Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruehentwicklung? 1)

(1)

Von

L. E. J. Brouwer m Amsterdam.

w

Existenzbereieh der unendlichen Dezimalbruchentwicklung auf dem Kontinuum.

Verstehen wit in der Menge der endlichen Dualbriiche :> 0 und ~ 1 untet einem Intervalle L, ein zwei Dualbriiche a und a + 2 als End-

2 ~ 2 ~

elemente besitzendes geschlossenes Intervall, unter einem

Punkte des Kontinuums

eine in unbegrenz~er Fortsetzung begriffene Folge von Inter- vallen ;L, deren jedes im Innern des n~chstvo~angehenden enthalten iste), unter x einen variablen Punkt des Kontinuums, unter

F,(x)

einen n-steUigen Dezimalbruch mit der Eigenschaft, dai~ jeder links yon ihm liegende Punkt des Kontinuums links von einem Intervatle von x liegt, w~hrend

F,(x)~-10

- " rechts von einem Intervalle von x liegt, unter F (x) die eindeutige unendtiche Dezimalbtuchentwicklung yon x, so besitzt F~ (x) die (iibrigens" allen unstetigen Funktionen gemeinsame) Eigenschaft,

1) l]ber den Inhalt dieser (in gleichlautender Form der Amsterdamer Akademie am 18. Dezember 1920 vorzulegenden) Abhandiung wurde am 22. September 1920 auf der Naturforscherversammlung in Bad Nauheim ein referierender Vortrag gehalten.

r Vgl. meine in Bd. 12 der Verhundelingen der Koninklijke Akademie van Wetonsehappea te Amsterdam (Eerste Sectie) erschienene Abhandlung: ,Begr~ndung clef Mengenlehre unabhi~ngig veto logischen Satz veto ausgeschlossenen Dritten ~, 2. Teil, S. 3, 4. Wie daselbst S. 4 Fuflnote ~) hervorgehoben und dureh die vorliegende Arbeit klar ins Lieht gestellt wird, sind die beiden S. 9 des 1. Teiles benutzten Be- griffe der ,reellea Zahl" bedeutend eager als tier hier definierte Begriff des Ptmktes des Kontinuums. I n einem gunz aadern, aus dem Zussmmenhang ersichtliehen Sinne wird dor Ausdruek ,reelle Zahl" der Expressivitiit wegen in der Uberschrift uad im Sohluflparagraphen der vorliegenden Arbeit gebraueht.

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2 0 2 L . E . J . Brouwer.

dab ihr Existeazbereich G, nicht mit dem Kontinuum zusammerffallen 3) kann. Der Existenzbereich G ~ - ~ (G~, G e , . . . ) yon F (x) kann also erst recht nicht mit dem Kontinuum zusammenfallen, obgleich er sich (ebenso wie der Existenzbereich der regelm~Bigen Kettenbruchentwicklung von x) dem Kontinuum so eng anschmiegt, dal] er mit demselben einerseits 5rt- lich iibereinstimmt~), andererseits inhaltsgleich 5) iste).

Die Definition des Panktes des Kontinuums erleidet indessen eine erhebliche Einschrgnkung, wenn wit in derselben statt ,,in unbegreazter Fortsetzung begriffene Folge", ,,Fundamenta!reihe ''7) lesen. Zweck der folgen- den Paragraphen ist, klarzustellen, inwiefern fiir diese Punl~te des Kon- tinuums im engern Sinne, die unendliche Dezimalbruchentwicklung existiert.

Die Ergiinzungselemente der abziihlbar unendlichen, iiberall dicht geordneten Mengen.

Es sei eine abziihlbar unendliche, im engern Sinne iiberall dicht geordnete s) Menge H gegeben. Es seien gl, go, g s , . . , die nach irgend einem, H als abzi~hlbar unendliche Menge charakterisierenden, Abzghlungs- gesetze ~, num~rierteh Elemente von H und es sei ~ ( g l , g ~ , . . . , g~)-~s, gesetzt. Unter einem i~ bzw. jr verstehen wir ein (eventuell aus einem einzigen Elemente bestehendes) geschlossenes Intervall~ von H , dessen Endelemente zu s~ gehSren, dessen Inneres abet hSchstens ein bzw. kein einziges Element von s~ en/ghglt.

