Raumkurven I
Moritz Korte-Stap↵
26. Februar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Raumkurven 3
1.1 Definition . . . 3
2 Gerahmte Raumkurven 4 2.1 Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein . . . 5
2.1.1 Kr¨ummung . . . 5
2.1.2 Normalenvektor . . . 6
2.1.3 Binormalenvektor . . . 7
2.1.4 Torsion/Windung . . . 8
2.1.5 Definition Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein . . . 8
2.2 Parallel-Rahmen . . . 10
2.2.1 Definition . . . 10
2.2.2 Existenz von parallelen Rahmen . . . 10
3 Rekonstruktion von Raumkurven aus Kr¨ummung und Torsion 12 3.1 Invarianz von Kr¨ummung und Torsion bei orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen . . . 12
3.2 Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie . . . 13
1 Raumkurven
1.1 Definition
Im folgenden wird es um Kurven gehen, die ihre Werte im R3 annehmen:
Definition 1.1.1(Raumkurve)
Sei I✓ Rein Intervall. Eineparametrisierte Raumkurveist eine unendlich oft di↵eren- zierbare Funktion c: I !R3
Also sind Raumkurven erst mal nicht wirklich etwas anderes als ebene Kurven nur mit einem anderen Wertebereich. Jedoch ergibt sich schon bei der Definition des Normalenfeldes ein Problem:
Bei ebenen Kurven gab es genau zwei Einheitsvektoren, die senkrecht auf den Geschwindig- keitsvektor standen. Bei Raumkurven bilden die Einheitsvektoren senkrecht zu ˙c(t) einen Kreis.
Die allgemeinen Vektoren senkrecht auf ˙c(t) bilden sogar eine Ebene (Abb.1 [Baer] S. 57) Im Fall von ebenen Kurven war der Normalenvektore so gew¨ahlt, dass der Normalenvektor und der Geschwindikeitsvektor eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden. Welchen Vektor sollte man in dem Fall der Raumkurve als Normalenvektor w¨ahlen?
Abb. 1:
2 Gerahmte Raumkurven
Das Problem der Wahl des Normalenvektors wird durch sogenannte Rahmen gel¨ost.
Im 2-Dimensionalen Fall bildeten der Geschwindigkeitsvektor ˙cund der Normalenvektor n eine positiv orientierte Orthonormalbasis. Das Ziel der Definition von Rahmen ist es, solch eine Basis f¨ur den R3 zu bilden.
Definition 2.1.1
Sei c: I 2R !R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Raumkurve. Ein Tripel glatter Abbildungen v, n, b : I ✓ R ! R3 heißt angepasster Rahmen von c, wenn ˙c = v und v(t), n(t), b(t) f¨ur alle t2I eine positiv orientierte Orthonormalbasis bilden.
b ist dabei das Kreuzprodukt von ˙c und n.
F¨ur einen angepassten Rahmen gelten folgende Gleichungen:
Satz 2.1.2
Sei ˙c, n, b der angepasste Rahmen zu einer Kurve c : I ✓ R ! R3. Des weiteren seien
1,2,⌧ :I ✓R !R3 glatte Abbildungen. Dann gilt:
¨
c=1n+2b
˙
n= 1c˙+⌧b b˙ = 2 ⌧n
Sowie
1 =h¨c, ni
2 =h¨c, bi
⌧ =hn, b˙ i
Beweis
Da hc,˙ c˙i= 1 isthc,¨ c˙i= 0. Damit sind aber ¨csenkrecht auf ˙cund da ˙c, n, b eine orthogonale Basis des R3 bilden ist ¨c darstellbar als Linear kombination von n und b:
¨
c=1n+2b f¨ur beliebige 1 und 2.
