1. (4 Punkte)Ein Monopolist betreibt Preisdiskriminierung dritten Grades. Die inverse Nachfragefunk- tion auf Markt 1 ist durchp1(x1) = 12−2x1 gegeben. Auf Markt 2 verlangt der Monopolist den Preis p2 = 6. Die konstanten Grenz- und St¨uckkosten des Monopolisten betragen 4.
ma) Die Preiselastizit¨at der Nachfrage ist auf beiden M¨arkten gleich hoch.
mb) Es gelten |x1,p1|>|x2,p2|und p1 > p2. mc) Es gelten|x1,p1|<|x2,p2|und p1 > p2. md) Es gelten |x1,p1|>|x2,p2|und p1 < p2. me) Es gelten|x1,p1|<|x2,p2|und p1 < p2.
mf) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: c)
Auf Markt 1 maximiert der Monopolist seinen Profit: Π1(x1) = (12−2x1−4)x1. Die Bedingung erster Ordnung ∂Π∂x1
1 = 8−4x1
= 0 liefert eine optimale Menge von! xM1 = 2. Der dazugeh¨orige Preis betr¨agt:
pM1 (xM1 ) = 12−2 ·2 = 8. Damit gilt: p1 = 8 > 6 = p2. Laut der inversen Elastizit¨atenregel ist die Preiselastizit¨at der Nachfrage auf dem Markt geringer ist, auf dem der h¨ohere Preis erhoben wird. Demnach gilt|x1,p1|<|x2,p2|. Die richtige Antwort ist alsoc).
2. (3 Punkte)Die inverse Nachfragefunktion eines Monopolisten ist durchp(X) = 10−12 ·X gegeben.
Der Staat beschließt, eine Mengensteuer von t zu erheben. Betrachten Sie folgende Grafik, in der A, B, C, D, E, F, G, H, I jeweils eine Fl¨ache angeben.
X p
M R(X) 10
7 6
6 8 10 20
p(X)
M C(X) M C(X) +t A
B C
D E F
G
H I
Die ¨Anderung der Produzentenrente aufgrund der Einf¨uhrung der Steuer betr¨agt ma) −(B+C)
mb) D+E+G+H mc) B+C+H
md) −F −I
me) B−E−G−H mf) B+C
mg) B−E−H mh) B−D
mi) B+C−F−I richtige L¨osung: e)
Durch die Einf¨uhrung der Steuer f¨allt die angebotene Menge von 8 auf 6. Der dazugeh¨orige Preis steigt von 6 auf 7. Vor der Einf¨uhrung der Steuer betr¨agt die ProduzentenrenteD+E+G+H. Nach Einf¨uhrung der Steuer betr¨agt dieseB+D. Damit ergibt sich eine ¨Anderung der Produzentenrente vonB−E−G−H.
Somit iste)richtig.
3. (3 Punkte) Betrachten Sie das folgende simultane Spiel.
Spieler 2
l r
Spieler 1 o (1,4) (4,5) u (2,7) (3,6)
ma) (4,5) ist ein Nash-Gleichgewicht.
mb) (o, l) ist ein Nash-Gleichgewicht.
mc) (u, r) ist ein Nash-Gleichgewicht.
md) (1,4) und (3,6) sind Nash-Gleichgewichte.
me) (2,7) und (4,5) sind Nash-Gleichgewichte.
mf) (o, l) und (u, r) sind Nash-Gleichgewichte.
mg) (o, r) und (u, l) sind Nash-Gleichgewichte.
mh) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: g)
(4,5) ist keine Strategie. Ebenso sind (1,4), (3,6) und (2,7) keine Strategien. Somit sind a),d)und e) falsch. (o, l) ist kein Nash-Gleichgewicht, weil 5>4 und 2>1. (u, r) ist kein Nash-Gleichgewicht, weil 7>6 und 4>3. Somit sind b),c)und f ) falsch. (o, r) ist ein Nash-Gleichgewicht, da 5>4 und 4>3. (u, l) ist ein Nash-Gleichgewicht, da 7>6 und 2>1. Somit ist g)richtig und h)falsch.
