Ingrid Vessin

Tartu Ülikool

Matemaatika-informaatikateaduskond Puhta matemaatika instituut

Matemaatika eriala

Ingrid Vessin

Moodulfunktsioonidega määratud jadaruumid ja tugev summeeruvus

Magistritöö

Juhendaja:dotsent Virge Soomer

Tartu 2006

Sisukord

Sissejuhatus ...3

1. Moodulfunktsioonid ja nendega määratud jadaruumid...7

2. Thorpe´i teoreemi üldistusi ruumis

 

c_{A 0}(f)...15

3. Thorpe´i teoreemi analoog lakunaarse jadaga määratud maatriksmenetluse korral...21

4. Thorpe´i teoreem Rieszi kaalutud keskmiste menetluse korral...27

Summary...30

Kasutatud kirjandus...31

Sissejuhatus

Käesolev magistritöö kuulub summeeruvusteooria valdkonda ning käsitleb moodulfunktsioonidega määratud jadaruume.

1) Olgu A= (ank ) lõpmatu maatriks üle reaalarvude korpuse ning x

 

_k reaalarvuline jada.

Jada y 

 

_n , kus

k nk k

n a 

 



^₁

nimetatakse jada x

 

_k maatriksteisenduseks.

Jada x

 

_k nimetatakse summeeruvaks maatriksmenetlusega A

 

a_nk (A-summeeruvaks), kui eksisteerib lõplik piirväärtus¹

 

x A a _k

k nk

n n

n lim



^₁  

lim , n1,2,... .

Olgu p

 

p_k positiivsete reaalarvude jada ja a_nk 0, n,k 1,2,... . Jada x

 

_k nimetatakse tugevalt A-summeeruvaks arvuks l astmega p, kui leidub piirväärtus

0 lim



^₁  

pk

k nk k

n a  l .

Maatriksmenetluse summeeruvusväljaks (A-summeeruvusväljaks) nimetatakse hulka



^x

 

^{: lim} ₁^{a A(x)}



c_A   _k  _n



_k^ _nk_k  ja tugevaks summeeruvusväljaks hulka

 

^



^

 

k ^{: ,lim}n

_

^k_1 nk k ^{ pk 0}



p

A x l a l

c   ,

kui l 0, saame tugevalt nulliks A-summeeruvate jadade ruumi

 

c_{A 0}^p. Tähistame sümboliga c kõigi koonduvate jadade ruumi.

1 Sümbol lim_n tähendab siin ja edaspidi piirväärtust protsessis n

Maatriksmenetlust A=(ank) nimetatakse konservatiivseks, kui cc_A. Maatriksmenetlust

 

a_nk

A nimetatakse regulaarseks, kui cc_A ja

k k k nk k

n



^_ a  ^lim _

lim ₁ ,

iga koonduva jada x

 

_k korral.

Kehtib järgmine

Toeplitzi teoreem. Maatriksmenetlus A

 

a_nk on regulaarne parajasti siis, kui 0

lim

1⁰ _na_nk  , k 1,2,... , 20 limn



^k₁ank 1, 30



^k1ank .

Üks tuntumaid regulaarseid maatriksmenetlusi on aritmeetiliste keskmiste menetlus (C,1), mis on antud maatriksiga

























































































































0 / 1 /

1 / 1 / 1 / 1

0 0 0

3 / 1 3 / 1 3 / 1

0 0 0

0 2 / 1 2 / 1

0 0 0

0 0 1

n n

n n n

,

see tähendab antud juhul











 

. , 0

, 1

1, n k

n n k

a_nk

Kui 1 p_k H  ja limn



^k₁ank 0, siis tugev A-summeeruvusväli sisaldubA-summeeru- vusväljas. (vt.[11]). Juhul kui 0 p_k 1, ei pruugi see sisalduvus kehtida.

Edaspidi olgu pk = p , 0 p1.Kui A(C,1) , siis tähistame tugevat A-summeeruvusvälja ja menetluse A tugevat null- summeeruvusvälja vastavalt sümbolitega w(p) ja w₀(p).

Kehtib järgmine 1946. aastal B. Kuttneri poolt tõestatud teoreem.

