Justifiable choice

Munich Personal RePEc Archive

Justifiable choice

Heller, Yuval

School of Mathematical Sciences, Tel-Aviv University.

10 June 2009

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/25892/

MPRA Paper No. 25892, posted 18 Oct 2010 18:20 UTC

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❇✉t ✐♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ ✐❢ ❜♦t❤ bn ❛♥❞ cn ❛r❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ q s❤♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✭{bn, cn} = C({bn, cn, q})✮✿ t❤❡ ❉▼ ❝❛♥ ❣❡t ❤❡r ❢❛✈♦r✐t❡ ♠❡❛❧ ❛t ❛ ♥❡❛r❜② r❡st❛✉r❛♥t✱ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢

✇❤❡t❤❡r s❤❡ ✇❛♥ts ❜❡❡❢ ♦r ❝❤✐❝❦❡♥✳ ❖❜s❡r✈❡✱ t❤❛t t❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤

❈❆❘◆■ ✭q ✐s ♥♦t ❝❤♦s❡♥ ✐♥ t❤❡ tr✐♣❧❡ ❜❡❝❛✉s❡ ✐t ✐s ✐♥❢❡r✐♦r t♦ t❤❡ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ bn ❛♥❞ cn✮✱

❛♥❞ ✐s ✐♥❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❲❆❘◆■ ✭❛s ❲❆❘◆■ ✐♠♣❧✐❡s✿ q∈C({bn, q}) ❛♥❞ q∈C({cn, q})

⇒ q∈C({bn, cn, q})✮

■♥ ♦✉r s❡❝♦♥❞ ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❛♣♣❧② ❈❆❘◆■ t♦ t❤❡ ❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤

❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s ❛♥ ❛❝t ✕ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ❛ss✐❣♥s ❛ ❧♦tt❡r② ✐♥ ❡❛❝❤ st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡✳ ❖✉r s❡❝♦♥❞

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❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✮ ❛♥❞ ❈❆❘◆■ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts

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✐♥ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✱ ✷✵✵✻✮✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❉▼ t♦ ❜❡ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡ ❜❡t✇❡❡♥ q ❛♥❞ r✱

6 ❚❤❛t ✐s✱ ❡❧❡♠❡♥tq ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥A✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛♥② ❝♦✉♣❧❡{q, r}❢♦r ❡❛❝❤ r✐♥A✳

7 ❖✉r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ❜✐♥❛r② ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ ❑♥✐❣❤✲

t✐❛♥ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ✭❚r✉♠❛♥ ❋✳ ❇❡✇❡❧②✱ ✷✵✵✷❀ s❡❡ ❛❧s♦ ❥✉st✐✜❛❜❧❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ♦❢ ▲❡❤r❡r ❛♥❞ ❚❡♣❡r✱

✷✵✶✵✮✿ ❚❤❡r❡ ✐s ❛ ✉♥✐q✉❡ ✈◆✲▼ ✉t✐❧✐t②✱ ❛♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥✈❡① s❡t ♦❢ ♣r✐♦rs✱ s✉❝❤ t❤❛t ❛❝t f ✐s

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✹

✐❢ ❤❡r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ t✇♦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♠❡♥✉✿ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♠❡♥✉

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❇♦❜✬s s❡t ♦❢ ✉t✐❧✐t✐❡s✳⁸ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ✐♥ t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♣r✐♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❆❧✐❝❡ ✐s ♠♦r❡ ❞❡❝✐s✐✈❡

t❤❛♥ ❇♦❜ ✐❢✿ ✶✮ ❆❧✐❝❡ ❤❛s ❛ s✐♥❣❧❡ ♣r✐♦r✱ ♦r ✷✮ ❆❧✐❝❡✬s s❡t ♦❢ ♣r✐♦rs ✐s ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ ❇♦❜✬s s❡t

♦❢ ♣r✐♦rs✱ ❛♥❞ ✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t❤❡② s❤❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ✉t✐❧✐t②✱ ♦r ❤❛✈❡ ❡①❛❝t❧② ♦♣♣♦s✐t❡ ✉t✐❧✐t✐❡s✳

❚❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ ♦t❤❡r ♠♦❞❡❧s ♦❢ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ✭❇❡✇❧❡②✱

✷✵✵✷❀ ❏✉❛♥ ❉✉❜r❛✱ ▼❛❝❝❤❡r♦♥✐ ❛♥❞ ❖❦✱ ✷✵✵✹❀ ❛♥❞ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✱ ✷✵✵✻❀ s❡❡ ❙❡❝t✐♦♥ ✸✮✳

❚❤❡ ♣❛♣❡r ✐s ♦r❣❛♥✐③❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✷ ♣r❡s❡♥ts t❤❡ ♠♦❞❡❧s ❛♥❞ t❤❡ r❡s✉❧ts✳ ■♥ ❙❡❝t✐♦♥

✸ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ♥♦t✐♦♥s ♦❢ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss ❛♥❞ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧✳ ❉✐✛❡r❡♥t

❛s♣❡❝ts ♦❢ ♦✉r ♠♦❞❡❧✱ ❛♥❞ ✐ts r❡❧❛t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡①✐st✐♥❣ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❛r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥

✹✳ ❙❡❝t✐♦♥ ✺ ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ♣r♦♦❢s✳

✷ ▼♦❞❡❧s ❛♥❞ ❘❡s✉❧ts

✷✳✶ ❘✐s❦ ✭✈♦♥✲◆❡✉♠❛♥♥✲▼♦r❣❡♥st❡r♥ ❋r❛♠❡✇♦r❦✮

✷✳✶✳✶ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s

▲❡t X ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ✭❝❡rt❛✐♥ ♣r✐③❡s✮✳⁹ ▲❡t Y = △(X) ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢

❧♦tt❡r✐❡s ♦✈❡r X✳ ❚❤❡ ♠✐①t✉r❡ ✭❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥✮ ♦❢ t✇♦ ❧♦tt❡r✐❡s ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

(αq+ (1−α)r) (x) = αq(x) + (1−α)r(x) ✭✇❤❡r❡ α ∈ [0,1]✱ q, r ∈ Y ❛♥❞ x ∈ X✮✳

❙✐♠✐❧❛r❧②✱ ❣✐✈❡♥ A ⊆ Y✱ ❧❡t αq + (1−α)A ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❧♦tt❡r✐❡s t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡ ❛❧❧

❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s ♦❢ q ✇✐t❤ ❧♦tt❡r② r ✐♥ A✱ ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts α ❛♥❞ 1−α r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✿

(αq+ (1−α)A) = {αq+ (1−α)r|r∈A}✳

❚❤❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ C ♦✈❡r Y✳ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❈ ✐s ❛❧❧

t❤❡ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝❧♦s❡❞ s❡ts ✐♥ ❨✳¹⁰ ❋♦r ❡❛❝❤ s✉❝❤ s❡t A⊆Y✱C(A) ✐s ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② s✉❜s❡t

♦❢ ❆✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢C✐s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ✇❤❡♥ ❛ ❉▼ ❢❛❝❡s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts

✐♥ A✱ s❤❡ ❝❤♦♦s❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✐♥ C(A)✱ ❛♥❞ ❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥ C(A) ♠❛② ❜❡

❝❤♦s❡♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❉▼ ❝♦♥s✐❞❡rs ❛❧❧ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ✐♥C(A)✱ ❛♥❞ ♦♥❧② t❤❡♠✱ ❛s ❝❤♦♦s❛❜❧❡

❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✳ ❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❡❧❡♠❡♥t ✐♥ C(A)✐s ♥♦t ❡①♣❧✐❝✐t❧② ♠♦❞❡❧❡❞✳¹¹ ❲❤❡♥

8 ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❡❛❝❤ ✉t✐❧✐t②uA♦❢ ❆❧✐❝❡ t❤❡r❡ ✐s ✉t✐❧✐t②uB ♦❢ ❇♦❜ s✉❝❤ t❤❛t uA=a·uB+b✇❤❡r❡

a <0❛♥❞ b∈R✳

9 ❲❡ ❞❡✜♥❡ X t♦ ❜❡ ✜♥✐t❡ ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ♦❢ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ❇♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❛

❝♦♠♣❛❝t ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ❜② ❛❞❛♣t✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♦❢s ❛s ✐♥ ❖③❣✉r ❊✈r❡♥ ✭✷✵✶✵✮ ❛♥❞ ●✐❧❜♦❛

❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✳

10❲❡ ❞❡✜♥❡ C ♦♥❧② ♦♥ ❝❧♦s❡❞ s❡ts ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ ♥♦♥✲❝❧♦s❡❞ s❡ts t❤❡ P❛r❡t♦ ❢r♦♥t✐❡r ♠✐❣❤t ❜❡ ❛♥

❡♠♣t② s❡t✳ ❖✉r r❡s✉❧ts r❡♠❛✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ✐❢ C ✐s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥❧② ♦♥ ✜♥✐t❡ ✭♥♦♥✲❡♠♣t②✮ s❡ts✳

11■♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✬s ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❛❝t ✐♥ C(A) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛②♦✛✲

✐rr❡❧❡✈❛♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ t❤❛t ✐s ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❝❡ss✳ ■♥ s✉❜s❡❝t✐♦♥ ✹✳✷ ✇❡ ♣r❡s❡♥t

❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ st♦❝❤❛st✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳

✺

q ∈ C(A) ✇❡ s❛② t❤❛t q ✐s ❝❤♦♦s❛❜❧❡ ✐♥ ❆✱ ♦r t❤❛t t❤❡ ❉▼ s♦♠❡t✐♠❡s ❝❤♦♦s❡s q ✐♥ A❀ s✐♠✐❧❛r❧②✱ ✇❤❡♥ q /∈ C(A) ✇❡ s❛② t❤❛t q ✐s ♥♦t ❝❤♦♦s❛❜❧❡ ✐♥ ❆✱ ♦r t❤❛t t❤❡ ❉▼ ❞♦❡s ♥♦t

❝❤♦♦s❡ q ✐♥ A✳ ●✐✈❡♥A ⊆Y✱conv(A) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢A ✭t❤❡ s♠❛❧❧❡st ❝♦♥✈❡① s❡t t❤❛t ❝♦♥t❛✐♥s A✮✳

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ st❛♥❞❛r❞ ❛①✐♦♠s ✭❛ss✉♠♣t✐♦♥s✮ ❛r❡ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ C✿