4. (4 Punkte) In einem Markt w¨ahlen Unternehmen 1 und Unternehmen 2 gleichzeitig ihre jeweili- gen Mengen x1, bzw. x2. Unterschiedliche durchschnittliche und marginale Kosten von c1 = 10 und c2 = 20 f¨uhren zu Cournot-Mengen xC1 = 15 und xC2 = 10. Die inverse Nachfragefunktion lautet p(X) = 90−2X, wobeiX=x1+x2.Die aggregierte Produzentenrente betr¨agt
ma) 0 mb) 100
mc) 250
md) 500 me) 625 mf) 650
mg) 725 mh) 750 mi) 1000 richtige L¨osung: f )
Auf dem Markt wird insgesamt eine Menge vonXC =xC1 +xC2 = 15 + 10 = 25 angeboten. Damit ergibt sich der gleichgewichtige Preis p(XC) = 90−2·25 = 40. Unternehmen 1 erzielt demnach einen Gewinn von ΠC1 = (p−c1)xC1 = (40−10)·15 = 450. Unternehmen 2 erzielt einen Gewinn von ΠC2 = (p−c2)xC2 = (40−20)·10 = 200. Beiden Unternehmen entstehen keine fixen Kosten. Die aggregierte Produzentenrente betr¨agt also 650 = 450 + 200. Somit ist f )die richtige Antwort.
5. (3 Punkte) Betrachten Sie das folgende simultane Spiel.
Spieler 2
l r
Spieler 1 o (5,3) (3,4) u (5,5) (2,6)
ma) (o, r) ist Pareto-optimal.
mb) (u, r) ist Pareto-optimal.
mc) (o, l) und (u, l) sind Pareto-optimal.
md) (o, l) und (u, r) sind Pareto-optimal.
richtige L¨osung: b)
(o, r) ist nicht Pareto-optimal, da sich beide Spieler besser stellen, wenn sie sich auf (u, l) einigen. Denn 5>3 und 5>4. Somit ist a) falsch. (u, r) ist Pareto-optimal, da jede andere Strategiekombination Spieler 2 schlechter stellen w¨urde (6 > 5 > 4 > 3). Somit ist b) richtig. c) und d) sind falsch, da (o, l) nicht Pareto-optimal ist. Eine Abweichung nach (u, l) stellt Spieler 2 besser, ohne Spieler 1 schlechter zu stellen.
6. (3 Punkte)Ein Monopolist betreibt Preisdiskriminierung ersten Grades auf einem Markt. Die Nach- fragefunktion lautet Y (p) = 234 − 14p. Die Kostenfunktion des Monopolisten betr¨agt C(Y) = Y2+ 5Y + 23. Welche Menge wird der Monopolist anbieten?
ma) YM = 0 mb) YM = 1 mc) YM = 1.8 md) YM = 3 me) YM = 3.8 mf) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: d)
Aufgrund der Preisdiskriminierung ersten Grades erf¨ullt der marginale Erl¨osM R(Y) =p(Y). Die inverse Nachfragefunktion lautet
Y(p) = 23 4 − 1
4p 4Y = 23−p
⇒p(Y) = 23−4Y.
Die gewinnmaximale Menge erhalten wir aus
p(Y)=! M C(Y) 23−4Y = 2Y + 5
18 = 6Y
⇒YM = 3.
7. (3 Punkte) Auf einem Markt gelte die MarktnachfragefunktionD(p) = 90−4pund die Marktange- botsfunktionS(p) = 30 + 2p. Es wird eine Mengensteuer vont= 3 eingef¨uhrt, die die Anbieter an den Staat abzutreten haben. Der gleichgewichtige (Brutto-) Preis aus Nachfragersicht nach Einf¨uhrung der Steuer lautet
ma) 9 mb) 9.5
mc) 10
md) 10.5 me) 11 mf) 11.5
mg) 12 mh) 20 mi) 24 richtige L¨osung: e)
Die Angebotsfunktion nach Einf¨uhrung der Steuer lautet
St(p) =S(p−3) = 30 + 2(p−3) = 30 + 2p−6 = 24 + 2p.
Im Marktgleichgewicht gilt
D(p) = 90−4p= 24 + 2p! =St(p) 66 = 6p
⇒p= 11.
8. (4 Punkte) Betrachten Sie zwei Parteien 1, 2, die sich auf einer Strecke [0,1] positionieren. Die Position von Partei i, i= 1,2, wird mitxi ∈[0,1] bezeichnet. W¨ahler der Masse 1 sind gleichverteilt auf der Strecke [0,34]. Jeder W¨ahler hat 2 Stimmen. Jeder W¨ahler vergibt zwei Stimmen an die Partei, die ihm am n¨achsten ist. Falls die Entfernung eines W¨ahlers zu beiden Parteien gleich ist, vergibt dieser jeweils eine Stimme an beide Parteien.
ma) Im Punkt (x1, x2) = (1/2,1/2) ist ein Gleichgewicht.
mb) Im Punkt (x1, x2) = (3/8,3/8) ist ein Gleichgewicht.
mc) Im Punkt (x1, x2) = (1/4,1/4) besteht f¨ur Partei 2 keinAnreiz von ihrer Position abzuweichen.
md) Im Punkt (x1, x2) = (1/3,1/3) besteht f¨ur Partei 1 keinAnreiz von ihrer Position abzuweichen.
me) Im Punkt (x1, x2) = (1/4,1/2) besteht f¨ur Partei 2 keinAnreiz von ihrer Position abzuweichen.
mf) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: b)
Im Punkt (x1, x2) = (1/2,1/2) erhalten beide Parteien die H¨alfte der Stimmen. Jedoch haben beide Parteien einen Anreiz nach links abzuweichen, da 2/3 der W¨ahler links und nur 1/3 der W¨ahler rechts von 1/2 positioniert sind. Somit ista) falsch.
In den Punkten (x1, x2) = (3/8,3/8), (x1, x2) = (1/4,1/4) und (x1, x2) = (1/3,1/3) erhalten beide Parteien ebenfalls die H¨alfte der Stimmen. Doch nur im Punkt (x1, x2) = (3/8,3/8) haben beide Parteien keinen Anreiz abzuweichen, da 50% der W¨ahler links und 50% der W¨ahler rechts von 3/8 positioniert sind.
Ein Abweichen nach links oder rechts w¨urde die Anzahl der erhaltenen Stimmen reduzieren. Deshalb istb) richtig. In den beiden anderen Punkten lohnt es sich jeweils nach rechts abzuweichen. Deshalb sind c)und d)falsch. Auch im Punkt (x1, x2) = (1/4,1/2) erhalten beiden Parteien je 50% der Stimmen, jedoch lohnt es sich f¨ur Partei 2, sich auf Partei 1 zuzubewegen. Deshalb ist e) falsch. Dab)richtig, ist auch f )falsch.
9. (4 Punkte) Auf einem Markt agieren zwei Unternehmen 1,2 im sequentiellen Mengenwettbewerb.
Unternehmen 1 ist Stackelberg-F¨uhrer. Die Gewinnfunktion von Unternehmen 1 lautet Π1(x1, x2) = (24−x1−x2)x1. Die Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 ist durch xR2(x1) = 12− 12x1 gegeben.
Die gleichgewichtige Menge von Unternehmen 1 betr¨agt
ma) 3 mb) 4 mc) 6 md) 8 me) 12 mf) 14
richtige L¨osung: e)
Da Unternehmen 1 die Reaktion von Unternehmen 2 antizipiert, w¨ahlt es seine gewinnmaximale Menge, so dass die reduzierte Gewinnfunktion
Πr1(x1) = Π1 x1, xR2(x1)
= 24−x1−xR2(x1) x1
=
24−x1−12 +1 2x1
x1
=
12−1 2x1
x1
maximiert wird. Die Bedingung erster Ordnung ∂Π∂xr1
1 = 12−x1 = 0 liefert! xS1 = 12. Somit ist Antwort e) richtig.
10. (1 Punkt)Betrachten Sie das in der Abbildung dargestellte Stackelberg-Spiel.
x2
x1 xR1(x2)
xR2(x1) C
S I
II III IV
V VI VII VIII
[VI] bezeichnet
ma) die Cournot-Menge von Unternehmen 1.
mb) die Stackelberg-Menge von Unternehmen 1.
mc) die Monopol-Menge von Unternehmen 1.
md) die Limit-Menge von Unternehmen 1.
me) das Stackelberg-Gleichgewicht.
mf) die Cournot-Menge von Unternehmen 2.
mg) die Stackelberg-Menge von Unternehmen 2.
mh) die Monopol-Menge von Unternehmen 2.
mi) die Limit-Menge von Unternehmen 2.
richtige L¨osung: c)
[I] bezeichnet die Limit-Menge von Unternehmen 2. [II] bezeichnet die Monopol-Menge von Unterneh- men 2. [III] bezeichnet die Cournot-Menge von Unternehmen 2. [IV] bezeichnet die Stackelberg-Menge von Unternehmen 2. [V] bezeichnet die Cournot-Menge von Unternehmen 1. [VI] bezeichnet die Monopol-Menge von Unternehmen 1. [VII] bezeichnet die Stackelberg-Menge von Unternehmen 1. [VIII] bezeichnet die Limit- Menge von Unternehmen 1. Somit ist Antwort c)richtig.
11. (2 Punkte) Anne betreibt eine Bergalm und Bert einen Skilift. Die Skifahrer, die den Lift nehmen, kommen bei der Abfahrt an Annes Alm vorbei.aist die Anzahl der G¨aste auf Annes Alm,bist die Zahl der Skiliftnutzer. Annes Gewinnfunktion ist durch ΠA(a, b) = a5− 14a+ 2ab, Berts Gewinnfunktion durch ΠB(a, b) =b2−2b+ab gegeben.
ma) Die externen Effekte sind einseitig und positiv.
mb) Die externen Effekte sind wechselseitig und positiv.
mc) Annes Unternehmen ¨ubt einen negativen externen Effekt auf Berts Unternehmen aus.
md) Berts Unternehmen ¨ubt einen negativen externen Effekt auf Annes Unternehmen aus.
me) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: b)
Die externen Effekte sind wechselseitig. Somit ist a) falsch. Berts Unternehmen ¨ubt einen positiven externen Effekt auf Annes Unternehmen aus. Also ist d) falsch. Annes Unternehmen ¨ubt einen positiven externen Effekt auf Berts Unternehmen aus: ∂ΠB∂a(a,b) = 1b >0. Somit istc)falsch und b)ist richtig. Dab) richtig ist, iste)falsch.
12. (4 Punkte)In unmittelbarer N¨ahe einer M¨ullverbrennungsanlageM, mit der Gewinnfunktion ΠM(x) = 12x−x2,
betreibt ein UnternehmenW, dessen Gewinnfunktion ΠW (x, y) = 10y−1
2y2−xy
lautet, eine Wohnanlage. Dabei stehtyf¨ur die Anzahl der vermieteten Wohnungen undxf¨ur die in der M¨ullverbrennungsanlage verbrannte Menge M¨ull. Im sozialen Optimum vermietet das Unternehmen W folgende Anzahl an Wohnungen
ma) 4 mb) 8 mc) 10 md) 12 me) 14 mf) 16
richtige L¨osung: b)
Im sozialen Optimum betr¨agt die Gewinnfunktion Π (x, y) = 12x−x2+ 10y− 12y2−xy. Die Maximie- rungsbedingungen lauten:
∂Π
∂x = 12−2x−y = 0,!
∂Π
∂y = 10−y−x= 0.!
Aufl¨osen der 2. Gleichung liefertx= 10−y. Einsetzen in die 1. Gleichung liefert 12−2(10−y) =y
12−20 + 2y=y
⇒y∗ = 8.
Somit istb)richtig.
13. (3 Punkte) Drei Personen leben gemeinsam in einer WG. Alle drei erfreuen sich am Anblick von Pflanzen im gemeinsam genutzten Wohnzimmer. Elisa und Kathi haben jeweils eine maximale Zah- lungsbereitschaft von 3¿pro Wohnzimmerpflanze. Nicos maximale Zahlungsbereitschaft betr¨agt 21¿ pro Wohnzimmerpflanze. Die Kosten zur Anschaffung von x Wohnzimmerpflanzen belaufen sich auf C(x) =x2+ 7x+ 19.Wie groß ist die Pareto-optimale Anzahl an Wohnzimmerpflanzen?
ma) 0 mb) 9 mc) 10 md) 11 me) 12
mf) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: c)
Die aggregierte marginale Zahlungsbereitschaft der drei Personen f¨ur eine Wohnzimmerpflanze betr¨agt AM ZB(x) = 2·3 + 21 = 27. Da die Kosten konvex sind, finden wir die optimale Anzahl von 10 Wohnzim- merplanen ¨uber den Ansatz
AM ZB(x)=! M C(x) 27 = 2x+ 7 x∗ = 10.
Also ist c)die richtige Antwort.
14. (3 Punkte) Richards Nutzenfunktion ist gegeben durch U(x1, x2) = min(x21,4x22).
Sein Einkommen betr¨agtm= 68, die Preise p1= 6, p2 = 5. Das Haushaltsoptimum (x∗1, x∗2) lautet ma) 343,0
mb) √
68 6 ,0
mc) (3,10) md) (8,4)
me) (12,3) mf)
0,
√ 17 5
mg) 0,175 mh) (12,6) richtige L¨osung: d)
Die Pr¨aferenzen sind monoton, weil M U1 ≥ 0 undM U2 ≥ 0. Im Haushaltsoptimum muss folgendes Kon- sumverh¨altnis gelten:
x21 = 4x22 x1 = 2x2.
Fallsx1>2x2 gilt, kann sich der Haushalt bei gleichen Ausgaben besser stellen, indem er weniger von Gut 1 (M U1 = 0) und mehr von Gut 2 (M U2 = 8x2 ≥0) konsumiert. Fallsx1 <2x2 gilt, kann sich der Haushalt bei gleichen Ausgaben besser stellen, indem er mehr von Gut 1 (M U1 = 2x1 ≥0) und weniger von Gut 2 (M U2 = 0) konsumiert. Durch Einsetzen vonx1= 2x2 in die Budgetgleichung erhalten wir
m= 68 = 17x2 = 6·x1+ 5·x2=p1x1+p2x2
⇒x∗2= 68 17 = 4.
Wir erhalten x∗1 = 2x∗2 = 8 und damit das Haushaltsoptimum (x∗1, x∗2) = (8,4). Also istd)korrekt.
15. (3 Punkte)Betrachten Sie die NutzenfunktionU(x1, x2) =−√ x1−√
x2. Die Pr¨aferenzen sind ma) monoton und konvex.
mb) monoton und konkav.
mc) nicht monoton und konvex.
md) nicht monoton und konkav.
richtige L¨osung: d)
Die Pr¨aferenzen sind nicht monoton, weil M U1 =−2√1x
1 ≤0 und M U2 =−2√1x
2 ≤0. Die marginale Rate der Substitution betr¨agt M RS = M UM U1
2 = −2
√x2
−2√ x1 =
√x2
√x1. Da die Pr¨aferenzen nicht monoton sind, sinkt x2 entlang der Indifferenzkurve, wenn x1 steigt. Demnach nimmt die M RS mit steigendem x1 (und mit fallendem x2) ab. Jedes G¨uterb¨undel auf der Strecke zwischen zwei beliebigen indifferenten G¨uterb¨undeln A undB ist demnach schlechter alsA und B. Die Pr¨aferenzen sind also konkav. Also istd)korrekt.
16. (3 Punkte) Ein Haushalt hat die Nutzenfunktion U(x1, x2) = x2. Er verf¨ugt ¨uber ein Einkommen m. Die Preise sindp1 und p2. Wie lautet die Einkommens-Konsum-Kurve?
ma) x2(m) =pm
2
mb) x1(m) = mp
1
mc)
0,mp
2
md) m
p1,0
me) m
p1,mp
2
mf) x1(x2) = pm
2
mg) x2(x1) = 0 mh) x1(x2) = 0 richtige Antwort: h)
Da Gut 1 ein neutrales Gut ist und der Nutzen monoton steigend in x2 ist, konsumiert der Haushalt im Haushaltsoptimum ausschließlich Gut 2. Der optimale Konsum von Gut 1 ist immer null. Daher lautet die Einkommens-Konsum-Kurvex1(x2) = 0.
17. (2 Punkte)Gehen Sie davon aus, dass der optimale Konsum von Gut 2 durchx2(m, p1, p2) = 2p2m
1+p2
gegeben ist.
ma) Gut 2 ist nicht gew¨ohnlich.
mb) Gut 2 ist normal.
mc) Wenn Gut 1 teurer wird, konsumiert der Haushalt mehr von Gut 2.
md) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: b)
Gut 2 ist gew¨ohnlich, weil ∂x2(m,p∂p 1,p2)
2 = − 2m
(2p1+p2)2 ≤ 0. Demnach ist a) falsch. Gut 2 ist normal, weil
∂x2(m,p1,p2)
∂m = 2p2
1+p2 ≥0. Daher ist b) korrekt. Wenn Gut 1 teurer wird, konsumiert der Haushalt weniger von Gut 2, weil ∂x2(m,p∂p1,p2)
1 =− 4m
(2p1+p2)2 ≤0. Demnach istc) falsch.
18. (4 Punkte) Das Haushaltsoptimum eines Haushaltes ist gegeben durch x1(p1, p2, m) = 0, x2(p1, p2, m) = m
p2
.
Die Preise betragen zun¨achst p1 = 3, p2 = 5. Das Einkommen betr¨agt m = 30. Es droht eine Preis- erh¨ohung bei Gut 2 auf p2 = 6.
ma) Die kompensatorische Variation betr¨agt 0.
mb) Die kompensatorische Variation betr¨agt 2.
mc) Die kompensatorische Variation betr¨agt 4.
md) Die kompensatorische Variation betr¨agt 6.
me) Die ¨aquivalente Variation betr¨agt 0.
mf) Die ¨aquivalente Variation betr¨agt 2.
mg) Die ¨aquivalente Variation betr¨agt 4.
mh) Die ¨aquivalente Variation betr¨agt 6.
richtige L¨osung: d)
Im Haushaltsoptimum wird ausschließlich Gut 2 konsumiert, (x∗1, x∗2) =
0,pm
2
. Die kompensatorische Variation erhalten wir durch
x2(3,5,30)=! x2(3,6,30 +CV) 30
5 = 6= 5 +! CV
6 = 30 +CV 6
⇒CV = (6−5)·6 = 6.
Die ¨aquivalente Variation erhalten wir durch
x2(3,6,30)=! x2(3,5,30−EV) 30
6 = 5= 6! − EV
5 = 30−EV 5
⇒EV = (6−5)·5 = 5.
Daher ist d) richtig.
19. (3 Punkte) Welchen Wert hat das Sicherheits¨aquivalent der LotterieL=
1,4;14,34
, falls die vNM- Nutzenfunktion durchu(x) =x2 gegeben ist?
ma) 1 mb) 32
mc) 2 md) 52
me) 3 mf) 72
mg) 4 mh) 92
mi) 5 richtige L¨osung: f )
Der erwartete Nutzen der Lotterie betr¨agt Eu(L) = 1
4 ·12+3
4 ·44 = 1 4 +48
4 = 49 4 . Das Sicherheits¨aquivalent CE ist gegeben durch
u(CE) =Eu(L) CE2 = 49
4 CE= 7
2.
20. (2 Punkte) Betrachten Sie die Lotterie L =
95,105;12,12
und die in der Abbildung dargestellte vNM-Nutzenfunktion.
[V] bezeichnet
ma) CE(L) mb) E(L) mc) u(105) md) u(95) me) u(E(L))
mf) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: a)
Der erwartete Nutzen der Lotterie wird in der Abbildung mit III bezeichnet. Da der Nutzen des Sicher- heits¨aquivalents dem erwarteten Nutzen der Lotterie gleicht, bezeichnet V das Sicherheits¨aquivalent der Lotterie. Daher ista) richtig.
21. (2 Punkte)Betrachten Sie die Kostenfunktion C(y) = 2y2+ 5. Die Durchschnittskosten bei y = 5 Einheiten betragen
ma) 5 mb) 7 mc) 10 md) 12 me) 15 mf) 20
mg) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: g)
Die Durchschnittskostenfunktion ist durchAC(y) = C(y)y = 2y+5y gegeben. Wir erhaltenAC(5) = 2·5+55 = 11.Daher ist g) richtig.
22. (4 Punkte) Ein Unternehmen hat die Produktionsfunktion f(x1, x2) = x
1 2
1x2. Kurzfristig muss es vom ersten Faktor 16 Einheiten einsetzen. Die Faktorpreise betragenw1 = 3 und w2 = 12.Die kurz- fristigen Kosten bei einer Produktion vony= 10 betragen
ma) 12 mb) 26 mc) 30 md) 40 me) 48 mf) 60 mg) 64 mh) 78
richtige L¨osung: h)
Die kurzfristige Produktionsfunktion ist durch fS(x2) =f(16, x2) = 4x2 gegeben. Um 10 = 4x2 Einheiten zu produzieren, m¨ussen alsox2(10) = 52 Einheiten des zweiten Faktors eingesetzt werden. Die kurzfristigen Kosten bei einer Produktion von 10 Einheiten betragen also CS(10) = w1 ·16 +w2· 52 = 3·16 + 12· 52 = 48 + 30 = 78. Demnach ist h) richtig.
23. (3 Punkte)Es sei
C(y) =
(2y2+ 2y+ 12, y >0
0, y= 0,
die Kostenfunktion eines Unternehmens. Der Outputpreis betr¨agt p = 8. Das langfristige Angebot betr¨agt
ma) 0 mb) 1 mc) 2 md) 3 me) 4 mf) 5 richtige L¨osung: a)
Falls das Unternehmen eine Mengey >0 produziert, betr¨agt die gewinnmaximale Menge M C(y) = 4y+ 2=8 =! p
4y =6 y =3 2.
Die durchschnittlichen Kosten bei einer Produktion von y= 32 betragen jedoch AC(3
2) = 2·3
2 + 2 + 12·2
3 = 3 + 2 + 8 = 13> p.
Demnach erwirtschaftet das Unternehmen einen Gewinn Π(32) = (8 −13)32 = −152 < 0 = Π(0). Das langfristige Angebot des Unternehmens ist also 0. Demnach ist a) korrekt.
24. (2 Punkte) Die Grenzkostenfunktion f¨ur die Durchschnittskostenfunktionen AC(y) = 5y2 + 1 ist gegeben durch
ma) M C(y) = 5y+ 1 mb) M C(y) = 5y+1y
mc) M C(y) = 10y md) M C(y) = 10y+ 1
me) M C(y) = 5y2+ 1 mf) M C(y) = 5y2
mg) M C(y) = 15y2+ 1 mh) M C(y) = 15y2+ 3 richtige L¨osung: g)
Die Kostenfunktion ist durchC(y) =AC(y)·y= 5y3+y gegeben. Wir erhaltenM C(y) = 15y2+ 1.
25. (2 Punkte) Ein Unternehmen besitzt die Produktionsfunktion y =f(x1, x2) =x31·x22. Die Produktionselastizit¨at des ersten Produktionsfaktors betr¨agt:
ma) 23 mb) 32 mc) 1 md) 2 me) 3 mf) 6 mg) Keine der obigen Auswahlm¨oglichkeiten ist korrekt.
richtige L¨osung: e)
Die Produktionselastizit¨at des ersten Faktors betr¨agt εy,x1 = ∂y
∂x1 ·x1
y = 3x21x22 x1 x31x22 = 3.
26. (3 Punkte)In einer Tausch¨okonomie mit zwei G¨utern hat AkteurAdie NutzenfunktionUA xA1, xA2
= xA1xA2 und AkteurBdie NutzenfunktionUB xB1, xB2
= 2xB1+xB2. Die Anfangsausstattungen sind gege- ben durchωA= (40,10) beziehungsweiseωB = (10,40). Welche der folgenden G¨uterb¨undelkombinationen
xA1, xA2
, xB1, xB2
ist Pareto-optimal?
ma) ((40,10),(10,40)) mb) ((10,10),(40,40))
mc) ((40,20),(10,30)) md) ((20,10),(20,40))
me) ((10,20),(30,20)) mf) ((10,20),(40,30)) richtige L¨osung: f )
Die Pr¨aferenzen beider Akteure sind monoton, weil ∂U1∂x(xi1i,xi2) j
≥ 0 f¨ur alle i ∈ {A, B} und alle j ∈ {1,2}.
Die marginale Rate der Substitution des ersten Akteurs betr¨agt M RSA = xA2
xA1. Aufgrund von monotonen Pr¨aferenzen sinktx2entlang der Indifferenzkurve, wennx1steigt. Demnach nimmt dieM RSmit steigendem x1 (und mit fallendem x2) ab. Die Pr¨aferenzen von Akteur A sind also konvex. Die marginale Rate der Substitution des zweiten Akteurs ist M RSB = 21 = 2. Gut 1 und 2 sind f¨ur Akteur B also perfekte Substitute. Eine Pareto-optimale G¨uterb¨undelallokation muss in diesem Fall (i) M RSA =M RSB erf¨ullen und (ii) alle vorhandenen G¨uter auf beide Akteure aufteilen. Aus (i) erhalten wir
M RSA= xA2
xA1 = 2 =M RSB xA2 = 2xA1.
Demnach kommen nur die Allokationen e) und f ) in Frage. Allokatione) enth¨alt insgesamt xA1 +xB1 = 10 + 30 = 40<10 + 40 =wA1 +w1B
Einheiten des ersten Gutes. Demnach k¨onnten sich beide Akteure besser stellen, indem sie jeweils eine zus¨atzliche Einheit von Gut 1 konsumieren. Allokation e) ist also nicht Pareto-optimal. Allokation f ) ist Pareto-optimal, weil (i) und (ii) erf¨ullt sind.
27. (3 Punkte) Betrachten Sie eine beliebige Tausch¨okonomie mit zwei Agenten A und B und zwei G¨utern 1 und 2.
ma) Alle Pareto-optimalen Allokationen liegen in der Tauschlinse.
mb) Wenn f¨ur zwei Allokationenx= xA1, xA2
, xB1, xB2
undy= yA1, yA2
, yB1, y2B
giltUA xA1, xA2
>
UA y1A, yA2
, dann ist xeine Pareto-Verbesserung gegen¨uber y.
mc) Alle Pareto-Verbesserungen gegen¨uber der Anfangsausstattung liegen in der Tauschlinse.
md) Die Anfangsausstattung ist Pareto-optimal.
richtige L¨osung: c)
a) ist falsch, weil Pareto-optimale Allokationen unabh¨angig von der Anfangsausstattung sind. Eine Pareto-optimale Allokation kann demnach auch außerhalb der Tauschlinse liegen.b)ist falsch, weil sich der Nutzen von AkteurB bei Konsum des G¨uterb¨undels y1B, y2B
ebenso verringern k¨onnte.c) ist richtig. Die Tauschlinse ist die Schnittmenge der Bessermengen beider Akteure. Jede Parato-Verbesserung gegen¨uber der Anfangsausstattung muss also in der Tauschlinse liegen. Zu d)lassen sich leicht Gegenbeispiele finden.
d) ist also falsch.
