VERA 3 Mathematik 2019

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VERA 3

Mathematik 2019

Didaktische Erläuterung

Inhaltsverzeichnis

1. Allgemeine Erläuterungen zum Fach Mathematik ... 3

2. Kompetenzorientierung und Bezug zu den Bildungsstandards ... 3

2.1 Die Bildungsstandards Mathematik ... 3

2.2 Kompetenzstufen im Fach Mathematik ... 4

3. Beschreibung der zu testenden Kompetenzbereiche ... 7

3.1 Der Kompetenzbereich „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ in den Bildungsstandards ... 7

3.1.1 Daten erfassen und darstellen ... 7

3.1.2 Häufigkeiten ... 8

3.1.3 Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen ... 9

3.2 Der Kompetenzbereich „Raum und Form“ in den Bildungsstandards ...10

3.2.1 Sich im Raum orientieren ... 10

3.2.2 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen ... 11

3.2.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen ... 12

3.2.4 Flächeninhalte und Rauminhalte vergleichen und messen ... 13

4. Anregungen für den Unterricht ... 13

5. Literaturverzeichnis ... 15

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1. Allgemeine Erläuterungen zum Fach Mathematik

Im Folgenden werden wesentliche Komponenten der Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich sowie die hierzu empirisch konstruierten Kompetenzstufen kurz dargestellt.

Ferner werden die mathematischen Kompetenzbereiche Daten, Häufigkeit und Wahrschein- lichkeit und Raum und Form erläutert und an konkreten Aufgabenbeispielen illustriert.

Schließlich werden einige allgemeine Überlegungen zu einem Mathematikunterricht skizziert, der gute Voraussetzungen für das Erreichen der durch die Standards vorgegebenen Ziele bietet. Dabei wird auf die beiden Domänen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit und Raum und Form kurz eingegangen. Detailliertere unterrichtliche Anregungen sowie spezifi- sche Aufgaben sind in den aufgabenspezifischen didaktischen Kommentaren zu finden.

2. Kompetenzorientierung und Bezug zu den Bildungsstandards

2.1 Die Bildungsstandards Mathematik

Die Bildungsstandards Mathematik für den Primarbereich beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der vierten Jahrgangsstufe er- worben haben sollen. Kompetenzen sind kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die in akti- ver Auseinandersetzung mit substantiellen Fachinhalten erworben werden können. Dabei wird zwischen allgemeinen und inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen unter- schieden.

Das wesentliche Ziel der Bildungsstandards ist es, die Qualität des Unterrichts zu steigern und dadurch die Leistungen und fachbezogenen Einstellungen aller Schülerinnen und Schü- ler zu verbessern. Entsprechend sollen die Standards eine Orientierung über verbindliche Zielerwartungen bieten. Verbunden mit den Bildungsstandards in der Primarstufe sind Mög- lichkeiten zur Überprüfung, inwieweit diese Ziele am Ende der Klassenstufe 4 erreicht wor- den sind.

Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen umfassen fachliche Fähigkeiten, die in allen Inhaltsbereichen der Mathematik bedeutsam sind. Im Einzelnen sind dies:

• Technische Grundfertigkeiten,¹

• Problemlösen,

• Kommunizieren,

• Argumentieren,

• Darstellen,

• Modellieren.

1 In den „Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich“ der Kultusministerkonferenz vom 15.10.2004 (https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/subject) ist die allgemeine mathematische Kompe- tenz „Technische Grundfertigkeiten“ noch nicht enthalten. Eine inhaltlich ähnlich beschriebene allge- meine mathematische Kompetenz findet sich allerdings bereits bei den Bildungsstandards für den Sekundarbereich („Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umge- hen“). Mittlerweile wurden im Zuge der Entwicklung von Kompetenzstufenmodellen in Mathematik auch für den Primarbereich die allgemeinen mathematischen Kompetenzen durch die sechste Dimen- sion der „Technischen Grundfertigkeiten“ ergänzt, weil diese Dimension in den anderen allgemeinen mathematischen Kompetenzen nicht hinreichend abgedeckt schien (vgl. Winkelmann/Robitzsch 2009). Ferner hat sich gezeigt, dass diese Dimension vor allem zur differenzierten Beschreibung der Aufgaben im unteren Leistungsbereich hilfreich ist. Die Ergänzung findet sich auf Seite 5 des „Kompe- tenzstufenmodells zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangs- stufe 4)“ in der Fassung vom 11.02.2013 unter https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/ksm.

