Naturwissenschaftliche Fakultät

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Programmiersprachen Prof. Klaus Ostermann

Leitung des Seminars David Binder Ingo Skupin

Kategorientheorie für Programmierer

Hausaufgabenblatt 7 – WS19

Aufgabe 1: Lektüre

Für kommende Woche lesen Sie bitte Kapitel 5 aus dem Artikel „Reason Isomorphically!“ von Ralf Hinze und Daniel W.H. James.

Aufgabe 2: Adjunktionen – Beispiele

SeienZ undRdie die ganzen beziehungweise die reellen Zahlen, jeweils als preorder-Kategorien mit ihren natürlichen Ordnungen. Zeigen Sie, dass für die Auf- beziehungsweise Abrundefunktionend·e,b·c:R→Zund die natürliche Injektioni:Z→Rgilt, dassd·elinks- undb·crechtsadjungiert zuiist.

Aufgabe 3: Adjunktionen – Beispiele 2

SeiC eine beliebige Kategorie mit Initial- und Terminalobjekten. Sei außerdem1die Kategorie mit nur einem Objekt und nur einem Morphismus (der Identität auf dem Objekt). Zeigen Sie, dass man das Initial- und das Terminalobjekt jeweils durch eine Adjunktion zwischen diesen beiden Kategorien darstellen kann.

Aufgabe 4: Äquivalenz der Adjunktionsdefinitionen

Gegeben seien zwei KategorienC undD, sowie zwei FunktorenL: C → DundR:D → C, wie im folgenden Bild dargestellt:

C D,

L R

`

Im Artikel ist die Adjunktion wie folgt definiert:

List linksadjungiert zuR, wenn ein natürlicher Isomorphismusϕ_c,dexistiert

ϕ_c,d: Hom_D(Lc, d)∼= HomC(c, Rd) :ψ_c,d (1) Alternativ kann die Adjunktion wie folgt definiert werden.

List linksadjungiert zuR, wenn natürliche Transformationenη:I_C →R◦Lundε:L◦R →I_D existieren, sodass folgende Diagramme kommutieren:

L LRL

L

Lη

id εL

R RLR

R

η_R

id Rε (2)

Zeigen Sie, dass die beiden Definitionen äquivalent sind.

Hinweise:

• Für die Richtung(2)→(1):

Die Morphismenϕc,dundψc,daus der Definition (1) können wie folgt definiert werden:

ϕc,d: Hom_D(Lc, d)→Hom_C(c, Rd) f 7→Rf◦η_c

und

ψc,d: Hom_C(c, Rd)→Hom_D(Lc, d) g7→ε_d◦Lg

Zeigen Sie, dassϕ_c,d◦ψ_c,d = id_HomC(c,Rd)undψ_c,d◦ϕ_c,d = id_HomD(Lc,d)für alle ObjektecausC undd ausDgilt. Zeigen Sie außerdem, dassϕundψnatürliche Transformationen zwischen den Profunktoren Hom_D(L−,−) :C^op× D → SetundHom_C(−, R−) :C^op× D → Setsind, wobei diese Profunktoren durch

Hom_D(L−,−)(c, d) = Hom_D(Lc, d) Hom_C(−, R−)(c, d) = Hom_C(c, Rd)

auf Objekten und

Hom_D(Lf, g)(h) := Hom_D(L−,−)(f^op, g)(h) =g◦h◦Lf ∈Hom_D(Lc⁰, d⁰) fürh∈Hom_D(Lc, d) Hom_C(f, Rg)(h) := Hom_C(−, R−)(f^op, g)(h) =Rg◦h◦f ∈Hom_C(c⁰, Rd⁰) fürh∈Hom_C(c, Rd) auf Morphismenf:c⁰ →cundg:d→d⁰definiert sind.

• Für die Richtung(1)→(2):

Betrachten Sie die natürlichen Transformationend:=ϕRd,dundηc:=ψc,Lc.

Seite 2/2