Teoreem K. Olgu 0 p1. Iga regulaarse maatriksi A korral leidub jada xw₀(p), nii et cA

x .

Võttes Kuttneri teoreemis A(C,1) näemegi, et sisalduvus

 

c_A ^p c_A ei kehti, kui 0 p1.

Teoreemiga K on analoogne summeeruvusteoorias hästi tuntud Steinhausi teoreem.

Teoreem S. Iga regulaarse maatriksi A korral leidub tõkestatud jada, mis pole A-summeeruv.

Tähistame sümboliga l_ kõigi tõkestatud jadade ruumi.

Maddox (vt. [9]) tõestas 1968. aastal järgmise Kuttneri teoreemi üldistuse

Teoreem M. Olgu 0 p1. Kui maatriksmenetluse A korral w₀(p)c_A, siis l_ cA.

Kuna summeeruvusteoorias on hästi on tuntud fakt (vt. [2]), et ükski regulaarne maatriksmenetlus ei summeeri kõiki tõkestatud jadasid, siis Kuttneri teoreem järeldub vahetult teoreemist M.

Thorpe (vt. [13]) tõestas järgmise Maddoxi teoreemi üldistuse²

Teoreem T. Kui 0 p1 ja E on lokaalselt kumer FK-ruum ning w₀(p)E, siis l_ E.

Käesolevas magistritöös vaadeldakse moodulfunktsiooniga f määratud jadaruumi E(f) topologiseerimist F-normiga ja ruumi ^E(f) Köthe -Toeplitzi kaasruume. Töö põhieesmärgiks 2 Mõisted FK-ruum ja lokaalselt kumer ruum on defineeritud töö esimeses osas.

on uurida Thorpe´i teoreemi üldistusi moodulfunktsioonidega määratud jadaruumide korral.

Magistritöö on liigendatud neljaks osaks. Töö esimeses osas tuuakse sisse moodulfunktsioonide ning nendega määratud jadaruumidega seotud mõisted ning antakse nende kohta ka näiteid.

Samuti vaadeldakse moodulfunktsioonidega määratud jadaruumide topologiseerimist F-nor- miga.

Teises osas käsitletakse Thorpe´i teoreemi üldistusi ruumis

 

c_{A 0}(f)ning tõestatakse neist mõned, kasutades Köthe – Toelitzi kaasruume.

Kolmandas osas tõestatakse Thorpe´i teoreemi üldistus lakunaarse jadaga määratud maatriksmenetluse korral.

Neljandas osas käsitletakse Thorpe´i teoreemi Rieszi kaalutud keskmiste menetluse puhul.

1. Moodulfunktsioonid ja nendega määratud jadaruumid

Definitsioon. Funktsiooni f :



0,







0,



nimetatakse moodulfunktsiooniks, kui (i) f(t)0t 0,

(ii) f(tu) f(t) f(u) iga t0,u0 korral, (iii) f on rangelt kasvav,

(iv) f on paremalt pidev punktis 0 .

Moodulfunktsiooni defineerivatest omadustest järeldub, et kehtib järgmine (vt. [6]) Lause 1. Iga moodulfunktsiooni f korral



^{t u}



f u f t

f( ) ( )   , kus t,u0.

Tõestus. a) Olgu tu0. Siis tu tu ning kuna f on mittekahanev, siis ka )

( ) ( ) ( )

(t f u f t f u

f    .

Võime kirjutada



t u

  

f u f

u u t f t

f( ) (   )   , millest



t u



f u f t

f( ) ( )  ,

see tähendab, et võrratus ^{f(t) f(u)  f}



^tu



kehtib , kui t u0.

b) Olgu nüüd u t0. Siis f(t) f(u)  f(u) f(t) ning tu ut, edasine tõestuskäik analoogiline tõestuse a) osaga.

c) Kui t u, siis võrratus ^{f(t) f(u)  f}



^tu



kehtib, sest f(0)0.

Lause 2. Moodulfunktsioon on kõikjal oma määramispiirkonnas pidev.

Tõestus. Olgu t₀0. Lause 1 põhjal iga moodulfunktsiooni f korral



^{t u}



f u f t

f( ) ( )   , siis võttes ut₀, saame



₀



0) ( )

(t f t f t t

f    ,

millest tingimuse (iv) tõttu saamegi f pidevuse hulgal



0,



.