Die für die Primarstufe beschriebenen inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen be- ziehen sich auf fünf mathematische Leitideen:

• Zahlen und Operationen,

• Raum und Form,

• Muster und Strukturen,

• Größen und Messen,

• Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

Diese Leitideen sollen den Schülerinnen und Schülern helfen, zentrale mathematische Kon- zepte kennenzulernen und zu verstehen sowie den vernetzten Charakter der Mathematik zu erkunden. Zu den Leitideen werden inhaltsbezogene Kompetenzen unterschiedlichen Abs- traktionsgrades formuliert (s. Kultusministerkonferenz 2005).

2.2 Kompetenzstufen im Fach Mathematik

Die oben kurz dargestellte Konzeption der Bildungsstandards Mathematik bildet einen theo- retischen Rahmen zur Konzeption guten Mathematikunterrichts. Im Sinne der „Output- Orientierung“ ist von Interesse, was Schülerinnen und Schüler verschiedener Altersstufen und verschiedener Bildungsgänge „tatsächlich können“.

Auf der Grundlage empirischer Daten lassen sich sowohl Aufgaben – nach Schwierigkeit –, als auch die Schülerinnen und Schüler – nach Leistungsfähigkeit – verschiedenen „Kompe- tenzstufen“ zuordnen, was allen für die Unterrichtskonzeption Verantwortlichen hilfreiche Orientierungen geben kann.

Mit Hilfe entsprechender Daten wurde ein Kompetenzstufenmodell erarbeitet, das fünf hie- rarchisch angeordnete Kompetenzstufen enthält, die bei der Beschreibung von mathemati- schen Basiskompetenzen beginnen und bis zur Identifizierung eines elaborierten und souve- ränen Umgangs mit Mathematik in der Primarstufe gehen (vgl. Reiss, Roppelt, Haag, Pant &

Köller 2012; Reiss & Winkelmann 2008; 2009). Das Modell umfasst alle in den Bildungsstan- dards ausgewiesenen mathematischen Leitideen. Es ermöglicht auf breiter Basis die Inter- pretation der mathematischen Kompetenz von Schülerinnen und Schülern am Ende der vier- ten Jahrgangsstufe.

Abbildung 1: Übersicht der Kompetenzstufen aus dem Kompetenzstufenmodell für das Fach Mathematik in der Grundschule

Mindeststandard. Als Ausgangswert für die Stufeneinteilungen wurde jeweils das obere Ende von Kompetenzstufe I gewählt, und zwar so, dass alle Aufgaben mit Kennwerten unterhalb dieses Schwellenwerts nur solche Anforderungen stellen, deren einigermaßen sichere Erfül- lung von allen Schülerinnen und Schülern des jeweiligen Bildungsgangs erwartet werden muss; man spricht hier vom Mindeststandard des Bildungsgangs. Schülerinnen und Schüler, die zum Ende der vierten Jahrgangsstufe die Kompetenzstufe II nicht erreichen und somit diesen Mindeststandard von 390 Punkten nicht erfüllen, haben einen besonderen Förderbe- darf.

Regelstandard. Der Regelstandard, den die Schülerinnen und Schüler zum Ende der vierten Jahrgangsstufe zumindest im Durchschnitt erfüllen sollen, ist höher angesetzt. Schülerinnen und Schüler, die mindestens 460 Punkte und damit die Kompetenzstufe III oder eine höhere erreicht haben, erfüllen die in den Bildungsstandards beschriebenen Erwartungen und errei- chen den von der KMK festgelegten Regelstandard.

Die oberste Stufe des hier vorgestellten Kompetenzmodells ist nach oben offen, d. h. es sind prinzipiell noch schwierigere Items und noch höhere Leistungen möglich, als in der zugrunde liegenden Erhebung vorkamen. Dementsprechend ist die niedrigste Stufe nach unten offen, d. h. es sind noch leichtere Items denkbar, die auch noch von sehr schwachen Schülerinnen und Schülern gelöst werden können.

In der folgenden Abbildung sind Beispielaufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit den ein- zelnen Stufen zugeordnet:

Abbildung 2: Globales Kompetenzstufenmodell und illustrierende Aufgaben im Fach Mathe- matik (siehe Seite 14 des „Kompetenzstufenmodells zu den Bildungsstandards im Fach Ma- thematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4)“ in der Fassung vom 11.02.2013 unter https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/ksm.

