Philipp-Melanchthon-Gymnasium Bautzen Mathematik Kl.10
Übungsblatt 2. Klassenarbeit Version 2021 LB: Diskrete Zufallsgrößen
Übungsblatt zur 2. Klassenarbeit
Teil A - ohne Hilfsmittel
1 Markiere farbig. (Nur eine Antwort ist richtig.)
a) In einem Zimmer sind 10 Schüler und 10 Sitzplätze. Wie viele Sitzordnungen sind möglich?
1010 10! 10.000.000. 10∙9∙8∙7 1000
b) In einem Zimmer sind 7 Schüler und 10 Sitzplätze. Wie viele Sitzordnungen sind möglich?
10!:3! 70000 310 10∙9∙8∙7 7!
c) In einem Kurs sind 10 Schüler. Es ist ein Schülersprecher, ein Stellvertreter und ein Klassenclown zu wählen. Wie viele Wahlmöglichkeiten gibt es?
9 270 720 3∙2∙1 33
d) In einem Kurs sind 10 Schüler. Es ist ein Schülersprecher, ein Stellvertreter und wieder ein Klassenclown zu wählen. Es soll jetzt aber möglich sein, dass jemand zwei oder gar alle drei Ämter übernimmt Wie viele Wahlmöglichkeiten gibt es?
310 10∙9∙8 103 100 3
e) In einem Kurs von 10 Schülern ist ein Leitungsteam von 3 Schülern zu wählen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
10/3 1000 720 103 120
2 Jede Seite der regelmäßigen Polyeder ist mit Seitenzahlen beschriftet.
Der Polyeder wird jeweils einmal geworfen. Das Ereignis A beschreibt das Fallen einer Primzahl.
Vervollständige die Tabelle.
Polyeder Seiten Seitenzahlen P(A)
Tetraeder 4 gleichseitige Dreiecke 6 Quadrate Oktaeder
12 gleichseitige Fünfecke
Ikosaeder 1 – 20
3 Beschreibe den Unterschied zwischen den Begriffen „Ergebnis“ und „Ereignis“
eines Zufallsversuches.
4 Vervollständige die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Zufallsversuch
„Drei ideale Münzen werden gleichzeitig geworfen.“
Zufallsvariable X =
________________________________________ 0 2 P(X)
5a) Wende den Kosinussatz auf das in der Abbildung dargestellte Dreieck AST an.
b) Der Sinus dient auch zur Hilfe der Flächenberechnung eines Dreiecks ABC. Die Formel lautet:
r A = (ab • sinα) : 2 r A = ab • sinγ r A = (ab • sinγ) : 2 r A = (ab • sinβ) : 2 4
8
8 1
A S
T a
d e
t a s
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Übungsblatt 2. Klassenarbeit Version 2021 LB: Diskrete Zufallsgrößen
Teil B - mit Hilfsmittel
1 Ein Spieler würfelt einmal mit einem sechsseitigen Würfel. Würfelt er eine gerade Augenzahl, so muss er den Betrag der Augenzahl in € an die Bank zahlen. Würfelt er eine ungerade
Augenzahl, so erhält er den Betrag der Augenzahl von der Bank als Gewinn.
Die Zufallsvariable X soll den Gewinn bzw. Verlust des Spielers bei der Augenzahl A angeben.
[Lös.: E(X) = -0,50 € bedeutet: Verlust des Spielers]
2 Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleichgroße Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist. Die Räder werden als ideal angenommen.
Bei einem Einsatz von 0,20 € sind folgende Auszahlungen vorgesehen - Stern - Stern: 2,00 €
- Diamant - Diamant: 0,85 € - Kleeblatt - Kleeblatt: 0,20 €
In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.Weise nach, dass das Spiel fair ist.
3 Gummibärchen sind eine beliebte Süßigkeit. In einer vollständig gefüllten Tüte befinden sich 400 g in Form und Masse gleichartige Gummibärchen. Max hat erfahren, dass bei der Herstellung von Gummibärchen zylindrische Behälter mit dem Innendurchmesser 60 cm und der Höhe 100 cm mit flüssigem Fruchtgummi vollständig gefüllt werden. Aus dem Inhalt eines solchen Behälters werden Gummibärchen hergestellt. Es kann vereinfachend angenommen werden, dass die Dichte des flüssigen und des festen Fruchtgummis 1,4 g/cm3 beträgt. Nach der Fertigstellung wiegen 8 Gummibärchen 32 g.
a) Ermittle die Anzahl der Gummibärchen in einer vollständig gefüllten Tüte.
Bestimmen Sie, wie viele Tüten aus dem Inhalt des Behälters vollständig gefüllt werden können.
[Lös.: Anzahl: 100;Aussage: 989 Tüten]
Max verzehrt eine gewisse Anzahl von Gummibärchen, so dass sich nun noch insgesamt 60 Gummibärchen in den Farben Gelb, Rot und Grün in der Tüte befinden. Es befinden sich dreimal so viele rote wie gelbe Gummibärchen in der Tüte. Die Anzahl der gelben und grünen
Gummibärchen ist gleich groß.
b) Ermittle die Anzahl der roten Gummibärchen in dieser Tüte.