Lause 3. Moodulfunktsioonide f ja g lineaarkombinatsioon f  g, kus , 0,on samuti moodulfunktsioon.

Tõestus. (i) On ilmne, et kui t0, siis (f  g)(t)=0 . Kontrollime, kas võrdusest

(f  g)(t)= 0 järeldub, et t0. Kuna ,  0 ja moodulfunktsiooni definitsiooni tingimuste (i) ja (iii) põhjal f(t)  0, g(t)  0 , siis f(t)g

 

t 0, millest t 0.

(ii)Peame näitama, et

(f  g)(t+u) (f  g)(t) +(f  g)(u).

Kuna

(f  g)(t+u)  f )(t+u) + (g)(t+u)  f )(t) +f )(u) +(g)(t)+(g)(u), siis f  g on tõesti subaditiivne.

(iii) Olgu ut 0. Kuna f ja g on moodulfunktsioonid ning seega ka kasvavad, siis f )(t) < f )(u) ja (g)(t) < (g)(u).

Järelikult

(f  g)(t) (f  g)(u) , mis tähendab, et lineaarkombinatsioon f  g on rangelt kasvav.

(iv) On ilmne, et kahe paremalt pideva funktsiooni summa on paremalt pidev, ehk juhul, kui f ja g on paremalt pidevad, siis ka f  g on paremalt pidev punktis 0.

Näiteid moodulfunktsioonidest.

1) f(t)t^p,0 p1, 2) f(t)ln(1t),

3) f(t)t^p t, 0 p1 4)

t t t

f  

) 1

( .

Tõestus. 1) Tingimuste (i), (iii), (iv) kontroll on elementaarne, tingimuse (ii) täidetus tuleneb võrratusest

p p

p a b

b

a  

iga a,b0, 0 p1 korral (vt. [7]).

Näidete 2) ja 3) tõestus on analoogiline.

4) Kontrollime, kas funktsioon

t t t

f  

) 1

( rahuldab tingimusi (i) – (iv) moodulfunktsiooni definitsioonist.

On selge, et

1 0 )

( 

  t t t

f

, parajasti siis, kui t 0. Seega tingimus (i) on täidetud.

Olgu nüüd t0,u0. Siis

 

^{t f}

 

^{u f t u t t uu t t uu}



^ut



^{t uut}



^{utt u}



f    



 





 

 

 





 1 1 1

2 1

1 ) 1

(

2 2

.

Kuna t0,u0 korral



¹



^{1 2}



¹



⁰

2

2 













u t u t

ut ut t

u ,

saame et

   

t  f u  f(tu)0

f ,

ehk

) ( ) ( )

(t u f t f u

f   

ning järelikult funktsioon f(t) rahuldab tingimust (ii).

Oletame, et t0,u0 ja tu, siis

   

1 1



1



1



⁰





 

 

 

 t u

t u t

t u t u

f u

f .

Seega oleme saanud, et f

   

u  f t 0, ehk f

 

t  f

 

u , mis tähendabki, et f on kasvav funktsioon.

Et

) 0 ( 1 0

lim0 f

t t

t  





 ,

siis funktsioon

t t t

f  

) 1 (

on paremalt pidev punktis 0 ning tingimus (iv) on täidetud.

Definitsioon. Olgu 0 p1. Funktsiooni ^{f :}



^0,



^



^0,



nimetatakse p-kumeraks piirkonnas







 0,

I , kui



x y



a f

 

x f

 

y f    ^p ^p , iga x,yI ja iga arvupaari , 0 korral, kus a^p ^p 1.

Märkus. Kui p1 kõneldakse kumerast funktsioonist.

Näide 1. Funktsioon f(t)t^p,0 p1on p-kumer moodulfunktsioon, kui t



0,



.

Tõestus. Rakendame taas võrratust



ab



^p a^p b^p, iga a,b0, 0 p1 korral. Siis iga x,y



0,



korral



x y

 

x y



a x y a f

 

x f

 

y f      ^p  ^{p p} ^{p p}  ^p ^p , see tähendab f(t)t^p,0 p1on p-kumer.