3. Beschreibung der zu testenden Kompetenzbereiche

In den VERA-3 zur Mathematik werden pro Jahr jeweils zwei der fünf inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche umlaufend geprüft. In diesem Jahr (2018) werden die Bereiche Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit und Raum und Form getestet. Zu beiden Domänen wer- den im Folgenden einzelne Aspekte der Kompetenzbereiche differenziert dargestellt und anhand von konkreten Aufgaben aus VERA-3 näher erläutert. Die Ausführungen stützen sich im Wesentlichen auf die Beschreibungen von Walther et al. (2012).

3.1 Der Kompetenzbereich „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ in den Bildungsstandards

Der Kompetenzbereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit hat höchste praktische Relevanz und eröffnet somit zahlreiche anwendungsbezogene Übungsfelder. In den Bil- dungsstandards umfasst die Leitidee Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit drei wesentli- che zusammenhängende Aspekte mit zahlreichen mathematischen Bezügen. In der kurzen Darstellung der Bildungsstandards werden davon die folgenden Kompetenzen explizit ge- nannt:

• Daten erfassen und darstellen

• Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen²

Demgegenüber sind Kompetenzen im Bereich Häufigkeiten eher implizit vorhanden. Beim Entwerfen von Aufgaben müssen allerdings alle Aspekte in den Blick genommen werden.

Daher werden an dieser Stelle die unterschiedlichen Herausforderungen für alle drei Berei- che anhand entsprechender Beispiele aus VERA-3 erläutert.

3.1.1 Daten erfassen und darstellen

Wie die Aufgabe „Parkhaus“ (Abbildung 3) zeigt, umfasst der Bereich Daten zum einen das Darstellen von Daten in Schaubildern, Diagrammen und Tabellen. Dies kann vor allem im Unterricht besonders auf der Basis von Daten geschehen, die selbst gesammelt und struktu- riert wurden. Zum anderen sollen aber auch gezielt Daten aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen entnommen werden. So ist es in der dargestellten Aufgabe erforderlich, der Tabelle die entsprechenden Anzahlen zu entnehmen, um diese im weiteren Verlauf in das Diagramm einzeichnen zu können.

2 siehe Kultusministerkonferenz 2005, S. 11 unter https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/subject.

Abbildung 3: Aufgabe „Parkhaus“, VERA-3 Mathematik 2015

Der Umgang mit Daten stellt einen wichtigen Aspekt für eine Propädeutik der Wahrschein- lichkeitsrechnung dar. Außerdem ist er geeignet, verschiedene Repräsentationsebenen anzusprechen und damit auch den Ausbau der allgemeinen Kompetenz „Mathematische Darstellungen verwenden“ zu stärken.

3.1.2 Häufigkeiten

Ein weiterer Aspekt im Hinblick auf den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten ist das Betrachten von Möglichkeiten (etwa für das Ergebnis eines Zufallsexperiments). In der Überschrift der Leitidee wird dabei der Begriff „Häufigkeit“ gewählt. Nun ist dieser Begriff eng mit kombinato- rischen Überlegungen verbunden. Gerade Aufgaben zur Kombinatorik, wie die Aufgabe

„Tierbilder“ (Abbildung 4), dienen der Vorbereitung bei der Entwicklung eines tragfähigen Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Um dies auch in der Schulpraxis besser zu verankern, sollten entsprechende Aufgaben an dieser Stelle und unter dieser Leitidee in die Vergleichsarbeiten integriert werden. Davon ist unbenommen, dass entsprechend der Systematik der Bildungs- standards Aufgaben dieses Typs ggf. auch dem Inhaltsbereich „Zahlen und Operationen“

zugeordnet werden können.

In der Stadt gibt es fünf Parkhäuser.

Parkhaus Plätze

500 200 450 300

D C B A

350 E

Ergänze das Diagramm passend zur Tabelle.

Parkhaus 100

200 300 400

0 500 600

Plätze

A B C D E

Abbildung 4: Aufgabe „Tierbilder“, VERA-3 Mathematik 2015

3.1.3 Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen Den inhaltlichen Schwerpunkt Wahrscheinlichkeit im engeren Sinne umzusetzen gestaltet sich etwas schwieriger. So gibt es hier wenige Aufgabentypen, die bereits für die Grund- schule geeignet sind. Es darf nicht vergessen werden, dass wichtige Grundlagen einer systematischen Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie etwa die Bruchrechnung, in der Grundschule noch nicht behandelt sind. Es darf auch nicht vergessen werden, dass gerade in diesem Inhaltsbereich Intuition und mathematische Theorie nicht immer konform gehen. So wird etwa der Begriff „wahrscheinlich“ umgangssprachlich eher mit „guten Chancen“ verbunden, während der Begriff „unwahrscheinlich“ auf eher „schlechte Chancen“

hindeutet. In der mathematischen Umsetzung ist nur der Begriff der „Wahrscheinlichkeit“

verankert, die durch einen Wert zwischen 0 und 1 ausgedrückt wird. Dabei bezeichnet „0“ ein unmögliches Ereignis und „1“ ein sicheres Ereignis. Bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 tritt ein Ereignis auf lange Sicht in einem von sechs Fällen ein, so wie es etwa beim Würfeln einer „5“ der Fall ist. Bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 ist ungefähr die Hälfte der Fälle

„günstig“, was beispielsweise für den Münzwurf oder das Würfeln einer geraden Zahl gilt.

Nun aber jeweils klar zu sagen, ob ein bestimmter Wert zwischen 0 und 1 den umgangs- sprachlichen Begriffen „wahrscheinlich“ bzw. „unwahrscheinlich“ zuzuordnen ist, wäre wenig sinnvoll. Entsprechend sind daher Begriffe wie „wahrscheinlich“ oder „unwahrscheinlich“ für VERA nicht geeignet, könnten sie doch eher verwirrend als klärend sein – allenfalls in Vergleichen ist es sinnvoll, davon zu sprechen, dass ein Ereignis wahrscheinlicher ist als ein anderes oder weniger wahrscheinlich. Wie die Aufgabe „Aussage zuordnen“ (Abbildung 5) zeigt, bieten sich als Grundbegriffe „möglich, aber nicht sicher“, „sicher“ und „unmöglich“ an.

Abbildung 5: Aufgabe „Aussage zuordnen“, VERA-3 Mathematik 2015 Lotta hängt diese 3 Tierbilder nebeneinander auf.

Wie viele Möglichkeiten hat sie die Bilder anzuordnen?

Sie hat Möglichkeiten.

Die Kinder werfen einen Spielwürfel.

Kreuze an.

Das Ergebnis ist größer als 6.

unmöglich Das Ergebnis ist kleiner als 7.

möglich, aber nicht sicher sicher

Das Ergebnis ist eine gerade Zahl.

Neben der Kenntnis der Grundbegriffe, sollen die Schülerinnen und Schüler im Bereich der Wahrscheinlichkeit auch Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten einschätzen.

Die Aufgabe „Farbwürfel“ (Abbildung 6) zeigt, wie dies umgesetzt werden kann.

Abbildung 6: Aufgabe „Farbwürfel“, VERA-3 Mathematik 2015

Aufgrund der Komplexität der Aufgaben ist es sicher sinnvoll, diese, wenn möglich, in einen kindgerechten Kontext einzubetten, welcher der Lebenswelt der Kinder entstammt. Hierzu zählen besonders Würfelspiele oder der Münzwurf.

3.2 Der Kompetenzbereich „Raum und Form“ in den Bildungsstandards Zum inhaltlichen Kompetenzbereich Raum und Form gehören neben den klassischen Gebie- ten der Geometrie, wie dem Beschreiben, Zeichnen und Messen von Figuren und Körpern, auch zentrale Kompetenzen, die für die Weiterentwicklung geometrischen Denkens wichtig sind. Folgende Kompetenzen sollen in diesem Bereich aufgebaut werden:

• Sich im Raum orientieren

• Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

• Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

• Flächeninhalte und Rauminhalte vergleichen und messen.³ 3.2.1 Sich im Raum orientieren

Die Aufgabe „Ansicht“ (Abbildung 7) zeigt, welche Anforderungen die inhaltliche Kompetenz

„sich im Raum orientieren“ hat. Hier wird gedanklich mit Körpern im dreidimensionalen Raum operiert. Zur zweidimensionalen Ansicht von oben sollen die entsprechenden Körper in drei- dimensionaler Darstellung gefunden werden. Dazu ist es notwendig, räumliches Vorstel- lungsvermögen zu aktivieren, zu erkennen, wie die Ansicht von oben zu den jeweiligen Kör- pern aussieht und letztlich die vorgegebene zweidimensionale Ansicht mit der entsprechen- den dreidimensionalen Ansicht in Beziehung zu setzen.

Der Aufbau dieser Kompetenz kann im Besonderen durch das Arbeiten mit konkreten Ge- genständen (z. B. Würfeln) im zwei- oder dreidimensionalen Raum unterstützt werden. Das Dokumentieren räumlicher Beziehungen in Form von Plänen oder Ansichten kann die Orien- tierung im Raum unterstützen.

3 siehe Kultusministerkonferenz 2005, S. 10-11 unter https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/subject.

Paul würfelt. Er gewinnt, wenn eine weiße Seite oben liegt.

Aus welchem Netz sollte er seinen Würfel basteln, um eine möglichst große Gewinnchance zu haben?

a) Kreuze an.

B C D

A

b) Begründe.



Abbildung 7: Aufgabe „Ansicht“ , VERA-3 Mathematik 2014

3.2.2 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen

Aspekte der Kompetenz „geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen“ werden an der Aufgabe „Anzahl der Ecken“ (Abbildung 8) deutlich. Anhand ausgewählter ebener Figuren soll die Gesamtzahl der Ecken bestimmt werden. Dabei ist es nötig, die Fachbegriffe und die Eigenschaften der ebenen Figuren zu kennen – in diesem Fall konkret die Anzahl der Ecken der jeweiligen Figuren. Der Bereich umfasst generell auch das Sortieren nach bestimmten Eigenschaften und damit einhergehend das Beschreiben geometrischer Eigen- schaften, sowie das begründete Entscheiden, ob eine Figur zu einem Begriff gehört oder nicht. Er ist daher geeignet allgemeine Kompetenzen wie das Kommunizieren und Argumen- tieren zu fördern. Weiterführend soll mit den Figuren auch operiert werden und es sollen Zu- sammenhänge zwischen ihnen gefunden werden. Dabei können nicht nur ebene Figuren, sondern auch räumliche Körper angesprochen werden.

Abbildung 8: Aufgabe „Anzahl der Ecken“ – Teilaufgaben a) und b), VERA-3 Mathematik 2014

Auch die Aufgabe „Würfelnetz“ (Abbildung 9) illustriert Teilaspekte dieser Kompetenz. Es soll hierbei zunächst untersucht werden, ob es sich bei dem abgebildeten Quadratsechsling um ein Würfelnetz handelt oder nicht. Dazu ist nicht nur das Verständnis des Begriffs Würfel gefragt, sondern auch die Kompetenz gedanklich zu falten.

Anja hat drei Körper von oben gezeichnet.

Ihre Zeichnung sieht so aus:

Welche Anordnung hat sie gezeichnet?

A B

C D

Auf dem Tisch liegen Dreiecke, Kreise und Rechtecke.

a) Claudia nimmt zwei Dreiecke, drei Kreise und zwei Rechtecke. Wie viele Ecken haben ihre Figuren insgesamt?

Ihre Figuren haben

Ecken.

Kim kann

Dreiecke und

Quadrate haben.

b) Kim nimmt Figuren mit insgesamt 20 Ecken. Wie viele Dreiecke und Quadrate kann

sie haben?

Abbildung 9: Aufgabe „Würfelnetz“ , VERA-3 Mathematik 2019

Die inhaltliche Kompetenz geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen umfasst zusätzlich zum Arbeiten mit Modellen von Körpern und ebenen Figuren auch das eigene Anfertigen von Zeichnungen – mit Hilfsmitteln sowie freihändig.

3.2.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen

Der Kompetenzbereich „einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und dar- stellen“ umfasst insgesamt die beiden Abbildungsarten Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbil- dungen. Dabei steht besonders die Beschreibung und Nutzung von Eigenschaften der Ach- sensymmetrie im Mittelpunkt. Anhand der Aufgabe „Kästchen spiegeln“ (Abbildung 10) wird ersichtlich, welche Komponenten genau beteiligt sind. Zur Lösung dieser Aufgabe müssen die Eigenschaften der Achsensymmetrie bekannt sein und entsprechend genutzt werden.

