Simulationstechnik Semesterarbeit

Fachhochschule Kaiserslautern

Fachbereich Maschinenbau Studiengang Ingenieurinformatik

Semesterarbeit

Simulationstechnik

Alexander Elbe Frank Wagner

XXX XXX

Semester IM 7 Semester IM 7

Automasse m2

d2

c2

Reifenmasse m1

c1

u(t) x(t) y(t)

Inhaltsverzeichnis

1. Zusammenfassung ... 1

2. Aufgabenstellung ... 2

3. Theoretische Grundlagen ... 3

3.1 Freischnitt: ... 3

3.2 Mathematische Grundlagen ... 3

3.3 Blockschaltbild ... 6

4. MATLAB-Programme ... 7

4.1 Matlab Hauptprogramm ... 7

4.2 MATLAB-Funktion „Berechnung“ ... 9

5. Ergebnisse ... 10

5.1 Schwingweg des Autoreifens x(t) ... 10

5.2 Schwingweg der Autokarosserie y(t) ... 11

5.3 Schwingwege des Autoreifens x(t) und der Autokarosserie y(t) ... 12

5.4 Geschwindigkeit des Autoreifens x(t) ... 13

5.5 Geschwindigkeit der Autokarosserie

y  ( t )

... 14

5.6 Geschwindigkeiten des Autoreifens x(t)und der Autokarosserie y(t) ... 15

5.7 Schwingungen des Gesamtsystems ... 16

6. Quellenverzeichnis ... 17

1. Zusammenfassung

Als Leistungsnachweise im Fach „Simulationstechnik“ der Fachhochschule

Kaiserslautern im Sommersemester 2000 ist die Aufgabe 3.4 des Skriptums „Digital Simulation of Dynamic Systems“ von Prof. Dr. Rainer Fremd zu lösen.

Ein idealisiertes Modell einer Einzelradaufhängung eines PKW ist schwingungs- technisch zu untersuchen.

Durch die Matlab-Funktion ODE23 wird die durch einen Systemfreischnitt gefundenen Differentialgleichungen gelöst.

Ergebnis:

Ein optimales Schwingungsbild mit nur einer Nachschwingung stellt sich bei einer Dämpfungskonstante von 4500 Ns/m ein.

2. Aufgabenstellung

Gegeben ist ein idealisiertes Modell einer Einzelradaufhängung:

Gesucht sind die Differenzial- und die Zustandsgleichungen des Systems.

Außerdem ist das Blockdiagramm des Systems anzugeben.

Automasse m2

d2

c2

Reifenmasse m1

c1

u(t) x(t)

y(t) Daten:

m2= 25kg m²= 250kg c¹= 90000 N/m c2= 30000 N/m

u= 0.1m

d2= einstellbar

3. Theoretische Grundlagen

3.1 Freischnitt:

3.2 Mathematische Grundlagen

Durch den Systemfreischnitt findet man folgende Gleichungen:





 







g Nachführun

x c x d y c y d y

m₂ =− ₂ − ₂ + ₂ + ₂ (I)

( )

_^ _







g Nachführun

y c y d u x c x c x d x

m₁ =− ₂ − ₂ − ₁ − + ₂ + ₂ (II)

aus (I):

   

m x x c m y d m y c m

y+ d  +  =  + 

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

 

 







 (I´)

aus (II):

 

( )

^y

m y c m u d m x x c m x c m

x+d  +  + − =  + 

1 2 1

2 1

1 1

2

2 1 2

2 1 3









 



  

m y y c m u d m x c m

c x c

m

x d  −  =  + 

 

 + +

 +

2 3 2

2 4 1 1

1 2 1

2 1

1 1

2 1

2 1 2



 















 (II´)

Mit

( )

m u x c m

c c m

x c u c x c

1 1 1

1 2 1

1 1

2 + −

+ =

−

Automasse m2

d2

Reifenmasse m1

c1

u(t) x(t) y(t)

c2

y m 

2

y d 

2

x m 

1

(x u)

c  − 1

y c 

2

x c 

2 d x

2

Zusammenfassung der Eigenfrequenzen:



 



= +



2 2 2 1

1 m

c c

;

2 2 2

2 m

= c

 _;

1 2 2

3 m

= c

 _;

1 2 1

4 m

= c

 _;

Zusammenfassung der Dämpfungswerte:

1 1 2

m 2

d

= 

 _;

2 2 2

m 2

d

= 

 _;

Substitution:

2 2 1

y y

y y

y y









=

=

=

2 2 1

x x

x x

x x









=

=

=

aus (I’):