Tänu järgmistele lausetele on võimalik moodustada tuntud p-kumerate funktsioonide abil uusi p-kumeraid funktsioone (vt. [5]).

Definitsioon. Funktsiooni F:ℝ^mℝ nimetatakse kumeraks, kui



x y



af

 

x f

 

y

f     ,

iga iga

x, y 

_ℝ^m ja iga arvupaari , 0 korral, kus a  1.

Olgu ℝ⁺ mittenegatiivsete reaalarvude hulk.

Lause 4. Olgu ^{0 p1}. Kui f ja g on p-kumerad funktsioonid ja :F ℝ^2ℝ on mittekahanev mõlema argumendi suhtes ja kumer, siis funktsioon h:ℝ^+ℝ, kus

 

u F



f

   

u g u



h  ,

on p-kumer.

Erijuhuna saame lausest 4 funktsioonide f g, max

 

f,g p-kumeruse.

Lause 5. Olgu 0 p1 ja h:ℝ^+ℝ⁺ mittekahanev funktsioon. Siis funktsioon f , mis on määratud hulgal ℝ⁺ eeskirjaga

 

u u h

 

u f  ^1p

1

on p-kumer.

Olgu f moodulfunktsioon ja E mingi jadaruum, defineerime ruumi E(f) järgnevalt:

 



:

)

(f x _k

E    Φ

 

^x 



^f

 

k

 

^E .

Definitsioon. Funktsionaali g vektorruumil E nimetatakse F-normiks, kui 1) g

 

x 0 parajasti siis, kui x0,

2)   1,(  K, K  ℝ,C ) g

   

x g x iga xE korral, 3) g



xy

    

g x g y iga x,yE korral,

4) lim_n

 

a_n ^0,(a_n^K ),xElim_n g

 

a_nx 0.

Täielikku F -normeeritud ruumi nimetatakseF-ruumiks. Kui jadaruum E on F-ruum, mille puhul koordinaatfunktsionaalid

 

_{k k}

k x  

 :  

on pidevad, siis ruumi E nimetatakse FK -ruumiks. Normeeruva topoloogiaga FK-ruumi nimetatakse BK-ruumiks.

Olgu ^ kõigi lõplike jadade ruum. Kui ^E ja lim_n



^_k₁_ke_k x, iga xE korral, nimetatakse F -ruumi E AK-ruumiks.

Definitsioon. Olgu X vektorruum. Hulka D X nimetatakse kumeraks, kui iga x,yD korral



x y



D, kusjuures a  1, , 0 .

Lokaalselt kumeraks ruumiks nimetatakse niisugust topoloogilist vektorruumi, mille iga nulliümbrus sisaldab kumerat nulliümbrust.

Jadaruumi E F-normi g nimetatakse absoluutselt monotoonseks, kui  k k korral

   

^{x g y}

g  , kus x

 

_k ,y

 

_k E.

Definitsioon. Jadaruumi E nimetatakse soliidseks, kui l_EE.

Näiteks on lihtne veenduda, et

1) kõigi tõkestatud jadade ruum l_ on soliidne jadaruum,

2) tugevalt nulliks A-summeeruvate jadade ruum

 

c_{A 0}^p on soliidne jadaruum, 3) nulliks koonduvate jadade ruum c0 on soliidne jadaruum,

4) koonduvate jadade ruum c ei ole soliidne jadaruum.

Olgu g_f(x)g(Φ(x)). Kehtivad järgmised teoreemid

Teoreem 1. Olgu f p-kumer moodulfunktsioon ja g absoluutselt monotoonne F-norm jadaruumil E. Siis funktsionaal gf defineerib absoluutselt monotoonse F-normi ruumil ^E(f).

Tõestus. Kontrollime F-normi definitsiooni tingimusi 1) - 4).

1) Kuna f on moodulfunktsioon, siis ^f

 

^_k ^0 parajasti siis, kui _k 0, k 1,2,... . Seega ka Φ(x)0 parajasti siis, kui x0 ja

0 0

)

(x   x

g_f .

