Grundbegriﬀe der Informatik Tutorium 1 - 11. Sitzung

(1)

Grundbegriffe der Informatik

Tutorium 1 - 11. Sitzung

Dennis Felsing

dennis.felsing@student.kit.edu

http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/

2011-01-17

(2)

Endliche Automaten Regul¨are Ausdr¨ucke Rechtslineare Grammatiken

Uberblick ¨

1 Endliche Automaten Wiederholung Endliche Akzeptoren

2 Regul¨are Ausdr¨ucke

3 Rechtslineare Grammatiken

(3)

Wiederholung

Wie ist ein Mealy-Automat definiert?

Als Tupel (Z,X,Y,f,g,z₀) mit:

Z Endliche Zustandsmenge X Eingabealphabet

Y Ausgabealphabet

f Zustands¨ubergangsfunktion (f :Z ×X →Z) g Ausgabefunktion (g :Z ×X →Y^∗)

z₀ Startzustand (z₀ ∈Z)

(4)

Wiederholung

Wie ist ein Mealy-Automat definiert? Als Tupel (Z,X,Y,f,g,z₀) mit:

Y Ausgabealphabet

(5)

Wiederholung

Z Endliche Zustandsmenge

X Eingabealphabet Y Ausgabealphabet

(6)

Wiederholung

Y Ausgabealphabet

(7)

Wiederholung

Y Ausgabealphabet

(8)

Wiederholung

Y Ausgabealphabet

f Zustands¨ubergangsfunktion (f :Z ×X →Z)

g Ausgabefunktion (g :Z ×X →Y^∗) z₀ Startzustand (z₀ ∈Z)

(9)

Wiederholung

Y Ausgabealphabet

(10)

Wiederholung

Y Ausgabealphabet

(11)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

f^∗(z₀,aabb) =

z₃

f^∗∗(z0,aabb) =z0z1z0z2z3

g^∗(z0,aabb) =b g^∗∗(z₀,aabb) =abb

(12)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

f^∗(z₀,aabb) =z₃

(13)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

f^∗(z₀,aabb) =z₃ f^∗∗(z0,aabb) =

z0z1z0z2z3

(14)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

(15)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

g^∗(z0,aabb) =

b g^∗∗(z₀,aabb) =abb

(16)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

g^∗(z0,aabb) =b

g^∗∗(z₀,aabb) =abb

(17)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

g^∗(z0,aabb) =b g^∗∗(z₀,aabb) =

abb

(18)

Wiederholung

z0

z1

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

(19)

Wiederholung

z0

z₁

z2

z3

a|a b|b a|ε

b|b

a|a

b|ε a|a

Erstelle einen Moore-Automat der sich so verh¨alt wie der gegebene Mealy-Automat.

(20)

Wiederholung

Erstelle einen Moore-Automat der sich so verh¨alt wie der gegebene Mealy-Automat.

z₀|ε

z₁|a

z₂|b z₃|b

a b a

b

a

b a

(21)

Endliche Akzeptoren

Definition

Ein endlicher Akzeptor ist ein Moore-Automat, der als Augabe nur 0 (schlecht) und 1 (gut) hat. Statth:Z →Y^∗ gibt man mit F ⊆Z die akzeptierenden (guten) Zust¨ande an.

Beispiel

z₀ a z₁ b z₂

b a

Welche Sprache akzeptiert der Automat?{a,b}^∗ab{a,b}^∗

(22)

Endliche Akzeptoren

Definition

Beispiel

z₀ a z₁ b z₂

b a

Welche Sprache akzeptiert der Automat?

{a,b}^∗ab{a,b}^∗

(23)

Endliche Akzeptoren

Definition

Beispiel

z₀ a z₁ b z₂

b a

Welche Sprache akzeptiert der Automat?{a,b}^∗ab{a,b}^∗

(24)

Entwurf

Aufgabe

Entwerfe einen Akzeptor mitX ={a,b}, der alle W¨orter akzeptiert, deren Anzahl ana durch 5 teilbar ist.

