Mathematik 1 f¨ur Studierende der Bachelorstudieng¨ange Chemie und Biophysik

Skript zur Vorlesung

Mathematik 1

f¨ ur Studierende der Bachelorstudieng¨ ange Chemie und Biophysik

Dr. Caroline L¨obhard

1. Februar 2016

Inhaltsverzeichnis

1 Folgen und Konvergenz 5

1.1 Folgen reeller Zahlen . . . 5

1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge . . . 6

1.3 Grenzwerts¨atze/Rechenregeln . . . 9

1.4 Punktfolgen im Rⁿ (n ∈N) . . . 10

2 Reelle Funktionen und Stetigkeit 13 2.1 Reelle Funktionen . . . 13

2.2 Funktionsgrenzwerte . . . 14

2.3 Stetigkeit . . . 15

3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I) 19 3.1 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen einer Variablen . . . . 19

3.2 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen . . 21

3.3 Ableitungen h¨oherer Ordnung in mehreren Variablen . . . 23

3.4 Exakte Vektorfelder . . . 24

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) 25 4.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale . . . 25

4.2 Integrationsregeln . . . 26

4.3 Bestimmte Integrale . . . 28

4.4 Kurven im Rⁿ . . . 33

4.5 Kurvenintegral 1. Art . . . 34

4.6 Kurvenintegral 2. Art . . . 37

5 Elementare Funktionen 41 5.1 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . 41

5.2 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen . . . 43

6 Komplexe Zahlen 45 6.1 Arithmetische Darstellung und grundlegende Rechenoperationen . . . 45

6.2 Polarkoordinaten . . . 46

6.3 Potenzen und Wurzeln . . . 48

7 Polynome und Potenzreihen 49 7.1 Polynome . . . 49

7.2 Reihen . . . 51

Inhaltsverzeichnis

7.3 Potenzreihen . . . 53

8 Differentialrechnung II 55 8.1 Approximation von Funktionen mit Hilfe der Ableitung . . . 55

8.2 Berechnung von Funktionsgrenzwerten . . . 57

8.3 Implizite Funktionen . . . 58

8.4 Extremwertaufgaben . . . 61

9 Integralrechnung II 65 9.1 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) . . . 65

9.2 Uneigentliche Integrale . . . 69

9.3 Fl¨achen– und Raumintegrale . . . 71

10 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen I 77 10.1 Problemstellung . . . 77

10.2 Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung . . . 79

10.3 Analytisches L¨osen von Differentialgleichungen erster Ordnung mit ge- trennten Variablen . . . 81

10.4 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung . . . 83

1 Folgen und Konvergenz

1.1 Folgen reeller Zahlen

Definition 1.1. Eine reelle Zahlenfolge ist eine Abbildung f : N → R die jeder nat¨urlichen Zahl n ∈ N eine reelle Zahl a_n = f(n) zuordnet. Anstatt f schreibt man ublicherweise (a¨ _n)_n∈N.

Beispiel 1.2.

Definition 1.3. Ist (an)n∈N ⊂ R eine Folge und g :N → N eine Auswahlfunktion mit g(n+ 1)> g(n), so ist (b_n)n∈N = (a_g(n))n∈N eine Teilfolge von (a_n)n∈N.

Beispiel 1.4.

Definition 1.5. Eine Zahl a∈R heißt H¨aufungspunkt (HP) einer Folge (a_n)n∈N, wenn f¨ur ein beliebiges >0 die Ungleichung

|a−a_n|<

f¨ur unendlich vielen ∈Nerf¨ullt ist.

1 Folgen und Konvergenz Beispiel 1.6.

1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge

Definition 1.7. (i) Eine Zahl a∈R heißtGrenzwert (GW) einer Folge (a_n)n∈N ⊂R wenn gilt:

∀ >0 ∃N∈N, so dass ∀n∈N mit n ≥N:|a−a_n|< .

Man schreibta= limn→∞a_nodera_n^n→∞−→ aund sagt: Die Folge (a_n)n∈Nkonvergiert gegena.

(ii) Das Symbol∞ (Unendlich) heißt uneigentlicher Grenzwert einer Folge (a_n)n∈N ⊂ R wenn gilt:

∀K ∈R ∃N_K ∈N, so dass ∀n ∈N mit n ≥N_K :a_n > K.

Man schreibt a_n ^n→∞−→ ∞ und sagt: Die Folge (a_n)n∈N divergiert bestimmt gegen Unendlich.

(iii) Das Symbol −∞ heißt uneigentlicher Grenzwert einer Folge (a_n)n∈N ⊂ R wenn gilt:

∀K ∈R ∃NK ∈N, so dass ∀n ∈N mit n ≥NK :an < K.

Man schreibt a_n ^n→∞−→ −∞und sagt: Die Folge (a_n)n∈N divergiert bestimmt gegen Minus Unendlich.

1.2 Grenzwert und Konvergenz einer Folge Beispiel 1.8.

Satz 1.9. (i) Besitzt eine Folge keinen HP, so ist sie bestimmt divergent.

(ii) Besitzt eine Folge genau einen HP, so ist dies ihr Grenzwert.

(iii) Besitzt eine Folge mehrere HPe, so ist sie unbestimmt divergent, d.h. sie konver- giert nicht, und divergiert auch nicht bestimmt gegen ∞ oder −∞.

Beispiel 1.10.

Definition 1.11. Eine Folge (a_n)n∈N mit limn→∞a_n = 0 heißt Nullfolge (NF).

Satz 1.12. Es sei a∈R, (an)n∈N ⊂R. Es gilt:

n→∞lim a_n =a ⇔ lim

n→∞|a−a_n|= 0.

Beispiel 1.13.

1 Folgen und Konvergenz

Satz 1.14. Es sei x∈R und (a_n)n∈N= (xⁿ)n∈N. Es gilt:

(xⁿ)n∈N ist eine Nullfolge ⇐⇒ |x|<1.

Definition 1.15. Eine Folge (a_n)n∈N ⊂ R heißt beschr¨ankt, wenn eine Zahl M ∈ R existiert, so dass f¨ur allen ∈N gilt:

|a_n|< M.

Beispiel 1.16.

Satz 1.17. (i) (Bolzano-Weierstraß) Jede beschr¨ankte Folge besitzt mindestens einen H¨aufungspunkt.

(ii) Jede beschr¨ankte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

(iii) Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt.

Beispiel 1.18.

1.3 Grenzwerts¨atze/Rechenregeln

1.3 Grenzwerts¨ atze/Rechenregeln

Satz 1.19. Es sei limn→∞a_n=a, limn→∞b_n =b, a, b∈R. Dann gilt:

(i) limn→∞(a_n±b_n) = limn→∞a_n±limn→∞b_n, (ii) limn→∞(a_n·b_n) = limn→∞a_n·limn→∞b_n, (iii) Falls b6= 0, ∀n ∈N:b_n6= 0: limn→∞ an

bn = ^lim_lim^n→∞an

n→∞bn,

(iv) Ist (c_n)n∈N eine Teilfolge von (a_n)n∈N, so konvergiert (c_n)n∈N auch gegen a.