2) Olgu   1,  K, siis funktsiooni f p-kumeruse tõttu

   

k p

k a f

f   

ning F-normi g absoluutse monotoonsuse tõttu saame (

)

( x g

g_f   Φ

         

k

 

p

k g a f

f g

x  

 )) 

( .

Et 0 a^p 1, siis F-normi ^g omaduse 2) põhjal

   



^{a f}



^g

 

^f

   

^g(

g ^p _k  _k  Φ(x))g_f(x).

Seega g_f(x)g_f(x) ning tingimus 2) on täidetud.

3) Olgu x

 

_k ,y

 

_k E. Siis ( ) (x y g

g_f   Φ(x y))g

 

f



 k k

  

. Funktsiooni f subaditiivsuse ja F-normi g absoluutse monotoonsuse tõttu

 

 



f k k



g

 

f

   

k f k

 

g      

ning F-normi g subaditiivsusest ja F-normi gf definitsioonist saame

   

 



f f



g

 

x g

 

y g _k  _k  _f  _f .

Järelikult

 

^{x g}

 

^y

g y x

g_f(  ) _f  _f , mis tähendab, et tingimus 3) kehtib.

4) Kui lim_na_n 0, siis saame normi g omaduste ja funktsiooni f p-kumeruse põhjal

 

lim (

lim_ng_f a_nx  _ng Φ

 

^lim

     

^lim

  

k



^0

p n n k

n n

nx g f g f

a     .

Seega lim_ng_f

 

a_nx 0 ning tingimus 4) on täidetud.

Teoreem 2. (vt. [6]).Kui E on soliidne AK-FK -ruum absoluutselt monotoonse F-normiga g, siis E(f) on soliidne AK-FK -ruum absoluutselt monotoonse F-normiga gf.

2. Thorpe´i teoreemi üldistusi ruumis

 

c_{A 0}(f)

Edasiseks on olulised järgmised mõisted.

Jadaruumi E Köthe-Toeplitzi kaasruumideks E^ ja E^ nimetatakse ruume

   



^E



E _k

k k k

k   



  



^   

 : ,

1

ja

 



_k :

E^     rida



^k1kkkoondub  

  

_k E .

Tähistame sümboliga E F-normeeritud jadaruumi E topoloogilist kaasruumi.

Juhul kui ^{ E} defineeritakse ruum E^ järgmiselt

 

 



e E



E^   _k :  .

Kui maatriksi A

 

a_nk kõik elemendid on mittenegatiivsed ja 0

sup_na_nk 

(see tähendab, et A

 

a_nk ei sisalda nullveerge), siis

 

c_{A 0} on soliidne AK-FK -ruum absoluutselt monotoonse normiga (vt. [1]).



^

sup_{n k 1}a_{nk k}

x  .

Kerge on veenduda, et vaadeldav norm on absoluutselt monotoonne. Sellisel juhul on ruum

 

^c_{A 0}^(f) teoreemi 2 põhjal soliidne AK-FK-ruum absoluutselt monotoonse F-normiga



^

 

sup ₁ )

( _{n k nk k}

f x a f

g  .

Kuna iga soliidse AK-FK -ruumi E korral E^ E^ E^, siis need võrdused kehtivad ka ruumi

 

c ₀(f)

E _A  korral.

Edasiseks on vajalik

Schuri teoreem. Maatriksteisendus A

 

a_nk viib kõik tõkestatud jadad koonduvateks jadadeks parajasti siis, kui

1

0 eksisteerib piirväätrus

k nk

na a

lim , k 1,2,... , 2 eksisteerib konstant 0 M , nii et

1a M,

k nk 



^

3 0 limn



^k₁ank ak 0.

Olgu A

 

a_nk positiivne maatriksmenetlus ja 0 p1, defineerime ruumi



^,



^



^

 

^:lim

_

^_k1 ^1/ k ^0



p nk n

k a

x p A

B   .

Kehtib järgmine

Teoreem 3. Olgu f moodulfunktsioon ja olgu A

 

a_nk positiivne regulaarne lõplike ridadega maatriks, mille korral on täidetud tingimused sup_na_nk 0 ja



^_k₁a_nk 1iga naturaalarvu n puhul.