Unter einem Aus/i~llungselemente r von H verstehen wir erstens eine jedenfalls ein Element besitzende Spezies von in unbegrenzter Fort- setzung begriffenen Folgen f , , S,+I, ,c,+2, . . . (a eine flit r bestimmte positive ganze Zahl), wo jedes Y~ ein iv und jedes J=,+~+l in Y~+~ enthalten ist, w~hrend J:~ flit jedes v zu einer fiir r bestimmten Spezies S~

a) A. a. 0., 2. Teil, S. 5.

4) A. a. 0., 2. TeiI, S. 6.

5) A. a. 0., 2. Teil, S. 29, 30.

6) Natiirlich k a n n aueh ~ Existenzbereich einer mittels einer F u n k t i o n der u n e n d l i e h e n Dezimalbruehentwicklung yon x erkliirten F u n k t i o n von x nicht fiber G hinausgehen. Z . B . h a t die im Jahresber. d. D. M.-V. 23, S. 80 von mir defmierte F u n k t i o n f(x) genau G zum Exis~enzbereieh. W g h r e n d abet die F u n k t i o n F ( x ) des Textes in der auf d e m K o n t i n u u m iiberall d i e h t e n P a n k t m e n g e G gleichm~$ig stetig ist trod sieh auf Grund dieser Eigenschaft zu einer auf dim vollen Kontinuum exi- stierenden F u n k t i o n r ( x ) = x erweitera lgBt, ist fiir f(x) jede Erweiterung auf das voile K o a t i n u u m ausgesehlossen.

7) Vgl. ,Begr?~ndung dvr Mcr, gerdehre usw.", 1. Tell, S. 14.

s) A. a. O., 1. Teil, S. 16.

o) A. a. 0., 1. TeA1, S. 13.

(3)

gehSrt, von der je zwei Elemente ein Element von s~ gemeinsam haben;

zweitens eine jedenfalls ein Element besitzende Spezies von in unbegrenzteI Fortsetzung begriffenen Folgen ~1, ~o., ~z, . . . yon je ein bestimmbares Element besitzenden abtrennbaren Teilmengen l~ yon H , wenn in jeder Folge jedes ~ + 1 in ~ enthalten ist und eine Fundamentalreihe n l , n e, n~, . . . (n~+~:> m ) yon ganzen positiven Zahten und ein Ausfiillungs- element erster Art r o von H bestimmt sind mit der Eigenschaft, dab zu jedem Elemente ~ , ~e, ~ , . . . yon r ein Element f~, J=~+l, f~+e, . . . yon

r o existiert, so dab ~,~ zu S~+~ gehSrt.

Unter einem Erg~inzungselemente nullter Ordnung oder kurz einem Erg(inzungselemente r von H verstehen wit erstens eine Fundamental- reihe f~, J=~+i, J=~+2, . . . (r eine flit r bestimmte positive ganze Zahl), wo jedes J=~ ein i~ und jedes J=~+~+~ in J:~+~ enthalten ist; zweitens eine jedenfalls ein Element besitzende Spezies yon in unbegrenzter Fortsetzung begriffenen Folgen ~ , ~e, ~ 8 , ' " yon je ein bestimmbares Element besitzenden abtrennbaren Teilmengen yon H , wenn m jeder Folge jecles ~+1 in ~ enthalten ist und eine Fundamentalreihe n~, n.,, n ~ , . . . ( n ~ ~> n~) von ganzen positiven Zahlen und ein Erg~nzungselement erster Art S~, f~+l, J:~+2,... yon H bestimmt sincl, so da~ jecles ~ yon r zu ,c+~

gehSrt 11).

Wenn ~r und er /kusfiillungselemente von H sind und jedes ~5~ mit jedem e,% ein gemeinsames E l e m e n t besitzt, so sagen wit, da~ ~r und ~r in H zusammen]allen. Ein mit einem Erg~nzungselemente von H in H zusammenfallendes AusfiillungseIement yon H wird gleich]alls als Er- gdnzungselement yon H bezeichnet.

Wenn das Element g yon H zu jedem 9=~ des Ausfiillungselementes r yon H geh6rt, so sagen wir, dab r und g in H zusammen]allen.

