DISKRETE STRUKTUREN Algebraische Grundlagen

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DISKRETE STRUKTUREN

Algebraische Grundlagen

29. Januar 2018

Prof. Dr. Steffen Reith

Theoretische Informatik

Studienbereich Angewandte Informatik Hochschule RheinMain

GRUNDLAGEN & GESCHICHTE

In der Algebra werden Strukturen von Mengen untersucht.

Geschichtlich geht die Algebra aus dem Lösen von Gleichungen hervor:

ca.825n.Chr.

”al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala“

Bedeutung: Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren zum Ergänzen und Ausgleichen von al-Chwarizmi aus Bagdad

Notizen Notizen

DER GRUPPENBEGRIFF

Definition

Ein Paar(G,◦)heißtGruppe, wenn

i) ”◦“ ist eine Funktion der Form◦:G×G→G (Abgeschlossenheit)

ii) ∀a, b, c∈Ggilta◦(b◦c) = (a◦b)◦c(Assoziativität) iii) Es gibt ein Elemente∈G, so dass∀a∈Ggilt

a◦e=a=e◦a(Existenz desneutralenElements) iv) ∀a∈G∃a^′ ∈G, so dassa◦a^′=e=a^′◦a. (Existenz des

inversen Elements)

v) Gilt zusätzlich∀a, b∈Gaucha◦b=b◦a, dann heißt(G,◦) kommutativeoderabelscheGruppe.

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BEISPIELE FÜR GRUPPEN

Einfache Beispiele:(Z,+),(R\{0},·),(C\{0},·)sind abelsche Gruppen und(N,+)ist keine Gruppe

Es gibt vier verschiedene Drehungen eines Vierecks:

o 90^o

180^o 270^o

Drehung

1 2

3 4

Drehung

1 2

3 4

Drehung

1 2

3 4

Drehung

1 2

3 4

4

1 2

3

4 3

1 2

2

3 4

1 1 4

2 3

0

δ≜ α≜

γ≜

β≜

Notizen Notizen

DREHUNG EINES VIERECKS

Die Verknüpfung von Drehungen sei die

Hintereinanderausführung, dann ergibt sich die folgende Verknüpfungstafel:

◦ α β γ δ α α β γ δ β β γ δ α γ γ δ α β δ δ α β γ

Lemma

({α, β, γ, δ},◦)ist eine (abelsche) Gruppe.

Solche Verknüpfungstafeln werden auchGruppentafelngenannt.

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DER KONGRUENZBEGRIFF

Definition

Seim ∈ Nundm ≥2. Zwei Zahlena, b ∈ Zheißenkongruent modulom, wennm|(a−b).

Schreibweise.a≡b mod m Lemma

Die Kongruenz ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Übung

Beispiel:2≡4 mod 2,5≡7 mod 2,5≡8 mod 3, aber11̸≡10 mod 9

Notizen Notizen

DER KONGRUENZBEGRIFF (II)

Lemma

Seienm ∈ Nmitm ≥ 2unda, b ∈ Z, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) a≡b mod m

ii) a=b+k·mmitm∈Z

iii) aundblassen bei der ganzzahligen Division durchmden gleichen Rest.

Beweis: Wir führen einen Zirkelschluß durch.

i)→ii): Wenna≡b mod m, dann gilt nach Definition m|(a−b). Also existiert einkmita−b=k·mund somit folgta=b+k·m.

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DER KONGRUENZBEGRIFF (III)

ii)→iii): Wenna=b+k·m, dann läßtabei der Division durch mden Restb. Dab=a−k·mist, gilt das auch fürb.

iii)→i): Wennaundbbei der Division durchmden gleichen Restrlassen, dann gilta=r+k·mbzw.

b=r+k^′·m. Also muss

a−b=k·m−k^′·m= (k−k^′)·mgelten. Damit ist m|(a−b)unda≡b mod mnach Definition.

Notizen Notizen

WEITERE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN

Definition

Das Tripel(R,⊕,⊙)heißtRing, wenn i) (R,⊕)ist eine abelsche Gruppe

ii) ⊙ist vom Typ⊙:R×R →R(Abgeschlossenheit von⊙) iii) ∀a, b, c∈Rgilta⊙(b⊙c) = (a⊙b)⊙c(Assoziativität von⊙) iv) ∀a, b, c∈R, dann gelten

→ a⊙(b⊕c) = (a⊙b)⊕(a⊙c)

→ (a⊕b)⊙c= (a⊙c)⊕(b⊙c)(Distributitvität)

v) Gilt zusätzlich∀a, b∈Raucha⊙b=b⊙a, dann heißt (R,⊕,⊙)kommutativerRing.

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WEITERE ALGEBRAISCHE STRUKTUREN (II)

Beispiele:(Z,+,·)ist ein kommutativer Ring, die Menge aller n×nMatrizen überRbilden zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen einen Ring.