Siis kehtivad järgmised väited:

(i)Hulk B



A,p



on soliidne AK- BK-ruum normiga

 

x sup_n



^_k₁a¹_nk^/p _k

q  .

(ii)Kui f on p-kumer, siis

 

c_{A 0}(f)B



A,p



(iii) Tõkestatud jadade ruum l_ sisaldub ruumis B



A,p



parajasti siis, kui



^₁ ^1/ 0 lim_{n k} a_nk^p .

Tõestus. (i) Kui sup_na_nk 0 iga naturaalarvu k puhul, siis ruum

 

c_{A 0} on soliidne AK- BK- ruum normiga (vt. [1]).



^

sup_{n k 1}a_{nk k}

x  .

Kuna sel juhul ka supn (ank)^1/p >0, siis ka B



A,p



on soliidne AK- BK-ruum normiga

 





^ 1

/

sup 1

k k

p nk

n a

x

q  .

(ii)Peame näitama, et kui

 

⁰

limn



^k₁ankf k  , siis ka



^ 

1 /

1 0

lim k k

p nk

n a  .

Kui f on p-kumer funktsioon ja _k 0,



₁ 1,

n k

p

k t_k 0, siis kehtib Jenseni võrratus

  



 





 



 ⁿ

k

k p k n

k k

kt f t

f

1 1



 .

Võttes _k a¹_nk^/p ja t_k _k , saame (eelduse kohaselt A

 

a_nk on lõplike ridadega)

  



^











 



 

1 1

/

0 1

k

k nk k

k p

nk a f

a

f   .

Järelikult, kui



^

 





1

0 lim

k

k

n ankf  ,

siis ka

. 0 lim

1 /

1 



















^

 k

p k

n f ank 

Kuna f on pidev, järeldub siit, et

. 0 lim

1 /

1 



 







^

 k

k p

n ank

f 

Et f(t)0 parajasti siis, kui t 0 saame, et



^ 

1 /

1 0

lim k k

p nk

n a  ,

see tähendab, et tõepoolest

 

c_{A 0}(f)B



A,p



.

(iii) Kuna A

 

a_nk on regulaarne, siis ka lim_na¹_nk^/p 0),seega Schuri teoreemi tingimus 1 on⁰ menetluse A_p 

 

a_nk^1/p korral täidetud.

Tingimustest 0,



n₁ 1

k nk

nk a

a tuleneb ka Schuri teoreemi tingimuse 2 täidetus menetluse⁰

 

nk^p

p a

A  ^1/ jaoks. Seega saame, et maatriksmenetlus Ap 

 

ank^1/p , summeerib kõik tõkestatud jadad parajasti siis, kui lim 0

1 /

1 



^

 k

p

n ank . (Märgime, et A

 

a_nk regulaarsuse tõttu lim_na_nk 0, seega ka lim_na¹_nk^/p 0).

Järgnevalt vaatleme Thorpe´i teoreemi üldistusi juhtudel, kus ruumi w₀(p) asemel käsitleme ruumi

 

c_{A 0}(f).

KuiFK-ruumi E korral  E, siis ruumiEnimetatakse AD-ruumiks.

Edasiseks on vajalik (vt. [11], teor. 4)

Teoreem 4. Olgu E AD-ruum ja X lokaalselt kumer FK-ruum ning X . Siis tingimusest



 E

X  järeldub X E.

Kehtib järgmine

Teoreem 5 Olgu E lokaalselt kumer FK -ruum. Kui maatriksmenetlus A

 

a_nk ja moodulfunktsioon f rahuldavad teoreemi 3 tingimusi ja

  

^cA ₀(^f)



^ 

^

^B

^

^A,^p

^{ }

^, siis tingimus



^₁ ^1/ 0 lim_{n k} a_nk^p on piisav selleks, et kehtiks implikatsioon

 

  _

 c f E l

E _{A 0}( ) .

Tõestus. Oletame, et E

 

c_{A 0}(f). Kuna alati



 X

E X

E  

siis E^ 

  

c_A 0⁽f⁾



^ ning eelduse

  

^cA ₀(^f)



^ 

^

^B

^

^A,^p

^{ }

^, põhjal E^ 



B



A,p

 

^.

