mit Ziel/Transitions-Netzen
Dennis Chong1
Abstract: Die geeignete Darstellung von Zielen ist ein wichtiger Aspekt bei der Modellierung von Agentensystemen. Ziele stellen mentale Zustände eines Agenten dar und können sich zur Laufzeit ändern (dynamische Ziele). Sie sind deshalb als dynamische Elemente auf der Modellebene abzu- bilden. Für die Modellierung von Agentensystemen mit dynamischen Zielen wird in dieser Arbeit die Klasse der Ziel/Transitions-Netze vorgeschlagen. Der Ansatz beruht auf Prädikat/Transitions- Netzen, einer verbreiteten höheren Petri-Netz-Art.
1 Motivation
Um dem zunehmenden Trend von autonomen Software-Systemen mit verteilten Daten und Lösungen zu begegnen, hat sich in der Softwaretechnik das Agentenkonzept etabliert.
Agenten repräsentieren in sich geschlossene Software-Entitäten, die über einen längeren Zeitraum in einer Umgebung persistent sind und die Fähigkeit zu autonomen Aktionen und Reaktionen haben (vgl. [Woo02]). Das Verhalten eines Agenten ist dabei an seine Ziele gekoppelt. Ziele stellen mentale Zustände eines Agenten dar und beschreiben die Beschaffenheit der Umgebung, die er mit seinen Handlungen zu erreichen versucht. Sie können zur Laufzeit Änderungen unterliegen, weil Agenten in der Lage sind, auf Grundla- ge ihrer Erfahrungen selbstständig Ziele zu definieren, zu verwerfen und zu modifizieren (vgl. [KR91]). Dies kann geschehen, wenn ein Ziel erreicht wurde oder weil es aus ande- ren Gründen nicht mehr sinnvoll erscheint, es in der ursprünglichen Form beizubehalten.
In diesem Zusammenhang bedeutet Dynamik, dass Ziele einerseits das Verhalten des Sys- tems beeinflussen und anderseits vom Verhalten des Systems beeinflusst werden.
Ein verbreiteter Ansatz zur Modellierung von Agenten ist die Agent UML [BMO00]. Die Agent UML ist eine Weiterentwicklung der Unified Modeling Language (UML), um die besonderen Aspekte von Agenten zu berücksichtigen. Sie besitzt jedoch keine formale Semantik und kann nicht dazu verwendet werden, formale Aussagen über das Modell- Verhalten zu machen, weil die Systemabläufe nicht eindeutig festgelegt sind. Für die formale Spezifikation von Agenten kommen deshalb überwiegend modal- und temporal- logische Ansätze (implizit oder explizit) zum Einsatz. Beispiele sind das BDI-Modell nach Rao und Georgeff [RG95], die intentionale Theorie nach Cohen und Levesque [CL90] und die agentenorientierte Programmiersprache (AOP) nach Shoham [Sho93]. Im Gegensatz
1Institute of Artificial Intelligence Methods and Information Mining (AIM), Hochschule Bremerhaven, Fach- bereich 2 - Informatik, dchong@hs-bremerhaven.de
zur Agent UML besitzen diese Modelle aber keine graphische Repräsentation. Die Ver- fügbarkeit einer graphischen Repräsentation kann jedoch in der Praxis ein entscheiden- des Kriterium für ein Modell sein, wie der Erfolg der UML zeigt. Formale Ansätze zur Modellierung von Agenten, die gleichzeitig über eine graphische Repräsentation verfü- gen, basieren in der Regel auf Graphtransformationen oder Petri-Netzen. Beispiele sind [DHK01] und [HKHK+07] für Graphtransformationen und [XVIY03] und [MW97] für (höhere) Petri-Netze. In den entsprechenden Ansätzen ist es auf unterschiedliche Weise möglich, Ziele eines Agenten im Modell abzubilden. Die Dynamik von Zielen wird aller- dings nicht unterstützt. Aus diesem Grund soll in dieser Arbeit ein neuer, formaler Ansatz vorgeschlagen werden, der über eine graphische Repräsentation verfügt und gleichzeitig dynamische Ziele eines Agenten explizit berücksichtigen kann.
Höhere Petri-Netze besitzen zahlreiche Vorteile, weshalb sie in dieser Arbeit als Aus- gangspunkt ausgewählt wurden. Zu diesen Vorteilen zählen: die formale Syntax und Se- mantik, die graphische Repräsentation, die strukturierte und kompakte Darstellung, die Verbreitung in der Literatur, die Berücksichtigung von Nebenläufigkeit und Nichtdetermi- nismus und die Ausführbarkeit (Simulation) von Petri-Netzen. In den folgenden Abschnit- ten soll mit der Einführung von Ziel/Transitions-Netzen die Klasse der Prädikat/Transitions- Netze [Gen87] um die Fähigkeit zur Darstellung von dynamischen Zielen erweitert wer- den. Zu diesem Zweck wird der weitere Verlauf dieser Arbeit wie folgt gegliedert: In Abschnitt 2 werden die Grundideen von Ziel/Transitions-Netzen informell eingeführt. Die algebraischen Grundlagen werden in Abschnitt 3 behandelt. In Abschnitt 4 wird die Klas- se der Ziel/Transitions-Netze formal definiert. Abschnitt 5 diskutiert einige Aspekte zur Mächtigkeit und in Abschnitt 6 wird ein Beispiel für einen Agenten mit dynamischen Zie- len präsentiert. Den Abschluss dieser Arbeit bildet der Ausblick in Abschnitt 7.