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2 2 y y 2 x x

y +  + =  + (I’’)

aus (II’):

1 2 3 2 1 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2

2 cu y y

x m x

x +  + − =  + (II’’)

aus (I’’):

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2

2 1

2

2 y y x x

y y y







 − − +

−

=

=





(I’’’)

aus (II’’):

1 2 3 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2

2 1

1 2

2 cu cu y y

x m x

x x x







 − + + + +

−

=

=





(II’’’)

System gekoppelt:



4 4 3

x y

x y

x y









=

=

=

aus (II’’’):

2

1 x

x =

2 3 3 4 1 1 1 2 1

1 2 1

2 c u 2 x x

m x 1 x

2

x =−  − + +  +

aus (I’’’):

4

3 x

x =

1 2 2 2 2 3 2 2 4 2

4 2 x x 2 x x

x =−  − +  +

Somit kann folgende Matrix aufgebaut werden:

 



 B

x A x

) t ( u

0 0 m c 0

x x x x

2 2

1 0 0 0

2 2

0 0 1 0

x x x x

B 1

x 4 3 2 1

A

2 2

2 2 2

2

1 2

3 1 2 1

x 4 3 2 1

2 4

+



=



























+













































−



−











−



= −

































 









 













x 0 1 0 0 y x y

x 0 0 0 1 x x x

3 1



=



=



=



=  

 



=

0 1 0 0

0 0 0 C 1

x C y

u B x A x



=

 +



=





 



=



 





0010 1000 )

( ) (

t y

t x





















=

) (

) (

) (

) (

t y

t y

t x

t x x





3.3 Blockschaltbild

Nach Umformung der von unter 3.2 gefundenen Differenzialgleichungen erhält man:

( )

(

^{d x c c x c u d y c y}

)

x= m  − ₂ − ₁− ₂  + ₁ + ₂ + ₂

1

1  





(

^{d y c y d x c x}

)

y= m  − ₂ − ₂ + ₂ + ₂

2

1  





Daraus kann dann das Blockschaltbild entwickelt werden:

+ + + +

+ + - -

+

+ +

- +

- y

x

u(t)

) ¹

1

m 

2

1 m



 

x  x 



y 

 y 

4. MATLAB-Programme

4.1 Matlab Hauptprogramm

% Simulationstechnikvorlesung SS2000

% Übungsaufgabe Nr. 3.4

% Autor: Elbe Alexander, Mat.Nr.: 805321,

% Wagner Frank, Mat.Nr.: 805769

% Datum: 28.7.2000

% Simulation des Schwingverhaltens eines

% Feder-Daempfer-Systems

% Aufgerufene Funktionen:

% berechnung, Datei berechnung.m clear;

fprintf('\nSimulationstechnikvorlesung SS2000\n');

fprintf('Übungsaufgabe Nr. 3.4\n\n\n');

fprintf('Simulation des Schwingverhaltens eines\n\n');

fprintf('Feder-Daempfer-Systems.\n\n\n\n');

fprintf('Gewuenschte Diagrammart: 1=x(t), 2=y(t) , 3=x(t) und y(t), \n\n 4=x-Punkt(t), 5=y-Punkt(t), 6=x-Punkt und y-Punkt, 7=Gesamt\n\n');

diagramm=input('Ihre Wahl [1,2,3,4,5,6,7]: ');

x=[0 0 0 0]; %Vorbesetzen der Matrix x

[t,x]=ode23('berechnung',[0,1.4],x,[]); %Loesung der Differenzialgleichung

%Ausgabe der Ergebnisse

%Ausgabe x(t)

if diagramm==1 plot(t,x(:,1),'m-');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('x(t) [m]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe y(t)

elseif diagramm==2 plot(t,x(:,3),'g--');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('y(t) [m]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe x(t) und y(t) elseif diagramm==3

plot(t,x(:,1),'m-');

hold on

plot(t,x(:,3),'g--');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('x(t)-, y(t)-- [m]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe x_punkt(t) elseif diagramm==4 plot(t,x(:,2),'r-');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('xpunkt(t) [m/s]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe y_punkt(t) elseif diagramm==5 plot(t,x(:,4),'b-');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('ypunkt(t) [m/s]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe x_punkt(t) und y_punkt(t) elseif diagramm==6

plot(t,x(:,2),'b-');

hold on

plot(t,x(:,4),'g--');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('xpunknt(t)- ypunkt(t)-- [m/s]')

xlabel('t [s]')

