Zentrum für Technomathematik
Prof. Dr. A. Schmidt Dr. Jonathan Montalvo Urquizo
Numerik partieller Differentialgleichungen
SS 2009 — ¨Ubung 2 — 20.04.2010 Abgabe: 27.04.2010
Aufgabe 4 (6 Punkte)
SeiΩ⊂Rdein offenes und zusammenh¨angendes Gebiet. Gegeben sei das lineare, elliptische Dirichlet- Problem
− Xd i,j=1
aijuxixj+ Xd i=1
biuxi+cu = f inΩ (1)
u = g auf ∂Ω
wobeiaij =aji,f ≤0inΩ,c≥0undaij,bi,c,f ∈C0( ¯Ω). Das Problem seigleichm¨aßig elliptisch, d.h. es gebe eine Konstante λ0>0, so dass alle Eigenwerte der MatrixA(x) = (aij(x))i,j=1,...,d f¨ur allex∈Ω gr¨oßer alsλ0 sind.
Seiu∈C2(Ω)∩C0( ¯Ω)eine L¨osung von (1):
• Ist c = 0, dann nimmt u sein Maximum auf dem Rand ∂Ω an. (Tipp: Betrachten Sie zuerst den Fall f <0!)
• Ist c≥0, dann gilt
sup
Ω
u ≤ sup
∂Ω
max(u,0) = max(0,sup
∂Ω
u)
• Ist c≥0, dann besitzt das Problem (1) h¨ochstens eine L¨osung.
Aufgabe 5 (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Betragsfunktion
v(x) =|x|
auf dem Intervall(−1,1)⊂Rkeine schwache zweite Ableitung besitzt.
Falls Sie Distributionen kennen: Was ist diedistributionelle zweite Ableitung von v ?
Aufgabe 6 (4 Punkte)
Auf dem RaumX={v∈C1[0,1], v(0) = 0} sei das Funktional
E(v) = 1 2
Z 1 0
p(x)v′(x)2dx+1 2
Z 1 0
q(x)v(x)2dx− Z 1
0
f(x)v(x)dx
gegeben mitp, q, f ∈C[0,1].
• Stellen Sie die schwache Form der Eulergleichung zu E auf, d.h. welche Gleichung gilt f¨ur eine L¨osung u∈X des MinimierungsproblemsE(u) = infv∈XE(v) ?
• Stellen Sie die starke Form der Eulergleichung zu E auf (falls u∈C2(0,1)und p∈C1[0,1]).
Welche Randbedingung f¨ur ugilt in x= 1?