Definition

Ist(K,⊕,⊙)ein Ring undzusätzlich(K\{e+},⊙)eine abelsche Gruppe, wobeie₊das neutrale Element für⊕ist, dann heißt das Tripel(K,⊕,⊙)Körper(engl. Field).

In Körpern kann die Multiplikation”rückgängig“gemacht werden, d.h. man kann

”dividieren“.

Beispiele:(Q,⊕,⊙),(R,⊕,⊙)und(C,⊕,⊙)sind Körper.(Z,⊕,⊙) ist ein Ring, aber kein Körper.

Notizen Notizen

MODULORECHNUNG

Seiena, b, c, d∈Z,n∈Nmitn≥2unda≡b mod nbzw.c≡d mod n. Dann gilt

1. a+c≡b+d mod n 2. a·c≡b·d modn

Beweis: Meinel / Mundhenk, Mathematische Grundlagen der Informatik.

Dieses Lemma kann man so auffassen, dass man Umformungen vornehmen kann wie gewohnt, indem man auf beiden Seiten multipliziert / addiert (Achtung: DieDivisionfunktioniert nicht wie gewohnt!).

Bei der Rechen mit Resten ist esunerheblichmit welchen Zahlen man rechnet, solange sie nur den gleichen Rest bei der Division mit nlassen.

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MODULORECHNUNG (II)

Man kann mod nstatt als Äquivalenzrelation auch als

”Modulo-Funktion“verwenden, d.h.

(x+y)modn= ((x mod n) + (y mod n))modn

So ist dies oft in den üblichen Programmiersprachen gelöst, z.B.JavaoderCmit dem%-Operator.

Beispiel:

(2370 + 5780)mod100 = ((2370mod100) + (5780mod100))

= 70 + 80mod100

= 150mod100

= 50mod100 Probe:2370 + 5780≡8150≡50mod100.

Notizen Notizen

RESTKLASSENRINGE

Definition

Sein ∈Nmitn ≥2, dann istZn ={a |0≤a < n}die Menge allerRestklassen modulon. Füra, b∈Zndefinieren wir

i) a⊕b= (a+b)modn ii) a⊙b= (a·b)modn

Znist eigentlich eine Menge von Äquivalenzklassen. Da es egal ist mit welchem Repräsentanten man rechnet, definiert manZnoft vereinfachend wie hier.

(Zn,⊕,·)ist ein kommutativer Ring, wobei es sogar ein neutrales Element bzgl.⊙gibt.

(Zn,⊕,·)heißtRestklassenringmodulon.

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DER GRÖßTE GEMEINSAME TEILER

Definition

Seiena, b∈Z, dann bezeichnetggT(a, b)dengrößten gemein- samen Teiler, d.h. wenn

→ T_a={c|cteilta}(Menge aller Teiler vona)

→ T_b={c|cteiltb}(Menge aller Teiler vonb), dann istggT(a, b) = max(T_a∩T_b).

Zwei Zahlena, b ∈ Zheißen teilerfremd(relativ prim), wenn giltggT(a, b) = 1.

Wir legen fest:ggT(0,0) = 0

Beispiel:ggT(10,15) = 5undggT(3,7) = 1, d.h.3und7sind

Notizen Notizen

DAS RSA-VERFAHREN

Theorem

Sein∈N,n≥2unda∈Zn. Es gibt genau dann eina^′ ∈Znmit a⊙a^′ ≡1modn, wennggT(a, n) = 1.

Beweis: später (evtl. Security)

Beispiel: Das RSA-Verfahren nach (Rivest, Shamir und Adleman).

Im Setup führen wir folgende Schritt durch i) wähle zwei verschiedene Primzahlenpundq ii) berechnen=p·qundΦ = (p−1)·(q−1) iii) wähle eine, so dassggT(e,Φ) = 1

iv) suche eindmite·d≡1 mod Φ Öffentlich ist(e, n)und geheim istd.

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DAS RSA-VERFAHREN (II)

Verschlüsseln mitE(m) =m^e mod nmit Nachrichtm∈Zn

Entschlüsseln mitD(m) =m^d mod nmit Nachrichtm∈Zn

Beispiel: Seip= 7undq= 11, dannn= 77undΦ = 60. Mite= 17 liefertKnowHowoder probierend= 53.

Sei nunm= 45, dann ist

E(45)≡45¹⁷≡12 mod 77 und

D(12)≡12⁵³≡45 mod 77

Notizen Notizen

DAS RSA-VERFAHREN (III)

→ Welche Algorithmen brauchen wir dafür (z.B. zur Potenzierung)?

→ Wie findet man Primzahlen?

→ Wie macht man das effizient? (In der Praxis habenpundq minimal1024Bit, d.h. etwa150Dezimalstellen. Besser:2048 oder4096Bit)

→ Warum ist das sicher (oder warum nicht)?

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Ende der Vorlesung

Notizen Notizen