Wenn ~r und er Ausfiillungselemente yon H sind und man ein ~J:~

und ein eJ=~ ohne gemeinsame Elemente angeben kann, so sagen wir, dat]

~r u n d e r in H 6rtlich verschieclen sind.

Wenn man ein J:~ des Ausfiillungselementes r yon H angeben kann, zu dem das Element g yon H nicht geh6rt, so sagen wir, dab r u n d g in H grtlich verschieden sind.

Das Erg~nzungselement bzw. Ausfiilhngselement r von H heist ein F~rg~nzungselement erster Ordnung von H , wenn flit jedes Element g yon H entwede~ die Relation g ~ r (d. h. ]edes rechts von g gelegene Element von H Iiegt rechts von einem bestimmbaren ~=, yon r), oder die

lo) A. a.O., 1. Tell, S. 4.

xl) Ob der Begri~ des Ausf/ilhmgselementes sieh auf den des Erg~nzungselemente~ zurfiekfiihren l~Bt, bleibt hier dahingegt~llt.

(4)

204 L . E . J . Brouwer.

Relation g ~ r (d. h. jedes links von g gelegene Element von H liegt links yon einem bestimmbaren J=~ von r) hergeleitet werden kann, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn r mit einem Erg/inzungselemente r ' yon H, yon dem jedes ,c, ein jr ist, zusammenf/~llt.

Die Erg~nzungselemente erster Ordnung yon H entsprechen den

Dedekindschen Schnitten

yon H .

Das Erg~nzungselement erster Ordnung r von H heil]t ein

Erg(tnzun~s- element zweiter Ordnung

von H , wenn flit jedes Element g von H die Relation g ~ r e'ntweder hergeleitet, oder ad absurdum gefiihrt werden kann, oder, was auf dasselbe herauskommt, wenn

r'

sich so w/ihlen 1/il~t, dal~ kein tt mit der Eigenschaft, da6 die rechten Endelemente yon J=~' und f~ fiir jedes ~ > # identisch sind, existieren kann.

Das Erg/inzungselement zweiter Ordnung r von H heil~t ein

Er- gdinzungselement dritter Ordnung

yon H , wenn fiir jedes Element ~/ von H entweder die Relation g > r (d. h. man kann ein links yon g gelegenes ,:~ von r bestimmen), oder die Relation g ~ r hergeleitet werden kann, oder, was auf dasseIbe hinauskommt, wenn r ' sich so w/ihlen t/il]t, da6 zu jedem J:~ ein ~olches 9=" bestimmt werden kann, dessen reehtes End- element links vom rechten Endelemente von ~ gelegen ist.

Ein Erg/inzungselement dritter Ordnung von H heil]t ein

Ergdnzungs- element vierler Ordnung

yon H, wenn fiir jedes Element g yon H entweder die Relation g > r, oder die Relation g = r (d. h. g und r fallen in H zusammen), oder schliel]lich g < r (d. h. man kann ein rechts von g gelegenes J=~ von r bestimmen) hergeleitet werden karm, oder, was auf dassetbe hinauskommt, wenn r ' sich so w/~hlen I/il]t, clal~ zu jedem ~/

ein solches v > tt bestimmt werden kann, dal] die beiden Endelemente yon J:" yon den beiden Endelementen yon J:~ versehieden sind.

Die vorstehenden Definitionen der Ausfiillungselemente sowie der Er- g~nzungseIemente nullter, erster, zweiter, dritter und vierter Ordnung von H sind flit gegebene ordnende Relationen in H offenbar unabh/~ngig vom Abz/ihlungsgesetze 7-

Sei M eine endliche Menge oder eine Fundamentalreihe yon Er- giinzungselementen vierter Ordnung yon H , , deren je zwei in H~ 5rtlich verschieden sind -and deren jedes von jedem Elemente von H~ in H~ 5rt- lic'h verschieden ist. Die Vereinigung yon M und H , bildet eine abz~hl- hat unendliche, im engern Sinne iiberall dicht geordnete Menge H , + t . Jedes Erg~iz~zungselement von H~ ist gleiehzeitig Erg~inzungselement von H~+I mad jedes Erg~nzungselement h-ter Ordnung yon H~+I f~llt in H~+x zusammen mit einem Erg'~r~zmngselemente h-ter Ordnung yon H~.