2 Informelle Einführung
In Prädikat/Transitions-Netzen werden die Netz-Elemente mit algebraischen Ausdrücken beschriftet. Auf diese Weise kann die Zahl der notwendigen Stellen und Transitionen in ei- nem Netz begrenzt werden. Gleichzeitig existiert ein wichtiger Zusammenhang zwischen Prädikat/Transitions-Netzen und logischen Formeln. Die Stellen eines Netzes können als variable Prädikate interpretiert werden, so dass sich mit Prädikat/Transitions-Netzen prä- dikatenlogische Formeln repräsentieren lassen (vgl. [GL81]). Die Extension eines varia- blen Prädikates ist dabei eindeutig durch die Markierung der entsprechenden Stelle festge- legt. Das Prädikat ist bei einer Markierung genau dann erfüllt, wenn die Stelle eine Marke enthält, die die Argumente des Prädikates in Form eines Tupels enthält. Umgekehrt las- sen sich mit logischen Formeln, die variable Prädikate enthalten, auch Markierungen eines Netzes beschreiben. Die Idee besteht nun darin, den Zusammenhang von Stellen und Prä- dikaten bzw. Markierungen und Formeln auszunutzen, um Aussagen über Zustände des Modells als dynamische Elemente auf der Modell-Ebene abzubilden. Voraussetzung ist ein gesonderter Typ von Stellen, der nicht mit Tupeln, sondern mit Formeln markiert wird.
Abbildung 1 zeigt ein einfaches Beispiel für ein Ziel/Transitions-Netz, das die Verwen- dung von variablen Prädikaten verdeutlichen soll. In der Anfangsmarkierung sei die Stelle
A mit dem Tupel(0)markiert. Mit dem Schalten der Transition t1wird die entsprechende Marke entfernt und eine neue Marke auf A erzeugt. Das hier dargestellte Netz setzt keine Bindung der Variablen im Nachbereich einer Transition durch den Vorbereich voraus, so dass beim Schalten von t1die Variable y mit einer beliebigen natürlichen Zahl belegt wer- den kann. Die durch einen doppelten Rand hervorgehobene Stelle Z kann mit Formeln, d.h. mit Zielen, markiert werden. Für diese Stelle sei die Anfangsmarkierung durch die Formel A(1)gegeben, d.h. das Ziel besteht zunächst darin, das Tupel(1)auf der Stelle A zu erzeugen. A stellt dabei ein variables Prädikat dar, das mit der Stelle A assoziiert wird.
Die Transition t1ist durch eine Schleife mit der Stelle Z verbunden, die mit der Variable F gewichtet ist. Über die Variable F, die mit beliebigen Formeln belegt werden kann, erhält t1Zugriff auf das aktuelle Ziel und verwendet es gleichzeitig im Wächter als Negation.
Auf diese Weise kann t1nur dann aktiviert werden, wenn das aktuelle Ziel nicht erfüllt ist, d.h. wenn eine entsprechende Marke nicht auf A vorhanden ist. Tritt durch fortlaufendes Schalten schließlich der Fall ein, dass auf A tatsächlich die auf Z geforderte Marke vor- handen ist, bleibt t1inaktiv. Stattdessen ist in diesem Fall die Transition t2aktiviert, weil nur dann das variable Prädikat A(z)erfüllt ist und die Formel im Wächter von t2gilt. Die Aktivierung von t1und t2hängt also von der Beschaffenheit der Markierung von A ab, ob- wohl keine direkte Verbindung zwischen t2und A existiert. Schaltet t2, wird das aktuelle Ziel von Z entfernt und ein neues Ziel (der Nachfolger von z) erzeugt. Daraufhin kann t1
wieder fortlaufend schalten, bis die gewünschte Marke auf A vorliegt.
Abb. 1: Ein Ziel/Transitions-Netz mit einer gesonderten Stelle Z für dynamische Ziele.
Die Verwendung von variablen Prädikaten in Ziel/Transitions-Netzen wirkt sich auch auf die Ausdrucksmöglichkeit aus. Ein häufiges Problem bei der Modellierung mit Petri- Netzen ist der Wunsch, die Aktiviertheit einer Transition mit einem so genannten Nulltest zu koppeln. Dabei soll eine Transition nur dann schalten können, wenn eine oder meh- rere gegebene Stellen sauber sind, d.h. keine Marken enthalten. In beschränkten Netzen kann ein solcher Nulltest durch die Einführung von Komplementstellen erfolgen (siehe z.B.
[PW03]), aber für unbeschränkte Netze ist dies im Allgemeinen nicht möglich. In Ziel/- Transitions-Netzen kann ein solcher Nulltest sehr einfach formuliert werden. Abbildung 2 zeigt zwei Beispiele.
Die Beispiele zeigen, wie sich Systemzustände in Ziel/Transitions-Netzen mit Formeln be- schreiben lassen und wie entsprechende Formeln auf der Modell-Ebene mit dem Modell- Verhalten gekoppelt werden können. Die Formel-Marken können dabei wie gewöhnliche
Marken im Netz konsumiert und produziert werden. Im Folgenden sollen diese Ideen for- mal definiert werden.
Abb. 2: Oben: Ein Ziel/Transitions-Netz mit einem Nulltest für das 0-stellige Prädikat A. Unten:
Nulltest eines 1-stelligen Prädikates. Die Kanten sind für den Nulltest nicht relevant.
3 Algebraische Grundlagen
In diesem Abschnitt werden die algebraischen Grundlagen, die für eine formale Definition von Ziel/Transitions-Netzen notwendig sind, eingeführt.
N={0,1,2,...}bezeichne die Menge der natürlichen Zahlen undB={ ,⊥}die Men- ge der Wahrheitswerte. Mit R+sei die transitive Hülle und mit R∗die reflexiv-transitive Hülle einer (zweistelligen) Relation R : A×B bezeichnet. Ein Wort a1...anbzw. ein Tupel (a1,...,an)über A ist eine endliche geordnete Folge von Elementen aus A, so dass ai∈A für alle i∈ {1..n}.εbezeichne das leere Wort, A∗bezeichne die Menge aller Wörter über A und A+=A\{ε}die Menge aller Wörter über A ohne das leere Wort. Für eine beliebige Menge I bezeichne(Ai)i∈Ieine Familie von Mengen, so dass Aifür alle i∈I eine Menge ist und Ai∩Aj=/0 für alle i,j∈I mit i= j. Für eine Familie A= (Ai)i∈I bezeichne A ebenso die Vereinigung i∈IAi.