Teoreemi 3 tingimuse (i) põhjal BK-ruum B



A,p



on AK-ruum ja järelikult ka AD-ruum. Siis teoreemi 4 põhjal sisalduvusest ^{E }



^B



^A,p

 

^ järeldub sisalduvus EB



A,p



. Seega teoreemi 3 tingimuse (iii) põhjal El_.

Edasiseks on vajalik (vt. [11])

Teoreem 6. Olgu E ja X lokaalselt kumerad FK-ruumid ja E. Kui E on ruumi X kinnine alamruum, siis X^ E^.

Siis on lihtne tõestada, et kehtib järgmine

Teoreem 7. Olgu E lokaalselt kumer FK -ruum. Kui maatriksmenetluse A ja moodul- funktsiooni f puhul sup_na_nk 0,



^_k₁a_nk 1 ning

 

c_{A 0}(f) on kinnine alamruum ruumis



A p



B , ja



^₁ ^1/ 0 lim_{n k} a_nk^p siis

 

  _

 c f E l

E _{A 0}( ) .

Tõestus. Kuna

 

^cA ₀^(f) on ruumi ^B



^A,p



kinnine alamruum, siis teoreemi 6 põhjal

  

^c_{A 0}^(f)



^{ }



^B



^A,p

 

^

ning teoreemi 5 põhjal saame, et

 

  

 c f E l

E _{A 0}( ) .

3. Thorpe´i teoreemi analoog lakunaarse jadaga määratud maatriksmenetluse korral

Kasvavat mittenegatiivsete liikmetega jada 

 

k_r nimetatakse lakunaarseks, kui k₀ 0 ja



_r  _r





r k ₁ k

lim .

Tähistame

 

  ^



 

r k

k k

r

r 11

, _{( ) 1}

1

max max  



r

r k k

k

r .

Järgnevalt käsitleme Thorpe´i teoreemi teatavate lakunaarse jadaga määratud menetkluste korral.

Olgu 

 

k_r lakunaarne jada ja olgu antud jada v

 

v_k ,v_k 0. Seejuures eeldame, et v_k O

 

1 ja



  ^



r k

r v

V ,

kui r, Vaatleme menetlust A 

 

a_rk^ , kus

















 



 

. 1 ,

, 0

, 1 ,

1 1

r r

r r

r k rk

k k k k

k k V k

v a

Selle maatriksmenetluse tugevaks null-summeeruvusväljaks on ruum

  



  







r k k r r

k v

x V

V 1 0

lim : )

0 (  .

Kuna A

 

a_rk^ ei sisalda nullveerge, siis V_⁰, on soliidneAK- BK-ruum normiga



 

 

r k k r r

V v

x 1 

sup .

Olgu f moodulfunktsioon, siis teoreemi 2 põhjal saame, et V_⁰

 

f on soliidne AK-FK-ruum F-normiga

 

 





r

k k r r

f v f

x V

g 1 

sup )

( .

Defineerime hulga

   







  





^





0

/ ) 1 ( /

1 max

:

r

p k

k r p r

k V v

p

M 



 .

Teoreem 8. Eeldame, et f on selline tõkestamata p-kumer moodulfunktsioon, mille korral

 

t O

 

t t

f ^1/p , .

Siis



^V⁰

 

^f



^ ^M

 

^p .

Tõestus. 1) Tõestame esiteks sisalduvuse



V_⁰

 

f



^ M_

 

p .

Oletame, et  

 

_k . on suvaline hulga M_

 

p element ning x 

 

_k V_⁰

 

f ja olgu f^1 moodulfunktsiooni f pöördfunktsioon. Siis

 

 



 

 

^



 







 



 



 



 



 



  ^

r r r

k p p k

r p k

k p r r

k p p k

r p k

k p r r

k

k v

f V v f

V V v

V v    



 ^1/ _1/ ¹ _1/ ^1/

) ( /

1 / 1 /

1 / 1 ) (

1 max 1

1

max 1 .