Ist limn→∞a_n=a=±∞ und limn→∞b_n =b ∈R∪ {±∞}, so gilt (v) limn→∞(a_n±b_n) =

a, falls b 6=−a,

??, falls b =−a, (vi) limn→∞(a_n·b_n) =







a, falls b > 0,

−a, falls b < 0,

??, falls b = 0, (vii) limn→∞ an

bn =







a, falls b >0, b6=∞

−a, falls b <0, b6=−∞

??, falls b =±∞,

(viii) Ist (c_n)_n∈N eine Teilfolge von (a_n)_n∈N, so konvergiert (c_n)_n∈N auch gegen a.

Beispiel 1.20.

Definition 1.21. Eine Folge (a_n)n∈N ⊂Rheißt (i) monoton wachsend, falls ∀n ∈N: a_n+1 ≥a_n, (ii) monoton fallend, falls ∀n∈N: a_n+1≤a_n.

1 Folgen und Konvergenz Beispiel 1.22.

Satz 1.23. Jede monotone, beschr¨ankte Folge konvergiert.

Satz 1.24. Die Folge (a_n)n∈N = 1 + _n¹n

n∈N konvergiert. Der Grenzwert heißt Eu- ler’sche Zahl,

e:= lim

n→∞

1 + 1

n n

.

Satz 1.25 (Sandwich-Lemma). Es seien (a_n)_n∈N,(b_n)_n∈N ⊂ R zwei Folgen mit dem selben Grenzwert g = limn→∞a_n = limn→∞b_n. Außerdem sei (x_n)n∈N ⊂ R eine Folge, so dass f¨ur ein N ∈N gilt:

∀n∈N, n≥N :a_n≤x_n ≤b_n. Dann folgt:

n→∞lim x_n=g.

Beispiel 1.26.

1.4 Punktfolgen im R

ⁿ

(n ∈ N )

In diesem Abschnitt repr¨asentiert n ∈ N die Raumdimension. Vektorenx im Raum Rⁿ besitzen also n Komponenten.

1.4 Punktfolgen im Rⁿ (n∈N)

Definition 1.29. Ein Vektor ¯x ∈ Rⁿ heißtGrenzwert einer Folge (x_k)k∈N ⊂ Rⁿ, wenn jede Komponente der Folge gegen die jeweilige Komponente von ¯x konvergiert, d.h., wenn

∀i∈ {1,2, . . . , n}: lim

k→∞x_k,i = ¯x_i. Beispiel 1.30.

2 Reelle Funktionen und Stetigkeit

2.1 Reelle Funktionen

Definition 2.1. Es seiM ⊂Rⁿ,n∈N. Eine Funktionf :M →Rheißtreelle Funktion.

M heißt Definitionsgebiet, f(M) = {f(x)|x∈M} Wertemenge, Gph(f) :=

x f(x)

∈Rⁿ⁺¹

x∈M

Graph von f. F¨ur c∈ f(M) ist N_f(c) = {x ∈ M|f(x) = c} die Niveaumenge (-linie/- fl¨ache) von f zum Niveau c.

Beispiel 2.2.

2 Reelle Funktionen und Stetigkeit

2.2 Funktionsgrenzwerte

Definition 2.3. Es seien n ∈ N, M ⊂ Rⁿ, eine Funktion f : M → R und a ∈ Rⁿ gegeben. f besitzt in a den (uneigentlichen) Grenzwert g ∈R∪ {±∞}, wenn gilt:

(i) Es existiert eine Folge (x_k)_k∈N ⊂M\ {a}mit lim_k→∞x_k =a und (ii) f¨ur jede Folge (x_k)k∈N⊂M mit limk→∞x_k=a gilt limk→∞f(x_k) =g.

Man schreibt dann limx→af(x) = g.

Beispiel 2.4.

2.3 Stetigkeit Satz 2.5(Grenzwerts¨atze f¨ur Funktionen, vgl. Satz 1.19). Es seienn∈N,M ⊂Rⁿ,a∈ Rⁿ gegeben und es existiere eine Folge (x_k)_k∈N⊂M\ {a} mitlim_k→∞x_k =a. Außerdem seien f, g : M → R reelle Funktionen mit reellen Funktionsgrenzwerten limx→af(x) = f ,¯ limx→ag(x) = ¯g. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(i) lim

x→af(x)±g(x) = ¯f ±¯g, (ii) lim

x→af(x)·g(x) = ¯f ·g,¯ (iii) falls g(x)6= 0, ¯g 6= 0: lim

x→a

f(x) g(x) =

f¯

¯ g, (iv) lim

x→a|f(x)|=|f|,¯

(v) falls f(x)≥0, p∈R⁺: lim

x→af(x)^p = ¯f^p. Beispiel 2.6.

2.3 Stetigkeit

Definition 2.7. Es sei M ⊂ Rⁿ und a ∈ M, so dass 2.3 (i) erf¨ullt ist. Eine Funktion f :M →Rheißt stetig im Punkt a, wenn gilt

x→alimf(x) = f(a).

Ist f in jedem Punkt der Definitionsmenge M stetig, so sagt man: Die Funktion f ist stetig.

2 Reelle Funktionen und Stetigkeit Beispiel 2.8.

Satz 2.9. Sind f, g:M →R stetig (in einem Punkt a∈M), so ist auch f±g, f ·g, f

g (falls g(a)6= 0), |f|, f<sup>`</sup>(` ∈N) stetig (in a).

Satz 2.10. (i) Ist M ⊂ Rⁿ, a ∈ M, f : M → R stetig (in a) und g : f(M) → R stetig (in f(a)), so ist auch die Hintereinanderausf¨uhrung

h=g◦f :M →R, h(x) =g(f(x)) stetig (in a).

(ii) Die Funktionen sin, cos, exp (exp(x) =e^x) (vgl. Kap. 5) sind stetig.

Beispiel 2.11.

Satz 2.12 (Satz von Bolzano). Es seien a, b∈R, a < b, die Funktion f : [a, b]→R sei

2.3 Stetigkeit Beispiel 2.13.

3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)

3.1 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen einer Variablen

Definition 3.1. Es sei M ⊂R, f :M →R und a∈M. Wenn der Funktionsgrenzwert

x→alim

f(x)−f(a)

x−a =g ∈R

existiert, so ist f differenzierbar in a und g ist die Ableitung von f in a. Man schreibt dann g =f⁰(a).

Bemerkung 3.2. Mit h =x−a kann man im Grenzwert x durch h+a ersetzen und erh¨alt

x→alim

f(x)−f(a)

x−a = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h .

Beispiel 3.3.

Definition 3.4. Ist f :M →Rdifferenzierbar ina∈M, so ist der Graph der Funktion T_f,a :R→R, T_f,a(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a)

die Tangente von f in a.

Satz 3.5. Ist f : M → R differenzierbar in einem Punkt a ∈ M, so ist f auch stetig in a.

Beweis.

3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)

Definition 3.6. Ist f in allen Punkten a ∈ M differenzierbar, so sagt man: f ist differenzierbar (in M). Die Funktion

f⁰ :M →R, f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a heißt Ableitung von f. F¨ur jedes a∈M heißt die Abbildung

df(a) :R→R, df(a)(h) = f⁰(a)·h Differential von f ina.

Beispiel 3.7.

Satz 3.8 (Rechenregeln f¨ur Ableitungen). Es sei M ⊂ R und f, g : M → R seien in a ∈ M differenzierbare Funktionen. Dann sind auch die Funktionen f ±g, f·g und ^f_g (falls g(a)6= 0) differenzierbar in a und es gilt:

(i) (f±g)⁰(a) = f⁰(a)±g⁰(a),

(ii) (f·g)⁰(a) = f⁰(a)·g(a) +f(a)·g⁰(a),

3.2 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen Satz 3.9. Es sei M ⊂ R, f : M → R sei differenzierbar in einem Punkt a ∈ M und g :f(M)→R sei differenzierbar in f(a). Dann ist g◦f differenzierbar in a und es gilt die Kettenregel

(g◦f)⁰(a) = g⁰(f(a))·f⁰(a).