❆✶ ◆♦♥✲tr✐✈✐❛❧✐t②✳ ∃A⊆Y ❛♥❞ ∃q∈A✱ s✉❝❤ t❤❛tq /∈C(A)✳

❆✷ ❈♦♥t✐♥✉✐t②✳ ❋♦r ❛♥② ❧♦tt❡r② q ∈ Y✱ t❤❡ s❡t {r ∈Y|r∈C({q, r})} ✐s ❝❧♦s❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡

s❡t{r ∈Y| {r}=C({q, r})}✐s ♦♣❡♥✳

❆✸ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ▲❡t q ∈ A ⊆ Y✱ r ∈ Y ❛♥❞ α ∈ (0,1)✳ q ∈ C(A) ⇔ αr+ (1−α)q ∈ C(αr+ (1−α)A)✳

❆①✐♦♠s ❆✶✲❆✸ ❛r❡ st❛♥❞❛r❞✳ ❆①✐♦♠ ❆✶ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❈ ❜❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ✭t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ s❡t

✇✐t❤ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ✉♥❝❤♦♦s❛❜❧❡ ❛❝t✮✳ ❆①✐♦♠ ❆✷ ✭❝♦♥t✐♥✉✐t②✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t ❢♦r ❛♥② ❧♦tt❡r② q ∈ A✱ t❤❡ s❡ts {r|rq} ❛♥❞ {r|rq} ❛r❡ ❝❧♦s❡❞✱ ✇❤❡r❡ ✐s t❤❡

r❡✈❡❛❧❡❞ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥✿ r q⇔r∈C(q, r).¹²

❆ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❉▼ ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❧♦tt❡r② q ✐♥ A✱ ✇❤❡♥ s❤❡ ✜♥❞s ♦✉t t❤❛t t❤❡r❡ ✐s s♦♠❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❡✈❡♥t ❊ ♦❝❝✉rs✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❛t ❝❛s❡ s❤❡ ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ t♦ t❛❦❡ ❧♦tt❡r② r✳

❆①✐♦♠ ❆✸ ✭✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✮ r❡q✉✐r❡s t❤❡ ❉▼ t♦ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ q ❛♥❞ r ✐♥ t❤❡ ♥❡✇

❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✭t❤❡ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ A❛♥❞ r✮✳ ❚❤❛t ✐s✱ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❧♦tt❡r②q ✐❢ ❊ ❞♦❡s ♥♦t ♦❝❝✉r✳

❖❜s❡r✈❡ t❤❛t ✈✐♦❧❛t✐♥❣ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✐s t✐♠❡✲✐♥❝♦♥s✐st❡♥t✳

✷✳✶✳✷ ❈♦♥✈❡① ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥✲■♥❢❡r✐♦r✐t② ✭❈❆❘◆■✮

❱♦♥✲◆❡✉♠❛♥♥ ❛♥❞ ▼♦r❣❡♥st❡r♥ ✭✶✾✹✹✮ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠✿

❲❆❘P ✭❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡✮ ✲ ▲❡t q, r ∈ A∩B ⊆Y✳ q ∈ C(A) ❛♥❞

r∈C(B) ✐♠♣❧✐❡s q∈C(B)✳

❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ q, r ❛r❡ ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ s❡ts✱ q ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ t❤❡ ✜rst s❡t✱ ❛♥❞ r ✐s

❝❤♦s❡♥ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ s❡t✱ t❤❡♥ ❜♦t❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ❛r❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❜♦t❤ s❡ts✳ ❱♦♥✲◆❡✉♠❛♥♥

❛♥❞ ▼♦r❣❡♥st❡r♥ s❤♦✇ t❤❛t ❆①✐♦♠s ❆✶✲❆✸ ❛♥❞ ❲❆❘P ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✲

✐t② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✈◆✲▼ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ u✱ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❝❤♦s❡♥

❧♦tt❡r✐❡s ❛r❡ ❜❡st ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ u✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A ⊆ L ❛♥❞ ❡✈❡r② ❧♦tt❡r② q ∈A✿ q∈C(A)⇔u(q)≥u(r) ∀r ∈A.

▼♦st ♠♦❞❡❧s t❤❛t ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✐t② ✭s✉❝❤ ❛s✱ ▼❛r❦ ❏✳ ▼❛❝❤✐♥❛✱ ✶✾✽✷✮ ❛♥❞ s✉❜✲

❥❡❝t✐✈❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✐t② ✭s✉❝❤ ❛s✱ ●✐❧❜♦❛ ❛♥❞ ❙❝❤♠❡✐❞❧❡r✱ ✶✾✽✾❀ ❙❝❤♠❡✐❞❧❡r✱ ✶✾✽✾❀ P❛♦❧♦

●❤✐r❛r❞❛t♦✱ ▼❛❝❝❤❡r♦♥✐ ❛♥❞ ▼❛r✐♥❛❝❝✐ ✷✵✵✹✱ ▼❛❝❝❤❡r♦♥✐✱ ▼❛r✐♥❛❝❝✐✱ ❛♥❞ ❆❧❞♦ ❘✉st✐❝❤✐♥✐✱

✷✵✵✻✮✱ ❝❤♦♦s❡ t♦ ✇❡❛❦❡♥ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠✱ ❛♥❞ ❦❡❡♣ ❲❆❘P✳ ❙♦♠❡ s✉♣♣♦rt ❢♦r t❤❡