%Ausgabe x(t), y(t), xpunkt(t) und ypunkt(t) elseif diagramm==7

plot(t,x(:,1),'b-');

hold on

plot(t,x(:,2),'g.');

hold on

plot(t,x(:,3),'r--');

hold on

plot(t,x(:,4),'m+');

title('Schwingverhalten bei Daempferkonstante d2=4500 Ns/m') ylabel('x(t)- y(t)-- xpunknt(t).. ypunkt(t)+ [m/s]') xlabel('t [s]')

end

4.2 MATLAB-Funktion „Berechnung“

% Berechnung von x-Punkt

% aufgerufen von:

% simu.m

function xpunkt=berechnung(t,x)

m1=25; %Masse des Rades m1=25 kg

m2=250; % 0.25*Masse der Karosserie m2=250 kg c1=90000; %Federkonstante c1=90000 N/m

c2=30000; %Federkonstante c2=30000 N/m u=0.1; %Amplitude der Anregung u=0.1 m d2=4500; %Daempferkonstante d2=4500 Ns/m omega1_q=(c1+c2)/m1;

omega2_q=c2/m2;

omega3_q=c2/m1;

omega4_q=c1/m1;

delta1=d2/(2*m1);

delta2=d2/(2*m2);

%Martix A besetzen

A=[0 1 0 0;-omega1_q -2*delta1 omega3_q 2*delta1; 0 0 0 1; omega2_q 2*delta2 -omega2_q -2*delta2];

%Martix B besetzen B=[0; omega4_q; 0; 0];

%Zuweisung des Ergebnisses an Funktion xp xpunkt=A*x+B*u;

5. Ergebnisse

5.1 Schwingweg des Autoreifens x(t)

Das Schwingungsverhalten des Systems bei einer Dämpfungskonstante von 4500 Ns/m:

Nach einer Zeit von t = 0,18 s erreicht der Schwingweg des Autoreifens x(t) sein

Maximum bei x(t) = 0,133 m. Nach einer weiteren Nachschwingung stabilisiert sich das System nach einer Zeit von t = 0,8 s auf einen Weg von x(t) = 0,1 m.

5.2 Schwingweg der Autokarosserie y(t)

Das Schwingungsverhalten des Systems bei einer Dämpfungskonstante von 4500 Ns/m:

Nach einer Zeit von t = 0,23 s erreicht der Schwingweg des Autokarosserie y(t) sein Maximum bei y(t) = 0,15 m. Nach einer weiteren Nachschwingung stabilisiert sich das System nach einer Zeit von t = 0,8 s auf einen Weg von x(t) = 0,1 m.

5.3 Schwingwege des Autoreifens x(t) und der Autokarosserie y(t)

1. Das optimale Schwingungsverhalten stellt sich bei einer Dämpferkonstante von 4500 Ns/m ein. Ein kleinere oder größere Abweichung der Dämpferkonstante ergibt mehrere Nachschwingungen sowie größere Amplituden und die Zeit bis zur

Stabilisierung verlängert sich

5.4 Geschwindigkeit des Autoreifens x(t)

Die Geschwindigkeit des Autoreifens erreicht bei t = 0,003 s das Amplitudenmaximum von x

( )

t = 1,75 m/s. Die Stabilisierung, d.h.x

( )

t = 0, erfolgt nach einer Zeit von t = 0,8 s.

5.5 Geschwindigkeit der Autokarosserie

y  ( t )

Die Geschwindigkeit der Karosserie erreicht bei t = 0,1 s das Amplitudenmaximum von

( )

^t

y = 1,18 m/s. Die Stabilisierung, d.h.^y

( )

^t = 0, erfolgt nach einer Zeit von t = 0,8 s.

5.6 Geschwindigkeiten des Autoreifens x(t)und der Autokarosserie y(t)

Dieses Bild zeigt die Geschwindigkeiten des Autoreifens und der Karosserie. Die Geschwindigkeiten der Bauteile werden bei einer Zeit von t = 0,8 s zu Null.

5.7 Schwingungen des Gesamtsystems

Diese Grafik zeigt alle Wege und Geschwindigkeiten des Systems auf einen Blick. Man kann erkennen, dass das System sich bei einer Zeit von t = 0,8 s wieder in Ruhe

befindet.

6. Quellenverzeichnis

• Skript zur Vorlesung „Simulationstechnik“ an der FH Kaiserslautern, WS 98/99

• Skript „Digital Simulation of Dynamic Systems“ von Prof.Dr. Fremd

• Skript „Technische Schwingungslehre“ von Prof. H.W. Beil FH Kaiserslautern