Beispiel 3.10.

Definition 3.11 (Ableitungen h¨oherer Ordnung). Es sei M ⊂ R, f : M → R sei differenzierbar mit der Ableitung g(x) =f⁰(x). Istg differenzierbar, so istg⁰(x) =f⁰⁰(x) die zweite Ableitung von f. Gegebenenfalls erh¨alt man durch weiteres Ableiten die n-te Ableitung f⁽ⁿ⁾(x) von f.

3.2 Differenzierbarkeit und Ableitung von Funktionen mehrerer Variablen

Definition 3.12. Es sei n ∈ N, M ⊂ Rⁿ, f : M → R, a = (a₁, a₂, . . . , a_n) ∈ M und j ∈ {1,2,3, . . . , n}. Wenn der Funktionsgrenzwert

h→0lim

f(a₁, a₂, . . . , aj−1, a_j+h, a_j+1, . . . , a_n)−f(a)

h =g ∈R

existiert, so ist f in a partiell differenzierbar in Richtung x_j und g ist die partielle Ableitung von f in a in Richtung xj. Man schreibt

g = ∂f

∂x_j(a) = ∂f(a)

∂x_j =∂xjf(a) =fxj(a).

Beispiel 3.13.

3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)

Definition 3.14. Ist f in allen Punktena ∈M partiell differenzierbar in Richtung x_j, so heißt f partiell differenzierbar in Richtung x_j. Ist f in allen Punkten a ∈M partiell differenzierbar in alle Richtungen x₁, x₂, . . . , x_n, so heißt f partiell differenzierbar.

Bemerkung 3.15. Beim Berechnen einer partiellen Ableitung sind die Komponenten xk, k 6= j als (konstante) Parameter zu verstehen, und man leitet einfach wie gewohnt nachx_j ab.

Beispiel 3.16.

Definition 3.17. Es sei n ∈ N, M ⊂ Rⁿ, f : M → R und a ∈ M. Wenn ein Vektor c= (c₁, c₂, . . . , c_n)∈Rⁿ existiert, so dass

h→0lim

f(a+h)−f(a)−Pn

k=1h_kc_k

|h| = 0,

dann heißtf (total) differenzierbar inaundc=f⁰(a) = Df(a) = ∇f(a) heißtAbleitung von f in a. Ist f in allen Punkten a ∈M differenzierbar, so heißt f differenzierbar auf M.

Satz 3.18. (i) Wennf differenzierbar ist, dann istf auch partiell differenzierbar und f¨ur x∈M ist

c= (c₁, c₂, . . . , c_n) = ∂f

∂x₁(x), ∂f

∂x₂(x), . . . , ∂f

∂x_n(x)

.

(ii) Wennf partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen stetig sind, dann ist f differenzierbar.

Definition 3.19. Ist f :M →R differenzierbar in x∈M, so heißt der Vektor c= (c₁, c₂, . . . , c_n) =

∂f

∂x₁(x), ∂f

∂x₂(x), . . . , ∂f

∂x_n(x)

aus Definition 3.17 und Satz 3.18Gradient von f in x. Istf :M →R differenzierbar in allenx∈M, dann ist die Ableitung vonf gegeben durch die Abbildung ∇f :M →Rⁿ. Beispiel 3.20.

3.3 Ableitungen h¨oherer Ordnung in mehreren Variablen Bemerkung 3.21. Der Gradient steht immer senkrecht auf den Niveaulinien und zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs von f.

Definition 3.22. Istf :M →Rdifferenzierbar, so ist f¨ur jedes x∈M die Abbildung df(x) :Rⁿ→R,

df(x)(h₁, h₂, . . . , h_n) =

n

X

k=1

∂f

∂x_k(x)·h_k =f_x1h₁+f_x2h₂+· · ·+f_xnh_n =∇f(x)·h das Differential von f in x.

Satz 3.23 (vgl. Satz 3.5). Ist f differenzierbar, so ist f auch stetig.

3.3 Ableitungen h¨ oherer Ordnung in mehreren Variablen

Definition 3.24. Ist f : M → R differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen g_i = _dx^df

i :M →R (i= 1,2, . . . , n) ebenfalls differenzierbar, dann ist f zweimal differen- zierbar und man kann die zweiten Ableitungen

d²f dxidxj

= dg_j dxi

in der Hesse-Matrix anordnen:

H_f(x) =













d²f dx²₁

d²f

dx2dx1 · · · _dx^d2f

ndx1

d²f dx1dx2

d²f

dx²₂ · · · _dx^d2f

ndx2

... ... ...

d²f dx1dxn

d²f

dx2dxn · · · ^d_dx^2f2 n













Beispiel 3.25.

Satz 3.26 (Satz von Schwarz). Ist f :M →R zweimal differenzierbar, so ist

∀i, j ∈ {1,2, . . . , n}: d²f

dx_jdx_i = d²f dx_idx_j.

3 Differenzierbarkeit und Ableitung (Differentialrechnung I)

3.4 Exakte Vektorfelder

Definition 3.27. Es sein ∈N, M ⊂Rⁿ undg :M →Rⁿ ein Vektorfeld.g heißtexaktes (oder konservatives) Vektorfeld (oder exakte Differentialform), wenn es eine Funktion f :M →R gibt, so dass g =∇f.

Satz 3.28. Es sei n ∈ N und M ⊂ Rⁿ. Ein Vektorfeld g : M → Rⁿ ist genau dann exakt, wenn f¨ur alle i, k∈ {1,2, . . . , n} mit i6=k gilt

dg_i dxk

= dg_k dxi

.

Im Fall n = 2 ist ein Vektorfeld g insbesondere genau dann exakt, wenn dg1

dx₂ = dg2

dx₁. Beispiel 3.29.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I)

4.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Definition 4.1. M ⊂Rsei ein Intervall, und f :M →R eine Funktion. Eine differen- zierbare Funktion F :M →R heißt Stammfunktion von f, wenn

∀x∈M : F⁰(x) =f(x).

Das unbestimmte Integral R

f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen von f, das heißt, f¨ur eine IntegrationskonstanteC ∈R ist

Z

f(x)dx=F(x) +C.

Beispiel 4.2.

Satz 4.3. Besitzen f, g:M →R jeweils eine Stammfunktion, so gilt (i)

Z

f(x)±g(x)dx= Z

f(x)dx± Z

g(x)dx,

(ii) f¨ur jede Konstante k ∈R ist Z

k·f(x)dx=k· Z

f(x)dx,

(iii) Z

f⁰(x)f(x)dx= 1

2(f(x))²+C, falls f differenzierbar ist, (iv)

Z f⁰(x)

f(x) dx= ln|f(x)|+C, falls f(x)6= 0 und f differenzierbar ist.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) Beweis.