Signaturen und Strukturen
In Ziel/Transitions-Netzen werden die Netz-Elemente mit algebraischen Ausdrücken be- schriftet. Aus diesem Grund müssen zunächst die notwendigen Begriffe wie Signatur und Struktur formal eingeführt werden, bevor die entsprechenden syntaktischen und semanti- schen Konzepte definiert werden können:
Eine SignaturΣ= (S,Ω,Π)besteht aus einer endlichen Menge S von Sorten, einer Fami- lieΩ= (Ωw)w∈S+ von Operationssymbolen und einer FamilieΠ= (Πw)w∈S∗ von Prä- dikatensymbolen. Eine Σ-Struktur AΣ für eine Signatur Σ besteht aus einer Menge As
für jede Sorte s∈S, deren Elemente Individuen genannt werden, einer Funktion fω : As1×...×Asn →Asn+1für jedes Operationssymbolω∈Ωs1...snsn+1 und einer Relation rπ: As1×...×Asn für jedes Prädikatensymbolπ∈Πs1...sn. Ein Operationssymbolω∈Ωsmit s∈S heißt Konstantensymbol der Sorte s, die entsprechende Funktion fω: Asheißt Kon- stante.
Die Signatur ist syntaktischer Natur und legt Bezeichner für Sorten, Operationen und Prä- dikate fest. Auf ihr können Ausdrücke wie Terme und Formeln erklärt werden. Die Struk- tur ist semantischer Natur und assoziiert die Bezeichner in der Signatur mit konkreten
Mengen, Funktionen und Relationen. Auf diese Weise können die entsprechenden Aus- drücke eindeutig ausgewertet werden. Aus Gründen der Flexibilität werden bei der Model- lierung mit Ziel/Transitions-Netzen grundsätzlich mehrsortige Signaturen bzw. Strukturen berücksichtigt.
Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass für jedes Individuum a∈As einer Sorte s∈S genau ein Konstantensymbolω ∈Ωs mit fω=a existiert, d.h. jedes Indivi- duum kann syntaktisch durch genau ein Konstantensymbol der Signatur und semantisch durch genau eine Konstante der Struktur repräsentiert werden. Darüber hinaus wird für die Beispiele von Ziel/Transitions-Netzen in dieser Arbeit die Signatur und Struktur der natürlichen Zahlen mit den gängigen Operationen vorausgesetzt.
Terme und Formeln
Die syntaktischen Regeln zur Bildung von Ausdrücken in Ziel/Transitions-Netzen sind durch Terme und Formeln gegeben:
SeiΣ= (S,Ω,Π)eine Signatur. Dann ist X= (Xw)w∈Seine Familie von Variablen fürΣ mit einer Variablenmenge Xsfür jede Sorte s∈S.
1. Die Menge der Terme einer Sorte s∈S ist wie folgt gegeben:
(a) Jede Variable x∈Xsist ein Term der Sorte s.
(b) Wennω ∈Ωs1...snsein Operationssymbol ist und tifür alle i∈ {1..n}ein Term der Sorte siist, dann istω(t1,...,tn)ein Term der Sorte s.
2. Die Menge der Formeln ist wie folgt gegeben:
(a) Wenn t1und t2Terme sind, dann ist(t1=t2)eine Formel.
(b) Wennπ∈Πs1...snein Prädikatensymbol ist und tifür alle i∈ {1..n}ein Term der Sorte siist, dann istπ(t1,...,tn)eine Formel.
(c) Wenn F1und F2Formeln sind und x∈X eine Variable ist, dann sind auch(¬F1), (F1∧F2),(F1∨F2),(F1→F2),(F1↔F2),(∃x : F1)und(∀x : F1)Formeln.
Ein Vorkommen einer Variablen x in einer Formel F heißt genau dann frei, wenn x in keiner Teilformel von F der Form∀x : G oder∃x : G vorkommt. Jedes Vorkommen einer Variablen x in einem Term t heißt frei. Ein Ausdruck (Term oder Formel) heißt geschlossen, wenn keine freien Variablen darin vorkommen, sonst offen.
Es ist möglich, auf Klammern in Ausdrücken zu verzichten, wo sie nicht unbedingt not- wendig sind. Darüber hinaus ist neben der Präfix-Notation auch die Infix-Notation zuläs- sig, wenn sie die Lesbarkeit untersützt, z.B. in mathematischen Ausdrücken.
Auswertung und Vereinfachung
Die Interpretation eines Ausdrucks hängt von der gewählten Struktur ab und ist im Fol- genden nur für geschlossene Ausdrücke erklärt. Die freien Variablen in offenen Termen und Formeln müssen somit zunächst geeignet substituiert werden, bevor die Ausdrücke ausgewertet werden können:
SeiΣeine Signatur und X= (Xw)w∈Seine Familie von Variablen fürΣ. Eine Abbildung α = (x1→c1,...,xn→cn), die Variablen xi auf Konstantensymbole ci der selben Sorte abbildet, heißt Belegung. Für einen beliebigen Ausdruck e bezeichne e :(x1→c1,...,xn→ cn)den Ausdruck, der durch die Ersetzung jeder freien Variable xi in e durch ci entsteht.
Die Auswertung AΣvon Ausdrücken ist eine Abbildung, die Terme auf Individuen und Formeln auf Wahrheitswerte abbildet:
1. Für einen geschlossenen Term t=ω(t1,...,tn)mitω∈Ωist AΣ(t) =fω(AΣ(t1),...,AΣ(tn)).
2. Für eine geschlossene Formel F ist AΣ(F)wie folgt festgelegt:
(a) Für F= (t1=t2)ist AΣ(F) = , wenn AΣ(t1) =AΣ(t2), sonst AΣ(F) =⊥.