(25)

Entwurf

Aufgabe

Entwerfe einen Akzeptor mitX ={a,b}, der alle W¨orter akzeptiert, in denen nirgends hintereinander zweib vorkommen.

(26)

Uberblick ¨

1 Endliche Automaten

2 Regul¨are Ausdr¨ucke Definition

Klammereinsparungen Beschriebene Sprache

3 Rechtslineare Grammatiken

(27)

Definition

Regul¨are Ausdr¨ucke

Z ={|,(,),∅,∗} und ein Alphabet A mit A∩U ={}. Es gilt:

∅ ist ein regul¨arer Ausdruck

∀x ∈A:x ist ein regul¨arer Ausdruck

R₁ und R₂ sind RA ⇒ (R₁R₂) und (R₁ |R₂) sind RA R ist ein reg. Audruck⇒ (R∗) ist ein regulärer Ausdruck Nichts anderes sind reguläre Ausdrücke

(28)

Klammereinsparungen

Zur Lesbarkeit kann man unnötige Klammern bei der Darstellung weglassen. Was sind reguläre Ausdrücke über A={a,b}?

∅|b

= (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗Falsch bab∗= ((ba)(b∗))X a|(b∗caab) Falsch

(29)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

(30)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X (a|b)∗ ∗

= (((a|b)∗)∗) X

(31)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

(32)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗

Falsch bab∗= ((ba)(b∗))X a|(b∗caab) Falsch

(33)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗ Falsch

bab∗= ((ba)(b∗))X a|(b∗caab) Falsch

(34)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗ Falsch bab∗

= ((ba)(b∗))X a|(b∗caab) Falsch

(35)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗ Falsch bab∗= ((ba)(b∗)) X

a|(b∗caab) Falsch

(36)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗ Falsch bab∗= ((ba)(b∗)) X a|(b∗caab)

Falsch

(37)

Klammereinsparungen

∅|b = (∅|b) X

(a|b)∗ ∗ = (((a|b)∗)∗) X

∗(ab|b)∗ Falsch bab∗= ((ba)(b∗)) X a|(b∗caab) Falsch

(38)

Beschriebene Sprache

Von RA R beschriebene Sprache hRi h∅i={}

F¨urx ∈A:hxi={x}

F¨ur RAR1 und R2 gilt: hR₁ |R2i=hR₁i ∪ hR₂i F¨ur RAR1 und R2 gilt: hR₁R2i=hR₁i · hR₂i hR∗i=hRi^∗

(39)

Beispiele

R→ hRi

R = (a|b)∗,

hRi={a,b}^∗ R = (a∗b∗)∗,hRi={a,b}^∗

R = (a|b)∗aab(a|b)∗,hRi= Sprache der W¨orter mit Teilwort aab

R =a∗ ∗,hRi={a}^∗ hRi →R

SeiA={a,b}.

Sprache der W¨orter mit mindestends dreib: a∗ba∗ba∗b(a|b)∗

Sprache{ε} ∅∗

Sprache der W¨orter in denen nirgendsab vorkommt: b∗a∗

(40)

Beispiele

R→ hRi

R = (a|b)∗,hRi={a,b}^∗

R = (a∗b∗)∗,hRi={a,b}^∗

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(41)

Beispiele

R→ hRi

R = (a|b)∗,hRi={a,b}^∗ R = (a∗b∗)∗,

hRi={a,b}^∗

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(42)

Beispiele

R→ hRi

R = (a|b)∗,hRi={a,b}^∗ R = (a∗b∗)∗,hRi={a,b}^∗

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(43)

Beispiele

R→ hRi

R = (a|b)∗,hRi={a,b}^∗ R = (a∗b∗)∗,hRi={a,b}^∗ R = (a|b)∗aab(a|b)∗,

hRi= Sprache der W¨orter mit Teilwort aab

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(44)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(45)

Beispiele

R→ hRi

R =a∗ ∗,

hRi={a}^∗ hRi →R

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(46)

Beispiele

R→ hRi

R =a∗ ∗,hRi={a}^∗

hRi →R SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(47)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache der W¨orter mit mindestends drei b:

a∗ba∗ba∗b(a|b)∗ Sprache{ε} ∅∗

(48)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

a∗ba∗ba∗b(a|b)∗

Sprache{ε} ∅∗

(49)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache{ε}

∅∗

(50)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

(51)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

Sprache der W¨orter in denen nirgends ab vorkommt:

b∗a∗

(52)

Beispiele

R→ hRi

SeiA={a,b}.