Durch Ableiten bekommt man die folgenden Grundintegrale:

(i) Z

x^kdx= 1

k+ 1x^k+1+C, (ii)

Z 1

xdx= ln(|x|) +C, (iii)

Z

e^xdx=e^x+C, (iv)

Z

sin(x)dx=−cos(x) +C, (v)

Z

cos(x)dx= sin(x) +C,

(vi) Z

cot(x)dx= ln(|sin(x)|) +C,

(vii) Z

tan(x)dx=−ln(|cos(x)|) +C,

(viii)

Z 1

(cos(x))²dx = tan(x) +C, (ix)

Z 1

(cos(x))²dx =−cot(x) +C.

4.2 Integrationsregeln

4.2 Integrationsregeln Satz 4.4 (Partielle Integration). Ist M ⊂ R ein Intervall und f, g : M → R stetig differenzierbar, so gilt

Z

f(x)·g⁰(x)dx=f(x)·g(x)− Z

f⁰(x)·g(x)dx.

Beispiel 4.5.

Satz 4.6 (Substitutionsregel). Sind M, P ⊂ R Intervalle, f : M → R stetig und g : P →M stetig differenzierbar, so gilt

Z

f(t)dt = Z

f(g(x))·g⁰(x)dx Beispiel 4.7.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I)

4.3 Bestimmte Integrale

Die klassische Problemstellung der Integralrechnung ist es, zu einem gegebenen Intervall M = [a, b] mit a, b∈ R, a < b und einer Funktion f :M → R⁺0 den Fl¨acheninhalt der Fl¨ache

A={(x, y)∈R²|x∈[a, b], y ∈[0, f(x)]}

unter dem Graphen von f zu berechnen.

Definition 4.8. Es sei M = [a, b] ein Intervall und f :M →R. (i) Es seien N ∈N und x₀, x₁, x₂, . . . , x_N ∈[a, b] so gegeben, dass

a=x₀ < x₁ < x₂ <· · ·< x_N =b.

Die Menge

Z ={[x₀, x₁],[x₁, x₂],[x₂, x₃], . . . ,[x_N−1, x_N]}

ist eineZerlegung des Intervalls M = [a, b]. Die L¨ange des gr¨oßten Intervalls in Z heißt Durchmesser vonZ und wird mit

d(Z) = max{ x₁−x₀, x₂−x₁, x₃−x₂, . . . , x_N −xN−1} bezeichnet.

(ii) Nun w¨ahlt man aus jedem Intervall einen Zwischenpunkt ξ_i aus, d.h.

ξ₁ ∈[x₀, x₁], ξ₂ ∈[x₁, x₂], . . . , ξ_N ∈[xN−1, x_N],

und schreibt diese in einen Vektor Ξ = (ξ₁, ξ₂, ξ₃, . . . , ξ_N). Dann ist dieZwischen- summe

N

4.3 Bestimmte Integrale Beispiel 4.9.

Definition 4.10 (Riemann-Integrierbarkeit). Es seiM = [a, b] ein Intervall. Eine Funk- tionf :M →RheißtRiemann-integrierbar ¨uberM, wenn f¨ur jede Folge von Zerlegungen (Zk)_k∈

N des Intervalls M mit limk→∞d(Zk) = 0 und beliebig gew¨ahlte Zwischenpunk- te Ξ_k der Grenzwert

k→∞lim S_f(Z_k,Ξ_k) =g ∈R

existiert und eindeutig ist. Dieser Grenzwert g ist dann das (bestimmte) Integral von f

¨uber M und man schreibt

g = Z b

a

f(x)dx.

Definition 4.11. Eine Funktion f :M →R auf einer MengeM ⊂R heißt

(i) beschr¨ankt, falls eine obere SchrankeK ∈Rexistiert, so dass f¨ur allex∈[a, b] gilt

|f(x)| ≤K,

(ii) monoton steigend/fallend, falls f¨ur allex, y ∈[a, b] mitx < ygilt f(x)≤f(y) bzw.

f(x)≥f(y),

(iii) streng monoton steigend/fallend, falls f¨ur alle x, y ∈ [a, b] mit x < y gilt f(x) <

f(y) bzw. f(x)> f(y).

Satz 4.12. Es sei f : [a, b]→ R eine reelle Funktion. Das Integral Rb

a f(x)dx existiert, falls eine der folgenden Bedingungen erf¨ullt ist:

(i) f ist stetig,

(ii) f ist beschr¨ankt und besitzt nur eine endliche Zahl von Unstetigkeitsstellen, (iii) f ist beschr¨ankt und monoton.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) Beispiel 4.13.

Satz 4.14 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Es sei M ⊂ R eine Intervall und f :M →R sei stetig.

(i) F¨ur jedes a∈M ist die Fl¨achenfunktion F :M →R, F(x) =

Z x a

f(x)dx eine Stammfunktion von f.

(ii) Sinda, b∈Rmita < b und ist eine StammfunktionF vonf gegeben, so gilt Dann gilt:

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a).

Man schreibt auch Z b

a

f(x)dx= [F(x)]^b_a= [F(x)]^x=b_x=a =F(x)

b

a=F(x)

x=b x=a. Beispiel 4.15.

4.3 Bestimmte Integrale

Definition 4.16. F¨ur eine integrierbare Funktion f : [a, b]→R, a < b, definiert man Z a

a

f(x)dx= 0,

Z a b

f(x)dx=− Z b

a

f(x)dx.

Satz 4.17. Es seien a, b∈R, a < b und f : [a, b]→R, g : [a, b]→R gegeben.

(i) Sind f und g integrierbar ¨uber [a, b], so gilt f¨ur beliebige Zahlen α, β ∈R: Z b

a

αf(x) +βg(x)dx=α Z b

a

f(x)dx+β Z b

a

g(x)dx.

(ii) f ist integrierbar ¨uber [a, b] genau dann, wenn gilt:

∀c∈[a, b] : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

Beweis.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) Beispiel 4.18.

Satz 4.19. Es seienf, g : [a, b]→Rintegrierbar und f¨ur allex∈[a, b]geltef(x)≤g(x).

Dann ist auch

Z b a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

Folgerung: Ist f beschr¨ankt und sind K,K ∈R gegeben, so dass K ≤f(x)≤K, so gilt K(b−a)≤

Z b a

f(x)dx≤K(b−a).

Beweis.

Satz 4.20. Es seienf, g : [a, b]→Rintegrierbar und f¨ur allex∈[a, b]geltef(x)≤g(x).

Dann besitzt die Fl¨ache

M ={(x, y)∈R²|a≤x≤b, f(x)≤y≤g(x)}

zwischen den Graphen von f und von g den Fl¨acheninhalt

4.4 Kurven im Rⁿ Beispiel 4.21.

4.4 Kurven im R

ⁿ

Definition 4.22. Eine Menge C ⊂ Rⁿ im Rⁿ ist eine Kurve, wenn es eine stetige Abbildung γ : [a, b]→Rⁿ auf einem Intervall [a, b] gibt, so dass

C ={γ(t)|t∈[a, b]}.

Ist γ(a) = γ(b), so ist C eine geschlossene Kurve. Ist γ : [a, b] → C invertierbar (d.h., γ besitzt eine Umkehrfunktion γ⁻¹ : C → [a, b]), so ist γ eine Parameterdarstellung oder Parametrisierung von C. Ist eine Parametrisierung γ : [a, b] → Rⁿ einer Kurve C gegeben, so spricht man auch von einer gerichteten Kurve vom AnfangspunktA=γ(a) zum Endpunkt B =γ(b).

Beispiel 4.23.

Definition 4.24. Es sei C ⊂Rⁿ eine Kurve mit der Parameterdarstellung γ = (γ₁, γ₂, . . . , γ_n) : [a, b]→Rⁿ.

Die Kurve C heißt glatt, wenn die Koordinatenfunktionenγ₁, γ₂, . . . , γ_nvon γ alle stetig differenzierbar sind und wenn f¨ur alle t∈[a, b] gilt

γ⁰(t) = (γ₁⁰(t), γ₂⁰(t), . . . , γ_n⁰(t))6= (0,0,0).

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I)

Bemerkung 4.25. Ist c ∈ C ein Punkt der Kurve, und t ∈ [a, b] gegeben, so dass γ(t) = c ist, so ist der Vektor γ⁰(t) der Richtungsvektor der Tangente an der Kurve C im Punkt c.

Beispiel 4.26.

Bemerkung 4.27. (i) Ist M ⊂ R eine Intervall und f : M → R eine stetige Funk- tion, so ist der Graph vonf eine Kurve im R², die man wie folgt parametrisieren kann:

γ :M →R², γ(t) = t

f(t)

.

(ii) Sind A, B ∈ Rⁿ Punkte im Rⁿ, so kann man die Verbindungsstrecke von A nach B parametrisieren durch

γ : [0,1]→Rⁿ, γ(t) =A+t(B −A).

(iii) Eine Ellipse mit den Radien a, b >0 im Rⁿ kann man wie folgt parametrisieren:

γ : [0,2π]→R², γ(t) =

acos(t) bsin(t)

.

4.5 Kurvenintegral 1. Art

Definition 4.28. (vgl. Definition 4.8) Es sei C ⊂ Rⁿ eine Kurve vom Punkt A ∈ Rⁿ zum PunktB ∈Rⁿ und f :C →R.

(i) Eine Menge Z = {C₁, C₂, . . . , C_N} ist eine Zerlegung der Kurve C, wenn C = C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ ∪ . . . C_N und wenn die Mengen C_i ∈ Z paarweise disjunkt sind (d.h., sich nicht ¨uberschneiden). Wir bezeichnen die L¨ange eines Kurvenst¨ucks C_i mit d(C_i). Die L¨ange des gr¨oßten Kurvenst¨ucks in Z heißt Durchmesser von Z

4.5 Kurvenintegral 1. Art

und k¨urzt diese ab als Ξ = (ξ₁, ξ₂, ξ₃, . . . , ξ_N). Dann ist die Zwischensumme S_f^C(Z,Ξ) =

N

X

i=1

f(ξ_i)d(C_i)

eine Approximation des Fl¨acheninhalts der (gekr¨ummten) Fl¨ache

”unter“ dem Gra- phen von f.

Beispiel 4.29.

Definition 4.30. Es sei C eine Kurve und f : C → R eine Funktion. Wenn f¨ur jede Folge von Zerlegungen (Z_k)k∈N von C mit limk→∞d(Z_k) = 0 und beliebig gew¨ahlte Zwischenpunkte Ξ_k der Grenzwert

k→∞lim S_f^C(Z_k,Ξ_k) = g ∈R

existiert und eindeutig ist, so heißt g Kurvenintegral 1. Art von f ¨uber C und wird mit g =

Z

C

f ds bezeichnet.

Satz 4.31. Ist C eine Kurve und f stetig auf C, so existiert das Kurvenintegral 1. Art von f ¨uber C.

Satz 4.32. Es sei C eine glatte Kurve im Rⁿ mit der Parameterdarstellung γ : [a, b]→Rⁿ, γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t), . . . , γ_n(t))

und f : C → R eine stetige Funktion. Dann l¨asst sich das Kurvenintegral 1. Art wie folgt berechnen,

Z

C

f ds= Z b

a

f(γ(t))· kγ⁰(t)kdt

= Z b

a

f(γ₁(t), γ₂(t), . . . , γ_n(t))·p

(γ₁⁰(t))²+ (γ₂⁰(t))²+· · ·+ (γ_n⁰(t))²dt.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) Beispiel 4.33.

Bemerkung 4.34. (i) F¨ur die konstante Funktion f :C →R, mit f(x) = 1 f¨ur alle x∈C liefert das Kurvenintegrall 1. Art die L¨ange der Kurve C:

d(C) = Z

C

1ds.

(ii) Das Kurvenintegral 1. Art h¨angt nicht von der Richtung ab, in der die Kurve durchlaufen wird.

(iii) Das Kurvenintegral 1. Art h¨angt nicht von der Parametrisierung der Kurve ab.

Beispiel 4.35.

Satz 4.36. Es sei C ⊂ Rⁿ eine Kurve und f : C → R sei stetig. Außerdem sei C unterteilt in zwei disjunkte (d.h. sich nicht ¨uberschneidende) Kurvenst¨ucke C , C ⊂C.

4.6 Kurvenintegral 2. Art

4.6 Kurvenintegral 2. Art

Definition 4.37. (vgl. Definitionen 4.8 und 4.28) Es sei C ⊂Rⁿ eine gerichtete Kurve vom Punkt A ∈ Rⁿ zum Punkt B ∈ Rⁿ und g : C → Rⁿ ein Vektorfeld. Außerdem sei Z = {C₁, C₂, . . . , C_N} eine Zerlegung der Kurve C mit den Zwischenpunkten Ξ = (ξ₁, ξ₂, ξ₃, . . . , ξ_N), und die Kurvenst¨uckeC_i laufen jeweils von Pi−1 ∈Rⁿ nachP_i ∈Rⁿ. Dann ist die Zwischensumme

S_g^C(Z,Ξ) =

N

X

i=1

g(ξ_i)·(P_i−Pi−1)

eine Approximation der Arbeit die n¨otig ist um sich auf der KurveCdurch ein Kraftfeldg zu bewegen.

Beispiel 4.38.

Definition 4.39. Es sei C eine gerichtete Kurve und g : C → Rⁿ ein Vektorfeld.

Wenn f¨ur jede Folge von Zerlegungen (Z_k)k∈Nvon C mit limk→∞d(Z_k) = 0 und beliebig gew¨ahlte Zwischenpunkte Ξ_k der Grenzwert

k→∞lim S_g^C(Z_k,Ξ_k) = α∈R

existiert und eindeutig ist, so heißt α Kurvenintegral 2. Art von g ¨uber C und wird mit α =

Z

C

g·dx bezeichnet.

Satz 4.40. Ist C eine Kurve und g : C →Rⁿ stetig, so existiert das Kurvenintegral 2.

Art von g ¨uber C.

Satz 4.41. Es sei C eine glatte, gerichtete Kurve im Rⁿ mit der Parameterdarstellung γ : [a, b]→Rⁿ, γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t), . . . , γ_n(t))

und g :C →Rⁿ ein stetiges Vektorfeld mit den Komponentenfunktionen g(x) = (g₁(x), g₂(x), . . . , g_n(x)).

Dann l¨asst sich das Kurvenintegral 2. Art wie folgt berechnen, Z

C

g·dx= Z b

a

g(γ(t))·γ⁰(t)dt= Z b

a

g₁(γ(t))γ₁⁰(t) +g₂(γ(t))γ₂⁰(t) +. . . g_n(γ(t))γ_n⁰(t)dt.

4 Integralrechnung in einer Dimension (Integralrechnung I) Beispiel 4.42.

Bemerkung 4.43. (i) Im Gegensatz zum Kurvenintegral 1. Art h¨angt das Integral 2. Art von der Richtung ab, in der Kurve durchlaufen wird. Daher ist im Zusam- menhang mit Arbeitsintegralen vongerichteten Kurven die Rede.

(ii) Das Kurvenintegral 2. Art h¨angt nicht von der Parametrisierung der Kurve ab.

Beispiel 4.44.

Satz 4.45. Es sei C ⊂ Rⁿ eine gerichtete Kurve und g : C → Rⁿ sei ein stetiges Vektorfeld. Außerdem sei D die in umgekehrter Richtung durchlaufene KurveC, und C sei unterteilt in zwei disjunkte Kurvenst¨ucke C₁, C₂ ⊂C. Dann gilt:

Z

C

g·dx= Z

C1

g·dx+ Z

C2

g ·dx,

Z

D

g·dx=− Z

C

g·dx.

Beispiel 4.46.

4.6 Kurvenintegral 2. Art Satz 4.47. Es sei g : C → Rⁿ ein exaktes Vektorfeld, d.h., die totale Ableitung einer Funktion f. Dann ist das Kurvenintegral 2. Art wegunabh¨angig, d.h. f¨ur beliebige Kurven C, D ∈Rⁿ mit dem Anfangspunkt A∈Rⁿ und dem Endpunkt B ∈Rⁿ ist

Z

C

g·dx = Z

D

g·dx.

Ist das Potential f :Rⁿ →R von g bekannt, so l¨asst sich das Kurvenintegral 2. Art wie folgt berechnen,

Z

C

g·dx=f(B)−f(A).

Beispiel 4.48.

Satz 4.49. Es sei g : C → Rⁿ ein exaktes Vektorfeld und C ⊂ Rⁿ eine geschlossene Kurve. Dann ist

Z

C

g·dx= 0.

Beweis.

5 Elementare Funktionen

5.1 Exponential- und Logarithmusfunktion

F¨ur eine nat¨urliche Zahl k ∈N und eine reelle Zahl a ∈R ist die Potenz a^k =

k

Y

k=1

a =a·a·a· · ·a definiert und es ist

a¹ =a und ∀k, n∈N: a^k+n=a^k·aⁿ.

Das Ziel ist es, die Potenzbildung fortzusetzen und f¨ur x ∈ R den Wert a^x zu definie- ren. Wir leiten dazu zun¨achst die Exponentialfunktion exp : R → R,exp(x) = e^x her.

Angenommen, f :R→R ist eine differenzierbare Funktion mit f(1) =a¹ =a und f(x+y) = f(x)·f(y).

Dann gilt f¨ur die Ableitung von f:

f⁰(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h = lim

h→0

f(x)·f(h)−f(x)

h =f(x)·lim

h→0

f(h)−1

h .

Angenommen, es gilt außerdem f⁰(x) = f(x). Dann muss limh→0 f(h)−1

h = 1 gelten.

Bedenkt man ferner, dass die Bedingung f(x+y) = f(x)f(y) impliziert, dass f(¹_n) = pn

f(1), so bekommt man insbesondere f¨ur die Nullfolge _n¹

n∈N, dass

n→∞lim f ¹_n

−1

1 n

= lim

n→∞n(pⁿ

f(1)−1) = 1.

Aufl¨osen nach f(1) liefert, wenn man sich an Satz 1.24 erinnert, dass f(1) = lim

n→∞

1 + 1

n n

=e.

Definition 5.1. F¨urx∈R ist e^x = exp(x) = limn→∞ 1 + ^x_nn

die Exponentialfuntion.

5 Elementare Funktionen

Satz 5.2. F¨ur x, y ∈R gelten die folgenden Rechenregeln:

(i) e^x·e^y =e^x+y, (ii) e^−x = _e¹x, (iii) e^x >0,

(iv) ist x < y, so ist auch e^x < e^y, d.h., exp ist streng monoton wachsend.

Beweis.

Satz 5.3. Ist M ⊂ R ein Intervall und f :M →R streng monoton (vgl. Def. 4.11), so besitzt f eine Umkehrfunktion, d.h., es gibt eine Funktion f⁻¹ :f(M)→R so dass

∀y∈f(M) : (f ◦f⁻¹)(y) = y, und ∀x∈M : (f⁻¹◦f)(x) = x.

Definition 5.4. Nach Satz 5.2 (iv) ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend und nach Satz 5.3 besitzt sie eine Umkehrfunktion. Diese heißtnat¨urlicher Logarithmus und wird mit

exp⁻¹(x) = ln(x)

bezeichnet. Der nat¨urliche Logarithmus bildet das Intervall (0,∞) auf R ab.

Satz 5.5. F¨ur x, y ∈(0,∞) gelten die folgenden Rechenregeln:

(i) ln(x·y) = ln(x) + ln(y), (ii) ln(¹_x) =−ln(x),

(iii) ist x < y, so ist auch ln(x)<ln(y).

5.2 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Bemerkung 5.7. Aus Satz 5.2 folgen direkt die Rechenregeln (i) a^x·a^y =e^x·ln(a)·e^y·ln(a) =e(x+y) ln(a) =a^x+y

(ii) a^−x =e^−x·ln(a) =e^{−(x·ln(a))} = _ex·ln(a)¹ = _a¹x

(iii) a^x=e^x·ln(a) >0

(iv) F¨ur a = 1 ist die Funktion f(x) = a^x konstant, f¨ur a > 1 ist f(x) = a^x streng monoton wachsend, f¨ura <1 ist f(x) =a^x streng monoton fallend.

Definition 5.8. F¨ura6= 1 besitzt f(x) =a^x nach Bemerkung 5.7(iv) und Satz 5.3 eine Umkehrfunktion. Diese wird mit

log_a: (0,∞)→R bezeichnet.

5.2 Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Definition 5.9 (Hyperbolische Funktionen). Die hyperbolischen Funktionen Sinus Hy- perbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus sind auf R definiert durch

sinh(x) = e^x−e^−x

2 , cosh(x) = e^x+e^−x

2 ,

tanh(x) = sinh(x)

cosh(x), coth(x) = cosh(x) sinh(x).

Bemerkung 5.10 (Hyperbel). Eine Hyperbel ist ein Kurvenpaar der Form H ={(x, y)∈Rⁿ|x²−y² = 1}.

Diese Kurven k¨onnen mit Hilfe der hyperbolischen Funktionen parametrisiert werden, d.h.

H ={(cosh(t),sinh(t)|t∈R} ∪ {(−cosh(t),sinh(t)|t ∈R}.

5 Elementare Funktionen

Bemerkung 5.11. Die Ableitungen der hyperbolischen Funktionen sind sinh⁰(x) =e^x−(−1)·e^−x

2 = e^x+e^−x

2 = cosh(x), cosh⁰(x) =e^x+ (−1)·e^−x

2 = e^x−e^−x

2 = sinh(x), tanh⁰(x) =cosh²(x)−sinh²(x)

cosh²(x) = 1 cosh²(x) coth⁰(x) =sinh²(x)−cosh²(x)

sinh²(x) =− 1 sinh²(x)

Bemerkung 5.12. sin, cos, tan, cot, sinh, cosh,tanh,coth k¨onnen auf ihre Monotonie- bereiche eingeschr¨ankt werden, und besitzen dann eine Umkehrfunktion. Z.B.

sin

[^−π₂ ,^π₂], arcsin : [−1,1]→[−π 2 ,π

2] cos

[0,π], arccos : [−1,1]→[0, π]

tan

(^−π₂ ,^π₂), arctan :R→ −π

2 ,π 2

cot

_(0,π), arccot :R→(0, π)

Satz 5.13. Es sei f : [a, b] → R differenzierbar und besitze eine Umkehrfunktion f⁻¹, und es gelte f¨ur einx∈f([a, b]), dassf⁰(f⁻¹(x))6= 0. Dann ist f⁻¹ in xdifferenzierbar, und es gilt:

f⁻¹0

(x) = 1

f⁰(f⁻¹(x)). Beweis.