(b) Für F=π(t1,...,tn)mitπ∈Πist AΣ(F) = , wenn (AΣ(t1),...,AΣ(tn))∈rπ, sonst AΣ(F) =⊥.
(c) Für F=¬F1ist AΣ(F) = , wenn AΣ(F1) =⊥, sonst AΣ(F) =⊥.
(d) Für F=F1∧F2ist AΣ(F) = , wenn AΣ(F1) =AΣ(F2) = , sonst AΣ(F) =⊥.
(e) Für F=F1∨F2ist AΣ(F) = , wenn
AΣ(¬((¬F1)∧(¬F2))) = , sonst AΣ(F) =⊥.
(f) Für F=F1→F2ist AΣ(F) = , wenn AΣ(¬(F1∨F2)) = , sonst AΣ(F) =⊥.
(g) Für F=F1↔F2ist AΣ(F) = , wenn
AΣ(F1→F2) =AΣ(F2→F1) = , sonst AΣ(F) =⊥.
(h) Für F=∃x : F1mit x∈Xsund s∈S ist AΣ(F) = , wenn ein Konstantensymbol a der Sorte s existiert, so dass AΣ(F1:(x→a)) = , sonst AΣ(F) =⊥.
(i) Für F=∀x : F1mit x∈Xsund s∈S ist AΣ(F) = , wenn AΣ(¬∃x :¬F1) = , sonst AΣ(F) =⊥.
Neben der Auswertung von Ausdrücken wird auch der Begriff der Vereinfachung für Ziel/- Transitions-Netze benötigt. Die Vereinfachung von Ausdrücken bezeichnet die syntakti- sche Ersetzung von Termen durch semantisch äquivalente Konstantensymbole:
Sei t ein geschlossener Term und F eine geschlossene Formel. Die Vereinfachung von t ist gegeben durch AΣ(t) =c für ein Konstantensymbol c mit AΣ(t) =AΣ(c). Mit AΣ(F)sei die Vereinfachung der Formel F bezeichnet, in der alle Terme vereinfacht wurden.
Da vorausgesetzt wird, dass zu jedem Individuum genau ein Konstantensymbol existiert, ist die Vereinfachung von Ausdrücken für alle Terme und Formeln eindeutig.
Multimengen
Von grundlegender Bedeutung für die Definition von Ziel/Transitions-Netzen ist auch der Begriff der Multimenge, der sowohl für Kantengewichte als auch für Markierungen ver- wendet wird. Multimengen sind besondere Mengen, in denen das mehrfache Vorkommen eines Elementes möglich ist, d.h. jedem Element wird eine Häufigkeit zugeordnet:
Sei A eine beliebige nichtleere Menge. Eine Multimenge über A ist eine Abbildung m : A→N, die jedem Element aus A eine Häufigkeit zuordnet.NAbezeichne die Menge al- ler Multimengen über A. Für ein a∈A gilt a∈m genau dann, wenn m(a)>0. m heißt endlich genau dann, wenn m(a)>0 nur für endlich viele a∈A gilt. 0 bezeichnet die leere Multimenge mit 0(a) =0 für alle a∈A. Für zwei Multimengen m1,m2∈NA gilt m2≤m1genau dann, wenn m2(a)≤m1(a)für alle a∈A. Die Addition ist gegeben durch (m1+m2)(a) =m1(a) +m2(a)für alle a∈A. Für m2≤m1ist die Subtraktion gegeben durch(m1−m2)(a) =m1(a)−m2(a)für alle a∈A. Die Multiplikation einer natürlichen Zahl n∈Nmit einer Multimenge m∈NAist gegeben durch(n·m)(a) =n·m(a)für alle a∈A.
Für die Schreibweise von Multimengen wird die Mengen- oder die Produktsummenno- tation verwendet. So ist für die Multimenge m= (a1→2,a2→1,a3→0,a4→2)über der Menge A={a1,a2,a3,a4}sowohl{a1,a1,a2,a4,a4}als auch 2a1+a2+2a4zulässig.
Eine Funktion f , die auf den Elementen einer Menge A definiert ist, wird bei Bedarf auf Tupel, Mengen und Multimengen über A erweitert, indem f auf jedes Element des Tupels, der Menge oder der Multimenge angewandt wird.
4 Ziel/Transitions-Netze
Bevor die Klasse der Ziel/Transitions-Netze eingeführt werden kann, ist der Begriff der Signatur um eine Familie von so genannten variablen Prädikatensymbolen zu erweitern.
Im Gegensatz zu den in der SignaturΣdefinierten Prädikatensymbolen, deren Extension durch eine Relation in einerΣ-Struktur festgelegt wird, werden variable Prädikatensym- bole anhand von Markierungen interpretiert. Die Extension eines variablen Prädikates ist gegenüber der Menge der möglichen Markierungen eines Ziel/Transitions-Netzes also va- riabel.
Definition 1 (Erweiterte Signatur, Erweiterte Formel) SeiΣ= (S,Ω,Π)eine Signatur und X= (Xw)w∈Seine Variablenmenge fürΣ. Die Erweiterte Signatur vonΣbesteht au- ßerdem aus einer FamilieΠ= (Πa)a∈S∗ von variablen Prädikatensymbolen mitΠ∩Π=/0
und einer Variablenmenge X mit X∩X =/0. Eine erweiterte Formel ist eine Formel, in der variable Prädikatensymbole ausΠund Variablen aus X als Teilformeln enthalten sein können. Für ein variables Prädikatπ∈Πund eine erweiterte Formel F giltπ∈F genau dann, wennπin F enthalten ist.