Kasutades Jenseni võrratust p-kumerate funktsioonide jaoks, saame

 

 

^{max 1}



^{( )}



1

max 1 ^1/ _1/ ¹

) ) (

(

1 /

1 / 1 )

( f g x

V v f

V v v f

V _{p k f}

k p r r

r r

k k r p k

k p r r

k k



 

 



 



 



 



 



 



^{  }



^{ }

ja seega

 

  _

 

^







 











0 ( ) 1/

/ 1 0

1 0

max )

(

r p

k k r p r r

f

r r

k k k

k f g x V v







 .

Järelikult ^

 

^k



^V

 

^f



^

0

 

 ning seega oleme jõudnud tulemuseni, et

 

^p



^V

 

^f



^

M_  _⁰ .

2) Sisalduvuse ^M

 

^p 



^V⁰

 

^f



^ tõestamiseks näitame, et

 

_k M_

 

p

 

 korral ^

 

^k



^V

 

^f



^

0

 

 . Kehtigu

 

_k M_

 

p

 

 ,

siis rida



^

0 () 1/ /

1 max

r p

k k r p

r v

V 

on hajuv ning järelikult leidub jada

 

b_r , 0b_r 0,r nii, et





^ 

0 ( ) 1/

/

1 max

r p

k k r p r

rV v

b 

.

Olgu _p

k k p k

k r

r r

v v ^1~/

~ /

) 1

max(  

 ning defineerime jada ^{~x }

 

^~_k järgmiselt









 

r p r k

p r r k

k k

k v k

b V

r ~

, 0

, ~

~ ¹_~^/

/ 1

 .

Kuna moodulfunktsioon f on p-kumer ning f

 

0 0 ja

 

t O

 

t t

f ^1/p , ,

saame et

 

 

  _{ }

/ 1 1 /

~ 1

~ / 1~ / 1 /

1~ / 1

~ o

v V

v V b f v

V f b V v V f

r r r

r

r k p k p p r

p r k

p r r k r r

k r

 











 











 



^{ ,}

kui r.Seega ~x

 

~_k V⁰

 

f

 

  .

Et p

k p r k r

r k k

r

r v

b V_1/

~ / 1

~ )

(

~ 



 



, siis seose





^ 

0 ( ) 1/

/

1 max

r p

k k r p r

rV v

b 

tõttu rida



^0

~

r kk hajub ja seega ^

 

^k



^V0

 

^f



^

 

 .

Kokkuvõttes osades 1) ja 2) tõestatu põhjal olemegi saanud, et



V_⁰

 

f



^ M_

 

p .

Järgnev teoreem annab Thorpe´i teoreemi üldistuse ruumi V_⁰

 

f korral.

Teoreem 9. Olgu E lokaalselt kumer FK -ruum ja f tõkestamata p-kumer moodulfunktsioon, mille korral

 

t O

 

t t

f ^1/p , ,

siis kehtivad järgmised väited:

(i)



V_⁰

 

f



^ 



B



A_,p

 

^, (ii) Kui



  ^

r p p k

r

r v

V1 0

lim _1/ ^1/ , siis

 

_

  

V f E l

E ⁰ .

Tõestus. (i) Kuna V_⁰

 

f ja B



A_,p



on soliidsed AK-FK-ruumid, siis on nende  -kaas- ruumid ja ^-kaasruumid võrdsed ning seega piisab tõestada, et



V_⁰

 

f



^ 



B



A_,p

 

^.

Teoreemi 8 põhjal piisab näidata, et ruum M_

 

p sisaldub ruumis



B



A_,p

 

^. Olgu  

 

_k suvaline hulga M_

 

p element ning x

 

_k jada ruumist B



A_,p



. Siis võime kirjutada

   







 



 



 



 



  

 

^













 0 0 ( ) 1/

/ 1 /

1 / 1 / ) 1 ( / 1

0 0

max )

1 ( max

r r p

k k r p r r

k p p k

r p k

k r p r

r r r

k k r

r v q x V v

V

V v 

 







 ,

see tähendab ,et jada  

 

_k kuulub ruumi



B



A_,p

 

^.

(ii) Maatriks A 

 

a_rk^ on positiivne regulaarne lõplike ridadega maatriksmenetlus, mis ei sisalda nullveerge ja rahuldab tingimust



kark^ 1 iga naturaalarvu n puhul. Väite (i) põhjal

       