Satz 5.14. Durch Ableiten verifiziert man die folgenden Stammfunktionen Z 1

√1−x²dx= arcsin(x) +C oder

Z 1

√1−x²dx =−arccos(x) +C Z 1

1 +x²dx= arctan(x) +C oder

Z 1

1 +x²dx =−arccot(x) +C Z 1

√x²−1dx= arcosh(x) +C

6 Komplexe Zahlen

6.1 Arithmetische Darstellung und grundlegende Rechenoperationen

Definition 6.1. Wir definieren die imagin¨are Einheit i= √

−1, d.h. i² =−1, und die Menge der komplexen Zahlen C= {x+iy| x ∈R, y ∈R}. F¨urw =x+iy ∈ C nennt man x= Re(w) denRealteil von w und y= Im(w)∈Rden Imagin¨arteil von w.

Komplexe Zahlen kann man auch als Tupel w = (x, y) ∈ R² verstehen, und sie in der komplexen Zahlenebene darstellen. R kann man als Teilmenge von C auffassen:

R={w∈C|Im(w) = 0}.

Definition 6.2. Auf C kann man die Rechenoperationen + und · wie folgt definieren:

F¨urw, z ∈C, w =a+ib, z =c+id ist

w+z =a+ib+c+id=a+c+i·(b+d),

w·z = (a+ib)(c+id) =ac+ibc+aid+i²bd=ac−bd+i(bc+ad).

Beispiel 6.3.

Bemerkung 6.4. F¨urw∈C, w 6= 0 mitw=x+iy ist 1

w =w⁻¹ = x

x²+y² − y x² +y²i, denn damit gilt

w· 1

w = (x+iy) x

x²+y² − y x²+y²i

= 1

x²+y² x²+y²+yx−xy

= 1.

6 Komplexe Zahlen Beispiel 6.5.

Definition 6.6. F¨ur w∈C, w=x+iy ist (i) |w|=p

x²+y² der Betrag von w (|w| ∈R⁺), (ii) w=x−iy die zu w komplex konjugierte Zahl.

Satz 6.7. F¨ur komplexe Zahlenw, z ∈C gilt:

(i) w∈R⊂C⇔Im(w) = 0⇔w=w, (ii) w+w= 2 Re(w),

(iii) |w|=√

w·w bzw. w·w= Re(w)²+ Im(w)², (iv) z+w=z+w,

(v) z·w=z·w.

Beweis.

6.2 Polarkoordinaten

Definition 6.8. Jede komplexe Zahl w∈Ckann man darstellen als w=r·(cosα+isinα).

Die Zahlenr ∈[0,∞[ und α∈[0,2π[ heißenPolarkoordinaten von w.

6.2 Polarkoordinaten Beispiel 6.9.

Satz 6.10 (Koordinatentransformation). F¨ur w ∈C, x, y ∈R, r ≥ 0, α∈ [0,2π) mit w=x+iy=r(cosα+isinα) gilt:

(i) x=rcos(α), y=rsin(α),

(ii) r =p

x²+y² =|w|, α=



















tan^{−1 y}_x

−π falls x, y <0, tan^{−1 y}_x

+π falls x <0, y ≥0, tan^{−1 y}_x

falls x >0,

π

2 falls x= 0, y >0,

−^π₂ falls x= 0, y <0.

Definiert man die Exponentialfunktion f¨ur komplexe Zahlen z ∈ C genauso wie in Definition 5.1 als e^z = limn→∞ 1 + _n^xn

, so erh¨alt man die folgende Identit¨at.

Satz 6.11 (Euler’sche Formel). F¨ur alle x∈R gilt:

e^ix = cosx+isinx.

Insbesondere gilt f¨ur x=π, dass e^iπ =−1 und f¨ur x= 2kπ, dass e^2kπi = 1.

Bemerkung 6.12. Wegen Satz 6.11 kann man eine komplexe Zahl w ∈ C auch als w=r·e^iα schreiben. F¨ur w, z∈C mit w=r·e^iα, z=s·e^iβ gilt:

w·z =r·e^iα·s·e^iβ =r·s·e^i(α+β).

Das heißt dass sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Betr¨age multi- plizieren und die Winkel addieren.

Beispiel 6.13.

6 Komplexe Zahlen

6.3 Potenzen und Wurzeln

Bemerkung 6.14. Aus Bemerkung 6.12 ergibt sich, dass f¨ur w∈ C, w= re^iα (r ≥ 0, α∈[0,2π[) und n∈N gilt

wⁿ=rⁿe^i(nα) =rⁿe^iαn.

In der arithmetischen Darstellung ist das Potenzieren etwas umst¨andlicher:

w=x+iy, wⁿ = (x+iy)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^ky^n−ki^n−k.

Beispiel 6.15.

Satz 6.16. Es seien a ∈C, a6= 0 und n∈N. Die Gleichung zⁿ =a

besitzt genau n L¨osungen, z₀, z₁, . . . , z_n−1, und zwar, f¨ur a=re^iα, k∈ {0, . . . , n−1}, zk= √ⁿ

r·eⁱ(^ϕ+k2π_n ). Beweis.

Beispiel 6.17.

7 Polynome und Potenzreihen

7.1 Polynome

Definition 7.1. Gegeben seien n ∈ N und komplexe oder reelle Zahlen a0, a1, . . . , an. Eine Funktion der Form

p(x) =a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀

heißtPolynom inx. Die Zahlen a0, . . . , an heißenKoeffizienten vonp. Fallsan 6= 0, so ist n der Grad vonp, man schreibtn = Grad(p), und pheißt Polynomn-ten Grades. Wenn a₀, . . . , a_n ∈ R, so kann p als Abbildung von R nach R aufgefasst werden, andernfalls, falls a0, . . . , an∈C, als Abbildung p:C→C.

Satz 7.2. Es sein ∈N,pein Polynom n-ten Grades undc∈Roderc∈Cmitp(c) = 0.

Dann existiert ein Polynom q(x) mit Grad < n und p(x) =q(x)(x−c).

Beispiel 7.3.

Bemerkung 7.4. Ist p(x) und c mit p(c) = 0 gegeben, so kann man g(x) durch Poly- nomdivision berechnen.

Beispiel 7.3 (Fortsetzung).

7 Polynome und Potenzreihen

Satz 7.5.Es seip(x)ein Polynomn-ten Grades mit reellen Koeffizientena₀, a₁, . . . , a_n ∈ R, und c∈C mitp(c) = 0. Dann ist auch p(c) = 0.

Beweis.

Satz 7.6. Es sei p(x) ein Polynom n-ten Grades mit der Nullstelle c∈C mit p(c) = 0 und dem Faktor q(x) (vgl. Satz 7.2), d.h. p(x) = q(x)(x−c). Außerdem sei c˜∈ C eine weitere Nullstelle von p, d.h. ˜c6=c und p(˜c) = 0. Dann ist q(˜c) = 0.

Beweis.