Die vorstehende Beziehung besteht sowohl zwisehen der geordneten

(5)

Menge der endlichen Dualbriiche

H o

und der geordneten Menge der endlichen Dezimalbriiche H 1, wie zwischen //1 und der geordneten Menge der rationalen Zahlen H e.

w

Erg~nzungselemente, Dezimalbmchentwicklungen und Kettenbruchent- wieklungen.

Ein Erg~nzungselement erster Ordnung von H l~il~t in H die

Orts- bestimmung

ereter

Ordnung

zu, weIche sich, wenn H a]s die Menge tier endlichen Dezimalbriiche gelesen wird, als die

mehrdeutige unendliche Dezi- malbruchentwicklung

herausstellt. Umgekehrt ist jedes Ausfiillungselement yon H, das in H die Ortsbestimmung erster Ordnung zul~]t, ein Er- giinzungselement erster Ordnung yon H.

Die Ortsbestimmung erster Ordaung in H kann fiir in H zusammen- fallende Ergiinzungselemente von H versehieden ausfallen.

Ein Ergiinzungselement zweiter Ordnung von H l~il]t in H die

Orts- bestimmung zweiter Ordnung

zu, welche sich, wenn H als die Menge der endlichen Dezimalbriiche gelesen wird, als die

eindeutige unendliche Dezi- ma~ruchentwicklung (fiir

welche die Existenz einer letzten yon 9 ver- schiedenen Zif[er ausgeschIossen ist] herausstellt. Umgekehrt ist jedes Ausfiillungselement von H, das in H die Ortsbestimmung zweiter Ord- nung zul~il~t, ein Erg~nztmgselement zweiter Ordnung yon H.

Zwei Ergiinzungselemente yon

H,

fiir welche die Ortsbestimmung zweiter Ordnung in H verschieden ausf~Ilt, kSnnen in H nicht zusammenfallen.

Ein Erg~nzungselement dritter Ordnung yon H l~l~t in H die

Orts- bestimmung dritter Ordnung

zu, welche sich, wenn H als die Menge der rationalen Zahlen gelesen wird, als die

unendliche reduziert-regelmdfiige Kettenbruchentwicklung

herausstellt. Umgekehrt ist jedes Ausfiillungs- element yon H, das in H die Ortsbestimmung dritter Ordnung zuliil~t, ein :Erg~inzungselement dritter Ordnung yon H.

Zwei Erg~inzungselemente yon H, fiir wetche die Ortsbestimmung drifter Ordnung in H verschieden ausfiillt, sind in H 6rtlich verschieden.

Ein Ergiinzungselement vierter Ordnung yon H lii~t in H die Orts-

bestimmung vierter Ordnung

zu, welche sich, wenn H als die Menge der ra~ionalen Zahlen gelesen wird, als die

eindeutige regelmdflige .Ketten- bruchentwicklung

(welche eventuell endlich ausfallen kann) herausstellt.

Umgekehrt is~ jedes Ausfiillungselement yon H , das in H die Orts- bestimmung vierter Ordnung zul~i~t, ein Erg~nzungselement vierter Ord- nung von H .

Zwei Erg~nztmgselemente von H, flit welche die Ortsbestimmung vierter Ordnung in H verschieden ausfi41|t, sind in H 5rtlich verschieden.

(6)

206 L.E.J. Brouwer.

w

Existenz der DezimalbruehentwieMung reeller algebraischer Zahlen.

Seien r~ und r~ beliebige reelle algebraische Zahlen, d . h . je einer algebraischen Gleidhung mit ganzen rationalen Koeffizienten geniigende Ausffillungselemente der yon den rationalen Zahlen gebildeten geordneten Menge H e. Alsdann kann man eine algebraische Gleichung

F (X)~-aoXn-~ a i x ~ - i ~ - . . . -~ a , - l x - ~ an= 0

mit ganzen rationalen Koeflizienten und nicht verschwindender Diskri- minante D bestimmen, der sowohl r~ wie r e geniigt. Seien w~, w e, . . . , w~

die (mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit approximierbaren) Wurzeln von F (x) = 0, so kSnnen w~ und w~ fiir r ~= s nicht in H~ zusammenfallen.