Die quadratischen Kästchengitter bieten hier eine sinnvolle Hilfestellung beim Zeichnen des Spiegelbildes.

Abbildung 10: Aufgabe „Kästchen spiegeln“, VERA-3 Mathematik 2014

Weitere Teilkompetenzen, die in diesen Bereich fallen, sind das Fortsetzen und Entwickeln symmetrischer Muster.

In Bezug auf Ähnlichkeitsabbildungen kann insbesondere das Vergrößern und Verkleinern von ebenen Figuren thematisiert werden. Eine wichtige Hilfestellung sind auch hier Käst- chengitter, die gegebenenfalls sogar selbst durch Falten eines Papiers hergestellt werden können. So ist es beispielsweise möglich, die Ähnlichkeit der Papierbögen nach der DIN- Norm direkt zu nutzen.

Warum ist das kein Würfelnetz? Begründe.



Spiegele an der Achse und male die fehlenden Kästchen aus.

3.2.4 Flächeninhalte und Rauminhalte vergleichen und messen

Die letzte angesprochene Kompetenz, das „Vergleichen und Messen von Flächen- und Rauminhalten“, wird an der Aufgabe „Farbmenge“ (Abbildung 11) ersichtlich.

Abbildung 11: Aufgabe „Farbmenge“, VERA-3 Mathematik 2014

Hier muss zunächst der Flächeninhalt der einzelnen Figuren durch das Auslegen mit Ein- heitsdreiecken und -quadraten bestimmt werden, um anschließend die ermittelten Flächen- inhalte miteinander zu vergleichen. Zu diesem Bereich gehört neben der Untersuchung des Flächeninhalts auch die des Umfangs. Darüber hinaus soll nicht nur in der Ebene operiert werden, sondern es sollen auch Rauminhalte unter Zuhilfenahme von Einheitswürfeln be- stimmt und verglichen werden. Im Vordergrund steht demnach insgesamt der Prozess des Messens, wobei besonders die Invarianz des Inhalts und das Messen als Vergleichen betont werden.

4. Anregungen für den Unterricht

Aufgaben wie die in VERA-3 können nicht nur zur Feststellung des Leistungsstandes, son- dern auch zur unterrichtlichen Förderung von Kompetenzen dienen. Dabei sei betont, dass nicht die Aufgaben per se bei den Schülerinnen und Schülern zur Ausformung, Festigung und Weiterentwicklung der zu ihrer Lösung benötigten Kompetenzen führen, sondern nur eine den Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler angepasste Auswahl kompetenzorien- terter Aufgaben und deren adäquate Behandlung im Unterricht. Die Lernenden müssen – so belegen viele empirische Untersuchungen – ausreichend Gelegenheiten haben, die entspre- chenden kompetenzbezogenen Tätigkeiten (wie Argumentieren oder Modellieren) selbst zu vollziehen, mehr noch, über diese Tätigkeiten zu reflektieren, Lösungswege zu begründen, verschiedene Wege zu vergleichen, Ergebnisse kritisch zu diskutieren und vieles andere

Die Farbe wurde immer gleich dick aufgetragen.

Auf dem Schulhof sind folgende Figuren aufgemalt.

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4

Die Farbmenge ist gleich bei Figur und Figur . a) Für welche Figuren braucht man die gleiche Menge Farbe?



b) Begründe.

mehr. Die Ergebnisse nationaler und internationaler Leistungsvergleiche weisen darauf hin, dass im Mathematikunterricht noch bewusster und noch konsequenter als bislang die umfas- sende Kompetenzentwicklung der Schülerinnen und Schüler im Mittelpunkt der Arbeit stehen sollte. In einem so verstandenen „kompetenzorientierten Unterricht“ achtet die Lehrkraft noch mehr als bisher auf die individuellen Kompetenzstände der Kinder und macht Aufgabenan- gebote für verschiedene Leistungsniveaus.

Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit umfasst verschiedene Aspekte. Beim Betrachten von Daten geht es um das Gewinnen von Übersicht: Mehrere oder viele Daten sind so dar- zustellen, dass man sie einerseits in ihrer Vielfalt wahrnehmen, andererseits zusammenfas- send beschreiben kann – etwa durch typische „Kennwerte“. In diesem Bereich werden daher Kompetenzen zu Größen und Messen zu Raum und Form und zu Zahlen und Operationen zusammengeführt. So kommt ihm eine integrierende Funktion zu. Die betrachteten Daten sollten nicht überwiegend fiktiv, sondern authentisch aus der eigenen Lebenswelt und aus

„fernen Welten“ stammen, um diese zu erschließen. Ziel ist die Kompetenz, Darstellungen zu Daten sowohl lesen als auch in gegebenem Rahmen selbst erstellen zu können. Dabei tre- ten Häufigkeiten auf, einerseits als absolute Häufigkeiten, andererseits in der qualitativen Betrachtung als Anteile. Das ist ein propädeutischer Beitrag zur späteren formalisierten Be- trachtung von Anteilen mit Brüchen. Wahrscheinlichkeit als Phänomen wird vorwiegend qua- litativ betrachtet, zunächst in der Kennzeichnung „sicher, möglich aber nicht sicher, unmög- lich“. Wahrscheinlichkeiten werden nicht durch explizite Werte dargestellt, das würde Bruch- rechnung erfordern, vielmehr durch Wahrscheinlichkeitsvergleiche im Sinn von „gleich wahr- scheinlich“ oder „wahrscheinlicher als“. Das Ziel ist hier eine erste qualitative Annäherung an rationales Argumentieren angesichts unsicherer Situationen.

Im Kompetenzbereich Raum und Form kommt der Sprachbildung besondere Bedeutung zu, da im Gegensatz zur Arithmetik keine formalen Darstellungen entwickelt werden. Bereichs- bezogen geht es zuerst darum, sich im umgebenden Raum oder in einem gegebenen Raum aus der eigenen Perspektive zu orientieren, und dies mit einem sicher gehandhabten Wort- schatz kennzeichnen zu können, sowohl in Ortsbezeichnungen als auch in Richtungsbe- zeichnungen, sowohl aus der eigenen Perspektive als auch aus der von anderen. Dieser Wortschatz ist für die Mathematik wie für die Lebenswelt unerlässlich: „oben, unten, nach vorn, nach rechts, neben, unter“, etc. Elementare ebene und räumliche Figuren und ihre Ei- genschaften sollen nicht nur als solche erkannt und beschrieben („gerade“, „rund“, „Recht- eck“, „Kreis“, „Quadrat“, „Quader“ etc.), sondern auch als Attribute von Gegenständen der Lebenswelt gesehen und verwendet werden („runde Dose“, „gerader Stab“ etc.). Entschei- dend ist darüber hinaus schließlich, an Formen und Figuren nicht nur konkret, sondern auch mental Änderungen vornehmen zu können, sowohl erfahrungsbasierte: „Ich stell mir vor, ich dreh‘ das rechtsrum.“, als auch solche, die über reale Erfahrung hinausgehen: „Ich stell mir vor, das Auto ist in Wirklichkeit viel größer.“ Dies ist der Kern des integrierenden Konzepts der Raumvorstellung, das nicht nur – im engeren Sinne – geometrische Gestalten betrifft, sondern auch eine Voraussetzung für das Verstehen veranschaulichender Formen in der Arithmetik und für das Schätzen und Messen von Größen ist.

Viele weitere Vorschläge für kompetenzorientiertes Unterrichten sind z. B. in Bruder/Büch- ter/Leuders (2008), Blum et al. (2006) oder Walther et al. (2012) enthalten.

Die hier stichwortartig genannten Aspekte sind kennzeichnend für „Unterrichtsqualität“ im Fach Mathematik. Etwas systematischer kann man dabei drei Komponenten unterscheiden⁴.

• Eine fachlich gehaltvolle Unterrichtsgestaltung, die den Kindern immer wieder vielfäl- tige Gelegenheiten zu kompetenzbezogenen Tätigkeiten bietet (zum mathematischen Modellieren, zum Argumentieren, zum Kommunizieren usw.) und bei der vielfältige Vernetzungen sowohl innerhalb der Mathematik als auch zwischen Mathematik und Realität hergestellt werden.

• Eine konsequente kognitive Aktivierung der Lernenden in einem Unterricht, der geis- tige Schülertätigkeiten herausfordert, selbständiges Lernen und Arbeiten ermöglicht

4 Man vgl. dazu das einleitende Kapitel in Blum et al. (2006).

und ermutigt, lernstrategisches Verhalten (heuristische Aktivitäten) fördert und ein stetes Nachdenken über das eigene Lernen und Arbeiten (metakognitive Aktivitäten) stimuliert.