Analog kann man dann ˙n und ˙b darstellen:
˙
n= ¨c+⌧b˙ b˙ =↵c˙+ n Mit hc, n˙ i= 0 folgt:
h¨c, ni+hc,˙ n˙i= 0 Wobei
hc, n¨ i=h1n+2b, ni=1hn, ni=1
und
hc,˙ n˙i=hc,˙ c˙+⌧bi= hc,˙ c˙i= Also ist 1 =
Analog folgt aus hc, b˙ i und hn, bi
h¨c, bi+hc,˙ b˙i=2+↵ = 0 sowie hn, b˙ i+hn,b˙i=⌧ + = 0 Und damit:
↵ = 2
bzw. = ⌧
⇤
Jetzt l¨asst sich nat¨urlich vermuten, dass 1 bzw. 2 ¨ahnlich der Kr¨ummung wie definiert f¨ur ebene Kurven sind. Tats¨achlich sagen 1, 2 und auch ⌧ etwas ¨uber das Verhalten von Kurven in einem Punkt aus. Jedoch h¨angen 1,2 und ⌧ von dem jeweils gew¨ahlten Rahmen ab. So gilt f¨ur parallele Rahmen immer ⌧ = 0, w¨ahrend f¨ur Frenet-Rahmen immer 2 = 0 gilt.
In diesem Proseminar sollen im wesentlichen 2 Arten von Rahmen vorgestellt werden.
Ersterer ist der:
2.1 Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein
2.1.1 Kr¨ummung
Der erste Schritt zum Frenet-Rahmen, ist eine Kr¨ummung f¨ur Raumkurven zu definieren. Im ebenen Fall wurde der Normalenvektor gebraucht, um die Kr¨ummung zu definieren. Verzichtet man auf ein par Vorteile der Kr¨ummung f¨ur ebene Kurven, gelingt es jedoch die Kr¨ummung f¨ur Raumkurven unabh¨angig vom Normalenvektor zu definieren.
Die Kr¨ummung f¨ur ebene Kurven ist wie folgt definiert:
¨
c(t) =(t)·n(t)
Also als Skalar, der angibt um wie viel der zweite Ableitungsvektor l¨anger ist.
Sprich:
|(t)|=k¨c(t)k
Verzichtet man also nun auf das Vorzeichen, welches uns zwar angibt, ob sich die Kurve nach rechts oder links kr¨ummt, kann man die Kr¨ummung unabh¨angig vom Normalenvektor definieren:
Defnition 2.1.1 (Kr¨ummung einer Raumkurve)
Sei I ✓ R eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve. Die Funktion : I ! R,(t) = k¨c(t)kheißt Kr¨ummung von c.
Wieder gibt die Kr¨ummung an, in wie Weit die Kurve von einer geraden Linie abweicht. C eine gerade Linie genau dann wenn k¨ck= 0 f¨ur alle t.
Des weiteren gilt f¨ur die hier definierte Kr¨ummung f¨ur eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve immer (t) 0. Die Frage, ob sich die Kurve nach rechts oder links biegt, macht also keinen Sinn mehr.
Da die Ebene im R3 enthalten ist, liegen jetzt 2 Definitionen f¨ur die Kr¨ummung vor.
Sei ˜c : I ✓ R ! R2 eine Kurve in der x-y-Ebene (z=0) mit Kr¨ummung ˜: I ! R. Sei c: I
✓R !R3 dieselbe Kurve aufgefasst als Raumkurve mit Kr¨ummung : I !R. Dann ist:
(t) =kc(t)¨ k=k(¨˜c(t),0)k=k¨˜c(t)k=|(t)˜ |
2.1.2 Normalenvektor
Wegen:
¨
c(t) =(t)·n(t) () n(t) = c(t)¨
(t) = c(t)¨ kc(t)¨ k
kann nun das anf¨angliche Problem der Definition eines Normalenvektors gel¨ost werden.
Definition 2.1.2.1(Normalenvektor)
Sei c: I ✓R !R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve. Sei t0 2 I mit(t0)6= 0.
Dann ist
n(t0) = (t¨c(t0)
0) = k¨c(t¨c(t0)
0)k
der Normalenvektor von c in t0.