[Lös.: Anzahl: 36]
Nach weiterem Verzehr befinden sich jetzt noch 7 gelbe, 10 rote und 3 grüne Gummibärchen in der Tüte. Max wählt mit einem Griff zufällig genau 2 Gummibärchen aus dieser Tüte aus. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Gummibärchen in Max’s Stichprobe.
c) Ermittle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X und gib den Erwartungswert für die Zufallsgröße X an.
[Lös.: E(X) = 1]
4 In einer Stichprobe wurden von zehn verschiedenen Personen die Schrittlänge s und die Körpergröße k gemessen (siehe Tabelle).
a) Gib für die Körpergrößen dieser Stichprobe das arithmetische Mittel, die Standardabweichung und die Spannweite an.
[Lös.: arithmetisches Mittel: 165,9 cm; Standardabweichung: ≈12,9 cm; Spannweite: 41 cm]
In der Kriminalistik nutzt man die Möglichkeit, von der Schrittlänge einer Person auf die Körpergröße zu schließen. Dabei wird von einem linearen Zusammenhang ausgegangen.
b) Ermittle aus allen Werten der gegebenen Stichprobe mittels linearer Regression eine Gleichung für diesen Zusammenhang.
Bestimme nach dieser Gleichung die vermutliche Schrittlänge einer Person mit 2,00 m Körpergröße.
[Lös.: Gleichung: z. B. k = 2,09 ⋅ s + 18,85]
Bei einer weiteren Stichprobe von zehn Personen wurde für das arithmetische Mittel der Körpergrößen 161 cm errechnet.
c) Ermitteln Sie, wie groß eine elfte Person sein muss, damit das arithmetische Mittel dann 162 cm beträgt.
[Lös.:Körpergröße: 172 cm]
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Übungsblatt 2. Klassenarbeit Version 2021 LB: Diskrete Zufallsgrößen
5a) Von einem Dreieck ABC seien die folgenden Stücke gegeben: a = 5,5 cm; a = 55,8° und b = 41,4°.
Berechne die Länge der größten Seite des Dreiecks.
[Lös.: γ= 82,8°| c = 6,6 cm]
b) Berechne im gleichschenkligen Dreieck ABC (Basis c) alle Seiten und Winkel, wenn γ = 30°
und A = 16 cm2.
[Lös.: a = b = 75°| Ansatz: 16 cm2 = 0,5・b2・sin30°; b = 8 cm; c = 4,1 cm]
6 Von einem Dreieck ABC seien die Längen der Seiten bekannt.
Berechne jeweils die Größen der Innenwinkel.
a) a = 7,5 cm; b = 12,0 cm; c = 6,5 cm b) a = 15,0 cm; b = 24,0 cm; c = 13,0 cm c) a = 7,5 cm; b = 12,0 cm; c = 4,5 cm
[Lös.: a = 33,6°; b = 117,8°; γ = 28,6°| Winkel wie bei Teilaufgabe a) da Dreiecke zueinander ähnlich| nicht lösbar; Verstoß gegen Dreiecksungleichung]
7 Die Höhe h eines Turms kann ermittelt werden, auch wenn man nicht an seinen Fußpunkt herankommt.
Bestimme die Höhe h. Nutze dazu die Angaben aus der Skizze.
[Lös.: b = 127°; γ = 29°; BC = 53,7 m; h = 42,9 m]
8 Die Zahnradbahn zur Aussichtsgaststätte " Weißen Hirsch " in Dresden hat eine durchschnittliche Steigung von 16 % auf einer Fahrstrecke von 1,2 km.
Berechne den Steigungswinkel und die Höhendifferenz [Lös.: α = 9,1°| Δh = 190 m]
9 Das Grundstück ABCD (siehe Bild) soll vollständig mit einem Zaun begrenzt werden.
Dafür wurden Seitenlängen und Winkel bestimmt:
a = 128,5 m b = 85,8 m f = 214 m a = 86,25° γ = 55,12°
Bestimme die Länge des Zauns.
[Lös.: c = 251,0 m| d = 179,3 m | u = 644,6 m]
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Lösungen - Teil A
zu 1
a) Feld 2 b) Feld 1 c) Feld 3 d) Feld 3 e) Feld 5 zu 2
Polyeder Seiten Seitenzahlen P(A)
Tetraeder 4 gleichseitige Dreiecke 1 - 4
Hexaeder 6 Quadrate 1 - 6
Oktaeder 8 gleichseitige Dreiecke 1 - 8 Dodekaeder 12 gleichseitige Fünfecke 1 - 12
Ikosaeder 20 gleichseitige Dreiecke 1 – 20
zu 4
Zufallsvariable X = (z.B.) Anzahl von Wappen
________________________________________ 0 1 2 3 P(X)
zu 5a) z.B.
5b) Feld 3
1 2 1 2 4 8 5 12
2 5
1 8
3 8
3 8
1 8
cosε = a2+t2−s2 t2 = a2 + s2 – 2as · cos
2at α