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠ ✐s ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❍♦✇❛r❞ ❘❛✐✛❛ ✭✶✾✻✶✮✬s r❡s✉❧ts✿ ♠♦st ♣❡♦♣❧❡ t❤❛t ✈✐♦❧❛t❡

t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠ ✐♥ ❊❧❧s❜❡r❣✬s ♣❛r❛❞♦①✱ ❝❤❛♥❣❡ t❤❡✐r ❝❤♦✐❝❡s ✇❤❡♥ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✇✐t❤

❛♥ ❛♥❛❧②s✐s t❤❛t s❤♦✇s t❤❛t t❤❡✐r ♦r✐❣✐♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡s ❝♦✉♥t❡r t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠✳ ❘✳

❉✉♥❝❛♥ ▲✉❝❡ ❛♥❞ ❉❡t❧♦❢ ✈♦♥ ❲✐♥t❡r❢❡❧❞t ✭✶✾✾✹✮ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ✈✐♦❧❛t✐♦♥s ♦❢

12❆❧t❡r♥❛t✐✈❡❧②✱ ❆✷ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t s❡ts{r|r≻q}❛♥❞ {r|r ≺q}❛r❡ ♦♣❡♥✱

✇❤❡r❡≻✐s t❤❡ r❡✈❡❛❧❡❞ str✐❝t ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✭r≻q ⇔ {r}=C(q, r)✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦

t❤❡ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❉▼ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥ ✸✮✳

✻

t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ❛♥❞ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡② ❛r❡ ♠♦st❧② ❝❛✉s❡❞ ❜② t❤❡

✈✐♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦❢ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣♦✉♥❞ ❧♦tt❡r✐❡s t♦ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱ ✇❤✐❝❤ ✐s

✐♠♣❧✐❝✐t❧② ❛ss✉♠❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦s ♦❢ ✈♦♥ ◆❡✇♠❛♥ ❛♥❞ ▼♦r❣❡♥st❡r♥✱ ❛♥❞ ❋r❛♥❝✐s ❏✳

❆♥s❝♦♠❜❡ ❛♥❞ ❘♦❜❡rt ❏✳ ❆✉♠❛♥♥ ✭✶✾✻✸✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ✐♥ t❤✐s ♣❛♣❡r✱

❛♥❞ ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ ❡①✐st✐♥❣ ♠♦❞❡❧s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ■t s❡❡♠s ❧❡ss ❧✐❦❡❧② t♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♣❡♦♣❧❡

❢♦❧❧♦✇ t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ t♦ ♥♦r♠❛❧ ❢♦r♠✱ ❜✉t ✈✐♦❧❛t❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳

■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ✇❡ ✇❡❛❦❡♥ ❲❆❘P ❛♥❞ ❦❡❡♣ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛①✐♦♠✳ ❲✐t❤ ❛♥ ❡②❡ t♦ t❤✐s r❡❧❛①❛t✐♦♥ ✇❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡ ❲❆❘P s❧✐❣❤t❧② ❞✐✛❡r❡♥t❧②✿

❲❆❘P ✭❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✮ ✲ ▲❡tq∈A⊆Y✳ ■❢ t❤❡r❡ ❡①✐stsr∈C(A)

❛♥❞ B ⊆Y s✉❝❤ t❤❛t q∈C(B) ❛♥❞ r∈B✱ t❤❡♥ q∈C(A)✳

❲❆❘P ✐s ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❉▼ ❛r❡ ❝♦♠♣❧❡t❡✳ ■♥ s✉❝❤

❝❛s❡s✱ q ∈ C(B)❛♥❞ r ∈B ✐♠♣❧② t❤❛t q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ t♦ ❜❡ ✇❡❛❦❧②✲s✉♣❡r✐♦r t♦ r ✭✐✳❡✳✱ q ✐s

❛s ❣♦♦❞ ❛s r✮✳ ❚❤✉s ✐❢ r ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥A s♦ ✐s q✳

❲❤❡♥ t❤❡ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❛r❡ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ s♦♠❡✲

t❤✐♥❣ ❜❡✐♥❣ s✉♣❡r✐♦r ❛♥❞ ✐t ❜❡✐♥❣ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r ❢♦r ❛ ❉▼✳ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ♣r♦♣♦s❡ t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛①✐♦♠ t♦ ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❝❤♦✐❝❡ t❤❛t ✐s ✐♥❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s✿

❲❆❘◆■ ✭❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥✲■♥❢❡r✐♦r✐t②✮ ✲ ▲❡t q ∈ A ⊆ Y✳ ■❢ ❢♦r ❡✈❡r② r∈C(A) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡tB ⊆Y s✉❝❤ t❤❛t q∈C(B) ❛♥❞ r∈B✱ t❤❡♥ q ∈C(A)✳¹³

❲❤❡♥ t❤❡ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❛r❡ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✱ q ∈ C(B) ❛♥❞ r ∈ B ♦♥❧② ✐♠♣❧② t❤❛t q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ r✱ ❜✉t ✐t ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② t❤❛t q ✐s ✇❡❛❦❧②✲s✉♣❡r✐♦r t♦

r✳ ❲❆❘◆■ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ✐❢ q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❛❧❧ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✐♥ A✱

t❤❡♥ ✐t ♠✉st ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ❢r♦♠ A❛s ✇❡❧❧✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ♦♥❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t

❛①✐♦♠s ❆✶✲❆✸ ❛♥❞ ❲❆❘◆■ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✉t✐❧✐t② r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿

❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♠♣❛❝t s❡t U ♦❢ ✈◆✲▼ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s ✭✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✮✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A ⊆L❛♥❞ ❡✈❡r② ❧♦tt❡r② q∈A✿¹⁴

q ∈C(A)⇔ ∀r∈A, ∃ur ∈U, s.t. ur(q)≥ur(r). ✭✶✮

❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✱ ✐♥ s♦♠❡ ❝❤♦✐❝❡ s✐t✉❛t✐♦♥s✱ ✐t s❡❡♠s ♠♦r❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ t♦

r❡q✉✐r❡ ❛ ❝♦♥✈❡① ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘◆■✱ ✇❤❡r❡ ❛ ❝❤♦s❡♥ ❛❝t ❤❛s t♦ ❜❡ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❛❧❧

❛❝ts ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ A✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✐s ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ❈❆❘◆■✿

❆✹ ❈♦♥✈❡① ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥✲■♥❢❡r✐♦r✐t② ✭❈❆❘◆■✮✳ ▲❡t q ∈ A ⊆ Y✳ ■❢ ∀r ∈ conv(C(A))t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡tB ⊆Y ✇✐t❤q∈C(B)❛♥❞ r∈conv(B)✱ t❤❡♥ q∈C(A)✳

❈❆❘◆■ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ✐❢ q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❛❧❧ t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✐♥ conv(C(A))✱

t❤❡♥ ✐t ♠✉st ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ A ❛s ✇❡❧❧✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ❈❆❘◆■✱

✇❡ ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r ❈❆❘◆■✳

▲❡♠♠❛ ✷ ▲❡t C ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦✈❡r Y✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿

13❖❜s❡r✈❡ t❤❛t ✐t ✐s ✐♠♠❡❞✐❛t❡ t❤❛tq ∈C(A)⇒ ∃B ⊆Y s✳t✳ q ∈C(B) ❛♥❞ r∈B✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱

❲❆❘◆■ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② st❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✿ ▲❡t q ∈ A ⊆ Y✳ q ∈ C(A)⇔(∀r∈C(A),∃B ⊆Y s✳t✳q ∈C(B) ❛♥❞r∈B)✳

14❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭❬❄❪✮✬s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s s♦♠❡✇❤❛t ❞✐✛❡r❡♥t t❤❛♥ ✭✶✮ ❞✉❡ t♦ t❤❡✐r ❞✐❢✲

❢❡r❡♥t ❝♦♥t✐♥✉✐t② r❡q✉✐r❡♠❡♥ts✳ ❚❤❡✐r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ q ∈ C(A) ⇔ ∀r ∈ A, (∃ur ∈U,s.t. u_r(q)> u_r(r) or ∀u∈U u(q) =u(r))✳

✼

❈❆❘◆■✲✶ ▲❡t q ∈A⊆Y✳ ■❢∀r ∈conv(C(A)) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡t B ⊆Y ✇✐t❤ q∈C(B)

❛♥❞ r ∈conv(B)✱ t❤❡♥ q∈C(A)✳

❈❆❘◆■✲✷✿ ▲❡t q∈A⊆Y✳ q∈C(A) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ∀r ∈conv(C(A)) q∈C({q, r})✳

❈❆❘◆■✲✸✿ ▲❡t q ∈A⊆ Y✳ q∈ C(A) ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ∀r∈ conv(C(A)) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡t B ⊆Y ✇✐t❤ q∈C(B) ❛♥❞ r ∈B✳

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✭❈❆❘◆■✲✷✮ s❤♦✇s t❤❛t s❛t✐s❢②✐♥❣ ❈❆❘◆■ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛ ❝♦♥✈❡①

❜✐♥❛r✐♥❡ss ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❈ ✿ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛ s❡t ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛♥②

❝♦✉♣❧❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ s❡t✳ ❚❤❡ ❧❛st ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ♦♥❡ ♠♦t✐✈❛t❡❞ ✐♥ t❤❡

✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✿ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ ✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡r ✐❢ q ✐s ♥❡✈❡r ❝❤♦s❡♥ ✇❤❡♥ r

✐s ✐♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ s❡t❀ ❈❆❘◆■✲✸ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❛♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s❡t ✐❢ ❛♥❞

♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ♥♦t ✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❛♥② ♦t❤❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ t❤❡ s❡t✳ ■♥ ❙✉❜s❡❝t✐♦♥

✹✳✸ ✇❡ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ✐♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❲❆❘P✱ ❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❈❆❘◆■✳

✷✳✶✳✸ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠

❘❡♣❧❛❝✐♥❣ ❲❆❘P✴❲❆❘◆■ ✇✐t❤ ❈❆❘◆■ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ ✉t✐❧✐t② r❡♣r❡s❡♥t❛✲

t✐♦♥✳

❚❤❡♦r❡♠ ✸ ▲❡t C ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦✈❡r Y✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿

✭✶✮ C s❛t✐s✜❡s ❛①✐♦♠s ❆✶✲❆✹ ✭♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧✐t②✱ ❝♦♥t✐♥✉✐t②✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ❛♥❞ ❈❆❘◆■✮✳

✭✷✮ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝♦♠♣❛❝t s❡t U ♦❢ ❧✐♥❡❛r ✭✈◆✲▼✮ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ s✉❝❤ t❤❛t

❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A⊆Y ❛♥❞ ❡✈❡r② ❧♦tt❡r②q ∈A✿

q∈C(A)⇔ ∃u∈U,s✳t✳∀r∈A, u(q)≥u(r). ✭✷✮

❚❤❛t ✐s✱ ❛ ❧♦tt❡r② ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✐t ✐s ❜❡st ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ✉t✐❧✐t✐❡s

✐♥ U✳ ▼♦r❡♦✈❡r✿

✭❛✮ U ✐s ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ♣♦s✐t✐✈❡ ❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ❜♦t❤ U ❛♥❞ V ❛r❡

❝♦♥✈❡① ❝♦♠♣❛❝t s❡ts t❤❛t r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ s❛♠❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❡♥ ∀u ∈ U, ∃v ∈V s✉❝❤ t❤❛t u=a·v +b ✇❤❡r❡ a >0 ❛♥❞ b ∈R✳

✭❜✮ ❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s x, x∈X s✉❝❤ t❤❛t ∀u∈U✱ u(x)< u(x)✳

❘❡♠❛r❦ ✹ ❖❜s❡r✈❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡rs ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✐✜❡rs ❜❡t✇❡❡♥ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✬s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✶✮ ❛♥❞ ♦✉r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭✷✮✳ ■♥ ✭✶✮✱ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛ ❝❤♦s❡♥ ❧♦tt❡r② q ✇✐t❤ s♦♠❡ ❧♦tt❡r② r ∈ A ♠❛② ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ✉t✐❧✐t② ur ∈ U✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥ ✭✷✮ ❛❧❧

❝♦♠♣❛r✐s♦♥s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥u∈U✳ ❚❤✐s ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡

q✉❛♥t✐✜❡rs ✐s ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❡①tr❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ❈❆❘◆■ ✭✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❲❆❘◆■✮✱ ✇❤✐❝❤

❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❛♣♣❧② ❛ ♠✐♥✐♠❛① t❤❡♦r❡♠ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢✳

✷✳✷ ❯♥❝❡rt❛✐♥t② ✭❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ❋r❛♠❡✇♦r❦✮

✷✳✷✳✶ ▼♦❞❡❧

■♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ✭❬❄❪✱ ❛s r❡❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥

P❡t❡r ❈✳ ❋✐s❤❜✉r♥✱ ✶✾✼✵✮✳ ❙✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡❧✱ X ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ♦✉t❝♦♠❡s ❛♥❞

Y = △(X) ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ❧♦tt❡r✐❡s✳ ▲❡t S ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ st❛t❡s ♦❢ ♥❛t✉r❡✱ ❛♥❞✱ ❛❜✉s✐♥❣

♥♦t❛t✐♦♥✱ ❧❡t S = |S|✳ ▲❡t L = Y^S ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢r♦♠ st❛t❡s ♦❢ ♥❛t✉r❡ t♦

❧♦tt❡r✐❡s✳ ❙✉❝❤ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛s ❛❝ts✳ ❊♥❞♦✇ t❤✐s s❡t ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t t♦♣♦❧♦❣②✱

✽

✇❤❡r❡ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦♥ ❨ ✐s t❤❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦♣♦❧♦❣② ✐♥❤❡r✐t❡❞ ❢r♦♠[0,1]^X✳ ❆❜✉s✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥✱

❢♦r ❛♥ ❛❝t f ∈ L ❛♥❞ ❛ st❛t❡ s ∈ S✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② f(s) t❤❡ ❝♦♥st❛♥t ✭✉♥❛♠❜✐❣✉♦✉s✮ ❛❝t t❤❛t ❛ss✐❣♥s t❤❡ ❧♦tt❡r② f(s) t♦ ❡✈❡r② st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡✳ ❙✐♠✐❧❛r❧② ❢♦r ❛ s❡t A ⊆ L ❛♥❞ ❛ st❛t❡ s ∈S✱ ❧❡t A(s)❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❛❝t✲✇✐s❡ s❡t ♦❢ ❝♦♥st❛♥t ❛❝ts✿ A(s) = {f(s)|f ∈A}✳

▼✐①t✉r❡s ✭❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥s✮ ♦❢ ❛❝ts ❛r❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♣♦✐♥t✲✇✐s❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✐❢f, g ∈L

❛♥❞ α∈[0,1]✱ t❤❡♥ (αf + (1−α)g) (s) = αf(s) + (1−α)g(s) ❢♦r ❡✈❡r②s∈S✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱

❧❡t (αf + (1−α)A) ❞❡♥♦t❡ t❤❡ s❡t ✇❤❡r❡ ❡❛❝❤ g ∈ A ✐s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② αf + (1 − α)g✿

(αf + (1−α)A) = {αf + (1−α)g|g ∈A}✳ ❆s ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠❡r ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ♣r✐♠✐t✐✈❡ ✐s ❛

❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❈ ♦✈❡r ▲✳ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❈ ✐s ❛❧❧ t❤❡ ♥♦♥✲❡♠♣t② ❝❧♦s❡❞ s❡ts ✐♥ ▲✳

❋♦r ❡❛❝❤ s✉❝❤ s❡t A⊆L✱ C(A) ✐s ❛ ♥♦♥✲❡♠♣t② s✉❜s❡t ♦❢ ❆✳

❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✜✈❡ ❛①✐♦♠s ❛r❡ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✿