Bereits hier wird ein großes Problem des Frenet-Rahmens deutlich. Um den Normalenvek- tor so zu definieren muss (t0) 6= 0 also kc(t¨ 0)k 6= 0 vorrausgesetzt werden. Will man den Normalenvektor entlang der gesamten Kurve definieren, muss dies f¨ur alle t 2 I gelten. Dies beeinschr¨ankt die Wahl der Kurven erheblich.
Es ist leicht und ¨ahnlich wie im ebenen Fall zu zeigen, dass der Normalenvektor tats¨achlich orthogonal zu ˙c ist:
1 =hc,˙ c˙i Di↵erenzieren auf beiden Seiten ergibt:
0 = 2h¨c,c˙i
Sprich ¨cund ˙csind orthogonal. Da ¨caber der Normalenvektor multipliziert mit einem Skalar ist, m¨ussen der Geschwindigkeitsvektor und der Normalenvektor ebenfalls orthogonal sein.
2.1.3 Binormalenvektor
F¨ur ebene Kurven reichen der Geschwindigkeitsvektor und der Normalenvektor um eine orthogonale Basis f¨ur den R2 zu scha↵en. F¨ur Raumkurven fehlt uns jedoch noch ein Vektor.
Dieser l¨asst sich aber ohne gr¨oßere Schwierigkeiten definieren:
Definition 2.1.3.1 (Binormalenvektor)
Sei c : I ✓ R ! R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Raumkurve. Seien t0 2 I und
(t0)6= 0 Dann ist:
b(t0) =n(t0)⇥c(t˙ 0)
der Binormalenvektor von c in t0.
Hierbei ist ⇥ das Kreuzprodukt, welche die Eigenschaft hat, das x,y und x ⇥ y orthogonal zu einander sind und dass x,y und x⇥y eine positiv orientierte orthogonale Basis desR3bilden.
Sind x und y orthogonal und der L¨ange 1, so formen x,y x ⇥ y sogar eine Orthonormalbasis.
2.1.4 Torsion/Windung
Die oben definierte Kr¨ummung ist nicht die einzige Aussage, die ¨uber das Verhalten der Kurve in einem Punkt getro↵en werden kann. Eine weitere Eigenschaft der Kurve ist ihre Windung. Sie wird im wesentlichen messen, wie sehr sich der Normalenvektor aus der Ebene, die der Normalenvektor und der Geschwindigkeitsvektor aufspannen, herrausbewegt.
Definition 2.1.4.1(Windung/Torsion)
Sei c: I ✓R ! R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve. Seien t0 2I, (t0) 6= 0 und (b(t0), n(t0),c(t˙ 0)) eine orthonormale Basis in t0.
Dann ist:
⌧(t0) :=hn(t˙ 0), b(t0)i die Windung ⌧ von c an t0.
2.1.5 Definition Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein
Die mit b, n und ˙cdefinierte Orthonormalbasis wird Frenet-Rahmen bzw. Frenet-Dreibein genannt.
Definition 2.1.5.1(Frenet-Rahmen/Frenet-Dreibein)
Die Orthonormalbasis (b(t0), n(t0),c(t˙ 0)) definiert wie auf den obigen Seiten heißt Frenet- Rahmen bzw. Frenet-Dreibein. (Abb.2)
Abb.2:
Da im Frenet-Rahmen wie im ebenen Fall gilt: ¨c = n folgt mit Satz 2.1.2, dass im Frenet-Rahmen gilt: 2 = 0. Des weiteren entspricht das allgemeine 1 im Frenet-Rahmen der Kr¨ummung f¨ur den Frenet-Rahmen. Die Definition der Torsion ist eines der großen Vorteile des Frenet-Rahmens. Sie erlaubt eine genaue Aussagen ¨uber das Verhalten der Kurve in einem Punkt zu tre↵en. Jedoch schr¨ankt die notwendige Definition des Normalenvektors die Auswahl an Kurven erheblich ein, sodass es nicht m¨ogliche ist den Frenet-Rahmen f¨ur beliebige Kurven zu definieren.
Satz 2.1.5.2(Frenet-Formeln)
Sei c : I ✓ R ! R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve mit streng positiver Kr¨ummung(t)>0 f¨ur allet 2I. Sei (v, n, b) der Frenet-Rahmen von c und⌧die Windung.
Dann gilt:
⇣
˙
v(t),n(t),˙ b(t)˙ ⌘
= (v(t), n(t), b(t)) 0
@ 0 (t) 0
(t) 0 ⌧(t)
0 ⌧(t) 0
1 A
Beweis:
Die erste Spalte ergibt sich direkt aus der Definition vom Normalenvektor. ˙v =·n Die zweite Spalte folgt
aus hn, v˙ i= dtdhn, vi hn,v˙i= 0 = , aus hn, n˙ i= 12(dtd)hn, ni = 0
und aus der Definition von ⌧.
Die dritte Spalte folgt aus hb, n˙ idtdhb, vi hb,v˙i= 0 hb, ni= 0 aus hb, n˙ i= dtdhb, ni hb,n˙i= 0 ⌧ = ⌧
und aushb, b˙ i= 12(dtd)hb, bi= 0.
⇤ Mit dem Frenet-Rahmen erh¨alt man die sch¨one geometrische Interpretation anhand von Kr¨ummung und Windung.
Jedoch, wie bereits angemerkt, kommen viele Kurven f¨ur einen Frenet-Rahmen gar nicht in Frage. Um dieses Problem zu umgehen, gibt es eine weitere Art von Rahmen.
2.2 Parallel-Rahmen
2.2.1 Definition
F¨ur den Frenet-Rahmen gilt: ¨c=n. Jedoch l¨asst sich, wie bekannt aus der Theorie ebener Kurven, die Kr¨ummung auch durch die Gleichung: ˙n = c˙definieren. Durch diese Forderung an ergibt sich eine andere Art von Rahmen f¨ur Raumkurven.
Definition 2.2.1.2(Paralleler Rahmen)
Ein angepasster Rahmen ( ˙c, n, b) heißt parallel, wenn es eine Funktion : I ✓ R ! R3 gibt mit: ˙n = c˙
Aus Satz 2.1.2 folgt damit, dass f¨ur parallele Rahmen stets: ⌧ = 0 gilt. Geometrisch in- terpretiert, bedeutet dies, dass sich der Normalenvektor n lokal nicht aus der von n und ˙c aufgespannten Ebene herrausbewegt. Sprich die Kurve rotiert lokal nicht um die ˙c-Achse.
Um mithilfe des Frenet-Rahmens den Verlauf einer Raumkurve zu beschreiben reichen also
und ⌧, w¨ahrend man mit Hilfe des parallelen Rahmens nur1 und 2 braucht.
Anschaulich (Abb.3 [Pinkall] S. 50)
Um ein Flugzeug zu fliegen, braucht man mithilfe des Frenet-Rahmens nur das H¨ohenruder (Kr¨ummung) und das Querruder (Windung/Torsion), w¨ahrend man mithilfe des parallelen Rahmens das H¨ohenruder (1) und das Seitenruder (2) braucht.
