for one is true for the other.

(1)

cong

(2)

Leibnitz Law

If two expressions are equal, then whatever is true

for one is true for the other.

(3)

replace

(4)

Difference: twice vs double

Beispiel n+1 verdoppeln

Twice:

(+ (add1 n) (add1 n))

Double:

(add1 (add1 (+ n n)))

(5)

Difference: twice vs double

Beweis für

(add1 (+ n-1 n-1)) equals

(+ n-1 (add1 n-1))

Beispiel n+1 verdoppeln

Twice:

(+ (add1 n) (add1 n))

Double:

(add1 (add1 (+ n n)))

(6)

Typ der Box:

Der Typ entspricht dem Typ:

(7)

von

Ist der Typ

Vergleich zu was wir wollen:

Erinnerung an add1+=+add1

(8)

replace kann add1 nach innen verschieben

(9)

(10)

(11)

(12)

Kapitel 10

(13)

(14)

(15)

Data constructor Typ constructor Typ constructor

Cons Pair Σ

Lambda -> Π

(16)

Ist das ein Typ?

Was sind Beispiel-Ausdrücke?

(17)

Ist das ein Typ?

Was sind Beispiel-Ausdrücke?

(18)

𝚺 − 𝐀𝐮𝐬𝐝𝐫𝐮𝐜𝐤

Teilmenge der Nats / Prädikate

• 𝚺 ((n Nat)) (Prim n)

Nicht Teilmenge der Nats

• 𝚺 ((n Nat)) (Vec n Atom)

(19)

𝑃𝑎𝑖𝑟 read as statement

(Pair A D) „A and D“

(Pair (= Nat 2 3) (= Atom ‘pie ‘pie)) „2 equals 3 and ‘pie equals ‘pie“

…. ….

(20)

Σ read as statement

Σ ((n Nat)) (Prim n) „There exists a natural n that is a prime.“

“There exists a list of atoms that is equal to itself reversed.”

… ….

(21)

Proofs for Σ

Expression Proof

(cons nil (same nil)) or

(cons (:: ‘anna (:: ‘bob

(:: ‘anna nil))) (same

(:: ‘anna (:: ‘bob

(:: ‘anna nil))))) ( Σ (( n Nat))

( Vec Atom (double n)))

(cons 2 (vec:: ‘tomate

(vec:: ‘käse vecnil)))