Da eine Variable x∈X nicht durch Quantoren gebunden werden kann, heißt jedes Vorkom- men von x in einer erweiterten Formel frei. Darüber hinaus kann x mit erweiterten Formeln substituiert werden. Im Folgenden sei mit dem Begriff Formel stets eine erweiterte Formel gemeint.
Definition 2 (Ziel/Transitions-Netz) Ein Ziel/Transitions-Netz ZT= (N,AN,M0)besteht aus folgenden Bestandteilen:
1. N= (PN,TN,FN)ist ein Netz mit:
(a) PNist eine nichtleere, endliche Menge von Stellen. PN⊆PNbezeichnet die Menge der Ziel-Stellen und PN\PNdie Menge der Prädikat-Stellen.
(b) TNist eine nichtleere, endliche Menge von Transitionen, so dass TN∩PN=/0 und TN∪PN=/0.
(c) FN⊆(PN×TN)∪(TN×PN)ist eine Menge von Kanten.
Der Vorbereich einer Stelle bzw. einer Transition x∈PN∪TN ist durch FNx={y| (y,x)∈FN}, der Nachbereich durch xFN ={y|(x,y)∈FN} gegeben. Für eine Kante f = (p,t)oder f = (t,p)mit p∈PN und t∈TN bezeichne PN(f) =p die Stelle und TN(f) =t die Transition der verbindenden Kante.
2. AN= (AΣ,AP,AT,AF)ist eine Beschriftung mit:
(a) AΣist eineΣ-Struktur für eine erweiterte SignaturΣ.
(b) APist eine bijektive Abbildung, die jeder Prädikat-Stelle ein variables Prädika- tensymbol zuordnet.
(c) ATist eine Abbildung, die jeder Transition eine erweiterte Formel, genannt Wäch- ter, zuordnet.
(d) AFist eine Abbildung, die jeder Kante f mit PN(f)∈PN\PNeine endliche, nicht- leere Multimenge über Tupel von Termen und jeder Kante f mit PN(f)∈PNeine endliche, nichtleere Multimenge über Formeln zuordnet. Für eine Kante f mit PN(f)∈PN\PNund ein Tupel(t1,...,tn)∈AF(f)sind t1,...,tngenau dann Terme der Sorten s1,...,sn, wenn AP(PN(f))∈Πs1,...,sn. Für ein f∈/FNgilt AF(f) =0.
3. M0ist eine (Anfangs-) Markierung, die jeder Prädikat-Stelle p∈PN\PN eine endli- che Multimenge über Tupel von Individuen und jeder Ziel-Stelle p∈ PN eine endliche Multimenge über geschlossenen Formeln zuordnet. Für eine Prädikat-Stelle p∈PN\PN
und ein Tupel(d1,...,dn)∈M0(p)sind d1,...,dngenau dann Individuen aus As1,...,Asn, wenn AP(p)∈Πs1,...,sn.
Die Struktur eines Ziel/Transitions-Netzes wird durch ein Netz aus Stellen, Transitionen und Kanten festgelegt. Dabei wird die Menge der Stellen in eine Menge von Ziel-Stellen und in eine Menge von Prädikat-Stellen unterteilt. Während Prädikat-Stellen wie in Prä- dikat/Transitions-Netzen Tupel von Individuen als Marken enthalten, werden Ziel-Stellen mit geschlossenen Formeln markiert. Jede Prädikat-Stelle wird durch eine Bijektion mit einem variablen Prädikat assoziiert und jedes Tupel, das die Stelle markiert, muss die Stel- ligkeit des entsprechenden Prädikates respektieren. Kanten, die mit Prädikat-Stellen ver- bunden sind, werden mit nichtleeren Multimengen über Tupel von Termen gewichtet. Sie berücksichtigen ebenfalls die Stelligkeiten des entsprechenden Prädikates. Kanten, die mit Ziel-Stellen verbunden sind, werden mit nichtleeren Multimengen von Formeln gewich- tet. Transitionen können ebenfalls Formeln (Wächter) zugeordnet werden. Sie beschreiben zusätzliche Restriktionen für die Aktiviertheit einer Transitioneninstanz (siehe Definition 3).
Die graphische Repräsentation von Ziel/Transitions-Netzen lehnt sich an die übliche Nota- tion für Petri-Netze an: Stellen werden als Kreise, Transitionen als Rechtecke und Kanten als gerichtete Pfeile gezeichnet. Die Prädikat-Stellen werden mit den variablen Prädikaten- symbolen beschriftet, während die Ziel-Stellen zur Unterscheidung durch einen doppelten Rand hervorgehoben werden. Der Wächter einer Transition wird in eckigen Klammern notiert. Wenn er lediglich von einer Tautologie repräsentiert wird (der Wächter ist immer erfüllt), kann auf eine Darstellung verzichtet werden.
Für die Schaltregel von Ziel/Transitions-Netzen müssen die Regeln zur Auswertung der variablen Prädikatensymbole festlegt werden. Wie bereits angedeutet, hängt die Extensi- on eines variablen Prädikates vom Zustand des Ziel/Transitions-Netzes ab und nicht von einer in der Struktur zugeordneten Relation: Ein variables Prädikat ist genau dann erfüllt, wenn die Argumente des Prädikates in Form eines Tupels die assoziierte Stelle markieren.
Umgekehrt bedeutet dies, dass die Negation des Prädikates genau dann erfüllt ist, wenn eine entsprechende Marke nicht vorhanden ist.