Sei ~ eine rationale Zahl, welche die Moduln aller Wurzeln von F ( x ) ~ 0 iibersteigt, und b ~ 2 ~), so ist

Weil aber

so ist andererseits

i w r - - w , : < b ( r ~ = s ) .

/ ] ( w _ w,)e D

~=t= r a : n - 2

D

a2n--2 b n ~ ' - n - 2 ~ o

so da~ wir mittels hinreichend genauer Approximierung yon r~ und r~

entweder Sicherheit erlangen, dab r 1 und r e mit derselben Wurzel w~

zusammenfallen, oder ein rl und r e trennendes rationales IntervaI1 bestimmen kSnnen. Indem wir dieses Resultat zun~chst spezialisieren fiir den Fall, dal~ r e eine rationale Zahl ist, ersehen wir miihelos, daI~ r~ in H e entweder mit einem Elemente von H~ zusammenf~illt oder von jedem Elemente yon H~ 5rtlich verschieden istle), so dal~ r 1 sich als ErgSntungs- element vierter Ordnung yon H e erweist, mithin sowohl in einen ein- deutigen unendlichen Dezimalbruch, wie in einen dndeutigen regel- mdfiigen Kettenbruch entwickelt werden kann.

Setzen wit nunmehr voraus, dal~ weder r~ noch r e m i t einem Ele- mente yon H e zusammenf~llt, s o / a l l e n sie entweder in H e zusammen, oder sind in H~ 5rtlich verschieden.

Hieraus ergibt sich, da~ die Spezies der reellen algebraisehen Zahlen eine abz~hlbar unendliche, im engern Sinne iiberall dicht geordnete Menge H 3 bildet, welche zu H~ die am Schlu~ von w 2 erklhrte Beziehung eines H,+~ zu einem entsprechenden H~ besitzt.

~) Diese Eigen~]aaft l~6t sich aus etwas weniger elementaren bekannten Tat-

~ h e n bedeutend direld~r folgern, bedarf abet jedenfalls eines ausdriicklichen Beweises.

(7)

w

E x i s t e n z der D e z i m a l b m c h e n t w i e k l u n g y o n ~ .

Seien a und b ganze positive Zahten und a ~ b. W i t verstehen unter K o den unbedingt konvergenten ~a) unendlichen Kettenbruch

Lb' ( 2 ~ + l ) b ~

und u n t e r K ~ den unbedingt konvergenten unendlichen Kettenbruch

a " 2

Alsdann gelten die Beziehungen

a 2 ~

( 2 v + 1) bJm+l"

.a a

t g - ~ = K o - - b - K 1 '

a ~

K , n - ~ ( 2 m § 1 ) b _ K ~ + ( m ~ 1).

Seien xo, x l , x.~, . . . reelle Variabele, welche durch die Beziehungen

x ~ b - - x ~ '

(r 1)

l b verbunden sind, und x ' eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 also <

Mittels ( t ) leiten wir aus Xa ! weitere rationale Zahlen ' x a - l ~ x a - 2 ~ . . . ~ x l ~ ~0~- ' ' ' 1111(t t _Xa+l, X I a+e, 9 9 her. Von diesen fallen xa-~,' xa-e,' . . ., x~, x; alle positiv aus, wghrend x a - i , ' x ' a-s, . . . , x[ alle < ~ b 1 und x 0 < - b - wird. , 2 a Welter kann man ein kleinstes r > a bestimmen mit der Eigenschaft, dab x,' =< 0 oder _~ 1 wird14).

Sei a eine (fiir das weitere hinreiehend klein gewii~lte) positive rationale Zahl und ~/~ ein solches geschlossenes rationales Wertintervall yon Xa, da$ sowohl % , wie die auf Grund yon ('~) entsprechenden Wert- intervalle ~ + ~ , ~ + 2 , . . . , % yon x~+,, xa+.~, . . . , x,. rechts vom Werte 0 und links yore Werte 1 liegen, wghrend, wenn wit noch die auf Grund v o n ( t ) entsprechenden Wertintervalle von x~_l, x a - e , . . . , x o m i t ~a-~, */a-e, . . . , % bezeichnen, jedes K , flit 0 ~_~ ~ ~_~ r in ~ enthalten ist und eine Entfernung > 2 a yon den Endwerten von ~/, besitzt. Alsclann kSnnen wit eine solche ganze nichtnegative Zahl s ~ r bestimmen, dab xg, x ; ,

9 f

. . . , ~,_, der Reihe nach in %, *h, - - . , V,-* enthalten sind, wghrend x , eine Entfernung > ~ von K , besitzt.