2.2.2 Existenz von parallelen Rahmen
Der parallele Rahmen hat gegen¨uber dem Frenet-Rahmen den immensen Vorteil, dass es den parallelen Rahmen f¨ur jede Kurve gibt:
Satz 2.2.2.2(Existenz von parallelen Rahmen) Jede Kurve besitzt einen parallelen Rahmen
Beweis:
Sei c:I ✓R !R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve und n0 ? c(t˙ 0),kn0k= 1 f¨ur alle t 2I. Des weiteren sei n:I !R3 eine eindeutig bestimmte L¨osung der Gleichung:
˙
n= hn,˙ ¨ci c, n(t˙ 0) = n0
Zu zeigen: kn(t)k= 1: Also:
hn, ni0 = 2hn, n˙ i= 2hn,¨cihc, n˙ i. Bleibt zu zeigen: ˙c? n () hn, ni0 = 0,) kn(t)k=kn0k= 1) Es gilt:
hn,c˙i0 =hn,˙ c˙i+hn,c˙i
= hn,c¨ihc,˙ c˙i+hn,¨ci= 0 Da hn0,c˙0i= 0 )n ? c˙
⇤
3 Rekonstruktion von Raumkurven aus Kr¨ ummung und Torsion
3.1 Invarianz von Kr¨ ummung und Torsion bei orientierungserhal- tenden euklidischen Bewegungen
Satz 2.1.5.3
Sei c:I ✓R !R3eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Raumkurve und sei F 2 SO(3) eine orientierungserhaltende euklidische Bewegung. Dann gilt f¨ur die die Kr¨ummung ˜ und die Windung ˜⌧ der Kurve ˜c=F c
˜
=,⌧˜=⌧
Beweis:
Matrizen der Gruppe SO(3) sind stets orthogonal. Also gilt: ATA=E3, sowie kAk = 1.
Kr¨ummung
Die Kr¨ummung der Kurve ˜cist wie folgt definiert: ˜=kc¨˜k. Es gilt also:
˜
=k¨˜ck=kA¨ck=k¨ck=.
Damit ist die Aussage f¨ur die Kr¨ummung bewiesen.
Windung/Torsion
F¨ur die Windung/Torsion gilt:
˜
⌧ =hn,˙˜ ˜bi Das ist aber:
=hAn, Ab˙ i
=hAATn, b˙ i
=hn, b˙ i
=⌧ Damit ist alles gezeigt.
⇤ Nun sind wir in der Lage das fundamentale Theorem der Raumkurventheorie: Wenn wir zu einem bestimmten Punkt die Kr¨ummung und die Windung gegeben haben, l¨asst sich da- zu eine Raumkurve finden. Mit Lemma 2.1.5.3 ist diese Raumkurve sogar eindeutig bis auf orientierungserhaltene Euklidische Bewegungen.
3.2 Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie
Theorem 2.1.6(Fundamental-Theorem der Raumkurventheorie)
Sei I 2 R ein Intevall, ,⌧ :I ! R glatte Funktionen mit >0. Dann existiert eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Raumkurve c: I !R3 mit Kr¨ummung und Windung
⌧. Diese Kurve ist eindeutig bis auf orientierungserhaltene euklidische Bewegungen.
Beweis Existenz
Man betrachte das System von Di↵erentialgleichungen erster Ordnung:
d
dt(c, v, n, b) = (c, v, n, b) 0 BB
@
0 0 0 0
1 0 (t) 0
0 0 ⌧
0 0 ⌧ 0
1 CC A
Wobei c, v, n, b:I !R3 Funktionen sind, die noch gefunden werden m¨ussen.
Sei t0 2 I. Das Theorem f¨ur Existenz und Eindeutigkeit solcher Systeme von Di↵erential- gleichungen sagt, dass es genau eine L¨osung gibt, die die Anfangsbedingungen
c(t0) = 0 v(t0) = e1
n(t0) =e2
b(t0) = e3 gibt.
Die Linearit¨at des Systems stellt sicher, dass die L¨osung auf dem gesamten Intervall I definiert ist.
v, n, b sind so gew¨ahlt, dass sie an t=t0 eine orthonormale Basis des R3 bilden.
Es ist nun zu zeigen, dass dies f¨ur alle t2I gilt.