Wie in Prädikat/Transitions-Netzen reicht es darüber hinaus nicht aus, die Begriffe Akti- viertheit und Folgemarkierung auf einer Transition zu erklären. Für die Auswertung von Kantengewichten und Wächtern wird eine Belegung der Variablen vorausgesetzt, um et- waige Terme und Formeln zu schließen. Aus diesem Grund wird der für Prädikat/Transi- tions-Netze verwendete Begriff der Transitioneninstanz auf Ziel/Transitions-Netze über- tragen. Eine Transitioneninstanz wird unter einer Markierung für aktiviert erklärt, wenn der Wächter der Transition erfüllt ist (für die gegebene Markierung und Belegung) und genug Marken im Vorbereich vorhanden sind, um allen ausgewerteten Kantengewichten zu genügen. Das Schalten einer aktivierten Transitioneninstanz konsumiert die identifizier- ten Tupel und Formeln von den Stellen des Vorbereichs und produziert neue Tupeln und
Formeln auf den Stellen des Nachbereichs. Dabei ist zu beachten, dass die Gewichte von Kanten an Ziel-Stellen im Gegensatz zu den Gewichten von Kanten an Prädikat-Stellen nicht vollständig durch die gegebene Struktur ausgewertet werden. Zunächst werden die freien Variablen in den Formeln substituiert. Anschließend werden alle Terme vereinfacht.
Definition 3 (Folgemarkierung) Sei ZT = (N,AN,M0)ein Ziel/Transitions-Netz, t∈TN
eine Transition und M eine Markierung von ZT .
1. Sei F eine erweiterte Formel. Für die Auswertung von F bei M wird AΣ(F)um folgen- den Fall erweitert: Für F=π(t1,...,tn)mitπ∈Πist AΣ(F) = , wenn(AΣ(t1),...,AΣ(tn))∈ M(A−1P (π)), sonst AΣ(F) =⊥.
2. Seiχ(t)die Menge aller freien Variablen, die im Wächter von t und in allen Kanten f = (p,t)und f= (t,p)für beliebige p∈PN vorkommen. Darüber hinaus seiα eine Belegung, die jeder Variablen x∈X∩χ(t)einer Sorte s∈S ein Konstantensymbol der Sorte s und jeder Variablen x∈X∩χ(t)eine geschlossene Formel zuordnet. Dann heißt t :αTransitioneninstanz.
3. Sei t :αeine Transitioneninstanz. t :αheißt aktiviert unter M und kann schalten genau dann, wenn AΣ(AT(t):α) = bei M und
(a) AΣ(AF(p,t):α)≤M(p)für alle p∈PN\PN, (b) AΣ(AF(p,t):α)≤M(p)für alle p∈PN.
4. Sei t :α eine aktivierte Transitioneninstanz in M. Das Schalten von t :α in M erzeugt eine Folgemarkierung M nach folgender Vorschrift:
(a) M(p) =M(p)−AΣ(AF(p,t):α) +AΣ(AF(t,p):α)für alle p∈PN\PN. (b) M(p) =M(p)−AΣ(AF(p,t):α) +AΣ(AF(t,p):α)für alle p∈PN.
Das Schalten einer Transitioneninstanz t :α in einer Markierung M zu einer Folge- markierung M wird mit M−→t:α M oder kurz M−→t M notiert. RZT ist die Menge aller erreichbaren Markierungen von ZT .
5. Der Erreichbarkeitsgraph GZT = (V,E)von ZT ist gegeben durch die Knotenmenge V=RZTund die Kantenmenge E={(M,t :α,M )|M−→t:α M}. Ein Tupel(M,t :α,M) beschreibt dabei eine Kante von M nach M , die mit t :αbeschriftet ist.
Grundbegriffe der Petri-Netz-Theorie wie Nebenläufigkeit und Konflikt (von Transitio- neninstanzen) lassen sich in gewohnter Weise auf Ziel/Transitions-Netze übertragen.
Abb. 3: Ein Ziel/Transitions-Netz mit einer vollständigen Darstellung aller erreichbaren Markierun- gen und Transitioneninstanzen
In Abbildung 3 ist ein weiteres Beispiel für ein einfaches Ziel/Transitions-Netz gegeben, das die Aktivierung von Transitionen und die Berechnung von Folgemarkierungen ver- deutlichen soll. In der Anfangsmarkierung sei M0(A) = (1), M0(C) = (0)und M0(Z) = A(1)∧C(0). Die restlichen Stellen sind mit der leeren Multimenge markiert, d.h. sie ent- halten keine Marken. Sobald die beiden Anfangsmarken von A und C mit dem Schalten von t1und t2auf B und D abgelegt wurden, ist t3 aktiviert. Wenn t3 schaltet, wird eine zusammengesetzte Marke auf E erzeugt, die wiederum t4aktiviert. Mit dem Schalten von t4werden die Anfangsmarken daraufhin wieder in umgekehrter Reihenfolge auf A und C abgelegt. Anschließend können alle Transitionen erneut schalten, bis die Anfangsmarkie- rung des Netzes wieder erreicht ist. Darüber hinaus aktualisiert jede Transition die auf Z vorhandene Formel, so dass sie in jedem Zustand die aktuelle Markierung der Prädikat- Stellen in Form einer Konjunktion repräsentiert. Zu diesem Zweck wird bei Bedarf auf eine Variable F zugegriffen, die mit entsprechenden Teilformeln belegt werden kann. Auf
der Ziel-Stelle Z kann somit stets der aktuelle Zustand des Netzes abgelesen werden. Die erreichbaren Markierungen und die entsprechenden Transitioneninstanzen des Netzes sind ebenfalls in Abbildung 3 dargestellt.
Das Beispiel zeigt, dass Zustände eines Systems sehr einfach durch entsprechende For- meln auf einer Ziel-Stelle beschrieben werden können. Eine derartige Stelle kann für die Modellierung von dynamischen Zielen eines Agenten verwendet werden, indem jedes Ziel durch eine Formel auf der Stelle repräsentiert wird. Durch den üblichen Konsum und die Produktion von Marken beim Schalten des Netzes, können Ziele erstellt, gelöscht und geändert werden. Darüber hinaus lässt sich das Verhalten des Systems durch ihre Verwen- dung in den Wächtern von Transitionen beeinflussen. Ein konkretes Beispiel für einen ein- fachen Agenten mit dynamischen Zielen und dem entsprechenden Ziel/Transitions-Netz wird im nächsten Abschnitt dargestellt.
