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1. Brillouin Zone

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Academic year: 2022

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(1)

10 Übungsblatt Festkörperphysik

10.1 (Fermi-Flächen in 2D)

a)

Es sind die ersten 4 Brillouin Zonen des zweidimensionalen Rechteckgitters mit den

Gitterkonstanten

a

und

b = 2 a

zuzeichnen,wobeidasreziprokeGitterwiederrechteckige Form besitzt unddasVerhältnis derSeiten erhält:

1. Brillouin Zone

(2)

3. Brillouin Zone

4. Brillouin Zone

(3)

1. − 4. Brillouin Zone

b)

Es sinddie Fermi-Flächen im periodischen Zonenschema für den Fall zu zeichnen, dass

derFermi-Wellenvektorin

[11]

-Richtung geradebiszumRand derersten Brillouin-Zone geht.

(4)

F ermif laeche in Harrison − Konstruktion

Wirgehennunüberinsperiodische Zonenschema:

F ermif laeche in der 1.BZ im periodischen Zonenschema

(5)

F ermif laeche in der 2.BZ im periodischen Zonenschema

10.2 (Indirekte Übergänge)

DasLeitungsbandminimumvon Germanium (Bandlücke

E g (80K) = 0.722 eV

) liegtge-

nau am

L

-Punkt und das Valenzbandmaximum am

Γ

-Punkt. Der indirekter optische

Übergang ist nur mit Hilfe von Phononen möglich. Es sind alle möglichen Übergänge

unterVernachlässigungvonAuswahlregelnmitdazugehörigenLaser-Wellenlängenzube-

stimmen.WirbetrachtenzurBestimmungderPhonenfrequenzenFolie10Blatt1(glück-

licherweise besitzen wir indiesem Fall

T = 80K

und die

[111]

-Richtung

,

wie für unser

gegebenesProblembenötigt,sodasswirdirektablesenkönnen),esergebensichmiteiner

Ablesegenauigkeitvon

0.2 · 10 12 Hz

folgende Frequenzen

:

Ω T O = 8.6 · 10 12 Hz Ω LO = 7.4 · 10 12 Hz Ω LA = 6.5 · 10 12 Hz Ω T A = 1.9 · 10 12 Hz

FürdieindirektenÜbergänge,müssenwirnun

E = E g + ~ Ω

berechnen.Diemaximale

Anzahl beträgt also

4

und dieErgebnisse für diesesind:

(6)

derEnergieerhaltung:

E = hν = h λ c = E g + ~ Ω

somitfolgtfür dieWellenlänge

λ = hc E 1

,

diesliefert also für dieÜbergänge eine benötigteAnregung durch eineWellenlänge von:

λ T O = 6.626 · 10 34 · 3 · 10 8 1.602 · 10 19 · 1

0.758

V As 2 m s

V As = 1637 · 10 9 m λ LO = 1.241 · 10 6 · 1

0.753 m = 1648 · 10 9 m λ LA = 1.241 · 10 6 · 1

0.749 = 1657 · 10 9 m λ T A = 1.241 · 10 6 · 1

0.730 = 1700 · 10 9 m.

10.3 (Herleitung der Bewegungsgleichung aus der

Heisenberg-Darstellung)

Es ist die Bewegungsgleichung für Bloch-Elektronen unter Einuss einer äuÿeren kon-

stanten Kraft

F ~

herzuleiten:

d~k dt = 1

~ F . ~

Hierbei istdie Heisenberg-Darstellung für dieZeitableitung eines Operators

A

zu be-

nutzen, diese ist gegeben mit:

dA dt = i

~ [H, A]

mit

H = H 0 − F ~ · ~r,

wobei

H 0

dertranslationsinvariante Hamilton-Operator desungestörten Systemssei, d.h. esgilt

[H 0 , T ] = 0

mit dem Translationsoperator

T : T f (~r) = f

~r + T ~

, wobei

T ~

einGittervektoristund

f

eine beliebige Funktion.

a)

Es istzu zeigen,dass derTranslationsoperator fürBloch-Wellen gegeben ist durch:

T = e i~ k · T ~

.Hierzu betrachtenwirdasBlochtheorem, diesesbesagt:

ϕ

~ r + T ~

= e i~ k · T ~ ϕ (~r) .

Zudemgilt aberfür beliebige Funktionen, speziell also für

f (~r) = ϕ (~r)

:

ϕ

~r + T ~

= T ϕ (~r) .

Es geltenbeideFormeln, durchVergleich erkennen wiralso,dassderTranslationsope-

rator indiesemFall durch:

T = e i~ k · T ~

gegeben ist.

(7)

Wir können nun in der Heisenbergdarstellung den Operator

A

durch

T

ersetzen und

erhalten:

dT

dt = i

~ [H, T ]

= i

~

 [H 0 , T ]

| {z }

=0

− h

F ~ · ~r, T i

= i

~ n

T F ~ · ~r

F ~ · ~r T o

= i

~

nh F ~ ·

~r + T ~ i T −

F ~ · ~ r T o

= i

~

n F ~ · ~r T +

F ~ · T ~ T −

F ~ · ~r T o

= i

~

F ~ · T ~ T

Wenden wirdenkonjugiert komplexenOperator

T

auf beide Seitenan,folgt:

T dT

dt = T i

~

F ~ · T ~ T

= i

~

F ~ · T ~

|T | 2 ,

wobeisichmit

|T | 2 = T T = e i~ k · T ~ e i~ k · T ~ = e 0 = 1

folgendesergibt:

T dT

dt = i

~

F ~ · T ~

e i~ k · T ~ d dt

e i~ k · T ~

= i

~

F ~ · T ~ .

WirführendieAbleitung aus, dieseliefert:

e i~ k · T ~ e i~ k · T ~

| {z }

=0

i ~ T · d~k

dt + 0 = i

~

F ~ · T ~

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