Definition 7.7. Es sei k ∈N undp(x) ein Polynom. c∈C heißt k-fache Nullstelle von p(x), wenn ein q(x) existiert mit p(x) = q(x)(x−c)^k und q(c)6= 0.

Satz 7.8. (i) Jedes Polynom p(x) n-ten Grades l¨asst sich in C in n lineare (affine) Faktoren zerlegen.

(ii) Jedes Polynom p(x) n-ten Grades mit reellen Koeffizienten l¨asst sich in R in (h¨ochstens n) lineare (affine) oder quadratische Faktoren zerlegen.

Beweis.

7.2 Reihen

7.2 Reihen

Definition 7.10. Es sei (a_k)k∈N⊂C eine Folge, und f¨ur alle n∈N sei s_n =

n

X

k=1

a_k =a₁+a₂+. . .+a_n. Die Folge (s_n)n∈N nennt man Reihe und man schreibt

(s_n)_n∈N=

∞

X

n=1

a_k. F¨urn ∈N heißts_n die n-te Partialsumme von P∞

n=1a_n. Definition 7.11. Eine ReiheP∞

k=1a_kheißtkonvergent, wenn der Grenzwerts= limn→∞s_n existiert. Man nennt dann s den Wert der Reihe und schreibt P∞

k=1a_n =s. Ansonsten nennt man P∞

k=1a_n divergent.

Beispiel 7.12.

Satz 7.13. (i) Konvergiert P∞

k=1a_k, so ist (a_k)_k∈N eine Nullfolge.

(ii) Ist (a_k)k∈N ⊂ R eine Folge mit a_k ≥ 0 f¨ur alle k ∈ N, so konvergiert die Reihe P∞

k=1a_k genau dann, wenn (s_n)n∈N= Pn k−1a_k

n∈N beschr¨ankt ist.

Beweis.

7 Polynome und Potenzreihen Definition 7.14. Die Reihe P∞

k=1a_k heißt absolut konvergent, falls P∞

k=1|a_k| konver- giert. Aus der absoluten Konvergenz einer ReiheP∞

k=1a_kfolgt die Konvergenz der Reihe.

Satz 7.15. Es sei (a_k)k∈N⊂C. (i) Wenn der Grenzwert limk→∞

|a_k+1|

|a_k| =g ∈R existiert, dann gilt:

k→∞lim

|ak+1|

|a_k| <1⇒

∞

X

k=1

a_k konvergiert absolut,

k→∞lim

|a_k+1|

|a_k| >1⇒

∞

X

k=1

a_k divergiert.

(Quotientenkriterium)

(ii) Wenn der Grenzwert limk→∞ ^k

p|a_k|=g ∈R existiert, dann gilt:

k→∞lim pk

|ak|<1⇒

∞

X

k=1

ak konvergiert absolut,

k→∞lim pk

|a_k|>1⇒

∞

X

k=1

a_k divergiert.

(Wurzelkriterium)

(iii) Wenn limk→∞ |a_k+1|

|a_k| existiert, dann existiert auch limk→∞ ^k

p|a_k| und die Grenz- werte sind gleich. Die Umkehrung gilt nicht.

Beispiel 7.16.

7.3 Potenzreihen

7.3 Potenzreihen

Definition 7.17. Es sei (ck)k∈N⊂C eine Folge und z0 ∈C. Eine Reihe der Form

∞

X

k=0

c_k(z−z₀)^k

heißt Potenzreihe in z₀. Die Konvergenz und der Wert der Reihe h¨angen von z ab.

Beispiel 7.18.

Satz 7.19. Es sei (c_k)k∈N ⊂C und z₀ ∈C. (i) F¨ur z =z₀ konvergiert die Potenzreihe P∞

k=0c_k(z−z₀)^k = 0 nat¨urlich.

(ii) Wenn P∞

k=0c_k(z−z₀)^k in einem Punkt z ∈C konvergiert, dann gilt entweder:

a) P∞

k=0ck(z−z0)^k konvergiert f¨ur alle z ∈C, oder b) es existiert ein R >0 so dass:

∀z ∈C mit |z−z₀|< R konvergiert X

c_k(z−z₀)^k, und

∀z ∈C mit |z−z₀|> R divergiert X

c_k(z−z₀)^k.

Die ZahlR aus (ii) b) heißt Konvergenzradius, vgl. Beispiel 7.18 (ii). Man schreibt außerdem

R=

(0, falls P

c_k(z−z₀)^k nur f¨ur z =z₀ konvergiert,

∞, falls P

c_k(z−z₀)^k f¨ur alle z ∈C konvergiert.

7 Polynome und Potenzreihen

Satz 7.20 (zur Berechnung des Konvergenzradius). Es sei (c_k)k∈N ⊂C, z₀ ∈ C und R der Konvergenzradius der Potenzreihe P

c_k(z −z₀)^k. Falls die jeweiligen Grenzwerte existieren, so ist

R =







0, falls lim_k→∞ ^|c_|c^k+1|

k| =∞,

∞, falls limk→∞

|c_k+1|

|c_k| = 0,

1

q, falls limk→∞ |c_k+1|

|c_k| =q∈R, q 6= 0, bzw.

R=







0, falls limk→∞ ^k

√c_k =∞,

∞, falls limk→∞ ^k

√c_k = 0,

1

w, falls limk→∞ ^k

√c_k =w∈R, w6= 0.

Beweis.

Beispiel 7.21.

Satz 7.22. Es seien(c_k)k∈N ⊂C, z₀ ∈C, Rder Konvergenzradius der ReiheP∞

k=0c_k(z−

z₀)^k, und B(z₀, R) = {z ∈C| |z−z₀|< R}. F¨ur die Funktion f :B(z₀, R)→C, f(z) =

∞

X

k=0

c_k(z−z₀)^k gilt:

(i) f ist stetig,

(ii) f ist differenzierbar und f⁰(z) = P∞

k=0kc_k(z−z₀)^{k−1 l=k−1}= P∞

l=0(l+1)c_k+1(z−z₀)^l, (iii) f ist integrierbar und

Z

f dx=

∞

X

k=0

1

k+ 1c_k(z−z₀)^k+1+C

8 Differentialrechnung II

8.1 Approximation von Funktionen mit Hilfe der Ableitung

Definition 8.1. Es sei n ∈N und f :R→R sein-mal stetig differenzierbar inx₀ ∈R. Das Polynom

T_nf(x;x₀) =

n

X

k=0

1

k!f^(k)(x₀)(x−x₀)^k

=f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀) + 1

2f⁰⁰(x₀)(x−x₀)²+. . .+ 1

n!f⁽ⁿ⁾(x₀)(x−x₀)ⁿ heißt Taylor–Polynom n–ten Grades von f in x₀.

Beispiel 8.2.

Mit Taylor–Polynomen kann man Funktionen approximieren. Der folgende Satz macht eine Aussage ¨uber die Qualit¨at der Approximation:

Satz 8.3 (Satz von Taylor). Es sei n∈N, x, x₀ ∈R, f :R→R sei (n+ 1)-mal stetig differenzierbar in einem Intervall I mit x, x0 ∈ I (z.B. I = [x0, x] oder I = [x, x0]).

Dann existiert ein ξ∈I, so dass

f(x) =T_nf(x;x₀) + 1

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−x₀)ⁿ⁺¹. Dabei heißt

R_nf(x;x₀) = 1

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−x₀)ⁿ⁺¹ das Restglied der Ordnung n von Lagrange.