~s) Vgl. Pringsheim, Miinehener Berichte 28 (1898), S. 299 ff.

u) k. a. 0., S. 318.

(8)

2 0 8 L.E.J. Brouwer.

Sei fi' eine solche positive rationale Zah], dab fiir jedes zu % ge- hSrige x o die Ungleichung

dxo > fl,

dx~

gilt, so besitzt x~ eine Entfernung > a f t ' von K o.

Sei x~' eine solehe rationale Zahl, da$ die auf Grund von ( t ) ent- sprechende Zahl x ~ ' ~ 0 oder > 1 ausfMlt. Alsdann kSnnen wir eine

" " der solche ganze nichtnegative Zahl t ~ a bestimmen~ dab Xo, . . . , xt-1 Reihe nach in %, . . . , ~]t-1 enthalten sind, w~ihrend

x['

eine Entfernung

> a v o n K t besitzt.

Sei

fl"

eine solche positive-rationale Zahl, dab fiir jedes zu ~o ge- h5rige x o die Ungieiehung

dxo fit, dxt >

/! ~ / ! ,

g i l t , so besitzt x o eine Entfernung > a yon K o

Zu einer beliebigen positiven rationalen Zahl i~ < 1 und einer beliebigen positiven rationalen Zahl i kann man mithin eine solche positive rationale Zahl i~ < I bestimmen, dab

l i -- tg i~l > i.).

I

Insbesondere kann man zu einer beliebigen positiven rationalen Zahl i~ < 1 eine solche positive rationale Zahl i.~ < 1 bestimmen, dab

i1 -- t g / 1 1 > i:,

m i t h i n auch (weil im zwischen den Werten 0 und 2 enthaltenen Werte- gebiet yon y die Ungleichung

d arctg y > 1_

besteht) d y ~ 5

u > i . ,

so dal~

die Zahl ~ sich als Erg~inzungselement vierter Ordnung yon H.~

erweist~5), mithin sich sowohl in einen eindeutigen unendlichen Dezimal-

~bruch wie in einen eindeutigen regelmdfiigen Kettenbruch entwickdn ldflt.

Die Entwickelungen dieses und des vorangehenden Paragraphen bietea Beispiele der Charakterisierung von Erg~nzungselementen bzw. Ausfiillungs- elementen r von H als Erg~inzungselemente vierter Ordnung yon H

~5) Die gleiche Eigenschaft der Zahl e ist eine unmittelbare Folge der regeI- m~t3igen Kettenbruchentwicklung

e--I [1 1 ] ~ 2 = ~' 2 - ~ 4 , i"

(9)

mittels positiver Rationalit~itsbeweise in H (die ein Element yon H bestimmen, mit dem r zusammenfgllt) oder positiver IrrationaliMtsbeweise in H (die r als von jedem Elemente von H 5rttich versehieden erkennen lassen). Hierzu ist zu bemerken, dab sich aus einem negativen Rationalitdts- bzw. Irrationalitgtsbeweise in H (der die Annahme, dallt r von jedem Elemente yon H 5rtlich versehieden ws bzw. mit einem Elemente von H zusammenfiele, ad absurdum fiihrt) nieht einmal foIgern ls dag r Er- giinzungselement erster Ordnung von H ist. Eben deshalb haben wir in diesem Paragraphen den Lambertsehen negativen Irrationalits von Jr einer passenden Umarbeitung unterzogen und in die obige positive Form gebracht. Die weiteren klassisehen Beweise desselben Satzes lassen sich iibrigens in analoger Weise ergs

w

Reelle Zahlen, welche keine Dezimalbruchentwicklung besitzen.

Sei c~ die n-te Ziffer der unendlichen Dezimalbruchentwicklung von Jr.

