10 Übungsblatt Festkörperphysik
10.1 (Fermi-Flächen in 2D)
a)
Es sind die ersten 4 Brillouin Zonen des zweidimensionalen Rechteckgitters mit den
Gitterkonstanten
a
undb = 2 a
zuzeichnen,wobeidasreziprokeGitterwiederrechteckige Form besitzt unddasVerhältnis derSeiten erhält:1. Brillouin Zone
3. Brillouin Zone
4. Brillouin Zone
1. − 4. Brillouin Zone
b)
Es sinddie Fermi-Flächen im periodischen Zonenschema für den Fall zu zeichnen, dass
derFermi-Wellenvektorin
[11]
-Richtung geradebiszumRand derersten Brillouin-Zone geht.F ermif laeche in Harrison − Konstruktion
Wirgehennunüberinsperiodische Zonenschema:
F ermif laeche in der 1.BZ im periodischen Zonenschema
F ermif laeche in der 2.BZ im periodischen Zonenschema
10.2 (Indirekte Übergänge)
DasLeitungsbandminimumvon Germanium (Bandlücke
E g (80K) = 0.722 eV
) liegtge-nau am
L
-Punkt und das Valenzbandmaximum amΓ
-Punkt. Der indirekter optischeÜbergang ist nur mit Hilfe von Phononen möglich. Es sind alle möglichen Übergänge
unterVernachlässigungvonAuswahlregelnmitdazugehörigenLaser-Wellenlängenzube-
stimmen.WirbetrachtenzurBestimmungderPhonenfrequenzenFolie10Blatt1(glück-
licherweise besitzen wir indiesem Fall
T = 80K
und die[111]
-Richtung,
wie für unsergegebenesProblembenötigt,sodasswirdirektablesenkönnen),esergebensichmiteiner
Ablesegenauigkeitvon
0.2 · 10 12 Hz
folgende FrequenzenΩ
:Ω T O = 8.6 · 10 12 Hz Ω LO = 7.4 · 10 12 Hz Ω LA = 6.5 · 10 12 Hz Ω T A = 1.9 · 10 12 Hz
FürdieindirektenÜbergänge,müssenwirnun
E = E g + ~ Ω
berechnen.DiemaximaleAnzahl beträgt also
4
und dieErgebnisse für diesesind:derEnergieerhaltung:
E = hν = h λ c = E g + ~ Ω
somitfolgtfür dieWellenlängeλ = hc E 1,
diesliefert also für dieÜbergänge eine benötigteAnregung durch eineWellenlänge von:
λ T O = 6.626 · 10 − 34 · 3 · 10 8 1.602 · 10 − 19 · 1
0.758
V As 2 m s
V As = 1637 · 10 − 9 m λ LO = 1.241 · 10 − 6 · 1
0.753 m = 1648 · 10 − 9 m λ LA = 1.241 · 10 − 6 · 1
0.749 = 1657 · 10 − 9 m λ T A = 1.241 · 10 − 6 · 1
0.730 = 1700 · 10 − 9 m.
10.3 (Herleitung der Bewegungsgleichung aus der
Heisenberg-Darstellung)
Es ist die Bewegungsgleichung für Bloch-Elektronen unter Einuss einer äuÿeren kon-
stanten Kraft
F ~
herzuleiten:d~k dt = 1
~ F . ~
Hierbei istdie Heisenberg-Darstellung für dieZeitableitung eines Operators
A
zu be-nutzen, diese ist gegeben mit:
dA dt = i
~ [H, A]
mitH = H 0 − F ~ · ~r,
wobei
H 0 dertranslationsinvariante Hamilton-Operator desungestörten Systemssei,
d.h. esgilt [H 0 , T ] = 0
mit dem Translationsoperator T : T f (~r) = f
~r + T ~
, wobei
T ~
einGittervektoristund
f
eine beliebige Funktion.a)
Es istzu zeigen,dass derTranslationsoperator fürBloch-Wellen gegeben ist durch:
T = e i~ k · T ~.Hierzu betrachtenwirdasBlochtheorem, diesesbesagt:
ϕ
~ r + T ~
= e i~ k · T ~ ϕ (~r) .
Zudemgilt aberfür beliebige Funktionen, speziell also für
f (~r) = ϕ (~r)
:ϕ
~r + T ~
= T ϕ (~r) .
Es geltenbeideFormeln, durchVergleich erkennen wiralso,dassderTranslationsope-
rator indiesemFall durch:
T = e i~ k · T ~
gegeben ist.
Wir können nun in der Heisenbergdarstellung den Operator
A
durchT
ersetzen underhalten:
dT
dt = i
~ [H, T ]
= i
~
[H 0 , T ]
| {z }
=0
− h
F ~ · ~r, T i
= i
~ n
T F ~ · ~r
−
F ~ · ~r T o
= i
~
nh F ~ ·
~r + T ~ i T −
F ~ · ~ r T o
= i
~
n F ~ · ~r T +
F ~ · T ~ T −
F ~ · ~r T o
= i
~
F ~ · T ~ T
Wenden wirdenkonjugiert komplexenOperator
T ∗ auf beide Seitenan,folgt:
T ∗ dT
dt = T ∗ i
~
F ~ · T ~ T
= i
~
F ~ · T ~
|T | 2 ,
wobeisichmit
|T | 2 = T ∗ T = e − i~ k · T ~ e i~ k · T ~ = e 0 = 1
folgendesergibt:T ∗ dT
dt = i
~
F ~ · T ~
e − i~ k · T ~ d dt
e i~ k · T ~
= i
~
F ~ · T ~ .
WirführendieAbleitung aus, dieseliefert: