Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik II (WS 2015/2016) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus
Übung: Dr. B. Eichmann
Hausaufgaben 1 Ausgabe: [03.11.2015]; Abgabe: [10.11.2015]
Aufgabe 1.1: Die Sätze von Gauÿ und Stokes (10 Punkte)
Wir haben bereits gesehen, dass die Vektoranalysis für die Theoretische Physik ein Arsenal an wesentlichen Hilfsmitteln bereitstellt. Insbesondere sind die sogenannten Integralsätze un- verzichtbar.
(a) Verizieren Sie den Gauÿ'schen Satz I
OV
A ~ · d ~ F = Z
V
div A ~
dV (1)
am Beispiel des Vektorfeldes A(x, y, z) = ~ ax
3~ e
x+ by ~ e
y+ cz ~ e
zdurch Berechnung der entsprechenden Integrale. Das Integrationsgebiet sei eine Kugel mit konstantem Radius R , für die gilt: x
2+ y
2+ z
2≤ R
2.
(b) Verizieren Sie den Stokes'schen Satz I
CF
A ~ · d~ s = Z
F
rot A ~ · d ~ F (2)
für die Zirkulation des Vektorfeld A ~ = (4x/3 − 2y)~ e
x+ (3y − x)~ e
yum die Ellipse mit F = {~ r : (x/3)
2+ (y/2)
2≤ 1, z = 0} .
Aufgabe 1.2: Die Delta-Distribution (10 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Delta-Distribution vorgestellt, die z.B. zur weiteren Behandlung von Problemstellungen mit Punktladungen benötigt wird. Dazu einige Übungen:
(a) Für die eindimensionale Delta-Funktion gilt (mit x
0= const. )
x2
Z
x1
f (x) δ(x − x
0) dx =
( f (x
0) ; x
0∈ (x
1, x
2)
0 ; x
0∈ / [x
1, x
2] (3)
Berechnen Sie nun I
0=
10
Z
3/2
g(x) [δ(x − 1) + δ(x − 2)] dx .
(b) Für die dreidimensionale Delta-Funktion gilt (mit einem konstanten Vektor ~a ) Z
V
f(~ r) δ
3(~ r − ~a) d
3r =
( f(~a) ; ~a ∈ V
0 ; sonst (4)
Bestimmen Sie das Integral I
1= Z
V