Wir werden sagen, dal3 n sich im ersten Falle befindet, wenn ca, cn+l, . . . , c~+4 alle gteieh sind, i m z w e i t e n Falle, wenn c~, c~+1, . . . , cn+9 alle verschieden sind, und im dritten Falle, wenn weder der erste, noch der zweite Fall vorliegt.

Wir definieren ein Ergs r der geordneten Menge der endlichen Dezimalbriiehe H 1 mittels der unendlichen Reihe

QO

Z a~- 10 -~-1,

n m l

wo a ~ = 0, wenn n sieh im ersten Falle befindet, a ~ = 10, wenn n sieh im zweiten Falle befindet, sonst % = 9.

Dieses Ergs wiirde erst dann ein Ergiinzungselement erster Ordnung von //1 darstellen, m. a. W. eine unendliehe Dezimal- bruehentwicklung zulassen, wenn man eine Methode besiil}e, fiir jedes beliebige im dritten Falle befindliche n, entweder die Existenz eines im zweiten Falle befindliehen m > n mit der Eigensehaft, dal3 jede zwisehen n und m liegende ganze Zahl sieh im dritten Falle befiinde, ad absurdum zu l ~ r e n , oder die Existenz eines im ersten Falle befindlichen m > n mit der Eigensehaft, dag jede zwischen n und m liegende ganze Zahl sieh im dritten Falle befs ad absnrdum zu fiihren.

Wit definieren weiter ein Ergs erster Ordnung r von H~ mittels der unendliehen Reihe

Z % . 1 0 -~-I,

n = l

Mathematisehe Annalen. 83. 14

(10)

210 L.E.J. Brouwer. Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung?

wo jedes a~ entweder gleich 0 oder gleich 9 ist, w~ihrend a 1 ~ - 9 und an+I dann mad nut dann von a . verschieden ist, wenn n sich im zweiten FaUe befindet.

Dieses Erg~nzungselement erster Ordnung wiirde erst dann ein Er- g~nzungselement zweiter Ordnung von H1 darstellen, m. a. W. die i m w 3 defmierte eindeutige unend]iche Dezimalbruchentwicklung zutassen, wenn man eine Methode bes~Be, fiir jedes ganze positive n mit der Eigen- sehaft, dal3 entwecler keine oder eine gerade Anzahl yon ganzen positiven Zahlen ~ n sich im zweiten Falle befindet, entweder die Existenz oder die Abwesenheit eines im zweiten Falle befindliehen m ~ n a d absurdum zu fiihren.

Ein Erg~,nzungselement dritter Ordnung yon H~ wiirde dasseIbe Er- g~inzungselement erst dann darstellen, wenn man eine Methode bes~13e,

fiir jedes ganze positive n mit der Eigenschaft, dal~ entweder keine oder eine gerade Anzahl von ganzen positiven Zahlen ~ n sich im zweiten Falle befindet, entweder die Existenz eines im zweiten Falle befindlichen m ~ n ad absurdum zu fiihren, ader ein im zweiten Falle befindliches rn ~ n anzugeben.

" Wir definieren schlie~Iich ein IErgKuzungselement dritter Ordnung r yon H 1 mittels der unendlichen Reihe

~ a ~ .

10 -n-l,

~ - 1

wo a ~ : 9, wenn n sich im zweiten Falle befindet, sonst a~ ~ 0.

Dieses Erg~nzungselement dritter Ordnung wiirde erst dann ein Er- g~,nzungselement vierter Ordnung von H~ darstellen, wenn man eine Methode bes~l~e, fiir jedes ganze positive n, entweder die Existenz eines im zwe~ten Falle befindliehen m :> n a d absurdum zu fiihren, oder ein im zweiten Falle befindliches m :> n anzugeben.

S~mtliche Beispiele dieses Paragraphen fallen iibrigens in //1 zusammen mit Erg~inzungselementen vierter Ordnung der geordneten Menge der endlichen Dualbriiche H o.

Fiir Beispiele reeller Zahlen ohne Dezimalbruchentwicklung besteht bei der Weiterentwicklung der Mathematik stets die MSgtichkeit, dab sie eimnal hinf~,tlig werden; dann aber kSnnen sie immer dutch solche, welche ihre Giittiglreit behalten haben, ersetzt werden.

(Eingega~gen am t0. 12. 1920.)