• Eine effektive und schülerorientierte Unterrichtsführung, bei der verschiedene For- men und Methoden flexibel variiert werden, Stunden klar strukturiert sind, eine stö- rungspräventive und fehleroffene Lernatmosphäre geschaffen wird und Lernen und Beurteilen erkennbar getrennt sind.

Es gibt sicher keinen universellen Königsweg zum Unterrichtserfolg. Man weiß aber aus vie- len empirischen Untersuchungen, dass Unterricht nur dann positive Effekte haben kann, wenn hinreichend viele dieser Qualitätskriterien erfüllt sind (vgl. u. a. Helmke 2006).

Ein naheliegender Weg zur Realisierung eines solchen Unterrichts im Fach Mathematik ist die Verwendung eines breiten Spektrums kompetenzorientierter Aufgaben, darunter auch

„selbstdifferenzierende“ (d. h. Aufgaben, die Zugänge auf unterschiedlichen Niveaus ermög- lichen und dadurch für stärkere wie schwächere Schülerinnen und Schüler gleichermaßen geeignet sind).

Gerade offenere Aufgabenvarianten sind hier besonders gut geeignet, da sie Schülerinnen und Schülern ermöglichen, entsprechend ihrer Fähigkeiten eigene Wege zu gehen und selb- ständig Lösungen zu finden. Die Lehrkraft kann dabei versuchen, möglichst viele dieser Lö- sungswege zu beobachten und im Bedarfsfall unterstützend einzugreifen, und sie kann nach der Bearbeitung unterschiedliche Schülerlösungen präsentieren und diskutieren lassen.

5. Literaturverzeichnis

Blum, Werner 2006: Die Bildungsstandards Mathematik. Einführung. In W. Blum, C. Drüke- Noe, R. Hartung & O. Köller (Hrsg.), Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundar- stufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen (S. 14-32); Berlin:

Cornelsen Verlag Scriptor.

Bruder, Regina / Büchter, Andreas / Leuders, Timo (Hrsg.) 2008: Mathematikunterricht ent- wickeln. Berlin: Cornelsen Verlag Scriptor.

Helmke, Andreas 2006: Was wissen wir über guten Unterricht? Pädagogik, 2, 42-45.

Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen 2013: Kompetenzstufenmodell zu den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4)“ in der Fassung vom 11.02.2013. (https://www.iqb.hu-berlin.de/bista/ksm)

Kultusministerkonferenz 2005: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Beschluss vom 15.10.2004. (https://www.iqb.hu- berlin.de/bista/subject und http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in- schulen/bildungsstandards/ueberblick.html)

Reiss, Kristina / Roppelt, Alexander/ Haag, Nicole/ Pant, Hans Anand/ Köller, Olaf 2012:

Kompetenzstufenmodelle im Fach Mathematik. In P. Stanat, H. A. Pant, K. Böhme & D.

Richter (Hrsg.), Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern am Ende der vierten Jahr- gangsstufe in den Fächern Deutsch und Mathematik (S.72-84); Münster: Waxmann.

Reiss, Kristina / Winkelmann, Henrik 2008: Step by step. Ein Kompetenzstufenmodell für das Fach Mathematik. Grundschule, 40 (10), 34-37.

Reiss, Kristina / Winkelmann, Henrik 2009: Kompetenzstufenmodelle für das Fach Mathema- tik im Primarbereich. In D. Granzer, O. Köller, A. Bremerich-Vos, M. van den Heuvel- Panhuizen, K. Reiss & G. Walther (Hrsg.), Bildungsstandards Deutsch und Mathematik.

Leistungsmessung in der Grundschule (S. 120-141); Weinheim: Beltz.

Walther, Gerd / van den Heuvel-Panhuizen, Marja / Granzer, Dietlinde / Köller, Olaf (Hrsg.) 2012: Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret; Berlin: Cornelsen.

Winkelmann, Henrik / Robitzsch, Alexander 2009: Modelle mathematischer Kompetenzen:

Empirische Befunde zur Dimensionalität. In D. Granzer, O. Köller, A. Bremerich-Vos, M.

van den Heuvel-Panhuizen, K. Reiss & G. Walther (Hrsg.), Bildungsstandards Deutsch und Mathematik. Leistungsmessung in der Grundschule (S. 169-196); Weinheim: Beltz.

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