❇✵ ▼♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✳ ▲❡t f ∈A ⊆L❛♥❞ g ∈B ⊆L✳ ■❢ ∀s∈S✱ f(s)∈C(f(s), g(s)) t❤❡♥✿

✭✐✮g ∈C(B)⇒f ∈C(B∪ {f})✱ ❛♥❞ ✭✐✐✮ C(A)⊆C(A∪ {g})✳

❇✶ ◆♦♥✲tr✐✈✐❛❧✐t②✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❛❝t f ∈A⊆Ls✉❝❤ t❤❛t f 6∈C(A)✳

❇✷ ❈♦♥t✐♥✉✐t②✳ ❋♦r ❛♥② ❛❝t f ∈ L✱ t❤❡ s❡t {g ∈L|g ∈C(f, g)} ✐s ❝❧♦s❡❞✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡t {g ∈L| {g}=C({f, g})} ✐s ♦♣❡♥✳

❇✸ ■♥❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ▲❡tf ∈A⊆L✱h∈L❛♥❞ α∈(0,1)✳f ∈C(A)⇐⇒αh+ (1−α)f ∈ C(αh+ (1−α)A)✳

❇✹ ❈♦♥✈❡① ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥✲■♥❢❡r✐♦r✐t② ✭❈❆❘◆■✮✳ ▲❡t f ∈ A ⊆ L✳ ■❢ ∀g ∈ conv(C(A))t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡tB ⊆L✇✐t❤f ∈C(B)❛♥❞g ∈conv(B)✱ t❤❡♥f ∈C(A)✳

❲❡ s❛② t❤❛t ❛♥ ❛❝t ❢ ✭✇❡❛❦❧②✮ ❞♦♠✐♥❛t❡s ❛♥ ❛❝t g ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ s ∈ S {f(s)} ∈ C({f(s), g(s)})✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❡✈❡r② st❛t❡ ♦❢ ♥❛t✉r❡ s✱ ✐❢ t❤❡ ❉▼ ❦♥♦✇s s✱ ❛❝t

❢ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r {f, g}✳ ❚❤✉s✱ f ✐s ❜❡tt❡r t❤❛♥ g ✐♥ ❛❧❧ st❛t❡s ♦❢ ♥❛t✉r❡✳

❆①✐♦♠ ❇✵ ✭♠♦♥♦t♦♥✐❝✐t②✮ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ✐❢ ❢ ❞♦♠✐♥❛t❡s g✱ t❤❡♥✿ ✭✐✮ f ✐s ❝❤♦s❡♥ ✇❤❡♥❡✈❡r

✐t ✐s ❛❞❞❡❞ t♦ ❛ s❡t ✇❤❡r❡ g ✇❛s ❛ ❝❤♦♦s❛❜❧❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✱ ❛♥❞ ✭✐✐✮ ❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ t❤❛t ✐s

❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛ s❡t t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡sf ✐s ❛❧s♦ ❝❤♦s❡♥ ❛❢t❡r ❛❞❞✐♥❣g t♦ t❤✐s s❡t✳ ❆①✐♦♠s ❇✶✲❇✸ ❛r❡

st❛♥❞❛r❞ ❛♥❞ ❛r❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ ❛①✐♦♠s ❆✶✲❆✸✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜rst ♠♦❞❡❧✳

❆①✐♦♠ ❇✹ ✭❈❆❘◆■✮ ✇❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✳

❆①✐♦♠s ❇✵✲❇✸ ❛♥❞ ❲❆❘P¹⁵ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ s✉❜❥❡❝t✐✈❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✉t✐❧✐t② r❡♣r❡s❡♥✲

t❛t✐♦♥ ✭❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥✱ ✶✾✻✸❀ s❡❡ ❛❧s♦ ▲❡♦♥❛r❞ ❏✐♠♠✐❡ ❙❛✈❛❣❡✱ ✶✾✺✹✮✿ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛

✉♥✐q✉❡ ✈◆✲▼ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ u✱ ❛♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ p ♦✈❡r S ✭♣r✐♦r✮✱

s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A ⊆ L ❛♥❞ ❡✈❡r② ❛❝t f ∈ A✿ f ∈ C(A) ⇐⇒ Ep(u(f)) ≥ Ep(u(g)) ∀g ∈A.

❚❤❛t ✐s✱ f ✐s ❛ ❜❡st ❛❝t ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣r✐♦r p ✭❛♥❞ t❤❡ ✉t✐❧✐t②u✮✳

❆①✐♦♠s ❇✵✲❇✸ ❛♥❞ ❲❆❘◆■¹⁶ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts

❛ ✉♥✐q✉❡ ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ✈◆✲▼ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ u✱ ❛♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡ s❡t P ⊆ △(S)♦❢ ♣r✐♦rs✱

s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A⊆L ❛♥❞ ❡✈❡r② ❛❝t f ∈A✿

f ∈C(A)⇐⇒ ∀g ∈A, ∃pg ∈P s.t. Epg (u(f))≥Epg(u(g)). ✭✸✮

15■♥ t❤❡ ❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❲❆❘P ✐s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ▲❡tf, g ∈A∩B ⊆L✳ f ∈C(A)❛♥❞ g∈C(B) ✐♠♣❧✐❡sf ∈C(B)✳