5 Mächtigkeit
Offensichtlich sind Prädikat/Transitions-Netze ein Spezialfall von Ziel/Transitions-Netzen mit PN=/0. Darüber hinaus werden keine erweiterten Formeln in Wächtern verwendet und alle Tupel in den Kantenbeschriftungen enthalten ausschließlich Variablen. Jedes Prädi- kat/Transitions-Netz kann somit als Ziel/Transitions-Netz dargesellt werden. Die Umkeh- rung gilt nicht, wie der folgende Abschnitt zeigt.
Prädikat/Transitions-Netze besitzen nicht die selbe Mächtigkeit wie Turingmaschinen, d.h.
mit ihnen können nicht alle berechenbaren Funktionen berechnet werden. Das Problem kann auf die Unfähigkeit von Prädikat/Transitions-Netze zurückgeführt werden, einen Nulltest auf einer Stelle durchzuführen. Es ist zwar möglich, durch Anliegen einer Tran- sition im Nachbereich zu prüfen, ob sich mindestens eine Marke auf einer Stelle befindet.
Es ist im Allgemeinen aber nicht möglich, zu prüfen, ob sich keine Marke auf der Stelle befindet. Eine Transition, die bei einer sauberen Stelle aktiviert ist, ist auch bei jeder an- deren Anzahl von Marken auf der Stelle aktiviert. Es existieren Erweiterungen wie z.B.
Inhibitor-Netze, um diesem Problem zu begegnen. In Inhibitor-Netzen wird durch eine Abbildung I : TN→2PN für jede Transition eine Menge von Inhibitorkanten festlegt (siehe z.B. [PW03]). Inhibitorkanten verlaufen dabei stets von einer Stelle zu einer Transition und werden mit einem Kreis statt mit einer Pfeilspitze gezeichnet. Mit Inhibitorkanten wird die Aktiviertheit einer Transition t∈TN unter einer Markierung M eingeschränkt, in- dem zusätzlich verlangt wird, dass alle Stellen in I(t)keine Marken enthalten dürfen, d.h.
∀p∈I(t): M(p) =0.
Wie bereits in Abschnitt 2 angedeutet, lassen sich Nulltests ebenfalls mit Ziel/Transitions- Netzen realisieren. Dazu werden entsprechende Wächter mit variablen Prädikaten einge- führt, die die selben Restriktionen beschreiben wie Inhibitorkanten in Inhibitor-Netzen.
Ziel/Transitions-Netze können das Verhalten von Inhibitor-Netzen also simulieren. Ein Beispiel ist in Abbildung 4 dargestellt.
Theorem 1 Zu jedem Prädikat/Transitions-Netz H mit Inhibitorkanten existiert ein ver- haltensgleiches Ziel/Transitions-Netz ZT(H), d.h. H und ZT(H)haben den selben Er- reichbarkeitsgraphen.
Beweis: ZT(H)wird mit dem selben Netz, den selben Beschriftungen und der selben An- fangsmarkierung wie H konstruiert. Für jeden Inhibitorbogen von einer Stelle p∈I(t) zu einer Transition t ∈TN im Inhibitor-Netz H wird eine Formel Gp=∃x1:,...,∃xn: AP(p)(x1,...,xn)konstruiert, so dass x1,...,xngenau dann Variablen aus Xs1,...,Xsn sind, wenn AP(p)∈Πs1,...,sn. Der Wächter von t im Ziel/Transitions-Netz ZT(H)kann dann durch AT(t) = p∈I(t)(¬Gp)erweitert werden. Befindet sich in einer beliebigen Markie- rung M mindestens ein Tupel auf eine Stelle p∈I(t)im Inhibitor-Netz H, dann ist das Konjunktionsglied¬Gpim Wächter von t des Ziel/Transitions-Netzes ZT(H)nicht erfüllt und t kann nicht aktiviert unter M. Der Wächter AT(t)in ZT(H)repräsentiert somit ge- nau die Restriktion, die die entsprechenden Inhibitorkanten von t in H beschreiben. Alle Zustände und Zustandsübergänge von H und ZT(H)sind daher identisch.
Abb. 4: Oben: Ein Inhibitor-Netz mit zwei Inhibitorkanten. Unten: Ein verhaltensgleiches Ziel/Tran- sitions-Netz ohne Inhibitorkanten. In beiden Fällen ist t1nicht aktiviert, da sowohl die Stelle A als auch die Stelle B Marken enthält.
Korollar 1 Ziel/Transitions-Netze sind turingmächtig.
Beweis: Folgt aus Theorem 1 und dem Beweis, dass Inhibitor-Netze im Allgemeinen tu- ringmächtig sind (siehe z.B. [PW03, S. 166]).
6 Anwendungsbeispiel
In diesem Abschnitt soll ein einfacher Agent mit dynamischen Zielen als Ziel/Transi- tions-Netz modelliert werden. Als Beispiel dient eine einfache Variante des klassischen BlocksWorld-Szenarios aus [Woo02]. In diesem Szenario existieren unterschiedliche Klötz- chen, die aufeinander gestapelt werden können. Die Aufgabe des Agenten besteht darin, durch Auf- und Abstellen von Klötzchen eine vordefinierte Anordnung zu erzeugen. Da- bei soll er jedoch das unnötige Umstellen von Klötzchen vermeiden, d.h. die Lösung soll
nicht darin bestehen, zunächst alle vorhandenen Stapel abzubauen. Darüber hinaus wird in diesem Beispiel davon ausgegangen, dass jeder Stapel aus nicht mehr als zwei Klötzchen bestehen kann.
