 n

X

k=1

a_k

!

(b_n−b_n+1).

Aufgabe 33 (4 Punkte)

Sei f eine in ganz C holomorphe Funktion, die auf R reelwertig ist. Zeigen Sie, daß f(¯z) = f(z).

Aufgabe 34 (4 Punkte)

Bestimmen Sie die Nullstellenordnung von sinz, tanz, (sinz)² und sin(z²) in den jeweiligen Nullstellen.

Aufgabe 35 (4 Punkte) Sei f eine nicht konstante holomorphe Funktion auf D_R(0). Zeigen Sie, daß r 7→ sup_|z|=r|f(z)| eine strikt wachsende Funktion auf (0, R) ist.

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