16■♥ t❤❡ ❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❲❆❘◆■ ✐s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ▲❡tf ∈A⊆L✳ ■❢ ❢♦r

❡✈❡r②g∈C(A) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❡tB ⊆L ✇✐t❤f ∈C(B) ❛♥❞g∈B✱ t❤❡♥f ∈C(A)✳

✾

❚❤✐s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❜✐♥❛r② ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t ✐s ✐♥❞✉❝❡❞ ❢r♦♠

❑♥✐❣❤t✐❛♥ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ✭❇❡✇❧❡②✱ ✷✵✵✷✮ ❛♥❞ ❢r♦♠ ❥✉st✐✜❛❜❧❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ✭▲❡❤r❡r ❛♥❞ ❚❡♣❡r✱

✷✵✶✵✮✳

✷✳✷✳✷ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r❡♠

❘❡♣❧❛❝✐♥❣ ❲❆❘◆■ ✇✐t❤ ❈❆❘◆■ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠✉❧t✐♣❧❡ ♣r✐♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿

❚❤❡♦r❡♠ ✺ ▲❡t C ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦✈❡r L✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t✿

✭✶✮ C s❛t✐s✜❡s ❛①✐♦♠s ❇✵✲❇✹✳

✭✷✮ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❧✐♥❡❛r ✭✈◆✲▼✮ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥u ✭✉♣ t♦ ♣♦s✐t✐✈❡

❧✐♥❡❛r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✮✱ ❛♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡ ❝♦♥✈❡① ❛♥❞ ❝❧♦s❡❞ s❡t P ⊆ △(S)♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ♦✈❡r ❙ ✭♣r✐♦rs✮✱ s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❝❧♦s❡❞ s❡t A ⊆ L ❛♥❞ ❡✈❡r② ❛❝t f ∈A✿

f ∈C(A)⇔ ∃p∈P s.t.∀g ∈A, Ep(u(f))≥Ep(u(g)). ✭✹✮

❚❤❛t ✐s✱ ❛♥ ❛❝t ✐s ❝❤♦s❡♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐t ✐s ❜❡st ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♦rs ✐♥ P ✭❛♥❞

t❤❡ ✉t✐❧✐t② u✮✳

❘❡♠❛r❦ ✻ ❆s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ❡①tr❛ ❝♦♥✈❡①✐t② ♦❢ ❈❆❘◆■ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❝❤❛♥❣❡

t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ q✉❛♥t✐✜❡rs ✐♥ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ✐♥ ✭✸✮✱ ❡❛❝❤ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢

❛ ❝❤♦s❡♥ ❛❝t f ✇✐t❤ s♦♠❡ ❛❝t g ∈ A ♠❛② ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♣r✐♦r pg ∈ P✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥

✭✹✮✱ ❛❧❧ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♦r p∈P✳

✸ ■♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss ❛♥❞ ■♥❞✐✛❡r❡♥❝❡

❆s ❛r❣✉❡❞ ❜② ❆✉♠❛♥♥ ✭✶✾✻✷✮✱ ❇❡✇❡❧② ✭✷✵✵✷✮✱ ❉✉❜r❛✱ ▼❛❝❝❤❡r♦♥✐ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✹✮✱ ❛♥❞

▼✐❝❤❛❡❧ ▼❛♥❞❧❡r ✭✷✵✵✺✮✱ ❛♠♦♥❣ ♦t❤❡rs✱ r❛t✐♦♥❛❧✐t② ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧② ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss ♦❢ ♣r❡❢❡r✲

❡♥❝❡s✳ ■♥❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s ❛❧❧♦✇s ❛ ❉▼ t♦ ❡①❤✐❜✐t ❜♦t❤ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss✳

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ s❤♦✇ ✭❜② ❛❞❛♣t✐♥❣ t❤❡ ♠❡t❤♦❞s ♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✱ ✷✵✵✻✮ ❤♦✇

❝❤♦✐❝❡ ❞❛t❛ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❈❆❘◆■ ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ❢✉❧❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r✲

❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❉▼✱ ❛♥❞ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss ❛♥❞ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡

❞❡✜♥❡ t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♦♥❡ ❉▼ ❜❡✐♥❣ ♠♦r❡ ❞❡❝✐s✐✈❡ t❤❛♥ ❛♥♦t❤❡r ❉▼✱ ❛♥❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ✐t ✐♥

t❡r♠s ♦❢ ♦✉r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳

✸✳✶ Ps②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s

❚❤❡ ❉▼✬s r❡✈❡❛❧❡❞ ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ^∗ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ q, r ∈ Y ❛s

❢♦❧❧♦✇s✿

q ^∗ r⇔(∀A⊆Y, s✳t✳q, r∈A, r ∈C(A)⇒q∈C(A))

❚❤❛t ✐s✱ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ q ✐s r❡✈❡❛❧❡❞ t♦ ❜❡ ❛s ❣♦♦❞ ❛s r✱ ✐❢ q ✐s ❝❤♦s❡♥ ✇❤❡♥❡✈❡r r ✐s ❝❤♦s❡♥

✐♥ ❛ s❡t t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡s ❜♦t❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❞❡✜♥❡ ❛ str✐❝t ♣s②❝❤♦❧♦❣✐❝❛❧ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡

r❡❧❛t✐♦♥ ≻❢♦r ❡❛❝❤ q6=r∈Y ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

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