Von dem System der Di↵erentialgleichungen folgt:
d
dthv, vi= 2·hv, v˙ i= 2·hn, vi
und
d
dthn, vi=hn, v˙ i+hn,v˙i= hv, vi+⌧hb, bi+hn, ni
Wieder mit dem System der Di↵erentialgleichungen berechnet man dann die Ableitungen von hn, ni und hb, bi, sowie hb, ni und hb, vi und erh¨alt das folgende System von Di↵erential- gleichungen:
d dt
0 BB BB BB
@ hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi
1 CC CC CC A
= 0 BB BB BB
@
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2⌧ 2
0 0 0 0 2⌧ 0
0 0 0 0 ⌧
0 ⌧ ⌧ 0 0
0 ⌧ 0 0
1 CC CC CC A
· 0 BB BB BB
@ hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi
1 CC CC CC A
Mit den Anfangsbedinungen:
0 BB BB BB
@ hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi
1 CC CC CC A
t=t0
= 0 BB BB BB
@ 1 1 1 0 0 0
1 CC CC CC A
Es ist aber o↵ensichtlich, dass die konstante Funktion:
t! 0 BB BB BB
@ 1 1 1 0 0 0
1 CC CC CC A
ebenfalls das System der Di↵erentialgleichungen mit den selben Anfangsbedingungen erf¨ullt.
Demnach muss nach dem Eindeutigkeitstheorem normaler Di↵erentialgleichungen gelten:
0 BB BB BB
@ hv, vi hn, ni hb, bi hb, vi hb, ni hn, vi
1 CC CC CC A
= 0 BB BB BB
@ 1 1 1 0 0 0
1 CC CC CC A
Also bilden v(t), n(t), b(t) eine Orthonormalbasis des R3 nicht nur f¨ur t0 sondern f¨ur alle t2I.
Die Orientierung der Basis bleibt positiv f¨ur alle t 2 I, da aus Gr¨unden der Stetigkeit die Determinante der Matrix (v(t), n(t), b(t)) nicht von 1 zu -1 springen kann. Des weiteren folgt aus dem System von Gleichungen, dass ˙c=v, also ist c eine nach Bogenl¨ange parametrisierte Raumkurve. Aus den Frenet-Formeln folgt, dass (v, n, b) der dazugeh¨orige Frenet-Rahmen mit Kr¨ummung und Windung ⌧. Dies beweist die Existenz der Raumkurve aus dem Theorem.
Eindeutigkeit
Sei ˜c eine weitere Kurve mit Kr¨ummung und Windung⌧. Man definiereA:= ( ˙˜c,n,˜ ˜b) 1 und p = A·c(t0), wobei ˙˜˜ c, n, b der Frenet-Rahmen zu ˜c ist. Jedoch ist der Frenet-Rahmen zu jedem Zeitpunkt eine positiv orientierte Orthonormalbasis desR3, also ist A2SO(3). Sei nun F eine orientierungserhaltende Euklidische Bewegung mit F(x) := Ax+p. Nach Satz 2.1.5.3 hat die Kurve ˆc=F ˜cebenfalls die Kr¨ummung und die Windung ⌧. Des weiteren ist nach der Definition von F:
ˆ c= 0,⇣
˙ˆ
c(t0),n(t0),ˆ ˆb(t0)⌘
= (e1, e2, e3)
Also erf¨ullen (c, v, n, b) und ⇣
˜
c,c,˙ˆ n,ˆ ˆb⌘
beide das System von Di↵erentialgleichungen mit denselben Anfangsbedingungen und sind daher gleich.
Sprich:
c= ˆc=F c˜
⇤
Literatur
[Baer] C. B¨ar Elementary Di↵erential Geometrie, Cambrige University Press, 2010
[Pinkall] Prof. Dr. U. Pinkall Di↵erential Geometrie I, Mitschrift der Vorlesung gehalten an der TU Berlin, 2008
[Bobenko] Prof. Dr. A. BobenkoDi↵erentialgeometrie von Kurven und Fl¨achen, Mitschrieb der Vorlesung gehalten an der TU Berlin 2006
![Juni 2006 Ubungen¨ Aufgabe 12.1 a) Bestimmen Sie die L¨ange und die Kr¨ummung der Kurve a: [−1,1]→R2, a(t](https://data06.123doks.com/thumbv2/1library_info/001/906/1906766/cover.webp)
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