Sprache{ε} ∅∗

Sprache der W¨orter in denen nirgends ab vorkommt:b∗a∗

(53)

Beispiele

Wenn für einen regulären Ausdruck R gilt: L = hRi, welcher reguläre Ausdruck erzeugt dann:

L^∗?

R∗ L⁺?R(R∗)

(54)

Beispiele

L^∗?R∗

L⁺?R(R∗)

(55)

Beispiele

L^∗?R∗

L⁺?

R(R∗)

(56)

Beispiele

L^∗?R∗

L⁺?R(R∗)

(57)

Uberblick ¨

1 Endliche Automaten

2 Regul¨are Ausdr¨ucke

3 Rechtslineare Grammatiken Definition

Umformungen

(58)

Definition

Rechtslineare Grammatik

Eine Rechtslineare GrammatikG ={N,T,S,P} ist eine kontextfreie Grammatik mit der Einschr¨ankung:

Alle Produktionen sind entweder von der FormX →w oder X →wY mitw ∈T^∗ und X,Y ∈N

Was bedeutet das? In jeder Produktion kommt maximal ein Nichtterminalsymbol auf der rechten Seite vor. Wenn, dann steht dieses ganz rechts.

(59)

Definition

Was bedeutet das?

In jeder Produktion kommt maximal ein Nichtterminalsymbol auf der rechten Seite vor. Wenn, dann steht dieses ganz rechts.

(60)

Definition

Was bedeutet das? In jeder Produktion kommt maximal ein Nichtterminalsymbol auf der rechten Seite vor. Wenn, dann steht dieses ganz rechts.

(61)

Toller Satz

F¨ur jede formale SpracheLsind die folgenden drei Aussagen

¨aquivalent:

1 L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden.

2 L kann durch einen regul¨aren Ausdruck beschrieben werden.

3 L kann von einer rechtslinearen Grammatik erzeugt werden.

(62)

Beispiel

Betrachte folgende GrammatikG = ({X,Y,Z},{a,b},X,P) mit P ={X →aX |bY |ε, Y →aX |bZ |ε, Z →aZ |bZ}

Was istL(G)?

{a,b}^∗\({a,b}^∗· {bb} · {a,b}^∗)

Konstruiere einen endlichen Akzeptor, derL(G) akzeptiert.

0 1 2

a b

b a

a,b Vereinfache die Grammatik. G = ({X,Y},{a,b},X,P) mit

P ={X →aX |bY |ε, Y →aX |ε}

Kann man die Grammatik noch weiter vereinfachen? G = ({X},{a,b},X,P) mitP ={X →aX |baX |b|ε}

(63)

Beispiel

Was istL(G)? {a,b}^∗\({a,b}^∗· {bb} · {a,b}^∗)

0 1 2

a b

b a

(64)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

(65)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

a,b

Vereinfache die Grammatik. G = ({X,Y},{a,b},X,P) mit

(66)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

a,b Vereinfache die Grammatik.

G = ({X,Y},{a,b},X,P) mit

(67)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

(68)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

Kann man die Grammatik noch weiter vereinfachen?

G = ({X},{a,b},X,P) mitP ={X →aX |baX |b|ε}

(69)

Beispiel

0 1 2

a b

b a

Kann man die Grammatik noch weiter vereinfachen?

G = ({X},{a,b},X,P) mitP ={X →aX |baX |b|ε}

(70)

Uberblick ¨

1 Endliche Automaten Wiederholung Endliche Akzeptoren

2 Regul¨are Ausdr¨ucke Definition

Klammereinsparungen Beschriebene Sprache

3 Rechtslineare Grammatiken Definition

Umformungen

(71)