Abb. 5: Ein BlocksWorld-Agent als Ziel/Transitions-Netz.
Abbildung 5 zeigt ein Ziel/Transitions-Netz, das einen BlocksWorld-Agenten und seine Umgebung modelliert. Die Umgebung des Agenten wird durch die Prädikat-Stelle A re- präsentiert, in der die aktuelle Anordnung der Klötzchen fixiert ist. Ein Tupel(x,y)bedeu- tet, dass das Klötzchen x auf dem Klötzchen y gestapelt wurde. Existiert für ein Klötzchen x kein entsprechendes Tupel, dann befindet sich x auf dem Boden. Die (Teil-)Ziele des Agenten werden durch positive und negative Literale auf der Ziel-Stelle Z festgehalten und beschreiben die gewünschte Anordnung der Klötzchen. Positive Literale legen fest, wel- che Klötzchen aufeinander zu stapeln sind. Negative Literale legen fest, welche Klötzchen nicht aufeinander gestapelt werden dürfen. Als Zielvorgabe sind aber auch unvollständi- ge Konfigurationen zulässig. Das Aufstellen eines Klötzchens findet durch Schalten der Transition up statt. Sie entfernt ein Literal der Form A(x,y)von der Ziel-Stelle Z und stellt das Klötzchen x auf das Klötzchen y, indem das Tupel(x,y)auf A produziert wird. Der Wächter von up garantiert, dass ein Stapelvorgang nur dann durchgeführt werden kann, wenn x und y nicht verstellt sind und y nicht bereits auf ein anderes Klötzchen gestellt wurde. Die Transition down baut einen vorhandenen Stapel(x,y) wieder ab, wenn ein Literal der Form¬A(x,y) auf Z vorliegt. Dabei wird das Literal mit dem Schalten von down ebenfalls wieder von Z entfernt. Sollte ein beliebiges Ziel auf Z bereits erfüllt sein, dann kann es vom Agenten ignoriert und mit dem Schalten der Transition ignore gelöscht werden. Die Transitionen plan1, plan2 und plan3 repräsentieren mentale Prozesse des Agenten. Sie sind immer dann aktiviert, wenn ein Ziel auf Z einen Stapel(x,y)verlangt, der Stapel aber zunächst nicht erzeugt werden kann. Dies ist der Fall, wenn ein Klötzchen z das Klötzchen x oder y verstellt (plan1oder plan2) oder wenn das Klötzchen y bereits auf ein Klötzchen z gestellt wurde (plan3). Die Wächter der Transitionen realisieren die notwendigen Fallunterscheidungen. Darüber hinaus setzen sie durch das Konjunktions- glied¬A(x,y)voraus, dass der geforderte Stapel noch nicht existiert. Wenn plan1, plan2
und plan3schalten, werden neue Ziele auf der Ziel-Stelle Z erzeugt, um x und y frei zu stellen. Auf diese Weise kann ein BlocksWorld-Agent ausgehend von einer beliebigen
Anfangs-Konfiguration der Klötzchen in A nacheinander alle notwendigen Schritte durch- führen, um die Ziel-Konfiguration in Z zu erreichen. Abbildung 6 zeigt einen möglichen System-Ablauf für die Anfangs-Konfiguration M0(G) = (1,2)+(3,4)+(5,6)+(7,8)und die Ziel-Konfiguration M0(Z) =A(4,1) +A(6,5) +¬A(3,2).
Abb. 6: Ein Ablauf eines BlocksWorld-Agenten. Die gezeigten Klötzchen entsprechen der Markie- rung der Prädikat-Stelle A. Neben den Transitionen sind auch die Literale der Ziel-Stelle Z darge- stellt, die in jedem Schaltvorgang berücksichtigt wurden.
Das Beispiel in diesem Abschnitt zeigt einige Elemente, die den Unterschied zu klas- sischen Prädikat/Transitions-Netzen verdeutlichen. So ist die Unterscheidung zwischen dem Aktivwerden der Transitionen plan1, plan2, plan3und up auf entsprechende Wäch- ter zurückzuführen, die die Beschaffenheit der Markierung von A abfragen. Diese Abfra- gen werden durch die Verwendung von variablen Prädikaten realisiert und sind in dieser Form nicht in Prädikat/Transitions-Netzen möglich. Dies gilt ebenfalls für die Darstellung der positiven und negativen Literale (Ziele). Um diese Mechanismen in Prädikat/Transi- tions-Netzen zu realisieren und einzubetten, sind komplexere Netz-Strukturen notwendig, d.h. weitere Stellen, Transitionen und Kanten werden benötigt. In Ziel/Transitions-Netze können die entsprechenden Abfragen und Ziele intuitiv und kompakt modelliert werden.
7 Ausblick
In dieser Arbeit wurde mit der Klasse der Ziel/Transitions-Netze ein Ansatz vorgeschla- gen, um dynamische Ziele von Agenten mit Petri-Netzen zu modellieren. Auf diese Weise lassen sich die Vorteile von Petri-Netzen auch bei der Modellierung von Agentensystemen nutzen. Für die Darstellung von ziel-orientiertem Verhalten in Agentensystemen soll in den kommenden Arbeiten eine entsprechende Ablaufsemantik für Ziel/Transitions-Netze ent- wickelt werden, die auf einer kausalen Semantik (Prozesse, siehe z.B. [DFO97]) basiert.
Mit der Einführung einer geeigneten Ablaufsemantik wird ein zentraler Vorteil von Ziel/- Transitions-Netzen deutlich: Ziele und Zustände können in einem Zusammenhang darge- stellt werden, so dass ihre Wechselwirkung untersucht werden kann. Auf diese Weise ist es möglich, ziel-orientiertes Verhalten von Agenten nachzuweisen. Dies ist insbesondere für die Validierung von Agenten-Modellen von Bedeutung.
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